Ubungen zur Theoretischen Physik Ib (Elektrodynamik)

Universität Regensburg, Institut für Theoretische Physik
WS 2014/15
Gunnar Bali, Gergely Endrődi, Benjamin Gläßle, Davide Mantelli, Christian Zimmermann
Übungen zur Theoretischen Physik Ib (Elektrodynamik)
Blatt 12 (vorzurechnen am 13.1. oder 14.1.)
Aufgabe 44
In Aufgabe 42 wurde das Magnetfeld einer mit einer Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden homogen mit einer Ladung q geladenen Kugel des Radius R berechnet. Das
Magnetfeld lautet für r > R
B(r) =
ωqR2
[3(er · ez )er − ez .]
20πr3
a) Berechnen Sie das elektrische Feld innerhalb und außerhalb der Kugel.
b) Berechnen Sie die Energiedichte
(r) =
1 2
E + B2
2
des elektromagnetischen Feldes außerhalb der Kugel.
c) Berechnen Sie den Poyntingvektor
S(r) = cE × B
außerhalb der Kugel.
d) Überprüfen Sie das Poynting-Theorem
∂
+ ∇ · S = −j · E
∂t
durch Integration über das Volumen der Kugel. Laut Aufgabe 41 ist die Stromdichte gegeben durch j(r, θ, ϕ) = rω sin θ/V θ(R − r) eϕ .
e) Der Poyntingvektor entspricht einer Energiestromdichte (Leistung pro Fläche).
Integrieren Sie S über eine Kugeloberfläche des Radius r > R. Verliert die rotierende Kugel Energie?
1
Aufgabe 45
Wir betrachten folgende Wellen im Vakuum (r = xex + yey + zez , k, ω > 0. C ist eine
Konstante der Dimension Kraft pro Ladung):
ex + ez
√
C cos(kz − ωt) ,
2
ex − ez
E(2) (r, t) = √
C cos(ky + ωt) ,
2
C
B(3) (r, t) = √ [sin(kz − ωt)ex + 2 cos(kz − ωt)ey ] ,
5
C
E(4) (r, t) = √ [cos(ky − ωt)ex − 2 sin(ky − ωt)ey ] .
5
B(1) (r, t) =
a) Welche der Wellen kommen nicht als elektromagnetische Wellen in Frage? Weshalb nicht?
b) In welche Richtungen (auf Vorzeichen achten) breiten sich die verbleibenden Wellen jeweils aus?
c) Welche Art der Polarisation liegt jeweils vor?
d) Berechnen Sie für die elektromagnetischen Wellen jeweils die zugehörigen E(r, t)
bzw. B(r, t) Felder.
Hinweis: Für c) und d) kann eine Bestimmung der Polarisationsvektoren hilfreich sein.
Aufgabe 46
Wir betrachten ein eindimensionale Kristallmodell, bestehend aus Massen m an Positionen yn (t), n ∈ Z. Benachbarte Massen sind jeweils durch harmonische Federn
der Federkonstanten κ miteinander gekoppelt. In Ruhelage betragen die Abstände
zwischen den Massen jeweils a. Auslenkungen aus der Ruhelage bezeichnen wir mit
xn (t) = yn (t) − an.
a) Argumentieren Sie, dass das System durch die Lagrangefunktion
mX 2 κX
ẋn −
(xn+1 − xn )2
L(x, ẋ) =
2 n
2 n
beschrieben wird und leiten Sie die Euler-Lagrange-Gleichungen (ELG) her.
b) Die ELG lassen sich mit dem Separationsansatz xn (t) = Qk (t)eik na entkoppeln.
Lösen Sie die sich ergebende Bewegungsgleichung für die Qk (t).
c) Zeigen Sie, dass sich die allgemeine Lösung schreiben läßt als
Z ∞
dk
xn (t) =
Re A(k) ei(k na−ω(k)t) ,
−∞ 2π
2
wobei die Amplituden A(k) komplexwertige Funktionen sind. Leiten Sie die Dispersionsrelation ω(k) = cS |(2/a) sin(ka/2)| her. Welchen Wert hat die sog. Schallgeschwindigkeit cS ?
d) Wie lautet die Gruppengeschwindigkeit vG = dω/dk? Wie lautet die Phasengeschwindigkeit? Entwickeln Sie diese Geschwindigkeiten im Grenzfall großer Wellenlängen λ = 2π/k a bis zur zweiten nichtverschwindenden Ordnung. Welche
Dispersionsrelation ergibt sich in diesem Grenzfall kleiner ka?
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