Diskrete Mathematik LVA 703015 Ausgewählte Musterlösungen, 6

Diskrete Mathematik
Ausgewählte Musterlösungen, 6. PS-Blatt
LVA 703015
Institut für Informatik
2) Lösung. Sei E1 := {m1 , . . . , mn } die Menge der befragten Menschen und E2 :=
{g1 , . . . , g8 } die Menge der Gegenstände. Dann ist der Graph mit der Eckenmenge
E = E1 ∪ E2
und der Kantenmenge
K = {{mi , gj } | Befragter i hat Gegenstand j angegeben}
bipartit.
P
P
Es gilt m∈E1 Grad(m) =
g∈E2 Grad(g) (Regel des zweifachen Abzählens). Die
rechte Seite liefert 23 + 20 + 12 + 10 + 8 + 5 + 3 + 1 = 82. Somit kann aber nicht jede
Person exakt 5 Gegenstände genannt haben.
3) Lösung. Laut Beispiel 6.7 sind N und Z abzählbar unendlich und somit abzählbar.
Gemäß Satz 6.10(1) ist auch N \ {0} abzählbar. Nach Satz 6.10(4) ist somit auch
Z × ( N \ {0}) abzählbar. Die Menge der rationalen Zahlen Q ist definiert als die
Menge aller Brüche pq mit p, q ∈ Z und q 6= 0. Somit ist das Bild von q ganz Q ist.
Also folgt aus Satz 6.10(2), dass Q abzählbar ist. Weil Q nicht endlich ist folgt die
Behauptung.
4) Lösung. Wir betrachten die folgende Funktion f : [0, 1) → B N :
x=
X
bi ·
i>0
1
2i+1
→ (b0 , b1 , b2 , . . . ) ,
P
1
wobei es sich bei x = i>0 bi · 2i+1
um die normierte Binärdarstellung von x handelt, somit ist die Darstellung eindeutig. Die Abbildung f ist nicht surjektiv, etwa
entspricht der Binärfolge b
(1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, . . . )
die normierte Binärdarstellung c = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, . . . ). Denn
X
i>0
bi ·
1
2i+1
=
X
1 1
1
1
1
+ +
+ (1 +
bi+7 · n+1 )
2 8 16 64
2
i>0
1
1
1 1
= + +
+
·2
2 8 16 64
1 1
1
1
= + +
+
2 8 16 32
X
1
=
ci · i+1 .
2
i>0
1
Wir betrachten die endlichen Mengen Em :=S{b ∈ B N | ∀i > m bi = 1} für alle m > 0.
Nach Satz 6.10(3) ist ihre Vereinigung E := m>0 Em abzählbar. Nun nehmen wir an,
die reellen Zahlen wären abzählbar. Dann wäre ebenso das Interval [0, 1) abzählbar
und damit auch das Bild f ([0, 1)) = B N \ E ebenfalls abzählbar (Anwendung der
Sätze 6.10(1) und 6.10(2)). Mit einer weiteren Anwendung von Satz 6.10(3) würde
folgen, dass B N = (B N \ E) ∪ E abzählbar ist. Widerspruch zur Überabzählbarkeit
von B N , siehe Beispiel 6.10.
5) Lösung. Die Anzahl der spannenden Wälder mit minimaler Kantenbewertung eines
Graphen ist kleiner gleich der Anzahl an spannenden Wäldern des Graphen. Die
Anzahl ist gleich, falls die Bewertung aller Kanten gleich ist. Wir nehmen daher
an, dass b eine konstante Funktion ist und schätzen die Anzahl an unterschiedlichen
spannenden Wäldern ab. Die Anzahl an spannenden Wäldern ist für einen vollständigen Graphen am größten: Falls der Graph nicht vollständig ist müssen im Vergleich
zu einem vollständigen Graphen Kanten fehlen. Dadurch können einige spannende
Wälder wegfallen, aber es können keine neuen spannenden Wälder hinzukommen.
Betrachtet man eine Abschätzung abhängig von der Anzahl der Kanten und Ecken, bekommen wir unsere erste obere Schranke. Der spannende Baum muss,
falls der
|K| Graph nicht leer ist, |E|−1 Kanten haben (Satz 5.12). Wir haben |E|−1
Möglichkeiten diese Kanten aus allen |K| Kanten zu wählen. Da der Graph auch leer sein, kann
muss es mindestens einen spannenden Baum geben.
Daher kann die maximale Anzahl
|K| an spannenden Bäumen mittels max{1, |E|−1 } berechnet werden. Da der spannende
Wald eines vollständigen Graphen immer ein spannender Baum ist, können dies als
Obergrenze verwenden.
Alternativ gilt für einen vollständigen Graphen ist die Anzahl an spannenden Bäumen
gleich n(n−2) (nach Cayley’s Formel).
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