TU Ilmenau Institut für Mathematik Prof. Dr. Michael Stiebitz Wintersemester 2015/16 1. Übungsserie – Graphen und Algorithmen ÜA1: (a) Geben Sie alle (nichtisomorphen) schlichten Graphen mit n = 4 Knotenpunkten und m = 3 Kanten an. (b) Gegeben seien folgende Gradfolgen: • 1, 2, 3, 3, 4 • 1, 2, 2, 2, 3, 6 • 2, 2, 3, 3, 4 Gibt es Graphen mit derartigen Gradfolgen? Gibt es sogar entsprechende schlichte Graphen? ÜA2: Sind die folgenden Graphen isomorph? ÜA 3: Es seien G und H zwei Graphen und es sei f : V (H) → V (G) ein Isomorphismus von H auf G. Beweisen Sie folgende Aussagen: (a) f −1 : V (G) → V (H) ist eine Isomorphismus von G auf H (b) |V (H)| = |V (G)| (c) |E(H)| = |E(G)| (d) G ist genau dann schlicht, wenn H schlicht ist. (e) dH (v) = dG (f (v)) für alle v ∈ V (H). (f) Sind in H die Ecken v und w durch einen Weg der Ordnung r verbunden, so sind in G die Ecken f (v) und f (w) durch einen Weg der Ordnung r verbunden, und umgekehrt. (g) H enthält einen Kreis genau dann, wenn G einen Kreis enthält. 1 ÜA4 Es sei G ein schlingenloser Graph mit V (G) = {x1 , x2 , . . . , xn } und E(G) = {e1 , e2 , . . . , em } mit m, n ≥ 1. Weiterhin seien A = (aij )i,j=1,...,n die Adjazenzmatrix von G, B = (bij ) i=1,...,n die Inzidenzmatrix von G und D = diag(dG (x1 ), dG (x2 ), . . . , dG (xn )) die j=1,...,m Gradmatrix von G. Die Matrix M = BB T wird dann Admittanzmatrix von G genannt. (a) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Matrizen A, M und D? (b) Zeigen Sie, dass gilt: G ist r-regulär genau dann, wenn der Einsvektor u = (1, 1, . . . 1)T ein Eigenvektor von A ist. (c) Es sei Ak = (akij ) die kte Potenz von A mit k ≥ 1. Beweisen Sie, dass für alle i, j ∈ {1, 2, . . . , n} gilt: akij ist die Anzahl der xi - xj Kantenzüge der Länge k in G. (d) Es sei H ein zu G isomorpher Graph mit der Adjazenzmatrix A . Wie verhalten sich A und A zueinander? ÜA5: Die Länge eines Weges oder Kreises ist die Anzahl seiner Kanten. Für einen Weg P ist also Länge(P ) = |P | − 1. Es sei G ein zusammenhängender Graph. Für x, y ∈ V (G) sei distG (x, y) = min{Länge(P ) | P ist ein x − y Weg in G} die Distanz von x und y in G. Beweisen Sie dann folgende Aussagen: (a) Die Distanz distG (·, ·) ist eine Metrik auf V (G). (b) Je zwei längste Wege von G haben eine Ecke gemeinsam. (c) Ist G ein schlichter Graph mit Minimalgrad δ(G) ≥ k ≥ 2, so gibt es in G einen Kreis der Länge wenigstens k + 1. ÜA6: (a) Geben Sie alle nichtisomorphen Bäume mit n = 4 Ecken an. (b) Es sei Kn der vollständige Graph mit V (Kn ) = {1, 2, . . . , n}. Weiterhin seien Tn = {T | T ⊆ Kn , V (T ) = V (Kn ), T ist Baum} und t(n) = |Tn |. Geben Sie t(2), t(3) und t(4) an. Stellen Sie eine Vermutung für t(n) mit n ≥ 2 auf. ÜA7: Es seien d1 , d2, . . . , dn positive ganze Zahlen mit n ≥ 2. Zeigen Sie, dass folgende Bedingungen äquivalent sind: (a) Es gibt einen Baum T mit V (T ) = {v1 , v2 , . . . , vn } derart, dass gilt: dT (vi ) = di für i = 1, 2, . . . , n. (b) d1 + d2 + · · · + dn = 2n − 2. 2