Merkhilfe Mathematik Technik.docx

Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS)
Ausbildungsrichtung Technik
1 Algebraische Grundlagen
Binomische
Formeln
Absolutbetrag
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a - b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b) × (a - b) = a2 - b2
a3 - b3 = (a – b) × (a2 + ab + b2 )
ì x für x ³ 0
|x| = í
î – x für x < 0
Wurzeln
und
Potenzen
a× a =a
a ³ 0
a × b = a ×b
a
a
=
b
b
an = a × ... × a
123
a2 =|a|
n
n
a × ... × a = a
14243
n Faktoren
a0 = 1
a1 = a
n Faktoren
-x
a
1
= x
a
(a )
x
1
y
x
ax × bx = ( a × b )
= ax × y
m
n
n
logb a = z Û bz = a
logb uz = z × logb u
Parabelgleichung
Lösungsformel für
die quadratische
Gleichung
x
ax
= ax - y
y
a
x
ax æ a ö
=ç ÷
bx è b ø
a n = am
logb (uv ) = logb u + logb v
Geradengleichung
x+y
a ×a =a
an = a
Logarithmen
y
u
= logb u - logb v
v
logb a
logc a =
logb c
logb
y = m×x + t
(allgemeine Form)
y = m × (x - x 0 ) + y 0
(Punkt-Steigungs-Form)
y = ax2 + bx + c
(allgemeine Form)
y = a × (x – x s )2 + y s
(Scheitelform)
y = a × (x – x1 ) × (x – x 2 )
(Linearfaktorform)
ax + bx + c = 0 und b2 - 4ac ³ 0
Þ x1;2 =
2
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- b ± b2 - 4ac
2a
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Ausbildungsrichtung Technik
2 Analysis
Symmetrie
bezüglich des
Koordinatensystems
f(-x) = f(x)
ü
ý Þ
für alle x Î Df þ
f(-x) = -f(x) ü
ý Þ
für alle x Î Df þ
Gf ist achsensymmetrisch zur y-Achse
(f heißt dann gerade Funktion)
Gf ist punktsymmetrisch zum Ursprung
(f heißt dann ungerade Funktion)
Differenzenquotient
f(x) - f(x 0 )
x - x0
Ableitung f / (x 0 )
(Differentialquotient)
Besitzt der Graph Gf an der Stelle x 0 eine eindeutige Tangente,
so wird die Steigung dieser Tangente mit f / (x 0 ) bezeichnet.
Ableitung der
Grundfunktionen
(Sekantensteigung bzgl. x 0 und x )
f(x) - f(x 0 )
® f / (x 0 )
x - x0
Dann gilt:
x ® x0 Þ
Schreibweisen:
f / (x) =
df(x)
d
=
f(x)
dx
dx
s&(t)
ds(t)
dt
=
d r
(x ) = r × xr -1
dx
dæ1ö
r
= – r+1
ç
÷
r
dx è x ø
x
d x
(e ) = ex
dx
d
1
(lnx) =
dx
x
d
(sinx) = cosx
dx
d
(cosx) = - sinx
dx
d
1
(arctanx) =
dx
1 + x²
Ableitungsregeln
f(x) = u(x) + v(x)
Þ
f / (x) = u/ (x) + v / (x)
f(x) = c × u(x)
Þ
f / (x) = c × u/ (x)
f(x) = u(x) × v(x)
Þ
f / (x) = u/ (x) × v(x) + u(x) × v / (x)
u(x)
f(x) =
v(x)
Þ
f(x) = u ( v(x))
u/ (x) × v(x) - u(x) × v / (x)
f (x) =
[v(x)]2
Þ
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/
f / (x) = u/ ( v(x)) × v / (x)
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Ausbildungsrichtung Technik
Monotoniekriterium
f / (x) < 0 im Intervall I
f (x) > 0 im Intervall I
Þ Gf steigt streng monoton in I.
Art von
relativen
Extrema
f / (x 0 ) = 0 und f // (x 0 ) > 0
Þ f hat an der Stelle x 0
f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) < 0
ein relatives Minimum.
Þ f hat an der Stelle x 0
ein relatives Maximum.
Graphenkrümmung
f // (x) < 0 im Intervall I
Þ Gf ist in I rechtsgekrümmt.
f // (x) > 0 im Intervall I
Þ Gf ist in I linksgekrümmt.
Wendepunkt
Ist f // (x 0 ) = 0 und wechselt f // (x) an der Stelle x 0 das
Vorzeichen, so hat Gf an der Stelle x 0 einen Wendepunkt.
Terrassenpunkt
Ist f / (x 0 ) = 0 und f // (x 0 ) = 0 und wechselt f // (x) an der Stelle x 0
das Vorzeichen, so hat Gf an der Stelle x 0 einen Terrassenpunkt.
Hauptsatz der
Differenzial- und
Integralrechnung
Ist f eine in [a; b] stetige Funktion, so ist
Þ Gf fällt streng monoton in I.
/
/
//
x
die Integralfunktion Fa : x a ò f(t)dt differenzierbar und
a
Fa ist eine Stammfunktion von f, d. h. Fa / (x) = f(x) .
Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt:
b
ò f(x)dx = [F(x)] a = F(b) - F(a)
b
a
Partielle Integration
b
ò u(x) × v (x) dx = [u(x) × v(x)]
/
a
Integration durch
Substitution
b
g -1 (b)
a
g
ò f(x) dx = -ò1
b
a
b
- ò v(x) × u/ (x) dx
a
f(g(t)) × g / (t) dt mit x = g(t)
(a)
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Ausbildungsrichtung Technik
Volumen eines
Rotationskörpers
Rotation um die x-Achse:
V = p×
x2
ò ( f(x))
dx
y2
)
2
x1
Rotation um die y-Achse:
V = p×
ò (f
-1
y1
Unbestimmte
Integrale
xr+1
ò x dx = r + 1 + C (r ¹ -1)
ò x dx = ln|x|+ C
ò sinx dx = - cosx + C
x
x
ò e dx = e + C
ò cosx dx = sinx + C
ò lnx dx = -x + x·lnx + C
f / (x)
ò f(x) dx =ln|f(x)|+ C
ò f (x) × e
r
1
ò (cosx)2 dx = tanx + C
1
a+ x
1
ò a2 - x2 dx = 2a × ln a - x + C
ò
ò
1
2
2
x ±a
1
/
f(x)
dx = ef(x) + C
1
1
ò (sinx)2 dx = - tanx + C
1
1
x
ò a2 + x2 dx = a × arctan a + C
dx = ln x + x2 ± a2 + C
x
a2
a2 + x2 dx = × a2 + x2 + × ln(x + a2 + x2 ) + C
2
2
1
ò f(ax + b) dx = a × F(ax + b) + C
Grenzwerte
2
(x) dx
für r > 0 gilt:
x ® - ¥ Þ xr × ex ® 0
xr
x ® +¥ Þ x ® 0
e
x ® +¥ Þ
x®0
lnx
®0
xr
Þ xr × lnx ® 0
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wobei F eine
Stammfunktion von f ist
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Ausbildungsrichtung Technik
3 Wahrscheinlichkeitsrechnung
W sei der Ergebnisraum eines Zufallsexperiments und
A, B Í W seien zwei beliebige Ereignisse.
Gesetze der
Mengenalgebra
A = W\A
A ÇA ={
A=A
A \ B = A ÇB
Gesetze von De Morgan
A ÇB = A È B
A ÈB = A Ç B
Unvereinbarkeit
A ÇB = {
Ereigniswahrscheinlichkeiten
P({ }) = 0
Satz von Sylvester
P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)
Bedingte
Wahrscheinlichkeit
PA (B ) =
Unabhängigkeit
von zwei Ereignissen
PA (B ) = P (B ) oder P ( A Ç B ) = P ( A ) × P (B )
Fakultät
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 2 × 1
}
Û
}
A und B heißen unvereinbar.
P(W) = 1
P(A) = 1 – P(A)
P( A Ç B)
P( A )
Û A und B sind stochastisch unabhängig.
Der Wert n! gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt,
n unterscheidbare Elemente in einer Reihe anzuordnen.
Binomialkoeffizient
Laplace-Experiment
n × (n - 1 ) × ... × (n - k + 1 )
ænö
n!
ç k ÷ = k! × n - k ! =
k!
( )
è ø
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit n Elementen Teilmengen mit k Elementen zu bilden.
Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment,
bei dem alle Elementarereignisse des zugehörigen
Ergebnisraumes gleich wahrscheinlich sind.
|A|
Es gilt dann: P ( A ) =
|W|
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Ausbildungsrichtung Technik
Maßzahlen
von Zufallsgrößen
Die Zufallsgröße X nehme die Werte x 1 , x 2 , ... , xn
jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten p1 , p2 , ... , pn an.
Dann gilt:
· Erwartungswert
m = E( X ) =
n
å xi ×pi
i=1
= x1 × p1 + x2 × p2 + ... + xn × pn
· Varianz
Var ( X ) =
n
å ( xi - m ) 2×pi
i=1
=
( x1 - m ) 2 × p1 + ( x2 - m ) 2 × p2 + ... + ( xn - m ) 2 × pn
( )
Var ( X ) = E X2 - m2 (Verschiebungsregel)
· Standardabweichung
s = Var ( X )
Binomialverteilung
Eine Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der Treffer in einer
Bernoullikette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p.
Dann gilt:
· Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X
heißt Binomialverteilung.
· X heißt binomialverteilt, genauer B(n; p)-verteilt.
Ist eine Zufallsgröße X binomialverteilt nach B(n; p), so gilt:
ænö
n-k
· P(X = k) = B (n; p; k ) = ç ÷ × pk × (1 - p )
für k = 0, 1, ... , n
k
è ø
· Erwartungswert: E(X)
· Varianz:
Hypothesentest
= n ×p
Var(X) = n × p × ( 1 - p )
Beim Testen der Nullhypothese H0 in einem Signifikanztest
mit Signifikanzniveau a können zwei Fehler auftreten:
· Fehler 1. Art: H0 wird abgelehnt, obwohl sie wahr ist.
· Fehler 2. Art: H0 wird angenommen, obwohl sie falsch ist.
Das Signifikanzniveau α des Tests ist die größtmögliche
noch akzeptierte Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art.
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Ausbildungsrichtung Technik
4 Geometrie
Flächengeometrie
A: Flächeninhalt
U: Umfang
Allgemeines Dreieck
1
A = × g ×h
2
Gleichseitiges Dreieck
Kreis
Trapez
a+c
A=
×h
2
U = 2 × r ×p
A = r2 × p
Raumgeometrie
V: Volumen
G: Grundfläche
M: Mantelfläche
O: Oberfläche
Prisma
a2
A= × 3
4
a
h= × 3
2
Pyramide
1
V = × G ×h
3
V = G×h
Gerader Kreiszylinder
V = r 2 × p ×h
M = 2 × r ×p ×h
Gerader Kreiskegel
1
V = × r2 × p× h
3
M = r × p×m
Geradengleichung
Kugel
4
V = × r3 × p
3
O = 4 × r2 × p
r r
r
g : x = a + l ×u
(Parameterform)
Ebenengleichung
r r
r
r
E : x = a + l ×u + m × v
(Parameterform)
E : a × x1 + b × x 2 + c × x 3 + d = 0
r r r
E : n o (x – a) = 0
x x x
E: 1 + 2 + 3 = 1
s
t u
(Koordinatenform)
(Normalenform)
(Achsenabschnittsform)
mit den Achsenschnittpunkten
S(s|0|0), T(0|t|0), U(0|0|u)
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Ausbildungsrichtung Technik
Skalarprodukt im IR3
Eigenschaften
und Anwendungen
des Skalarprodukts
æ a1 ö æ b1 ö
r r
a o b = çç a2 ÷÷ o çç b2 ÷÷ = a1 × b1 + a2 × b2 + a3 × b3
ç a ÷ çb ÷
è 3ø è 3ø
r r
r r
a ^ b Û a ob = 0
· zueinander senkrechte Vektoren:
r
r r
· Betrag eines Vektors:
|a| = a o a
r
r0 a
a = r
· Einheitsvektor:
|a|
r r
a ob
cos j = r r
· Winkel zwischen zwei Vektoren:
|a|×|b|
mit 0o £ j £ 180o
Vektorprodukt
Eigenschaften
und Anwendungen
des Vektorprodukts
Lineare
Unabhängigkeit
Besondere
Punkte
æ a1 ö æ b1 ö
æ a2 × b3 - a3 × b2 ö
r r
a ´ b = çç a2 ÷÷ ´ çç b2 ÷÷ = çç a3 × b1 - a1 × b3 ÷÷
ç a ÷ çb ÷
ç a ×b - a ×b ÷
è 3ø è 3ø
è 1 2 2 1ø
r
r
r r
· a ´ b steht senkrecht auf a und b .
r r
r r
· |a ´ b|= |a|×|b|×sin j mit 0o £ j £ 180o
· Maßzahl F des Flächeninhalts
des Dreiecks ABC:
1 uur uur
F = ×|AB ´ AC|
2
· Maßzahl V des Volumens der
dreiseitigen Pyramide ABCD:
1 uur uur uur
V = × AB o AC ´ AD
6
(
)
r r r
a, b, c Î IR 3 sind linear unabhängig.
Û
r
r
r r
Die Gleichung l × a +  × b + n × c = 0
Û
ist nur mit λ = μ = ν = 0 lösbar.
r r r
ao b´ c ¹ 0
(
)
Mittelpunkt M einer Strecke AB :
Schwerpunkt S eines Dreiecks ABC:
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uuur 1 uuur uur
OM = × OA + OB
2
uur 1 uuur uur uur
OS = × OA + OB + OC
3
(
(
)
)
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Ausbildungsrichtung Technik
5 Trigonometrische Grundlagen
Rechtwinkliges
Dreieck
Satz des Pythagoras: a2 + b2 = c2
Höhensatz: h2 = pq
Kathetensatz: a2 = cp ; b2 = cq
sin a =
Beziehungen
am Einheitskreis
Additionstheoreme
cos a =
b
c
tan a =
sin a
a
=
cos a
b
· P(xP |yP ) liegt auf dem Einheitskreis
Þ cos b = xP und sinb = yp
·
Trigonometrische
Beziehungen
a
c
b
b
=
p 180°
(sin j)2 + (cos j)2 = 1
sin( -j ) = - sin j
sin ( 90° - j ) = cos j
cos ( -j) = cos j
cos ( 90° - j ) = sin j
sin(2j) = 2 × sin j× cos j
j 2 1
(sin ) = × (1 – cos j)
2
2
cos(2j) = (cos j)2 – (sinj)2
j 2 1
(cos ) = × (1 + cos j)
2
2
sin(a +b) = sin a× cos b + cos a× sinb
cos(a + b) = cos a× cos b – sin a× sinb
sin a + sinb = 2 × sin
a+b
a -b
× cos
2
2
sin a - sinb = 2 × sin
a -b
a+b
× cos
2
2
2 × sin a × cos b = sin(a - b) + sin(a + b)
Die Merkhilfe stellt keine Formelsammlung im klassischen Sinn dar. Bezeichnungen
werden nicht erklärt und Voraussetzungen für die Gültigkeit der Formeln in der Regel
nicht dargestellt.
Stand der Merkhilfe: 11.09.2017
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