Algebraische Zahlentheorie — 2. ¨Ubung Aufgabe 1. Beweise für

Prof. Dr. Jörn Steuding
Institut für Mathematik, Universität Würzburg
24. Oktober 2014
Algebraische Zahlentheorie — 2. Übung
Aufgabe 1. Beweise für das n-te Kreisteilungspolynom φn ∈ Q[X] die Formeln
Y
Y
(X d − 1)µ(n/d) ,
φd
und
φn =
Xn − 1 =
d|n
d|n
wobei die Möbiussche µ-Funktion n 7→ µ(n) definiert ist durch µ(1) = 1 sowie µ(n) =
0, falls p2 | n für eine Primzahl p, und µ(n) = (−1)ν , falls n das Produkt von ν vielen
verschiedenen Primzahlen ist. Gebe ferner ein Kreisteilungspolynom an, welches mindestens
einen Koeffizienten verschieden von 0, ±1 besitzt.
Aufgabe 2. Beweise folgende Formel von Carlitz: Für paarweise verschiedene komplexe
Zahlen mit xyz = 1 gilt
X
n
(i + j + k)!
(−1)j
(x + y + z)i (xy + yz + zx)j = xn + y n + z n .
i
+
j
+
k
i!j!k!
i,j,k≥0
i+2j+3k=n
Entwickele eine entsprechende Formel für den Ausdruck xn + y n unter der Voraussetzung
xy = 1.
Aufgabe 3. Beweise den Satz von Kronecker: Ist K ein Zahlkörper der Signatur {r1 , , r2 },
so ist das Vorzeichen der Diskriminante ∆K gleich (−1)r2 . Gib’ jeweils eine kubische Erweiterung K/Q an mit positiver bzw. negativer Diskriminante.
Aufgabe 4. Es seien α, β ganzalgebraisch. Zeige, dass dann auch jede Wurzel von
X 2 + αX + β = 0
ganzalgebraisch ist. Verallgemeinere diese Beobachtung!
Aufgabe 5. i) Am 25. Oktober 1811, also morgen vor 203 Jahren, wurde Évariste Galois
geboren. Gebe eine galoische Erweiterung an, deren Galois-Gruppe die Ordnung 203 besitzt.
ii) Zeige: Genau dann, wenn m und n teilerfremde natürliche Zahlen sind, gilt Q(ζm , ζn ) =
Q(ζmn ), wobei ζk := exp 2πi
k .
Aufgabe 6. Finde sämtliche Lösungen in natürlichen Zahlen n, x der Ramanujan-NagellGleichung:
X 2 + 7 = 2n .
Aufgabe
7. Bestimme Diskriminante und eine Ganzheitsbasis des kubischen Zahlkörpers
√
Q( 3 2).
Alle Bearbeitungen sind ausreichend zu begründen. Verwendet werden dürfen lediglich Ergebnisse, die bereits in der Vorlesung oder auf vorangegangenen Übungsblättern dieser Veranstaltung behandelt wurden. Für den Scheinerwerb ist das Vortrechnen einer Aufgabe
notwendig; alternativ ist eine Klausur zu schreben. Auf alle Fälle ist es sinnvoll, Aufgaben
zu bearbeiten!
Viel Spaß!
Ein schönes Thema für eine Masterarbeit wäre, sich dem Thema Origami mit dem Werkzeugkasten der Algebra und algebraischen
Zahlentheorie zu nähern: Eine schöne Bache√
lorarbeit, die u.a. zeigt, dass 3 2 faltbar ist, findet sich auf http://www.mathematik.uniwuerzburg.de/∼steuding/sonstiges.html. Wie man mittels Origami polynomielle Gleichungen
beliebigen Grades lösen kann, behandeln José Ignacio Royo Prieto und Eulália Tramuns in
Abelian and non-Abelian numbers via 3D Origami (siehe arXiv:1408.0880).