Funktionale Vollständigkeit und Normalformen

ÜBUNG ZUM GRUNDKURS
LOGIK
WS 2015/16 — GÜNTHER EDER
SPARSAMKEIT BEI DER WAHL
DER JUNKTOREN
•
Wie sich mit Wahrheitstafeln zeigen lässt, benötigen wir nicht gar nicht alle
Junktoren die „offiziell“ in unserer Sprache vorkommen
α
β
(α ∨ β)
¬(¬ α ∧ ¬β)
w w
w
w
w
f
w
f
w
f
f
α
β
(α → β)
¬(α ∧ ¬β)
w w
w
w
w
w
f
f
f
w
w
f
w
w
w
f
f
f
f
w
w
•
Sofern wir ¬ und ∧ zur Verfügung haben, können wir auch ohne ∨ auskommen,
ohne an Ausdrucksstärke zu verlieren
•
Sofern wir ¬ und ∧ zur Verfügung haben, können wir auch ohne ⟶
auskommen, ohne an Ausdrucksstärke zu verlieren
GEHT’S NOCH SPARSAMER?
•
Es geht noch sparsamer! Es gibt einzelne Junktoren, mit denen wir alle anderen
Junktoren definieren können
•
Solche Junktoren nennt man auch Sheffer-Junktoren
α
β
(α ↑ β) bzw. (α NAND β)
α
β
(α ↓ β) bzw. (α NOR β)
w
w
f
w
w
f
w
f
w
w
f
f
f
w
w
f
w
f
f
f
w
f
f
w
„Sheffer-Strich“
•
„Peirce-Operator"
Wie sich leicht zeigen lässt, kann man sowohl mit ↑ als auch mit ↓ alle anderen
Junktoren ¬, ∧, ∨, ⟶, ⟷ definieren (Übungsbeispiel).
FUNKTIONALE
VOLLSTÄNDIGKEIT
•
Die Idee, dass wir mit einigen Junktoren andere
Junktoren definieren können, führt zum Begriff der
funktionalen Vollständigkeit
•
Dass eine Menge von Junktoren J funktional vollständig
ist bedeutet, dass wir nicht nur alle Junktoren ¬, ∧, ∨, ⟶,
⟷ mit Hilfe der Junktoren in J definieren können,
sondern alle „potentiellen“ Junktoren überhaupt!
•
Um diese Idee zu präzisieren benötigen wir den Begriff
der Wahrheitsfunktion
WAHRHEITSFUNKTION
Def. Eine n-stellige Wahrheitsfunktion ist eine Funktion, die n-Tupel von
n
Wahrheitswerten auf Wahrheitswerte abbildet, d.h. f: {w, f} ⟶ {w, f}
•
Unter einem n-Tupel verstehen wir hier eine geordnete Folge von
n
Wahrheitswerten der Länge n; {w, f} bezeichnet die Menge aller nTupel von Wahrheitswerten
•
Zum Beispiel sind ⟨w, f⟩ und ⟨f, w⟩ zwei verschiedene 2-Tupel (oder
einfach Tupel); ⟨w, w, f⟩ ist ein 3-Tupel (oder Tripel); ⟨w, f, f, f⟩ ein 4Tupel (oder Quadrupel) und ⟨w, f, w, f, w, f, w⟩ ein 7-Tupel
BEISPIELE FÜR
WAHRHEITSFUNKTIONEN
•
Die Wahrheitsfunktion f¬, die der Negation ¬ entspricht, ist eine einstellige
Wahrheitsfunktion, die w auf f und f auf w abbildet
w
f¬
f
•
f
w
Die Wahrheitsfunktion f∧, die der Konjunktion ∧ entspricht, ist eine zweistellige
Wahrheitsfunktion, die das 2-Tupel ⟨w, w⟩ auf w, ⟨w, f⟩ auf f, ⟨f, w⟩ auf f, und ⟨f, f⟩ auf f
abbildet
⟨w, w⟩
f∧
w
⟨w, f⟩
f
⟨f, w⟩
f
⟨f, f⟩
f
BEISPIELE FÜR
WAHRHEITSFUNKTIONEN
•
Es gibt aber auch 3-, 4-, oder 17-stellige Wahrheitsfunktionen, die keinem der
„üblichen“ Junktoren entsprechen, die aber nichtsdestotrotz „potentiellen“ 3-,
4- oder 17-stelligen Junktoren enstprechen, etwa die Funktion g mit
⟨w, w, w⟩
g
f
⟨w, w, f⟩
w
⟨w, f, w⟩
f
⟨w, f, f⟩
w
⟨f, w, w⟩
f
⟨f, w, f⟩
f
⟨f, f, w⟩
f
⟨f, f, f⟩
w
WAHRHEITSFUNKTIONEN UND
JUNKTOREN
•
Offenbar entspricht jeder Formel die wir in unserer Sprache, via
Wahrheitstafel für diese Formel, eine bestimmte Wahrheitsfunktion.
•
Wir sagen dann auch, dass diese Formel die Wahrheitsfunktion ausdrückt.
•
Mit diesen Festlegungen können wir definieren:
Def. Eine Menge von Junktoren J heisst funktional vollständig falls sich
durch die Formeln, die sich mit Hilfe der Junktoren in J bilden lassen, alle
Wahrheitsfunktionen ausdrücken lassen.
WAHRHEITSFUNKTIONEN UND
JUNKTOREN
•
Die Frage, die wir uns zuerst stellen ist: Gibt es überhaupt
Junktorenmengen J, die funktional vollständig sind? Ist
insbesondere unsere Menge von Junktoren {¬, ∧, ∨, ⟶, ⟷}
funktional vollständig?
•
Die Antwort ist: Ja. Eine Möglichkeit das einzusehen, besteht darin
zu zeigen, dass jede Wahrheitsfunktion in kanonischer Weise durch
eine Formel ausdrückbar ist, die nur die Junktoren ¬, ∧ und ∨
enthält.
•
(Klarerweise ist {¬, ∧, ∨, ⟶, ⟷} funktional vollständig, wenn wir
zeigen können, dass sogar {¬, ∧, ∨} schon funktional vollständig ist.)
BEISPIEL: SUCHEN EINE FORMEL
MIT FOLGENDER WAHRHEITSTAFEL
α sollte wahr sein falls…
p
q
r
α
w
w
w
f
w
w
f
w
w
f
w
f
w
f
f
w
f
w
w
f
f
w
f
f
f
f
w
f
f
f
f
w
BEISPIEL: SUCHEN EINE FORMEL
MIT FOLGENDER WAHRHEITSTAFEL
α sollte wahr sein falls…
p
q
r
α
w
w
w
f
w
w
f
w
w
f
w
f
w
f
f
w
f
w
w
f
f
w
f
f
f
f
w
f
f
f
f
w
(i) … p wahr, q wahr, r falsch sind
oder p wahr, q falsch, r falsch
sind oder p falsch, q falsch und r
falsch sind…
BEISPIEL: SUCHEN EINE FORMEL
MIT FOLGENDER WAHRHEITSTAFEL
α sollte wahr sein falls…
p
q
r
α
w
w
w
f
w
w
f
w
w
f
w
f
w
f
f
w
f
w
w
f
f
w
f
f
f
f
w
f
f
f
f
w
(i) … p wahr, q wahr, r falsch sind
oder p wahr, q falsch, r falsch
sind oder p falsch, q falsch und r
falsch sind…
(ii) … d.h. falls (p ∧ q ∧ ¬r) wahr ist
oder (p ∧ ¬q ∧ ¬r) wahr ist oder
(¬p ∧ ¬q ∧ ¬r) wahr ist…
BEISPIEL: SUCHEN EINE FORMEL
MIT FOLGENDER WAHRHEITSTAFEL
α sollte wahr sein falls…
p
q
r
α
w
w
w
f
w
w
f
w
w
f
w
f
w
f
f
w
f
w
w
f
f
w
f
f
f
f
w
f
f
f
f
w
(i) … p wahr, q wahr, r falsch sind
oder p wahr, q falsch, r falsch
sind oder p falsch, q falsch und r
falsch sind…
(ii) … d.h. falls (p ∧ q ∧ ¬r) wahr ist
oder (p ∧ ¬q ∧ ¬r) wahr ist oder
(¬p ∧ ¬q ∧ ¬r) wahr ist…
(iii)… d.h. falls (p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ ¬q
∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r) wahr ist
BEISPIEL: SUCHEN EINE FORMEL
MIT FOLGENDER WAHRHEITSTAFEL
α sollte wahr sein falls…
p
q
r
α
w
w
w
f
w
w
f
w
w
f
w
f
w
f
f
w
f
w
w
f
f
w
f
f
f
f
w
f
f
f
f
w
(i) … p wahr, q wahr, r falsch sind
oder p wahr, q falsch, r falsch
sind oder p falsch, q falsch und r
falsch sind…
(ii) … d.h. falls (p ∧ q ∧ ¬r) wahr ist
oder (p ∧ ¬q ∧ ¬r) wahr ist oder
(¬p ∧ ¬q ∧ ¬r) wahr ist…
(iii)… d.h. falls (p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ ¬q
∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r) wahr ist
(iv)et voila! Formel gefunden: α = (p
∧ q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧
¬q ∧ ¬r)
DISJUNKTIVE NORMALFORM
(DNF)
•
Zum Auffinden einer Formel α, die eine bestimmte vorgegebene Wahrheitsfunktion
ausdrücken soll / eine bestimmte vorgegebene Wahrheitstafel haben soll, befolgen wir
also folgendes Kochrezept:
Schritt 1: Finde alle Zeilen / Interpretationen, in denen die gesuchte Formel α wahr sein soll.
Schritt 2: Für jede einzelne der Zeilen / Interpretationen, die du im ersten Schritt
ausgemacht hast: Bilde die Konjunktion aller atomaren Aussagen bzw. deren Negationen, je
nachdem ob die atomare Aussage in dieser Interpretation wahr oder falsch ist.
Schritt 3: Bilde die Disjunktion all der Konjunktionen, die du im zweiten Schritt gebildet hast.
•
Eine Formel der Art wie man sie durch dieses Kochrezept bekommt, d.h. eine Disjunktion
von Konjunktion von Literalen (= atomare Formeln bzw. deren Negationen), nennt man
auch (kanonische) disjunktive Normalform oder (K)DNF.
DNF UND FUNKTIONALE
VOLLSTÄNDIGKEIT
•
Der theoretisch wichtige Punkt ist folgender: Es ist klar, dass
(i) sich für jede Wahrheitsfunktion, die nicht immer den Wert f (falsch) hat,
eine Formel in kanonischer DNF finden lässt, die diese
Wahrheitsfunktion ausdrückt.
(ii) sich die konstante Wahrheitsfunktion, die immer den Wert f (falsch) hat,
durch eine Formel ausdrücken lässt, die nur Junktoren aus {¬, ∧, ∨}
enthält. (Welche!?)
•
Daraus ergibt sich folgendes
Theorem. Die Junktorenmenge {¬, ∧, ∨} ist funktional vollständig.
DNF UND FUNKTIONALE
VOLLSTÄNDIGKEIT
•
Wir haben früher schon gesehen, dass sich (α ∨ β) und (α ∧ β) durch ¬(¬α ∧
¬β) bzw. ¬(¬α ∨ ¬β) definieren lassen. Zusammen mit dem Theorem von
vorhin, folgt daher sofort:
Theorem. Die Junktorenmengen {¬,∨} und {¬,∧} sind funktional vollständig.
•
Wir wissen auch, dass wir das materiale Konditional → definieren können
(z.B. durch ¬(α ∧ ¬β) oder ¬α ∨ β). Daraus folgt:
Theorem. Die Junktorenmenge {¬,→} ist funktional vollständig.
•
Wir können also zeigen, dass eine bestimmte Junktorenmenge J funktional
vollständig ist, indem wir zeigen, dass mit Hilfe der Junktoren in J die
Junktoren in {¬,∨} (oder {¬,∧} oder {¬,→}) definiert werden können.