Quasiclassical description of multi

Betreuer: Prof. Dr. Konstantin B. Efetov
Andreas Moor
Quasiclassical Description of Multi-band
Superconductors with Two Order Parameters
D EUTSCHE Z USAMMENFASSUNG
Die vorliegende Dissertation beinhaltet eine erste Studie zur Beschreibung von
Mehrzonen-Supraleitern mit einer Spindichtewelle mittels der quasiklassischen
Greenschen Funktionen. Sie umfasst zwei Hauptteile: Der erste Teil präsentiert
einen kurzen Überblick über die angewandten Methoden sowie eine vergleichsweise einfache Anwendung jener auf Einzonen-Strukturen. Der zweite Teil behandelt schließlich Mehrzonen-Strukturen. Mit Blick auf mögliche Anwendungen auf Eisenpniktide genügt es dabei, die theoretischen Untersuchungen auf
zwei Zonen zu beschränken.
Nach einer kurzen Einführung in die benutzten Methoden in Kapitel 1 kommen diese in Kapitel 2 zur Anwendung, um Nichtgleichgewichtszustände in hybriden Tunnelstrukturen aus Supraleiter und normalen Metallen in Anwesenheit eines Tunnelstroms zu studieren, wobei die Näherung der effektiven Temperatur verwendet wird. Die hier berechnete Strom-Spannungs-Kennlinie zeigt,
dass die Spannungsabhängigkeit des Stroms einen S-förmigen Verlauf aufweisen kann. Dies führt zu inhomogenen Strom- und Temperaturverteilungen, die
sich aus der Instabilität des homogenen Zustands mit einem negativen Leitwert
ergeben. Desweiteren wird eine Analogie mit Supraleitern im Gleichgewicht mit
einem Austauschfeld diskutiert, insbesondere in Hinblick auf die sogenannten
Larkin–Ovchinnikov–Fulde–Ferrel Zustände .
In Kapitel 3 werden Gleichungen für die quasiklassischen Greenschen Funktionen ǧ im vereinfachten Modell eines Zweizonen-Supraleiters mit einer Spindichtewelle hergeleitet. Die Matrix ǧ gliedert sich dabei in Blöcke für retardierte, avancierte und Keldysh-Komponenten. Jede dieser Komponenten ist eine
8 × 8 Matrix für den physikalischen Spin und zwei Pseudospin-Räume, nämlich
den Gor’kov–Nambuschen Elektron-Loch-Raum sowie den Pseudospin zur Indizierung der zwei Zonen. Die Gleichungen für ǧ stellen somit im Gleichgewicht
eine Verallgemeinerung der Eilenberger-Gleichung dar, die oft einen Ausgangspunkt bei Supraleiter betreffenden Fragestellungen darstellt. Auf deren Grundlage erfolgt schließlich eine Analyse der Knight-Verschiebung, des Proximityund des Josephson-Effekts in den betrachteten Zweizonen-Supraleitern. Dabei
wird gezeigt, dass die Knight-Verschiebung von der Orientierung des externen
Magnetfelds in Bezug auf die Magnetisierungsrichtung der Spindichtewelle abhängt. Der Proximity-Effekt an der Grenzfläche zwischen einem Supraleiter mit
einer Spindichtewelle und einem normalen Metall (oder Metall mit Spindichtewelle) führt dazu, dass supraleitende und magnetische Korrelationen auch
das (normale) Metall durchdringen. Ferner wird im Falle des perfekten Nestings
der Elektronen- und der Löcher-Fermiflächen der Josephson-Gleichstrom ermittelt, der zwischen zwei Zweizonen-Supraleitern mit einer Spindichtewelle
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fließt. Dieser Strom ist im benutzten Modell unabhängig von der relativen Orientierung der Magnetisierungen in beiden Supraleitern. Desweiteren ist gezeigt,
dass der dissipationsfreie Spinstrom j sp vom Winkel α zwischen den Magnetisierungsvektoren in selber Weise wie der Josephson-Strom von der Phasendifferenz zwischen den die Verbindung bildenden Supraleitern abhängt, d. h.
j sp ∼ sin α, und dass er auch oberhalb der Sprungtemperatur endlich bleibt.
Die Ähnlichkeit zwischen den Gesetzen für Josephson-Strom und Spinstrom
motiviert das Studium Josephson-ähnlicher Kontakte in Kapitel 4. Dieser Strom
fließt zwischen zwei Materialien mit antiferromagnetischen Ordnungsparametern, wobei als Antiferromagnet ein Zweizonen-Metall mit einer Spindichtewelle angenommen ist. Die beiden Materialien werden dabei durch eine ballistische ferromagnetische oder eine isolierende Schicht getrennt. In der Tat hängt
der Spinstrom vom Winkel zwischen den Magnetisierungsvektoren in den antiferromagnetischen Ufern in derselben Weise ab wie der Josephson-Strom von
der Phasendifferenz zweier tunnelgekoppelter Supraleiter. In der ferromagnetischen Kontaktschicht werden zwei Komponenten des Spindichtewellenordnungsparameters induziert: eine räumlich oszillatorische mit einer kleiner Periode ξF,b ∼ v F /h sowie eine über eine große Distanz ξN,b = v F /2πT monoton fallende (dabei bezeichnen v F , h, und T entsprechend die Fermi-Geschwindigkeit,
die Austauschenergie im Ferromagneten, die Temperatur, und der Index „b“ das
ballistische Regime). Auch diese Beobachtung stellt eine deutliche Analogie zur
Physik von Josephson-Kontakten mit inhomogener Magnetisierung dar. Im Gegensatz zum Josephson-Strom ist der berechnete Spinstrom jedoch nicht räumlich konstant sondern oszilliert in der ballistischen ferromagnetischen Schicht.
In Kontakten mit einer isolierenden Schicht hängt j sp maßgeblich von der Abweichung vom perfekten Nesting ab. Es zeigt sich, dass der Spinstrom in der isolierenden Phase des Antiferromagneten maximal ist, während er in der metallischen Phase abnimmt. Er verschwindet beim Überschreiten der Néel-Temperatur und wechselt das Vorzeichen für bestimmte Werte des Nesting-Parameters.
Kapitel 5 führt die Untersuchung des Josephson-Effekts fort. Um die entwickelten Methoden auf Pniktide anzuwenden, wird der Josephson-Strom in Tunnelkontakten zwischen Zweizonen-Supraleitern mit Spindichtewelle ermittelt.
Dabei stellen Tunnel-Hamilton-Operator und quasiklassische Greensche Funktionen geeignete Methoden dar, um sowohl das Koexistenz-Regime beider Ordnungsparameter als auch den Fall reiner Supraleitung zu studieren. Es wird gezeigt, dass im ersten Regime der Josephson-Strom im Falle nicht-idealen Nestings von der gegenseitigen Orientierung der Magnetisierung in den Supraleitern abhängt. Ferner stellt sich heraus, dass eine Realisierung eines π-Kontakts
in beiden Fällen denkbar ist. Außerdem kann in Tunnelkontakten, die aus den
Zweizonen-Supraleitern mit unterschiedlicher Paarungssymmetrie der supraleitenden Ordnungsparameter ( S++ - und S+− -Paarung) bestehen, ein anomaler
Term im Josephson-Strom auftreten, der proportional zum Kosinus der Phasendifferenz zwischen den Supraleitern ist. Dieses Resultat bleibt auch in Abwesenheit der Spindichtewelle gültig und stellt eine Möglichkeit der Realisierung eines
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sogenannten ϕ-Kontakts dar.
Zum Studium des Zusammenspiels der Ordnungsparameter im Falle der Koexistenz erfolgt in Kapitel 6 auf der Basis der verallgemeinerten EilenbergerGleichung eine mikroskopische Herleitung einer zeitabhängigen Gleichung für
die Amplitude der Spindichtewelle nahe des quantenkritischen Punkts, an dem
die Amplitude verschwindet. Diese Gleichung beschreibt die Dynamik des magnetischen wie auch des supraleitenden Ordnungsparameters. Sie ist gültig bei
tiefen Temperaturen und kleinen Werten des magnetischen Ordnungsparameters in der Koexistenz-Region. Eine Grenzlinie dieser Region wird im Raum des
Nesting-Parameters {µ0 , µϕ } gefunden, worin µ0 die relative Position der Elektronen und der Löcher-Taschen auf der Energie-Skala beschreibt und µϕ die Elliptizität der Elektronen-Tasche erfasst. Bei tiefen Temperaturen ist die Anzahl
der Quasiteilchen wegen der Anwesenheit der supraleitenden Energielücke gering, sodass diese keine Rolle in den Relaxationsprozessen des magnetischen
Ordnungsparameters spielen. Dieser Umstand wird dazu benutzt, die zeitabhängige Gleichung für letzteren herzuleiten. Im Gegensatz dazu kann die zeitabhängige Ginzburg–Landau Gleichung für den supraleitenden Ordnungsparameter in konventionellen Supraleitern nahe der Sprungtemperatur nur in einigen Spezialfällen hergeleitet werden. Im stationären Fall ist die erhaltene Gleichung gültig bei beliebiger Temperatur. Es wird eine Lösung der stationären
Gleichung angegeben, die eine Domänenwand in der magnetischen Struktur
beschreibt. Im Zentrum der Domänenwand hat der supraleitende Ordnungsparameter ein Maximum, was einer lokalen Steigerung der supraleitenden Eigenschaften entspricht. Die hergeleitete zeitabhängige Gleichung für den magnetischen Ordnungsparameter wird dazu benutzt, um die Stabilität eines Zustands
mit einer homogenen mit der Periode des Kristallgitters kommensurablen Spindichtewelle zu untersuchen und die Werte von µ0 und µϕ zu bestimmen, bei denen ein Phasenübergang erster Ordnung in einen Zustand mit verschwindender
Spindichtewelle stattfindet oder der Übergang zu einem Zustand mit einer inhomogenen Spindichtewelle geschieht.
Als Zusatz wird in Kapitel 7 ein simples Modell eines quasi-eindimensionalen
Supraleiters untersucht, in dem zwei Ordnungsparameter koexistieren können:
Supraleitung und Ladungsdichtewelle. Die Molekularfeldnäherung liefert Gleichungen für die Greenschen Funktionen, die sehr ähnlich jenen sind, die zuvor für die Mehrzonen-Strukturen ermittelt worden sind. Dies eröffnet also eine
Möglichkeit, die entwickelten Methoden auch in derartigen Systemen anzuwenden. Als Beispiel wird die Region der Koexistenz von Supraleitung und Ladungsdichtewelle bei niedrigen Temperaturen auf der Achse des die Krümmung der
Fermiteilflächen beschreibenden Parameters bestimmt. Ferner wird ein möglicher Pfad skizziert, wie das Studium der gekoppelten Dynamik der zwei Ordnungsparameter in Systemen, auf die das untersuchte Modell anwendbar ist,
durchgeführt werden kann.
Die Resultate werden abschließend kurz und zusammenfassend diskutiert,
auch in Hinblick auf Perspektiven für weitere Forschung.
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Anhänge A–D stellen Details zu Berechnungen im Hauptteil sowie nützliche
mathematische Zusammenhänge bereit.
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