Diskrete Mathematik ¨Ubung 7

ETH Zürich, D-INFK
HS 2014, 27. Oktober 2014
Prof. Ueli Maurer
Daniel Tschudi
Diskrete Mathematik
Übung 7
7.1
Isomorphe Graphen und Subgraphen (?)
Welche der Graphen G1 , G2 , G3 und G4 sind isomorph? Begründen Sie.
c
6
f
e
b
a
1
d
G1
7.2
5
γ
ζ
β
A
D
E
4
2
F
α
3
δ
B
G3
G2
C
G4
(7 Punkte)
Kreise
a) (? ?) Wie viele Kreise der Länge r enthält der vollständige Graph Kn .
(2 Punkte)
b) (? ? ?) Für welche a, b ≥ 2 enthält das Gitter Ma,b einen Hamiltonkreis?
(5 Punkte)
7.3
Dreiecksfreie Graphen
Sei G = (V, E) ein Graph mit n ∈ N Knoten, der kein Dreieck als Teilgraph enthält.
a) (? ?) Zeigen Sie, dass für alle {u, v} ∈ E gilt: deg(u) + deg(v) ≤ n.
b) (? ? ? ?) Zeigen Sie, dass |E| ≤
n2
4
gilt.
c) (? ?) Gibt es für alle geraden n einen Graphen mit n Knoten und
Dreieck als Teilgraph enthält? Beweisen Sie Ihre Antwort.
7.4
n2
4
Kanten, der kein
Bäume und Spannbäume (? ?)
a) Zeichnen Sie alle (nicht-isomorphen) Bäume mit 6 Knoten.
b) Eine Brücke ist eine Kante, deren Löschung die Anzahl der Komponenten des Graphen erhöht. Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph und e ∈ E. Zeigen Sie,
dass e genau dann eine Brücke ist, wenn e in jedem Spannbaum von G enthalten ist.
7.5
(6 Punkte)
Planare Graphen
a) (?) Beweisen Sie: Für jeden zusammenhängenden planaren Graphen G = (V, E) mit
|V | ≥ 3 gilt
(2 Punkte)
X
deg(v) ≤ 6|V | − 12.
v∈V
b) (? ? ?) Entscheiden Sie, ob nebenstehender Graph planar ist,
und beweisen Sie Ihre Antwort.
(4 Punkte)
7.6
Adjazenzmatrix (? ? ?)
Sei G ein Graph und AG seine Adjazenzmatrix. Was erhält man, wenn man die Spur1 von
A2G berechnet?
7.7
Fakultativ: Kampf gegen die Hydra (? ? ? ? ?)
Auf einer griechischen Insel kämpft Herakles gegen eine Hydra, ein schlangenähnliches Wesen mit vielen
Köpfen. Diese kann als Baum T = (V, E) mit Wurzel r ∈ V dargestellt werden: Die Wurzel entspricht ihrem
Rumpf und die Blätter den Köpfen. Mit p(v) bezeichnen wir den Elternknoten eines Knotens v ∈ V − {r} in
dem Baum. Schlägt Herakles der Hydra einen Kopf l ∈ V mit p(l) 6= r ab, wachsen der Hydra nach folgender
Regel weitere Köpfe nach: Sei Tl der Teilbaum mit Wurzel p(l) nachdem das Blatt l entfernt wurde. Füge zwei
Kopien von Tl an p(p(l)) an. Die Hydra ist besiegt, wenn sie nur noch aus ihrem Rumpf besteht.2
Ist es möglich, jede Hydra zu besiegen? Beweisen Sie Ihre Antwort.
Abgabe am 3. November 2014
Korrigiert werden Aufgaben 7.2 und 7.5.
1
Die Spur einer Matrix ist die Summe ihrer Diagonalelemente.
Auf der Vorlesungswebseite (http://www.crypto.ethz.ch/teaching/lectures/DM14/) kann
man selbst in die Rolle des Herakles schlüpfen und versuchen, die Hydra zu besiegen. Das sollte auch beim
Verständnis der Regeln für das Nachwachsen der Köpfe helfen.
2