Logik für Informatiker (WS 09/10) - Institut für Informatik Augsburg

Universität Augsburg
Prof. Dr. W. Vogler
Logik für Informatiker (WS 09/10)
Übungsblatt 8 (Abgabe bis 16.12.2009, 13:45 Uhr im
Briefkasten Lst. Vogler)
Aufgabe 1
(7 Punkte)
Untersuchen Sie für jede der folgenden Formeln, ob diese a) erfüllbar ist und b) es ein Modell
für die Formel gibt. Begründen Sie ihre Antwort – im positiven Fall genügt es, passende
”
Strukturen“ anzugeben.
1. A ≡ ¬ x = y → f (x) = y
2. B ≡ (∃ x ∃ y ¬ x = y) ∧ f (x) = y
3. C ≡ (∃ x ∃ y ¬ x = y) ∧ (¬ x = y → f (x) = y)
Aufgabe 2
(4 Punkte)
Wir betrachten ungerichtete Graphen, die Grundmenge D entspricht jeweils den Ecken. Die
Signatur (F, P) ist: F = ∅, P = P 2 = {K}, x, y ∈ X . Die Interpretation K I von K ist:
K I (x, y) ⇔ es existiert eine Kante von der Ecke x zur Ecke y. Da wir ungerichtete Graphen
betrachten, soll die Relation K symmetrisch sein, es gilt also I |= ∀ x ∀ y K(x, y) → K(y, x).
Wir wollen im folgenden einige Formelabkürzungen definieren. Ein Kantenzug zwischen x und
y ist eine Folge z0 , . . . , zn mit x = z0 und y = zn und K(zi , zi+1 ) für alle 0 ≤ i < n; seine
Länge ist n.
1. Geben Sie eine Formel P2 (x, y) an, welche besagt, dass zwischen zwei Ecken x und y
ein Kantenzug der Länge 2 existiert.
2. Geben Sie eine Formel P3 (x, y) an, die genau dann wahr ist, wenn es einen Kantenzug
der Länge drei zwischen x und y gibt. Geben Sie eine knappe Formel an, in der sie
P2 (x, y) als abgeleitetes Prädikat verwenden und eine längere ohne P2 (x, y).
3. Geben Sie für jedes n > 3 eine Formel Pn (x, y) an, welche besagt, dass zwischen zwei
Ecken x, y ein Kantenzug der Länge n existiert.
Aufgabe 3
(4 Punkte)
1. Bestimmen Sie in folgender Formel die Mengen der freien und gebundenen Variablen.
A ≡ (∃ y ∀ x P (x) ∧ P (f (x))) ↔ ¬ ∃ x f (x) = g(x, y) → ¬ ∀ z P2 (z, y)
2. Führen Sie die folgende Substitution schrittweise durch:
(∀ x0 ∀ x1 f (x1 ) = g(x2 ) → ∀ x2 P (x2 , x1 )) [f (x1 +x2 ) /x2 ]
Verwenden Sie als frische Variable für eine gebundende Umbenennung die Variable mit
dem kleinstmöglichen Index aus der Menge {x0 , x1 , . . . }.
Aufgabe 4
(7 Punkte)
1. Leiten Sie im Hilbert-Kalkül folgende Formel her. Sie dürfen die Axiome 1-8 und das
Deduktions- und Generalisierungstheorem verwenden.
{ P (y)} ` ∀ x y = x → P (x)
2. Leiten Sie im Hilbert-Kalkül folgende Formel her. Verwenden Sie wieder die Axiome,
sowie das Deduktions- und Generalisierungstheorem.
(∀ x P (x)) → ∀ y P (y)
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