1 Formelsammlung Schubfachprinzip: • Verteilt man n + 1 Kugeln

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Formelsammlung
Schubfachprinzip:
Verteilt man n + 1 Kugeln auf n Schubfächer, so gibt es ein Fach, wo mindestens
zwei Kugeln liegen.
Extremalprinzip:
Jede endliche nichtleere Menge A von reellen Zahlen hat ein kleinstes Element
min A und ein größ
tes Element max A:
Jede beliebige (also endliche oder unendliche) nichtleere Menge von natürlichen
Zahlen hat ein kleinstes Element. Ein größ
tes Element hat sie natürlich nicht
immer.
Invariantenmethode:
Eine Invariante ist eine Funktion, die sich im Laufe eines Prozesses (z.B. bei Anwendung bestimmter Operationen) nicht ändert. Ist diese Funktion für zwei Konstellationen unterschiedlich, so steht damit fest, dass man von einem dieser Zustände
den anderen nicht erreichen kann.
Anwendung geometrischer Abbildungen / Klassi…zierung / Verkettung.
Fixpunkte +
gleichsinnige Abbildung gegensinnige Abbildung
keine
Translation
Gleitspiegelung
ein
Drehung
-
eine Gerade
-
Achsenspiegelung
R2
Identitätsabbildung
-
Schwerpunkt:
Seien (Xk ; ak )k2f1;2;:::;Kg und (Xk ; bk )k2f1;2;:::;Kg zwei Punktmassensysteme mit den
gleichen Punkten X1 ; X2 ; :::; Xk , wobei die Massen ak 2 R; bk 2 R die Bedingungen
A=
K
X
k=1
ak 6= 0; B =
K
X
k=1
bk 6= 0 und M = A + B 6= 0
erfüllen. Ferner sei Sa der Schwerpunkt des Systems (Xk ; ak ) ; und Sb der Schwerpunkt des Systems (Xk ; bk ) : Wir bezeichnen mit S den Schwerpunkt der zwei
Punktmassen (Sa ; A) und (Sb ; B). Dann ist S der Schwerpunkt X des Punktmassensystems (Xk ; ak + bk )k2f1;2;:::;Kg ist.
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Ungleichungen.
Jensen: f sei konvex auf [a; b]. Dann gilt
für alle
j
f ( 1 x1 + ::: + n xn )
P
0 mit nj=1 j = 1.
1f
(x1 ) + ::: +
nf
(xn )
Rearrangement (Spezialfall): Seien a1 < a2 < ::: < an und b1 < b2 < ::: < bn
zwei endliche Folgen. Ferner sei bi1 ; bi2 ; :::; bin eine Permutation (Umordnung) der
Folge (bi ) : Die Summe
S = a1 bi1 + a2 bi2 + ::: + an bin
a) ist dann am grössten, wenn bi1 = b1 ; bi2 = b2 ; :::; bin = bn gilt (d. h. die Folgen
a1 ; a2 ; :::; an und bi1 ; bi2 ; :::; bin sind gleichgeordnet);
b) ist dann am kleinsten, wenn bi1 = bn ; bi2 = bn 1 ; :::; bin = b1 gilt (d. h. die
Folgen a1 ; a2 ; :::; an und bi1 ; bi2 ; :::; bin sind gegengeordnet).
AM-GM: Für positive aj ; j = 1; 2; :::; N; gilt
1
(a1 + ::: + aN )
N
p
N
a1 ::: aN :
Gleichheit tritt nur bei a1 = ::: = aN auf.
Young: Sei f monoton steigend und stetig auf dem Intervall [0; c] mit f (0) = 0,
' sei die inverse Funktion zu f (d.h. f (' ( )) = bzw. ' (f (t)) = t). Dann gilt
für jedes a 2 [0; c] und jedes b 2 [0; f (c)]:
ab
Z
0
a
f (t) dt +
Z
b
'( )d :
0
Gleichheit tritt nur bei b = f (a) auf. Insbesondere gilt
ab
af (a) + b' (b) :
Cauchy-Schwarz: Für alle a 2 RN und b 2 RN gilt
q
q
2
2
a1 + ::: + aN
b21 + ::: + b2N :
ja1 b1 + ::: + aN bN j
Gleichheit tritt genau dann, wenn die Vektoren a und b kollinear sind, d. h. wenn
a = b oder b = 0 ist.