Zentralübung zur Vorlesung Theoretische Physik 1: Mechanik

Zentralübung zur Vorlesung
Theoretische Physik 1: Mechanik
Blatt 3
Dr. A.Zharikov, Prof. H.Friedrich, TU München, SS 2009
Aufgabe 7: Zeitabhängige (rheonome) Zwangsbedingungen.
Virtuelle und reelle Verrückungen.
Ein Perle der Masse m bewege sich reibungsfrei entlang einer geradliniegen
Stange, die mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit in x-y-Ebene rotiert.
(a) Betrachten Sie die Bewegung der Perle in Polarkoordinaten (r(t), ϕ(t))
Stellen Sie die Lagrange-Funktion des Systems und eliminieren die Variable ϕ mittels der Zwangsbedingung.
(b) Formulieren Sie die Euler-Lagrange-Gleichung (Lagrange-Gleichung 2.
Art) für r(t) und geben Sie die Lösung an.
(c) Ist die Energie der Perle eine Erhaltungsgröße?
Lösung
(a) Polarkoordinaten:
x(t) = r(t) cos ϕ(t), y(t) = r(t) sin ϕ(t)
ẋ = ṙ cos ϕ − rϕ̇ sin ϕ, ẏ = ṙ sin ϕ + rϕ̇ cos ϕ
Lagrange-Funktion eines freien Teilchens (2D-Bewegung, z = 0, ż =
0, U = 0):
1
1
1
1
Lf r = T = mẋ2 + mẏ 2 = mṙ2 + mr2 ϕ̇2
2
2
2
2
Zwangsbedingung: ϕ̇ = ω = const ⇒
1
1
L = mṙ2 + mω 2 r2
2
2
(b) Bewegungsgleichung:
d ∂L
∂L
=
⇒ mr̈ = mω 2 r
dt ∂ ṙ
∂r
Lösung:
r(t) = Aeωt + Be−ωt = r(0) cosh ωt +
ṙ(0)
sinh ωt
ω
Betrachte den Fall ṙ(0) = 0. Nach erste Umdrehung: ωtu = 2π , r(tu )/r(0) =
cosh 2π ≈ 268 (!!). Weitere Umdrehung: r(2tu )/r(tu ) ≈ e2π ≈ 535
Bemerkung: Bewegungsgleichungen ohne Zwangsbedingung:
∂Lf r
d ∂Lf r
=
,
dt ∂ ṙ
∂r
d ∂Lf r
∂Lf r
=
⇒ mr̈ = mϕ̇2 r,
dt ∂ ϕ̇
∂ϕ
d
mr2 ϕ̇ = 0
dt
l2
l2
r
=
mr4
mr3
Lösung (ohne Beweis): ~r(t) = ~r(0) + ~v (0)t - freie Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.
p
r(t) = r2 (0) + 2~r(0) · ~v (0)t + v 2 (0)t2
⇒ mr2 ϕ̇ = const = l ( ~l ist der Drehimpuls),
r̈ =
(c) Die Energie der Perle E, die gleich der kinetische Energie T = L (U
= 0) ist, vergrößert sich mit der Zeit. Die Zwangskraft steht senkrecht
zu virtuellen Verrückungen.Im Falle einer zeitabhängigen holonomen
(rheonomen) Zwangsbedingung sind reele Verückungen nicht gleich den
virtuellen Verrückungen. Zwangskraft kann eine Arbeit leisten. Im
Falle einer freien Bewegung ist die Energie eine Erhaltungsgröße.
Aufgabe 8: Variationsprinzip. Brachistochrone.
Ein Teilchen der Masse m gleite reibungslos in der x-z-Ebene im homogenen
Schwerefeld der Erde (F~ = −mg~ez ) entlang einer Kurve z(x) vom Punkt
P1 = (0, 0) zum tiefer gelegenen Punkt P2 = (x2 , z2 ), z2 ≤ 0. Seine Anfangsgeschwindigkeiten seien null.
(a) Geben Sie die Zeit T [z(x)], die das Teilchen für den Weg von P1 nach
P2 braucht, als Funktional der Kurve z(x) in der Form
Z x2
T [z(x)] =
G(z(x), z 0 (x), x)dx
x1
(b) Durch Minimierung der Zeit T [z(x)] finden Sie die Euler-LagrangeGleichung für die Kurve z(x), die den schnellsten Weg (Brachistochrone)
enspricht.
(c) Da in diesem Fall G=G(z,z’) nicht explizit von x abhängt, lässt sich
das Problem mittels der Erhaltungsgröße
z0
∂G(z, z 0 )
− G(z) = const
∂z 0
zur Differentialgleichung erster Ordnung reduzieren. Zeigen Sie, dass
die Lösung dieser Gleichung der Parameterdarstellung einer Zykloide
x = R(ϕ − sin ϕ), z = R(cos ϕ − 1) genügt.
Lösung
(a) Betrachte ein infinitesimales Element der Kurve dl zwischen x und
x + dx:
dl =
p
p
(dx)2 + (dz(x))2 = 1 + (z 0 (x))2 dx ,
dt =
dl
v
Energieerhaltung: mgz + 21 mv 2 = const = mgz(0) + 12 mv 2 (0) = 0
s
p
1 + (z 0 (x))2
⇒ v = −2gz (z ≤ 0) ⇒ dt =
dx
−2gz(x)
Z
x2
T [z(x)] =
x1
s
Z x2
1 + (z 0 (x))2
dx =
G(z(x), z 0 (x))dx
−2gz(x)
x1
s
1 + (z 0 )2
G(z, z 0 ) =
−2gz
(b) Der schnelste Weg entspricht der Bedingung δT = 0. Betrachte Analogie mit der extremalen Wirkung (Vorlesung):
Z t2
d ∂L
∂L
W =
L(q, q̇, t)dt , δW = 0 ⇒
=
dt ∂ q̇
∂q
t1
δT = 0 ⇒
√
1
d ∂L
∂L
d
z0
p
=
−
1 + z 02 p
=
⇒
0
dx ∂z
∂z
dx (1 + z 02 )(−2gz)
2g(−z)3
(c)
∂G(z, z 0 )
1
z0
− G(z) = √
0
∂z
2g
z 02
p
(1 + z 02 )(−z)
r
−
1 + (z 0 )2
−z
!
=
1
1
√ p
= const ⇒ −z(1 + z 02 ) = const1
02
2g (1 + z )(−z)
Mit x = R(ϕ − sin ϕ), z = R(cos ϕ − 1) folgt
z0 =
dz/dϕ
sin ϕ
=−
,
dx/dϕ
1 − cos ϕ
sin2 ϕ
−z(1 + z ) = R(1 − cos ϕ)(1 +
) = 2R = const1
(1 − cos ϕ)2
02
Eine Zykloide ist die Bahn eines Punktes auf dem bewegenden Rad.
Aufgabe 9: Generalisiertes Noether-Theorem
(a) Zeigen Sie, dass die Lagrange-Funktion eines N -Teilchen-System
L=
i6=j
N
X
1
i=1
X
˙i 2 − 1
mi (~r)
U (|~ri − ~rj |)
2
2 i,j
unter einer Galilei-Transformation
~ri = ~ri∗ + ~v0 t
(i = 1, 2, ..., N )
die neue Lagrange-Funktion bildet, die sich von der alten LagrangeFunktion nur durch die totale Zeitableitung einer Funktion untescheidet.
Lösung
~r˙i = ~r˙i∗ + ~v0
~ri = ~ri∗ + ~v0 t
∗
L =
N
X
1
i=1
1
mi (~r˙i∗ +~v0 )2 −
2
2
i6=j
X
i,j
d
L = L + M ({~r∗ }, t),
dt
∗
N
N
X
X
1
U (|~ri∗ −~rj∗ |) = L({~ri∗ , ~r˙i∗ })+
mi~r˙i∗ ·~v0 +
mi v02
2
i=1
i=1
∗
M ({~r }, t) =
N
X
i=1
mi~ri∗
· ~v0 +
N
X
1
i=1
2
mi v02 t
Bei der Symmetrietransformation ~ri = ~ri∗ + d~ oder ~ri = R̂(α)~ri∗ (R̂(α)-eine
Drehmatrix) hat man L∗ = L. Unter einer Galilei-Transformation unterscheiden sich L∗ und L durch die totale Zeitableitung einer Funktion. Ein
solcher Unterschied führt nicht zu einer Änderung der Bewegungsgleichungen
(siehe Vorlesung, Eichung der Lagrange-Funktion). Man definiert auch die
Galilei-Transformation als eine Symmetrietransformation.
Noether-Theorem: Symmetrie ⇒ Erhaltungsgröße.
Betrachte eine infinitesimale Tranformation der generalisierten Koordinaten:
qi∗ = qi + sFi (~q, ~q˙, t),
s→0
Falls
∂L
d
|s=0 = M̃ (~q, t) ⇒ I(~q, ~q˙, t) =
∂s
dt
f
X
i=1
!
∂L
Fi
− M̃ −eine Erhaltungsgröße
∂ q̇i