Langlands-Programm - Universität Paderborn

Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Langlands-Programm
Zahlentheorie = Algebra + Geometrie + Analysis
Torsten Wedhorn
19. Januar 2012
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Inhalt
1
Dreieckszahlen
2
Elliptische Kurven
3
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
4
Riemannsche Vermutung
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Dreieckszahlen
Eine rationale Zahl D > 0 heißt Dreieckszahl (oder
Kongruenzzahl), falls D die Fläche eines rechtwinkligen
Dreiecks mit rationalen Seitenlängen ist.
Anders ausgedrückt:
D > 0 heißt Dreieckszahl, falls a, b, c ∈ Q existieren mit
a2 + b 2 = c 2
und
D=
ab
.
2
Frage: Welche rationale Zahlen sind Dreieckszahlen?
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Einfache Beispiele
Beispiel:
6 ist Dreieckszahl: 6 ist der Flächeninhalt des
rechtwinkligen Dreiecks mit Seitenlängen (3, 4, 5).
5 ist Dreieckszahl: 5 ist Flächeninhalts des
(20/3, 3/2, 41/6)-Dreiecks.
7 ist Dreieckszahl: Dreieck (35/12, 72/15, 337/60).
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Einfache Reduktion
Bemerkung: D Dreieckszahl, etwa
D = ab/2,
a2 + b 2 = c 2
für a, b, c ∈ Q.
Dann ist auch s2 D Dreieckszahl für alle s ∈ Q× , denn
s2 D = (sa)(sb)/2
und (sa)2 + (sb)2 = (sc)2 .
Hochmultiplizieren von Nennern: Es genügt ganze quadratfreie
Zahlen > 0 zu betrachten.
(Eine ganze Zahl heißt quadratfrei, falls sie nicht durch eine
Quadratzahl > 1 teilbar ist.)
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Geschichte
Vermutung (Fibonacci, 1175 – 1240):
1 ist keine Dreieckszahl (äquivalent: Keine Quadratzahl ist eine
Dreieckszahl).
Beweis: Fermat (1601 – 1665)
“Methode des unendlichen Abstiegs”
Korollar: Es existieren keine r , s, t ∈ Q mit
t 2 − s2 = s2 − r 2 = 1.
Beweis: Angenommen doch. Dann sind t − r , t + r , 2s sind die
Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks und
(t − r )(t + r )/2 = (t 2 − r 2 )/2 = 1, d.h. 1 wäre Dreieckszahl.
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Beispiel
Beispiel (Don Zagier): Die Zahl 157 ist Dreieckszahl.
Das einfachste Dreieck mit Fläche 157 ist:
6803298487826435051217540
,
411340519227716149383203
411340519227716149383203
b=
,
21666555693714761309610
224403517704336969924557513090674863160948472041
c=
.
8912332268928859588025535178967163570016480830
a=
Satz (G. Kramarz, 1986): Alle ganzen Dreieckszahlen ≤ 2000
bekannt.
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Satz von Tunnel
Theorem (Tunnel, 1983): D ∈ Z quadratfrei, ungerade. Ist D
Dreieckszahl, so gilt
{(x, y , z) ∈ Z3 | 2x 2 + y 2 + 8z 2 = D, z ungerade}
(4)
= {(x, y , z) ∈ Z3 | 2x 2 + y 2 + 8z 2 = D, z gerade}.
Umgekehrt: Genügt D der Gleichung (4) und gilt die
Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, so ist D
Dreieckszahl.
Eine ähnliche Aussage gilt für D gerade.
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Beispiel
Beispiel: 1 genügt nicht der Gleichung (4), denn
{(x, y , z) ∈ Z3 | 2x 2 + y 2 + 8z 2 = 1, z ungerade} = ∅,
{(x, y , z) ∈ Z3 | 2x 2 + y 2 + 8z 2 = 1, z gerade}
= {(0, 1, 0), (0, −1, 0)}.
Also ist 1 keine Dreieckszahl.
Beispiel: Jedes D ∈ Z mit D ≡ 5 mod 8 (z.B. D = 157) genügt
der Gleichung (4), denn beide Seiten der Gleichung sind 0.
Also sind solche quadratfreien D’s Dreieckszahlen, falls die
Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung gilt.
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Dreieckszahlen und Elliptische Kurven
Satz (einfach): Eine quadratfreie ganze Zahl D > 0 ist genau
dann eine Dreieckszahl, wenn die Gleichung
ED : y 2 = x 3 − D 2 x
eine Lösung (x, y ) ∈ Q2 mit y 6= 0 besitzt.
ED ist rationale elliptische Kurve, d.h.:
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Elliptische Kurven
Rationale elliptische Kurven: Gleichungen der Form
E : y 2 = P(x),
mit P(x) = x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0
ohne mehrfache Nullstellen, a2 , a1 , a0 ∈ Q.
Kubische Ergänzung (ersetze x durch x − a2 /3):
Ohne Einschränkung E von der Form
y 2 = P(x) = x 3 + ax + b,
a, b ∈ Q.
Dann gilt:
P(x) ohne mehrfache Nullstelle ⇔ ∆E := −16(4a3 + 27b2 ) 6= 0.
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Rationale Lösungen einer elliptischen Kurve
Setze
E(Q) = {(x, y ) ∈ Q2 | y 2 = P(x)} ∪ {∞}.
Dann besitzt E(Q) die Struktur einer kommutativen Gruppe mit
∞ als neutrales Element.
Theorem (vermutet von Poincaré (ca. 1900), bewiesen von
Mordell (1922)):
E(Q) ∼
= Zr (E) × E(Q)tors ,
wobei E(Q)tors endliche Gruppe und r (E) ≥ 0 ganze Zahl.
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Folgerung für Dreieckszahlen
Erinnerung: D Dreieckszahl ⇔ E : y 2 = x 3 − D 2 x besitzt
Lösung (x, y ) ∈ Q2 mit y 6= 0.
Bemerkung: Ist (x, 0) ∈ E(Q), so ist (x, 0) ∈ E(Q)tors .
Beispiel: Für ED : y 2 = x 3 − D 2 x gilt:
ED (Q)tors = {∞, (0, 0), (D, 0), (−D, 0)}.
Korollar: D Dreieckszahl ⇔ r (ED ) > 0 ⇔ |ED (Q)| = ∞.
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Langlandsprogramm
Langlandsprogramm
Gegeben ein System X zahlentheoretischer Gleichungen (z.B.
eine elliptische Kurve).
Assoziiere zu X ein analytisches Objekt LX (“L-Funktion”), so
dass
Eigenschaften von LX implizieren Eigenschaften von X .
Finde (einfacheres) analytisches Objekt π, so dass
LX = Lπ (etwa “π automorphe Darstellung”).
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
L-Funktion einer elliptischen Kurve I
Sei E : y 2 = x 3 + ax + b rationale elliptische Kurve,
∆E = −16(4a3 + 27b2 ) 6= 0.
Zur Vereinfachung seien a, b ∈ Z (sonst “geschicktes
Hochmultiplizieren der Nenner”).
0. Schritt (Lösungen modulo p):
Sei p Primzahl, die kein Teiler von ∆E ist. Setze
ap := { (x, y ) ∈ Z/pZ ; y 2 ≡ x 3 + ax + b (mod p) } − p.
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
L-Funktion einer elliptischen Kurve II
Beispiel: E : y 2 = x 3 − x (∆E = 26 ), p = 3. Dann
{ (x, y ) ∈ Z/3Z ; y 2 ≡ x 3 −x
(mod 3) } = {(0, 0), (1, 0), (2, 0)},
da x 3 − x ≡ 0 (mod 3) for all x ∈ Z/3Z. Also a3 = 0.
Exkurs: Wie variiert ap mit p: Sato-Tate-Vermutung (bewiesen
2008 von L. Clozel, M. Harris, N. Shepherd-Barron, R. Taylor).
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
L-Funktion einer elliptischen Kurve III
Konstruiere L-Funktion LE :
Für p teilt nicht ∆E und s ∈ C setze:
Lp (E, s) :=
1
1 − ap
p−s
+ p1−2s
.
Für p teilt ∆E und s ∈ C setze: Lp (E, s) := 1.
Setze
LE (s) :=
Y
Lp (E, s).
p prime
Produkt konvergiert für Re(s) > 3/2.
(Vorsicht: Definition nicht Standard)
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Vermutung von Birch, Swinnerton-Dyer
Vermutung von B. Birch, P. Swinnerton-Dyer (ca. 1963):
LE (1) = 0 ⇔ r (E) > 0 (⇔ |E(Q)| = ∞)
Genauer: r (E) ist die Ordnung der Nullstelle von LE (s) bei
s = 1.
Dies ist eines “Millenium-Probleme” des Clay-Instituts.
Problem: Brauchen dafür, dass LE (s) in s = 1 definiert ist.
Vermutung (Hasse, ca. 1950): LE kann auf ganz C fortgesetzt
werden (als holomorphe Funktion).
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Modularität I
Eine Modulform f (genauer: rationale Spitzenform) ist eine komplex
differenzierbare (holomorphe) Funktion
f : H := { z ∈ C ; Im(z) > 0 } → C
so dass f (z + 1) = f (z) for all z ∈ H und so dass ...
(Spezialfall einer automorphen Darstellung).
Dann f (z) =
Setze:
P∞
n=1 an e
2πinz
(Fourier-Entwicklung) mit an ∈ Q.
Lf (s) :=
∞
X
an
n=1
ns
Lf einfacher zu verstehen, z.B. nicht schwierig zu zeigen:
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Modularität II
Satz: Lf kann auf ganz C definiert werden.
Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung (1957, bewiesen von
C. Breuil, B. Conrad, F. Diamond, R. Taylor in 2001): Jede
rationale elliptische Kurve E ist modular, d.h. es existiert eine
Modulform f = fE mit LE = Lf .
Insbesondere kann LE auf ganz C definiert werden.
Für E = ED : y 2 = x 3 − D 2 x zeige:
LfE (1) = 0 ⇔ D erfüllt (4).
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Exkurs: Satz von Fermat
Letzter Satz von Fermat: Sei n > 2 natürliche Zahl. Dann
existieren keine natürlichen Zahlen a, b, c mit an + bn = c n .
Beweisidee: Ohne Einschränkung n = p Primzahl (einfach) und
p > 5 (L. Euler 1770, A.-M. Legendre und P. Dirichlet 1825).
Angenommen (a, b, c) sei Lösung. Betrachte elliptische Kurve
E : y 2 = x(x − ap )(x + bp ) (Idee: Y. Hellegouarch (ca. 1968),
G. Frey (ca. 1984)). E hat “semistabile Reduktion”.
Zeige: E ist nicht modular (J.P. Serre 1985, K. Ribet 1990).
Zeige: Jede elliptische Kurve mit semistabiler Reduktion ist
modular (A. Wiles, R. Taylor, A. Wiles 1995).
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Verteilung von Primzahlen
Wieviele Primzahlen gibt es? Unendlich viele!
Genauer: Für x ∈ R mit x > 0, sei π(x) die Anzahl der
Primzahlen p mit p ≤ x.
Ziel: Beschreibung von π(x).
C. F. Gauß glaubt (Brief von 1849), dass π(x) “gut durch
Zx
Li(x) :=
1
dt
log t
0
(logarithmische Integralfunktion) approximiert wird”.
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Riemannsche ζ-Funktion I
Riemann (1859) definiert Riemannsche ζ-Funktion
ζ(s) :=
∞
X
Y
1
1
=
s
n
1 − p−s
n=1
p prime
(“L-Funktion des Punktes”). Summe/Produkt konvergieren für
s ∈ C mit Re(s) > 1. Er zeigt:
ζ besitzt komplex differenzierbare Fortsetzung zu
ζ : C \ {1} → C.
Wenn s negative ganze gerade Zahl, dann ζ(s) = 0.
Für alle anderen Nullstellen s (“nicht triviale Nullstellen”)
von ζ gilt: 0 < Re(s) < 1.
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Riemannsche ζ-Funktion II
Riemann beweist: Falls für alle nicht-trivialen Nullstellen s von ζ
gilt, dass Re(s) = 12 , dann existiert C ∈ R, C > 0 mit
(+)
√
|π(x) − Li(x)| ≤ C x log(x)
für all x ∈ R, x > 1.
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Riemannsche Vermutung
Riemannsche Vermutung (1859): Für alle nicht-trivialen
Nullstellen s von ζ gilt Re(s) = 21 .
Dies ist das älteste der “Millenium-Probleme” des Clay-Instituts.
Satz (Koch 1901, Schoenfeld 1976): Die Abschätzung
√
(+)
|π(x) − Li(x)| ≤ C x log(x)
ist “best-möglichst”, und (+) für x ≥ 2657 and C =
äquivalent zur Riemannschen Vermutung.
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm
1
8π
ist
Dreieckszahlen
Elliptische Kurven
L-Funktionen und die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung
Riemannsche Vermutung
Weierstraß-Vorlesung
Weierstraß-Vorlesung 2012
Richard Taylor (Harvard)
11. Mai 2012
Auditorium Maximum, Universität Paderborn
Torsten Wedhorn
Langlands-Programm