Schwingungen - Fakultät für Physik

Fakultät für Physik
T1: Klassische Mechanik, SoSe 2017
Dozent: Ulrich Schollwöck
Übungen: Nils-Oliver Linden, Dennis Schimmel,
Andreas Swoboda
https://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_17/T1_theor_
mechanik/index.html
Blatt 04: Schwingungen
Ausgabe: Freitag, 12.05.17; Abgabe: Freitag, 19.05.17, 13:00
Hausaufgabe 1: Testfragen [unbewertet]
Diese Fragen prüfen, ob Sie einfache, grundlegende Konzepte der Vorlesung verstanden haben.
Sie sollten sie ohne längeres Nachdenken oder Nachschlagen in ein paar Minuten beantworten
können.
1.
Was ist die Bedingung für eine Gleichgewichtslage in einem Potential V (x)?
2.
Wann ist das Gleichgewicht (in)stabil?
3.
Wieviele Dimensionen hat der Phasenraum für die Bewegung eines Massenpunktes in
einer Ebene?
4.
Skizieren Sie im Phasenraum:
(i) die freie Bewegung eines Teilchens
(ii) ein ruhendes Teilchen
(iii) ein gleichförmig beschleunigtes Teilchen
5.
Wieviele Integrationskonstanten gibt es in der Lösung der Newton’sche Bewegungsgleichungen für ein System von N Teilchen in d Dimensionen? Warum?
6.
Warum ist die Berechnung kleiner Schwingungen um eine Gleichgewichtslage viel einfacher
als die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen?
Hausaufgabe 2: Phononen im eindimensionalen Kristallmodell [5]
Wir betrachten ein eindimensionales Modell eines Kristalls. Es besteht aus einer Kette äquidistanter, durch Federn gekoppelter Massen. Die Federn haben dabei identische Federkonstanten D, aber
Massepunkte der Massen m und M ≥ m wechseln sich ab (siehe Skizze). Die Massen können sich
längs einer Geraden bewegen. Der Gleichgewichtsabstand zwischen Massepunkten gleicher Masse
sei a. Die Auslenkungen aus dem Gleichgewicht werden mit un für Teilchen der Masse m und mit
vn für Teilchen der Masse M bezeichnet:
D
D
m
un
D
M
vn
1
un+1
(a) Geben Sie die Bewegungsgleichungen für diese unendliche lineare Kette an. Zeigen Sie, dass
diese Gleichungen durch einen Wellenansatz für jeden Massentyp
un = U ei(kan−wt)
vn = V ei(kan−wt)
gelöst werden kann. Finden Sie die resultierende Gleichung für ω = ω(k).
(b) Die gefundene Lösung ist durch die Wellenzahl k charakterisiert, die zunächst beliebige Werte
annehmen kann. Begründen Sie, daß k auf den Bereich −π/a < k ≤ π/a beschränkt werden
kann. Skizzieren Sie die Eigenfrequenzen ω(k) als Funktion von k und diskutieren Sie die
Grenzfälle k = 0 und k = π/a. Die Beziehung ω(k) wird Dispersionsrelation genannt.
(c) Skizzieren Sie die Auslenkungen der eindimensionalen Kette für den Fall k ≈ 0.
(d) Die physikalische Randbedingung einer endlichen Kette aus N Massen kann durch die periodische Randbedingung un (t) = un+N (t), vn (t) = vn+N (t) simuliert werden. Zu welchen
diskreten Werten von k führt diese Randbedingung?
Hausaufgabe 3: Benzol-Ring [7]
Ein einfaches Modell eines Benzolrings besteht aus sechs
gleichen Massen m, die sich reibungslos entlang eines Kreisringes bewegen. Die Massen seien durch gleichartige Federn
mit Federkonstante D verbunden, die sich ebenfalls entlang
des Ringes erstrecken (siehe Skizze). Der Ring ist dabei fixiert und bewegt sich nicht.
(a) Stellen Sie Bewegungsgleichungen für die Auslenkungen der Massen, xn , n = 1 . . . 6,
entlang des Kreisringes in vektorieller Schreibweise, T̂ ẍ = −V̂ x, auf.
(b) Berechnen Sie die Eigenfrequenzen der Normalmoden und skizzieren Sie die Bewegung
der Massen entlang des Ringes für die verschiedenen Schwingungsmoden.
2
− 2 zu definieren. Für das charakteristische
(Hinweis: Es kann nützlich sein, ε = mω
D
6
4
2
Polynom sollten Sie dann ε − 6ε + 9ε − 4 finden.)
(c) In welchen der berechneten Moden oszilliert der Schwerpunkt des Benzolmoleküls? Diese
Schwerpunktsoszillationen treten hier auf, weil der Benzolring fixiert ist. Warum würde
man solche Oszillationen des Schwerpunktes für ein freies Molekül nicht erwarten?
(d) Alternativ kann der hier untersuchte Ring auch als Kette mit periodischen Randbedingungen betrachtet werden. Prüfen Sie, dass Sie mit dieser Methode dieselben Ergebnisse
finden.
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Hausaufgabe 4: Quartisches Potential [5]
Ein Teilchen der Masse m bewegt sich in einer Dimension in einem Potenzial der Form
V (x) = ax2 + bx4 .
(a) Skizzieren Sie V (x). Berücksichtigen Sie die verschiedenen möglichen Fälle in Abhängigkeit der Werte der Parameter a und b. Berechnen Sie die stabilen Fixpunkte des Teilchens
sowie die Eigenfrequenzen kleiner Schwingungen um diese Punkte.
(b) Wir betrachten nun den Fall a > 0, b < 0 und eine Gesamtenergie des Teilchens, die dem
Maximum von V (x) entspricht. ±x1 (mit x1 > 0) bezeichne die Positionen der Maxima
von V (x). Zeigen Sie durch Separation der Variablen, dass die Bewegung des Teilchens
mit der Anfangsbedingung −x1 < x(0) = x0 < 0 und ẋ(0) > 0 durch
h p
i
x(t) = x1 tanh tx1 −2b/m + artanh(x0 /x1 )
gegeben ist.
Bestimmen und skizzieren Sie die Zeit t0 , die das Teilchen benötigt, um das Minimum zu
erreichen. Skizzieren Sie x(t) für x0 → −x1 .
[Gesamtpunktzahl Hausaufgaben: 17]
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