Einführung in die Logik

Institut für
Theoretische Informatik
ITI
Dr. Jürgen Koslowski
Einführung in die Logik
Aufgabenblatt 2, 2016-04-25
Übungsaufgabe 11
Der Begriff der inhärenten Länge funktionieren natürlich auch mit den abgeleiteten Junktoren
⇒, ⇔, ⊕ und ↑ (“nand”, “nicht beide”). Im folgenden interessiert uns davon aber nur ⇒.
Finden Sie eine inhärent kürzeste Formel, die zu der gegebenen Formel äquivalent ist. Beweisen
Sie die Äquivalenz und die Minimalität der Länge.
(a) X ⇒ X ∧ Y
(b) (Y ⇒ X) ∨ X
(c) ((X ⇒ Y ) ⇒ (Y ⇒ Z)) ⇒ (X ⇒ Z)
Lösungsvorschlag:
Hinsichtlich der inhärenten Länge stellen wir fest, dass die kürzeste mögliche Formel mit n
atomaren Aussagen n − 1 binäre Junktoren enthält.
(a) Die Definition von ⇒, die Distributivität von ∨ über ∧ und die Komlementarität von X
und ¬X liefern
X ⇒ X ∧ Y ≡ ¬X ∨ (X ∧ Y ) ≡ > ∧ (¬X ∨ Y ) ≡ Y ∨ ¬X ≡ X ⇒ Y
(b) Unter Verwendung der Definition von ⇒ und der Assoziativität von ∨ ergibt sich
(Y ⇒ X) ∨ X ≡ (X ∨ ¬Y ) ∨ X ≡ X ∨ ¬Y ≡ Y ⇒ X
(c) Aus der Definition von ⇒, deer Distributivität von v über ∧, der Absorbtionseigenschaft
von >, der Idempotenz von ∧ und der Kommutativität von ∨ ergibt sich
((X ⇒ Y ) ⇒ (Y ⇒ Z)) ⇒ (X ⇒ Z) ≡ (Z ∨ ¬X) ∨ (¬Z ∧ Y ∧ (Y ∨ ¬X))
≡ (Z ∨ ¬X ∨ ¬Z) ∧ (Z ∨ ¬X ∨ Y ) ∧ (Z ∨ ¬X ∨ Y )
≡ > ∧ (Z ∨ ¬X ∨ Y )
≡ Z ∨ ¬X ∨ Y
≡X ⇒Y ∨Z
Aufgabe 12 [8 PUNKTE]
(a) [4 Punkte] Beweisen Sie die folgenden Aquivalenzen (die so genannten Absorbtionsregeln):
A ∧ (A ∨ B) ≡ A
und
A ∨ (A ∧ B) ≡ A
(b) [4 Punkte] Zeigen Sie, dass die Formel (A∨B ∨C)∧(B ∨D)∧¬B ∧(A ⇒ B)∧((C ∧D) ⇒ B)
nicht erfüllbar ist.
Aufgabe 13 [8 PUNKTE]
Wie in Bemerkung 3.2.6 gesehen, gibt es 16 mögliche Wahrheitstabellen mit genau zwei Atomen.
Welche davon können als Wahrheitstabellen von Formeln in {¬, ∧, ∨} mit genau zwei Variablen
auftreten? Geben Sie jeweils eine solche Formel an.
Aufgabe 14 [8 PUNKTE]
Bestimmen Sie mit Begründung alle adäquaten Teilmengen von {¬, ∧, ⇒, ⇔}.
Die folgende Aufgabe basiert der Vorlesung am Mittwoch, 2016-04-27.
Aufgabe 15 [14 PUNKTE]
Bestimmen Sie jeweils zunächst eine Negation-Normalform (NNF). Verwenden Sie dann Ihre
NNF, um eine konjunktive Normalform (KNF) zu bestimmen:
(a) [5 PUNKTE] (P ⇒ Q) ⇒ ((Q ⇒ R) ⇒ (P ⇒ R))
(b) [3 PUNKTE] ¬(P ∧ Q) ⇒ ¬(P ⇒ Q)
(c) [5 PUNKTE] (P ⇒ Q) ∧ (R ∨ P ) ⇒ (R ∨ Q)
(d) [7 PUNKTE] ((P ⇒ Q) ⇒ R) ∧ (R ⇒ (P ⇒ Q))
Abgabe bis Montag, 2016-05-02, im Kasten neben IZ 343