Näherungsmethoden

Näherungsmethoden
Tutoren:
Jinming Lu, Konrad Schönleber
19.02.09
Nur wenige quantenmechanische Probleme (z.B. der harmonische Oszillator
dieser ist jedoch oft selbst eine Näherung) lassen sich exakt lösen, es ist somit
nötig verschiedene Näherungsmethoden zu verwenden.
In dieser Vorlesung werden wir drei Näherungsmethoden betrachten, die verschiedene Problemstellungen abdecken.
Mit der Störungstheorie kann man Probleme behandeln, bei denen sich der
Hamiltonoperator nur um einen kleinen Zusatzterm von einem exakt lösbaren
Hamiltonoperator unterscheidet.
Die Variationsmethode kann verwendet werden, wenn das Aussehen der Wellenfunktion bereits ungefähr bekannt ist. Man variiert dann einen Parameter und
optimiert damit das Ergebnis. Man verwendet die Variationsmethode meist zur
Bestimmung der Grundzustandsenergie.
Die WKB-Näherung schließlich ist eine sogenannte semi-klassische Näherungsmethode
und kann in (1d-)Systemen verwendet werden in denen die kinetische Energie
viel größer als die potentielle Energie ist.
1
Störungstheorie
In der Störungstheorie sind zwei grundsätzlich verschiedene Fälle zu unterscheiden.
Die zeitunabhängige Störungstheorie beschäftigt sich mit der Veränderung der
bekannten Eigenzustände und der entsprechenden Energien.
Im Gegensatz dazu macht man mit Hilfe der zeitabhängigen Störungstheorie
Aussagen über die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den ungestörten
Zuständen unter Einfluss der Störung.
1.1
Zeitunabhängige Störungstheorie
Wir nehmen folgenden Hamiltonoperator an:
b =H
b 0 + λH
b1
H
b 0 ein exakt lösbarer Hamiltonoperator mit H|n
b 0 i = En0 |n0 i und λH
b1
wobei H
ein kleiner Störterm sind.
Wir betrachten zunächst den Fall energetisch nicht entarteter Zustände, d.h. zu
jedem En0 gibt es nur genau einen Eigenzustand |n0 i.
b1
Weiterhin nehmen wir hier an, dass λ klein ist und die Erwartungswerte von H
b 0 liegen.
höchstens in der selben Größenordnung wie die von H
1
Die grundlegende Annahme ist nun, dass jeder ungestörten Eigenzustand
|n0 i durch die Störung in einen Zustand des gestörten Systems |ni überführt
wird.
Es gilt also:
limλ→0 |ni = |n0 i
Wir entwickeln nun den gesuchten Eigenzustand des gestörten Systems |ni in
Eigenzustände des ungestörten Systems:
X
dm0 |m0 i
|ni = cn0 |n0 i +
m0 6=n0
Wir sehen:
hn|ni = 1 ⇒ |cn0 |2 +
X
|dm0 |2 = 1
m0 6=n0
Da die Eigenzustände des ungestörten Systems eine Orthonormalbasis bilden,
gilt näherungsweise (linear in λ) wegen limλ→0 |ni = |n0 i:
cn0 = 1 und dm0 = O(λ)
Nun betrachten wir mit einem beliebigen ungestörten Eigenzustand |l0 i =
6 ||n0 i:
b − En )|ni = 0
(H
b − En )|ni = dl (El − En ) + λhl0 |H
b 1 |n0 i + λ
⇒ hl0 |(H
0
0
X
b 1 |m0 i = 0
dm0 hl0 |H
m0 6=n0
2
Der dritte Term ist ∝ λ und kann daher in linearer Näherung vernachlässigt
werden.
Wir erhalten also Näherung:
d l0 = λ
b 1 |n0 i
hl0 |H
+ O(λ2 )
En − E l0
Damit können wir nun den Zustand |ni aufschreiben:
|ni = |n0 i + λ
X hm0 |H
b 1 |n0 i
|m0 i + O(λ2 )
En − Em0
m0 6=n0
Die Eigenenergien erhalten wir über:
b − En )|ni = (En − En ) + λhn0 |H
b 1 |n0 i + λ
hn0 |(H
0
X
b 1 |m0 i = 0
dm0 hn0 |H
m0 6=n0
b 1 |n0 i + λ2
⇒ En = En0 + λhn0 |H
X |hn0 |H
b 1 |m0 i|2
+ O(λ3 )
En0 − Em0
m0 6=n0
Wir erkennen sofort die Energiekorrekturen 1. und 2.Ordnung.
2
Wir wollen nun noch die mögliche energetische Entartung der ungestörten
Zustände berücksichtigen (z.B. Wasserstoffatom).
Es folgt hier nun keine lange Herleitung, sondern nur ein plausibles Ergebnis.
Es gelte:
b 0 |ni i = En
H
0
0
Wir schreiben nun:
|ni =
X
αi |ni0 i + λ
X hm0 |H
b 1 |n0 i X
βi |mi0 i + O(λ2 )
En0 − Em0 i
m0 6=n0
i
Wir betrachten Energiekorrekturen nun nur noch linear in λ und können den
letzten Term vernachlässigen:
X
|αi |2 = 1 ⇒
i
b
hn|H|ni
=
X
|αi |2 En0 +λ
i
i
|
XX
{z
=En0
b 1 |ni0 i
a∗j ai hnj0 |H
j
}
Damit gilt für die Energiekorrektur 1.Ordnung in λ:
X
b
b 1 |ni0 i
αj (hn|H|ni
− En0 ) = λ
αi hnj0 |H
i
Mit dieser Formel kann man die Energiekorrekturen 1.Ordnung in λ berechnen.
1.2
Zeitabhängige Störungstheorie
Nun gehen wir davon aus, dass wir zu einem ungestörten System mit zeitunb 0 zur Zeit t = t0 eine Störung V (t) hinzuschalabhängigem Hamiltonoperator H
ten.
ih̄∂t |Ψ(t)i = (H0 + Θ(t − t0 )V (t))|Ψ(t)i
Mit der Anfangbedingung: |Ψ(t)i = |Ψ0 (t)i falls t ≤ t0
Wir wechseln in das sog. Wechselwirkungsbild (Dirac-Bild), um die Zeitentwicklung verursacht durch den Operator H0 loszuwerden und nur noch die durch das
hinzugeschaltete Potential verursachte Zeitentwicklung zu berücksichtigen.
Wir definieren dazu:
|Ψ(t)iI = eiH0 t/h̄ |Ψ(t)i
Wir leiten dies nach der Zeit ab und setzen die Schrödingergleichung ein:
ih̄∂t |Ψ(t)iI = −H0 |Ψ(t)iI + eiH0 t/h̄ (H0 + V (t))|Ψ(t)i
⇒ ih̄∂t |Ψ(t)iI = eiH0 t/h̄ V (t)e−iH0 t/h̄ |Ψ(t)iI
|
{z
}
:=VI (t)
Wir schreiben nun diese Gleichung in der Integraldarstellung:
Z
1 t
|Ψ(t)iI = |Ψ(t0 )iI +
VI (t0 )|Ψ(t0 )iI dt0
ih̄ t0
3
Wir führen nun Picard Iteration bis zur ersten Ordnung (Übergänge erster Ordnung) aus und erhalten:
Z
1 t
VI (t0 )|Ψ(t0 )iI dt0
|Ψ(t)iI = |Ψ(t0 )iI +
ih̄ t0
Nun nehmen wir an, der ungestörte Hamiltonoperator H0 habe die Energieeigenzustände |n(t)i =: e−iH0 t/h̄ |ni mit den Energieeigenwerte En .
Wir wollen nun die Übergangswahrscheinlichkeit 1.Ordnung vom Zustand |ni
in den Zustand |mi berechnen.
Die Übergangsamplitude ist:
hm(t)|Ψ(t)i = hm|eiH0 th̄ |Ψ(t)i = hm|Ψ(t)iI
Der Anfangszustand ist wenig überraschend:
|Ψ0 (t0 )iI = |Ψ(t0 )iI = eiH0 t/h̄ |n(t)i = |ni
Wir erhalten also:
|Ψ(t)iI = |ni +
1
ih̄
Z
t
VI (t0 )|nidt0
t0
Damit ergibt sich die Übergangsamplitude zu:
1
hm(t)|Ψ(t)i = hm|Ψ(t)iI = hm|ni +
| {z } ih̄
Z
t
hm|VI (t0 )|nidt0 =
t0
=δmn
= δmn +
1
ih̄
Z
t
0
ei(Em −En )t /h̄ hm|V (t0 )|nidt0
t0
Die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen verschiedenen Zuständen ist also:
2
Z
1 t i(Em −En )t0 /h̄
e
hm|V (t0 )|nidt0 Pnm (t) = |hm(t)|Ψ(t)i|2 = 2 h̄
t0
1.2.1
Fermis Goldene Regel
Wir betrachten nun den Fall einer eingeschalteten, konstanten Störung.
V (t) = Θ(t)V0
Wir werden sehen, dass Übergänge 1.Ordnung hier nur in einem Kontinuum
von Zuständen möglich sind.
Es gilt nämlich:
Z
2
1 t i(Em −En )t0 /h̄
0
Pnm (t) = 2 e
hm|V |nidt h̄
0
Es folgt mit ωmn :=
Pnm (t) =
1
h̄2
Em −En
:
h̄
iω t
2
e mn − 1
= 1 sin(ωmn t/2) |hm|V |ni|2
hm|V
|ni
ωmn
ωmn /2
h̄2
4
mn t/2)
= 2πtδ(ωmn )
Für ausreichend große Zeiten gilt: sin(ω
ωmn /2
Damit folgt:
2πt
Pnm =
δ(Em − En )|hm|V |ni|2
h̄
Für die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeit gilt demnach:
Γnm =
2π
δ(Em − En )|hm|V |ni|2
h̄
In einem Kontinuum von Zuständen sind somit Übergänge möglich, dort gilt
mit der Zustandsdichte ρ(Em ):
Z
X
2π
Γnm = ρ(Em )Γnm dEm = ρ(Em ) |hm|V |ni|2
h̄
n
2
Variationsmethode
Die Variationsmethode ist gut geeignet die Energie des Grundzustandes eines
komplizierten Systems zu finden.
Seien |ni die Eigenzustände des Hamiltonoperators H, dann folgt für einen
beliebigen |Ψi:
X
X
X
hΨ|H|Ψi =
hn|Ψihn|H|Ψi =
En |hn|Ψi|2 ≥ E0
|hn|Ψi|2 = E0 hΨ|Ψi
n
n
⇒ E0 ≤
n
hΨ|H|Ψi
hΨ|Ψi
Wir müssen also zu einem gegebenen Problem zunächst eine sinnvolle, von einem
Parameter abhängige Wellenfunktion finden und diese dann minimieren.
Die Energie wird dabei sehr genau bestimmt. Um dies einzusehen betrachten
wir einen Zustand, der vom exakten Zustand minimal abweicht:
|Ψi = |Ψ0 i + |i
p
mit h|i klein.
Dann folgt:
hΨ|H|Ψi
En + h|H|i
=
= En + O(h|i)
hΨ|Ψi
hn|ni + h|i
3
WKB-Näherung
Die WKB-Näherung kann besonders gut für 1d-Probleme mit hoher kinetischer
Energie verwendet weren, also z.B. bei der Streuung hochenergetischer Teilchen
an einem Target.
Wir gehen hierbei davon aus, dass die de-Broglie-Wellenlänge λ = 2πh̄
nur
h̄
langsam im Bereich des Potentials variiert.
Die Methode ist halbklassisch, d.h. wir gehen zwar von der Schrödingergleichung
aus, setzen aber einen klassischen Impuls ein:
p
p(x) := 2m(E − V (x))
5
Die Schrödingergleichung erhält damit die Form:
∂x2 Ψ(x) +
p2 (x)
Ψ(x) = 0
h̄2
Die Änderung des klassischen Impulses ist nur schwach im betrachteten Bereich:
h̄|∂x p(x)| << |p(x)|2
Wir setzen nun für Ψ(x) mit einer einfachen Exponetialfunktion an:
i
Ψ(x) = e h̄ S(x)
S hat diesselbe Dimension wie h̄, nämlich die einer Wirkung.
Wir entwickeln nun S in eine Reihe über h̄:
S(x) = W (x) +
h̄
W1 (x) + O(h̄2 )
i
Aus der Schrödingergleichung folgt nun:
2
ih̄S 00 (x)Ψ(x) − S 0 (x)Ψ(x) = −p2 (x)Ψ(x)
⇒ (W 0 )2 − ih̄(W 00 + 2W10 W 0 ) + O(h̄2 ) = p2
Aufgrund der Forderung h̄|∂x p(x)| << |p(x)|2 vernachlässigen wir die O(h̄2 )
Term und es gilt näherungsweise:
W 00 + 2W10 W 0 = 0
1
d
ln(W 0 )− 2
dx
Weiterhin folgt aus dem Wegfall der O(h̄) Terme:
Z
W (x) = ± p(x0 )dx0
⇒ W10 =
x
Wir fassen nun also zusammen:
1
W1 (x) = ln(W 0 (x))− 2 ⇒ eW1 (x) = p
1
p(x)
Z
1
1
⇒ Ψ(x) = p
exp ± p(x0 )dx0 =: p
e±iw(x)
2
p (x)
p2 (x)
x
Im klassisch erlaubten Bereich E ≥ V (x) liefert dies oszillierende und im klassisch verbotenen Bereich exponentiell fallende Lösungen.
6