Kürzeste Wege und Kreise

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Vorlesung
Kombinatorische Optimierung
(Wintersemester 2014/15)
Kapitel 1: Kürzeste Wege und Kreise
Volker Kaibel
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg
(Version vom 23. Oktober 2014)
2
Graphen und Digraphen
Definition 1.1
Ein Graph ist ein Paar G = (V , E ) bestehend aus
einer endlichen
V
Knotenmenge V und einer Teilmenge E ⊆ 2 der
zweielementigen Teilmengen von V , der Kantenmenge von G .
Definition 1.2
Ein Digraph (gerichteter Graph) ist ein Paar D = (V , A)
bestehend aus einer endlichen Knotenmenge V und einer
Teilmenge
A ⊆ V × V \ {(v , v ) | v ∈ V } ,
der Bogenmenge von D. Zwei Bögen (v , w ), (w , v ) ∈ A heißen
antiparallel.
3
Wege und Kreise in Graphen
Definition 1.3
Sei G = (V , E ) ein Graph mit V = {v0 , v1 , . . . , vl } und
E = {{v0 , v1 }, {v1 , v2 }, . . . , {vl−1 , vl }}
1. Sind v0 , v1 , . . . , vl paarweise verschieden, so heißt G ein
v0 − vl -Weg der (kombinatorischen) Länge l.
2. Ist v0 = vl und sind v0 = vl , v1 , . . . , vl−1 paarweise
verschieden, so ist G ein Kreis der (kombinatorischen)
Länge l.
4
Wege und Kreise in Digraphen
Definition 1.4
Sei D = (V , A) ein Digraph mit V = {v0 , v1 , . . . , vl } und
A = {(v0 , v1 ), (v1 , v2 ), . . . , (vl−1 , vl )}
1. Sind v0 , v1 , . . . , vl paarweise verschieden, so heißt D ein
(gerichteter) v0 − vl -Weg der (kombinatorischen) Länge l.
2. Ist v0 = vl und sind v0 = vl , v1 , . . . , vl−1 mit l ≥ 2 paarweise
verschieden, so ist G ein (gerichteter) Kreis der
(kombinatorischen) Länge l.
5
Teilgraphen
Definition 1.5
Sind G = (V , E ) und G 0 = (V 0 , E 0 ) (bzw. D = (V , A) und
D 0 = (V 0 , A0 )) zwei Graphen (bzw. Digraphen) mit V 0 ⊆ V und
E 0 ⊆ E (bzw. A0 ⊆ A), so ist G 0 ein Teilgraph von G (bzw. D 0 ein
Teildigraph von D). Falls sogar
0
V
0
E =E∩
bzw. A0 = A ∩ (V 0 × V 0 )
2
gilt, so heißt der Teilgraph induzierter Untergraph (bzw.
induzierter Unterdigraph). Gilt V 0 = V , so heißt der Teilgraph
spannend.
6
Induzierte Knoten-, Kanten-, Bögenmengen
Definition 1.6
Sei G = (V , E ) ein Graph. Für Teilmengen V 0 ⊆ V und E 0 ⊆ E
0
definieren wir E (V 0 ) := E ∩ V2 und
V (E 0 ) := {v ∈ V | {v , w } ∈ E 0 für ein w ∈ V }
Definition 1.7
Sei D = (V , A) ein Graph. Für Teilmengen V 0 ⊆ V und A0 ⊆ A
definieren wir A(V 0 ) := A ∩ (V 0 × V 0 ) und
V (A0 ) := {v ∈ V | (v , w ) ∈ A0 oder (w , v ) ∈ A0 für ein w ∈ V }
7
Wege und Kreise in Graphen
Definition 1.8
Für eine endliche Menge M, c ∈ RM und N ⊆ M definieren wir
X
c(N) :=
cx .
x∈N
Definition 1.9
Ist G = (V , E ) ein Graph, c ∈ RE , und G 0 = (V 0 , E 0 ) ein
Untergraph von G , der ein s-t-Weg (bzw. ein Kreis) ist, so heißt
E 0 ⊆ E ein s-t-Weg (bzw. Kreis) in G . Seine c-Länge ist c(E 0 ).
Die Menge der von E 0 besuchten Knoten ist V 0 = V (E 0 ).
8
Wege und Kreise in Digraphen
Definition 1.10
Ist D = (V , A) ein Digraph, c ∈ RA , und D 0 = (V 0 , A0 ) ein
Unterdigraph von D, der ein (gerichteter) s-t-Weg (bzw. ein
(gerichteter) Kreis) ist, so heißt A0 ⊆ A ein (gerichteter) s-t-Weg
(bzw. (gerichteter) Kreis) in D. Seine c-Länge ist c(A0 ). Die
Menge der von A0 besuchten Knoten ist V 0 = V (A0 ).
9
Wege- und Kreisprobleme
Problem 1.11 (Kürzeste-Wege Problem)
Instanz: Digraph D = (V , A), c ∈ QA , s, t ∈ V
Aufgabe: Finde einen s-t-Weg kürzester c-Länge oder stelle
fest, dass es keinen s-t-Weg in D gibt.
Problem 1.12 (Kürzester-Kreis-Problem)
Instanz: Digraph D = (V , A), c ∈ QA
Aufgabe: Finde einen Kreis kürzester c-Länge oder stelle fest,
dass es keinen Kreis in D gibt.
10
Ungerichtete Graphen
Bemerkung 1.13
Das Problem, in einem ungerichteten Graphen G = (V , E )
kürzeste Wege oder Kreise zu finden, kann man durch
Konstruktion des Digraphen D = (V , A) mit
A = {(v , w ) ∈ V × V | {v , w } ∈ E }
auf die Probleme 1.11 bzw. 1.12 zurück führen.
11
Weitere Bemerkungen
Bemerkung 1.14
I
Analog zum Kürzesten-Wege bzw. Kürzesten-Kreis Problem
ist das Längste-Wege Problem bzw. das Längster-Kreis
Problem definiert.
I
Durch Multiplikation des Längenvektors c mit (−1) kann man
Kürzeste- und Längste-Wege/Kreise-Probleme ineinander
transformieren (solange es nicht auf Vorzeichen ankommt).
I
Kürzester/Längster-Kreis Probleme kann man mit Hilfe von
|A| Kürzeste/Längste-Wege Problemen lösen.
I
Das Kürzeste/Längste-Wege/Kreise Probleme für beliebige D
und c sind NP-schwer (z.B. Reduktion von Hamilton-Kreis
oder Hamilton-Pfad, s. Übungen).
12
Nachbarn, Sterne, Knotengrade
Definition 1.19
Für einen Digraphen D = (V , A) und v ∈ V definieren wir:
I
Naus (v ) := {w ∈ V | (v , w ) ∈ A}
I
Nein (v ) := {w ∈ V | (w , v ) ∈ A}
I
δ aus (v ) := {(v , w ) | w ∈ Naus (v )}
I
δ ein (v ) := {(w , v ) | W ∈ Nein (v )}
|δ aus (v )| und |δ ein (v )| sind der Ausgrad bzw. der Eingrad von v .
Für einen Graphen G = (V , E ) und v ∈ V definieren wir:
I
N(v ) := {w ∈ V | {v , w } ∈ E }
I
δ(v ) := {{v , w } | w ∈ N(v )}
|δ(v )| ist der Grad von v .
13
Zusammenhang
Definition 1.21
Ein Graph G = (V , E ) heißt zusammenhängend, wenn es für
jedes Paar s, t ∈ V einen s-t-Weg in G gibt. Die
(inklusions-)maximalen zusammenhängenden Teilgraphen eines
Graphen sind seine Zusammenhangskomponenten.
Definition 1.22
Für einen Digraphen D = (V , A) heißt G = (V , E ) mit
E = {{v , w } | (v , w ) ∈ A oder (w , v ) ∈ A}
der D zugrunde liegende ungerichtete Graph.
Definition 1.23
Ein Digraph D = (V , A) heißt stark zusammenhängend, wenn es
für jedes Paar s, t ∈ V einen (gerichteten) s-t-Weg in D gibt. Ist
der D zugrunde liegende ungerichtete Graph zusammenhängend,
so heißt D schwach zusammenhängend.
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Bäume und Wälder
Definition 1.24
Ein Wald ist ein (ungerichteter) Graph, der keine Kreise enthält.
Ein Wald ist ein Baum, wenn er zusammenhängend ist.
Bemerkung 1.25
Ein Graph G = (V , E ) mit |V | ≥ 1 ist genau dann ein Baum, wenn
er zusammenhängend ist und |E | = |V | − 1 gilt.
15
Branchings und Arboreszenzen
Definition 1.26
Ein Digraph D = (V , A) heißt ein Branching, wenn er keine
antiparallelen Bögen hat, der D zugrunde liegende ungerichtete
Graph ein Wald ist und |δ ein (v )| ≤ 1 für alle v ∈ V gilt. Ein
schwach zusammenhängendes Branching ist eine Arboreszenz.
Bemerkung 1.27
In einer Arboreszenz D = (V , A) gibt es genau einen Knoten
r ∈ V mit Nein (r ) = ∅. Er heißt die Wurzel von D. Für jedes
v ∈ V gibt es einen eindeutigen r -v -Weg in D.
Bemerkung 1.28
Eine Arboreszenz D = (V , A) mit Wurzel r ∈ V ist eindeutig
bestimmt durch die Abbildung p : V \ {r } −→ V mit
(p(v ), v ) ∈ A.
16
Kürzeste-Wege Bäume
Definition 1.29
Für einen Digraphen D = (V , A) und s ∈ V bezeichnen wir mit
RD (s) ⊆ V die Menge alle Knoten v ∈ V , für die ein s-w -Weg
in D existiert.
Korollar 1.30 (aus Satz 1.16)
Für einen Digraphen D = (V , A) mit konservativen Bogenlängen
c ∈ RA und s ∈ V gibt es eine Arboreszenz T = (RD (s), A0 ), so
dass für jedes v ∈ RD (s) der s-v -Weg in T ein c-kürzester
s-v -Weg in D ist.
Definition 1.31
Eine Arboreszenz wie in Kor. 1.30 heißt ein
Kürzeste-Wege-Baum (für D, c, s).
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Kürzeste Wege in azyklischen Digraphen
Algorithmus 1.36 (Kürzeste Wege in azyklischen Digraphen)
Eingabe: Azyklischer Digraph D = (V , A) mit topologischer
Sortierung V = {v1 , . . . , vn }, c ∈ QA , σ ∈ [n]
Ausgabe: Für jeden Knoten v ∈ V \ {vσ } den Wert
d(v ) = distc (vσ , v ) und, falls d(v ) 6= ∞, den letzten
Bogen (p(v ), v ) auf einem vσ -v -Weg kürzester
c-Länge (kürzeste-Wege Baum bzgl. vσ )
for i = 1, . . . , n do
d(vi ) ← ∞
3: d(vσ ) ← 0
4: for i = σ + 1, . . . , n do
5:
d(vi ) ← min{d(w ) + c(w ,vi ) | w ∈ Nein (vi )}
1:
2:
6:
p(vi ) ← ein w ∈ Nein (vi ) mit d(vi ) = d(w ) + c(w ,vi )
(p(vi ) bleibt undefiniert, falls d(vi ) = ∞ oder Nein (vi ) = ∅)
18
Dijkstras Algorithmus
Algorithmus 1.38 (Dijkstra-Algorithmus)
Eingabe: Digraph D = (V , A), c ∈ QA
+, s ∈ V
Ausgabe: Für alle v ∈ V \ {s} den Wert d(v ) = distc (s, v )
und, falls d(v ) 6= ∞, den letzten Bogen (p(v ), v ) auf
einem s-v -Weg kürzester c-Länge
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
for all {v ∈ V \ {s}} do
d(v ) ← ∞
d(s) ← 0; F ← ∅
Bestimme v ∈ V \ F mit d(v ) = min{d(w ) | w ∈ V \ F }
F ← F ∪ {v }
for all {w ∈ Naus (v ) \ F } do
if {d(w ) > d(v ) + cvw } then
d(w ) ← d(v ) + cvw
p(w ) ← v
if {F 6= V } then
Gehe zu Schritt 4.
19
Pfade
Definition 1.45
Sei D = (V , A) ein Digraph und c ∈ RA . Ein l-Tupel
P = (v0 , v1 ), (v1 , v2 ), (v2 , v3 ), . . . , (vl−1 , vl ) ∈ Al
von Bögen in A heißt ein v0 -vl -Pfad in D (dabei dürfen einzelne
Knoten und einzelne Bögen beliebig oft auftreten) der c-Länge
c(P) :=
l
X
cvi−1 ,vi .
i=1
Seine (kombinatorische) Länge ist l.
Bemerkung 1.46
In einem Digraphen D = (V , A) mit konservativen Bogenlängen
c ∈ RA gilt c(P) ≥ distc (s, t) für jeden s-t-Pfad P.
20
Der Bellman-Ford Digraph
Definition 1.47
Sei D = (V , A) ein Digraph, c ∈ RA . Der Graph BF (D) = (V 0 , A0 )
hat die Knotenmenge
V 0 = V × {0, 1, . . . , |V |}
und die Bogenmenge
A0 = ((v , i − 1), (w , i)) (v , w ) ∈ A, i ∈ [|V |]
∪ ((v , i − 1), (v , i)) i ∈ [|V |] .
Die Mengen {(v , i) : i ∈ {0, 1, . . . , |V |}} (v ∈ V ) sind die Zeilen
von BF (D). Analog sind {(v , i) : v ∈ V } (i ∈ {0, 1, . . . , |V |}) die
Spalten von BF (D). Die Bögen, welche Knoten einer Zeile
0
verbinden, heißen waagerecht. Wir definieren c 0 ∈ RA via
cvw , falls (v , w ) ∈ A
0
c(v ,i),(w ,i+1) =
.
0
, falls v = w
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BF (D)
2
4
1
6
3
5
1
2
3
4
5
6
2
1
4
6
22
0/1-Knapsack
5
5
1
3
3
2
2
3
4
2
4
4
1
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
a = (2, 1, 3, 1, 2, 2), c = (5, 1, 3, 2, 4, 1), β = 7
7
23
K (D)
2
4
1
6
3
s
1
2
3
4
5
6
5
24
Beweis des Min Mean Cycle Satzes
s
P1 (Q1)
P3
w
P
P2 (Q2)
v