1. ¨Ubungsserie – Graphen und Algorithmen

TU Ilmenau
Institut für Mathematik
Prof. Dr. Michael Stiebitz
Wintersemester 2015/16
1. Übungsserie – Graphen und Algorithmen
ÜA1:
(a) Geben Sie alle (nichtisomorphen) schlichten Graphen mit n = 4 Knotenpunkten
und m = 3 Kanten an.
(b) Gegeben seien folgende Gradfolgen:
• 1, 2, 3, 3, 4
• 1, 2, 2, 2, 3, 6
• 2, 2, 3, 3, 4
Gibt es Graphen mit derartigen Gradfolgen? Gibt es sogar entsprechende schlichte
Graphen?
ÜA2: Sind die folgenden Graphen isomorph?
ÜA 3:
Es seien G und H zwei Graphen und es sei f : V (H) → V (G) ein Isomorphismus von
H auf G. Beweisen Sie folgende Aussagen:
(a) f −1 : V (G) → V (H) ist eine Isomorphismus von G auf H
(b) |V (H)| = |V (G)|
(c) |E(H)| = |E(G)|
(d) G ist genau dann schlicht, wenn H schlicht ist.
(e) dH (v) = dG (f (v)) für alle v ∈ V (H).
(f) Sind in H die Ecken v und w durch einen Weg der Ordnung r verbunden, so sind
in G die Ecken f (v) und f (w) durch einen Weg der Ordnung r verbunden, und
umgekehrt.
(g) H enthält einen Kreis genau dann, wenn G einen Kreis enthält.
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ÜA4 Es sei G ein schlingenloser Graph mit
V (G) = {x1 , x2 , . . . , xn } und E(G) = {e1 , e2 , . . . , em }
mit m, n ≥ 1. Weiterhin seien A = (aij )i,j=1,...,n die Adjazenzmatrix von G, B =
(bij ) i=1,...,n die Inzidenzmatrix von G und D = diag(dG (x1 ), dG (x2 ), . . . , dG (xn )) die
j=1,...,m
Gradmatrix von G. Die Matrix M = BB T wird dann Admittanzmatrix von G
genannt.
(a) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Matrizen A, M und D?
(b) Zeigen Sie, dass gilt: G ist r-regulär genau dann, wenn der Einsvektor
u = (1, 1, . . . 1)T ein Eigenvektor von A ist.
(c) Es sei Ak = (akij ) die kte Potenz von A mit k ≥ 1. Beweisen Sie, dass für alle
i, j ∈ {1, 2, . . . , n} gilt:
akij ist die Anzahl der xi - xj Kantenzüge der Länge k in G.
(d) Es sei H ein zu G isomorpher Graph mit der Adjazenzmatrix A . Wie verhalten
sich A und A zueinander?
ÜA5:
Die Länge eines Weges oder Kreises ist die Anzahl seiner Kanten. Für einen Weg P ist
also Länge(P ) = |P | − 1. Es sei G ein zusammenhängender Graph. Für x, y ∈ V (G)
sei
distG (x, y) = min{Länge(P ) | P ist ein x − y Weg in G}
die Distanz von x und y in G. Beweisen Sie dann folgende Aussagen:
(a) Die Distanz distG (·, ·) ist eine Metrik auf V (G).
(b) Je zwei längste Wege von G haben eine Ecke gemeinsam.
(c) Ist G ein schlichter Graph mit Minimalgrad δ(G) ≥ k ≥ 2, so gibt es in G einen
Kreis der Länge wenigstens k + 1.
ÜA6:
(a) Geben Sie alle nichtisomorphen Bäume mit n = 4 Ecken an.
(b) Es sei Kn der vollständige Graph mit V (Kn ) = {1, 2, . . . , n}. Weiterhin seien
Tn = {T | T ⊆ Kn , V (T ) = V (Kn ), T ist Baum}
und t(n) = |Tn |. Geben Sie t(2), t(3) und t(4) an. Stellen Sie eine Vermutung für
t(n) mit n ≥ 2 auf.
ÜA7:
Es seien d1 , d2, . . . , dn positive ganze Zahlen mit n ≥ 2.
Zeigen Sie, dass folgende Bedingungen äquivalent sind:
(a) Es gibt einen Baum T mit V (T ) = {v1 , v2 , . . . , vn } derart, dass gilt: dT (vi ) = di
für i = 1, 2, . . . , n.
(b) d1 + d2 + · · · + dn = 2n − 2.
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