1 stetigkeit und konvergenz von funktionen in abstrakten räumen

1 STETIGKEIT UND KONVERGENZ VON
FUNKTIONEN IN ABSTRAKTEN RÄUMEN
1.1 METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME
1.1.1 METRISCHE RÄUME
(1) DEFINITION: Es sei X eine Menge. Jede Funktion
d : X × X 3 (x, y) → d(x, y) ∈ [0, +∞[,
die für x, y, z ∈ X
(M 1) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,
(M 2) d(x, y) = d(y, x),
(M 3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y),
(Dreiecksungleichung)
erfüllt, heiÿt Abstandsfunktion oder Metrik auf X .
Für x, y ∈ X wird dann d(x, y) als Abstand von x und y bezeichnet.
Ist d eine Metrik auf X , so heiÿt das Paar (X, d) metrischer Raum.
Besteht kein Zweifel im Hinblick auf die verwendete Metrik, so spricht man auch vom
metrischen Raum X .
(2) BEISPIELE:
(i) Es sei X eine beliebige Menge. Dann deniert

 0 , (x = y)
d : X × X 3 (x, y) → d(x, y) :=
 1 , (x 6= y)
eine Metrik auf X . Sie wird als die diskrete Metrik auf X und X mit dieser Metrik als
der diskrete metrische Raum X bezeichnet.
(ii) Auf der Menge der reellen Zahlen IR wird mit Hilfe der Betragsfunktion
| . | : IR 3 x → | x | ∈ [0, +∞[
durch
d : IR × IR 3 (x, y) → d(x, y) := | x − y | ∈ [0, +∞[
eine Metrik deniert. Betrachten wir IR als metrischen Raum, so meinen wir - sofern nichts
anderes gesagt ist - stets diese natürliche (kanonische) Metrik auf IR.
1
(iii) In völliger Analogie zu (ii) wird auf der Menge der komplexen Zahlen C
I mit Hilfe
der Betragsfunktion
|.| : C
I 3 z → |z| =
√
z·z =
p
(Re z)2 + (Im z)2 ∈ [0, +∞[
durch
d : C
I ×C
I 3 (z1 , z2 ) → d(z1 , z2 ) := | z1 − z2 | ∈ [0, +∞[
eine Metrik deniert. Betrachten wir C
I als metrischen Raum, so meinen wir - sofern nichts
anderes gesagt ist - stets diese natürliche (kanonische) Metrik auf C
I.
(iv) Für x ∈ IR = IR ∪ {+∞, −∞} denieren



1




x
ϕ(x) :=

1 + |x|




 −1
wir
, (x = +∞),
, (x ∈ IR),
, (x = −∞).
Oenbar ist ϕ : IR → IR streng monoton wachsend, also insbesondere injektiv, und es gilt
Wϕ = [−1, 1]. Mit Hilfe von ϕ deniert dann
d : IR × IR 3 (x, y) → d(x, y) := | ϕ(x) − ϕ(y) | ∈ [0, +∞[
eine Metrik auf IR. Man bezeichnet diese als die von ϕ auf IR induzierte Metrik.
(3) BEMERKUNG, DEFINITION: Es sei (X, d) ein beliebiger metrischer Raum und
Y ⊂ X eine beliebige Teilmenge. Dann liefert die Einschränkung
d |Y ×Y : Y × Y 3 (x, y) → d(x, y) ∈ [0, +∞[
eine Metrik auf Y . Wir sprechen von der durch d auf Y induzierten Metrik und bezeichnen sie meistens wieder mit d. (Y, d) - bzw. kürzer Y - wird dann als Teilraum von
(X, d) - bzw. X - bezeichnet.
(4) BEMERKUNG, DEFINITION: Es seien (X, d) ein metrischer Raum, Y eine beliebige
Menge und
ϕ : Y → X injektiv.
2
Dann deniert
˜ y) := d(ϕ(x), ϕ(y)) ∈ [0, +∞[
d˜ : Y × Y 3 (x, y) → d(x,
eine Metrik auf Y . Man nennt d˜ die von ϕ auf Y induzierte Metrik.
Spezialfälle von (4) sind oenbar (3) mit ϕ = idY sowie (2) (iv).
(5) BEMERKUNG, DEFINITION:
Es seien n ∈ IN∗ und (Xj , dj ), (j = 1, . . . , n) metrische Räume. Wir betrachten das
kartesische Produkt
n
X̂ :=
×X
j=1
j
©
ª
:= (xj )nj=1 | xj ∈ Xj , (j = 1, . . . , n) .
Für x = (xj )nj=1 , y = (yj )nj=1 ∈ X̂ wird dann durch
ˆ y) := max{dj (xj , yj ) | j = 1, . . . , n}
d(x,
ˆ als den Produktraum bzw. das
eine Metrik dˆ auf X̂ deniert. Man bezeichnet (X̂, d)
Produkt der metrischen Räume (Xj , dj ) , (j = 1, . . . , n).
Im Fall, daÿ (Xj , dj ) = (X, d), (j = 1, . . . , n) gilt, bezeichnet man den entsprechenden
Produktraum X̂ =: X n (mit der Metrik dˆ) als das n- fache Produkt von X .
Die wichtigsten Spezialfälle sind die Produkträume IRn und C
I n , wobei IR und C
I mit den
jeweiligen kanonischen Metriken aus (2) (ii) bzw. (iii) versehen sind.
1.1.2 NORMIERTE VEKTORRÄUME
Die wichtigsten Räume, mit denen man es in der Analysis zu tun hat, sind die normierten
Vektorräume.
(6) DEFINITION, BEMERKUNG: Es sei X ein Vektorraum über dem Körper IK der
reellen oder der komplexen Zahlen. Kurz: X IK-VR mit IK = IR oder IK = C
I.
(i) Jede Funktion
| . | : X 3 x → | x | ∈ [0, +∞[,
3
die für x, y ∈ X und λ ∈ IK
(N 1) | x | = 0 ⇐⇒ x = 0,
(N 2) | λ x | = | λ | | x | ,
(N 3) | x + y | ≤ | x | + | y | ,
(Dreiecksungleichung)
erfüllt, heiÿt Norm auf X .
(ii) Ist | . | eine Norm auf X , so heiÿt das Paar (X, | . |) normierter Vektorraum, kurz auch
normierter Raum.
Besteht kein Zweifel im Hinblick auf die verwendete Norm, so spricht man auch vom
normierten Vektorraum X .
(iii) Ist (X, | . |) normierter Vektorraum, so deniert
d(x, y) := | x − y | ,
(x, y ∈ X)
eine Metrik auf X , die X in natürlicher Weise zu einem metrischen Raum macht. d wird
auch als kanonische Metrik des Vektorraumes X bezeichnet.
(7) BEISPIELE, BEMERKUNGEN, DEFINITIONEN:
(i) Die Betragsfunktion auf (dem IR-Vektorraum) IR ist eine Norm. Die gemäÿ (6) (iii)
induzierte Metrik ist dann gerade die kanonische Metrik auf IR aus (2) (ii).
Entsprechendes gilt für C
I . Dabei kann man C
I als C
I -Vektorraum oder auch als IR-Vektorraum
betrachten.
(ii) Ist (X, | . |) ein normierter Vektorraum und Y ⊂ X ein Untervektorraum (kurz UVR),
so liefert die Einschränkung von | . | auf Y eine Norm auf Y , die wir im allgemeinen wieder mit dem gleichen Symbol | . | bezeichnen. (Y, | . |) - bzw. kürzer Y - wird dann als
Teilraum von (X, | . |) - bzw. X - bezeichnet.
(iii) Es seien IK = IR oder IK = C
I und n ∈ IN∗ .
Für j = 1, . . . , n seien (Xj , | . |) normierte Vektorräume über IK. (Wir wollen der Einfachheit halber die jeweiligen Normen auf den verschiedenen Räumen Xj mit dem gleichen
Symbol | . | bezeichnen.)
Wir betrachten das kartesische Produkt X̂ :=
×
n
j=1
Xj , welches bekanntlich auf natürliche
Weise ein IK-Vektorraum wird, wenn man Addition und skalare Multiplikation koordina4
tenweise deniert:
(xj )nj=1 + (yj )nj=1 := (xj + yj )nj=1 ,
λ · (xj )nj=1 := (λ · xj )nj=1 .
Für x = (xj )nj=1 ∈ X̂ wird dann durch
| x | := max{| xj | | j = 1, . . . , n}
eine Norm auf X̂ deniert, die sogenannte Maximum-Norm. Man bezeichnet X̂ mit
dieser Norm als den Produktraum bzw. kurz als das Produkt der normierten Räume
Xj (j = 1, . . . , n).
Im Fall, daÿ X = Xj , (j = 1, . . . , n) gilt, bezeichnet man den Vektorraum X̂ = X n mit
der Maximum-Norm als das n-fache Produkt von X .
Wichtiger Spezialfall ist der Vektorraum IKn mit der Maximum-Norm.
Wir wollen auf den Vektorräumen IKn weitere Normen betrachten.
(8) DEFINITION, BEMERKUNG:
Es seien IK = IR oder IK = C
I und n ∈ IN∗ . Weiter sei p ∈ [1, +∞].
(i) Für x = (xi )ni=1 ∈ IKn denieren wir mit Hilfe der Betragsfunktion auf IK
 Ã
!1/p
n
X


p

| xi |
, (1 ≤ p < ∞),
| x |p :=
i=1



max{| xi | | i = 1, . . . , n} , (p = ∞).
(ii) Es sei q ∈ [1, +∞] mit 1/p + 1/q = 1, wobei 1/ + ∞ = 0 vereinbart ist.
Dann gilt für x = (xi )ni=1 , y = (yi )i=1 ∈ IKn
¯
¯
n
n
¯X
¯ X
¯
¯
xi yi ¯ ≤
| xi | | yi | ≤ | x |p | y |q .
¯
¯
¯
i=1
i=1
Man bezeichnet die letzte Ungleichung als HÖLDERSCHE UNGLEICHUNG.
(iii) | . |p ist eine Norm auf dem IKn , welche man als p-Norm auf dem IKn bezeichnet.
Die Dreiecksungleichung für | . |p im Fall p ∈]1, +∞[ wird auch als MINKOWSKISCHE
UNGLEICHUNG bezeichnet.
(iv) Es seien 1 ≤ p < q ≤ +∞ . Dann gilt für x ∈ IKn
| x |q ≤ | x |p ≤ n1/p | x |∞ .
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Abschliessend betrachten wir normierte Vektorräume X , deren Norm durch ein Skalarprodukt erzeugt wird.
(9) DEFINITION, BEMERKUNG:
Es sei X ein Vektorraum über dem Körper IK = IR oder IK = C
I.
Eine Abbildung
< ·, · > : X × X 3 (x, y) →< x, y >∈ IK
heiÿt Skalarprodukt oder inneres Produkt auf X , wenn für alle x, y, z ∈ X und alle
α, β ∈ IK die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
(SP1) < x, x > ∈ [0, +∞[ und < x, x > = 0 ⇐⇒ x = 0
(SP2) < αx + βy, z > = α < x, z > +β < y, z >

 < y, x > , falls IK = IR
(SP3) < x, y > =
 < y, x > , falls IK = C
I
Ein Vektorraum X , versehen mit einem Skalarprodukt < ·, · >, heiÿt Innenproduktraum
und wird mit (X, < ·, · >) bezeichnet. Ist aus dem Zusammenhang klar, um welches Skalarprodukt es sich handelt, schreiben wir meist einfach X anstelle von (X, < ·, · >).
Eine Abbildung < ·, · > : X × X → IK mit der Eigenschaft (SP1) bezeichnet man als
positiv denit. (SP2) beinhaltet, daÿ < ·, · > in der ersten Variablen linear ist. (SP3)
besagt im reellen Fall IK = IR, daÿ < ·, · > symmetrisch ist. Im komplexen Fall IK = C
I
bezeichnet man < ·, · > mit (SP3) als hermitesch. Aus (SP2) und (SP3) folgt im reellen
Fall, daÿ < ·, · > auch in der zweiten Variablen linear und damit insgesamt bilinear ist.
Im komplexen Fall hat man stattdessen
< z, αx + βy > = α < z, x > +β < z, y > ,
d.h., für jedes feste z ∈ X ist die Abbildung < z, · >: X 3 x →< z, x >∈ IK konjugiert
linear. Insgesamt bezeichnet man dann < ·, · > als sesquilinear.
Mit diesen Bezeichnungen können wir kurz sagen:
Ein Skalarprodukt ist eine positiv-denite symmetrische Bilinearform auf X , falls X ein
reeller Vektorraum ist, bzw. eine positiv denite hermitesche Sesquilinearform auf X , falls
X ein komplexer Vektorraum ist.
6
(10) BEISPIEL:
(i) Mit IK = IR oder IK = C
I und n ∈ IN∗ sei der Vektorraum IKn betrachtet.
Durch
< x, y > :=
 n
P


xj y j

, falls IK = IR



, falls IK = IR
j=1
n
P
xj y j
j=1
¡
x = (xj )nj=1 , y = (yj )nj=1 ∈ IKn
¢
wird ein Skalarprodukt auf dem IKn deniert. Man bezeichnet dieses als das kanonische
oder als das euklidische innere Produkt auf dem IKn . Unter dem euklidischen Vektorraum
IKn versteht man den IKn versehen mit dem obigen Skalarprodukt.
(ii) Mit a, b ∈ IR, a < b sei der IR-Vektorraum X = C([a, b]; IR) betrachtet.
Durch
Zb
< f, g > :=
f (t) g(t) dt ,
( f , g ∈ C([a, b]; IR))
a
wird ein Skalarprodukt auf C([a, b]; IR) deniert.
Wir wollen zeigen, daÿ mit Hilfe eines Skalarproduktes < ·, · > : X × X → IK durch
| x | :=
√
< x, x > ,
(x ∈ X)
eine Norm auf X deniert wird. Als wichtige Vorbereitung dient
(11) SATZ: (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung)
Es sei (X, < ·, · >) ein Innenproduktraum. Dann gilt für x, y ∈ X
| < x, y > |2 ≤ < x, x > < y, y > ,
wobei Gleichheit genau dann eintritt, wenn x und y linear abhängig sind.
(12) SATZ, DEFINITION :
Es sei (X, < ·, · >) ein Innenproduktraum. Dann wird durch
| x | :=
√
< x, x > ,
(x ∈ X)
eine Norm auf X deniert.
Man bezeichnet | · | als die vom Skalarprodukt < ·, · > induzierte Norm.
Hiermit lautet die Schwarzsche Ungleichung
| < x, y > | ≤ | x | | y | ,
7
(x, y ∈ X) .
Jeder Innenproduktraum (X, < ·, · >) ist gemäÿ Satz (12) in kanonischer Weise ein normierter Vektorraum. Sofern nichts anderes gesagt ist, versehen wir X stets mit der von
< ·, · > induzierten Norm.
Eine von einem Skalarprodukt induzierte Norm wird auch als Hilbertnorm bezeichnet.
Wir betrachten noch einmal das besonders wichtige Beispiel des euklidischen Vektorraumes IKn .
(13) BENMERKUNG: Es seien IK = IR oder IK = C
I und n ∈ IN∗ .
Für x = (xj )nj=1 ∈ IKn gilt dann
|x| =
√
Ã
< x, x > =
n
X
! 21
| x j |2
j=1
wobei | · |2 die in (8) für p = 2 denierte Norm ist.
8
= | x |2 ,