Logik für Informatiker (WS 09/10)

Universität Augsburg
Prof. Dr. W. Vogler
Logik für Informatiker (WS 09/10)
Übungsblatt 9 (Abgabe bis 23.12.2009, 13:45 Uhr im
Briefkasten Lst. Vogler)
Aufgabe 1
(5 Punkte)
Eliminieren Sie das Generalisierungstheorem aus folgender Herleitung. Gehen Sie dabei so
vor wie im Beweis von Satz 3.12 beschrieben.
(1) { ∀ x P(c, x) } ` ∀ x P(c, x)
∈M
(2) { ∀ x P(c, x) } ` (∀ x P(c, x)) → P(c, f(y)) Ax4 SP [f (y) /x ]
(3) { ∀ x P(c, x) } ` P(c, f(y))
MP (1), (2)
(4) { ∀ x P(c, x) } ` ∀ y P(c, f(y))
Gen. (3)
Aufgabe 2
(6 Bonuspunkte)
Auf Übungsblatt 8 (Aufgabe 2) wurden ungerichtete Graphen betrachtet, wobei wir die Signatur F = ∅, P = P 2 = {K}, x, y ∈ X verwendet haben und K durch K I (x, y) ⇔ es
existiert eine Kante von der Ecke x zur Ecke y interpretiert wurde. Weiter hatten wir für
jedes n ≥ 2 ein abgeleitete Prädikate Pn (x, y) definiert, das genau dann wahr ist, wenn zwischen den beiden Ecken x und y ein Kantenzug der Länge n existiert. Zusätzlich definieren
wir nun Formeln für Kantenzüge der Länge 0 und 1:
P0 (x, y)
P1 (x, y)
⇔
⇔
x=y
K(x, y)
Ein Graph ist zusammenhängend genau dann, wenn je zwei Ecken durch einen Kantenzug
endlicher Länge verbunden sind. Beweisen Sie:
Die Eigenschaft ein Graph ist zusammenhängend“ ist nicht elementar definierbar.
”
Tipp: Betrachten Sie die Menge M¬ := {¬ P0 (x, y), ¬ P1 (x, y), . . . } und beachten Sie, dass
für die Erfüllbarkeit von offenen Formeln Belegungen wichtig sind.
Aufgabe 3
(5 Punkte + 2 Bonuspunkte)
Eine aussagenlogische Formel ist eine Hornklausel, falls sie aus einer Disjunktion von Literalen
besteht, wobei nur ein einziges Literal positiv sein darf. Die Struktur von Hornklauseln lässt
sich mit folgendem Regelsystem HK einfangen:
p
(p ∈ P 0 ) (HK 1)
¬p
(p ∈ P 0 ) (HK 2)
A
(p ∈ P 0 ) (HK 3)
(¬ p ∨ A)
Ein zweites Regelsystem HF
A
(A ∈ HK) (HF 1)
A
A B
(HF 2)
A ∧ B
erlaubt die Konjunktion mehrerer Hornklauseln zu einer Hornformel.
1. Prüfen Sie für die folgenden Formeln, ob sie Hornformeln sind. Wenn nein, begründen
Sie dies, wenn ja, geben Sie Herleitungen an.
(a) (¬ p ∨ (q ∨ ¬ r)) ∧ ¬ p
(b) (¬ p ∨ ¬ q) ∧ (¬ r ∨ p)
2. Beweisen Sie durch Induktion über die Herleitungslänge:
Erfüllen mehrere Interpretationen I1 , . . . , In (wobei n ≥ 1) eine Hornformel,
so auch ihr Durchschnitt I.
Der Durchschnitt I mehrerer Interpretationen I1 , . . . , In ist wie folgt definiert:
true falls pIi = true für alle 1 ≤ i ≤ n
pI =
false sonst
Zeigen Sie die Aussage nur für Hornklauseln.
Aufgabe 4
(5 Punkte)
1. Seien t1 , t2 ∈ T erm. Leiten sie im Hilbert-Kalkül t1 = t1 her. Geben Sie eine Herleitung
an, die nicht mehr als fünf Zeilen umfasst.
2. Geben Sie eine Herleitung für t1 = t2 → t2 = t1 an.
Dabei können Sie voraussetzen, dass ` ∀ x ∀ y x = y → y = x gilt.
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