9. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung ” Logik in der Informatik“

TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut TI, FG Theoretische Informatik
Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. M. Huschenbett
http://www.tu-ilmenau.de/iti/lehre/lehre-ss-2011/lidi/
9. Übungsblatt zur Vorlesung Logik in der Informatik“
”
Die Lösungen der folgenden Aufgaben werden in der Übung am 28. Juni 2011 besprochen.
Bearbeiten Sie die Aufgaben daher bitte vor diesem Übungstermin zu Hause.
Aufgabe 1
Es seien n ≥ 1 und Gn die Menge aller gerichteten Graphen G = (V, E) auf den Knoten
V = { 1, . . . , n } (isomorphe Graphen werden dabei nicht identifiziert). Wir erzeugen Graphen
G ∈ Gn zufällig, indem wir für jede potentielle Kante eine faire Münze werfen und die Kante
genau dann zu G hinzufügen, wenn die Münze Zahl zeigt.
Zeigen Sie, dass wir jeden Graphen G ∈ Gn mit derselben Wahrscheinlichkeit erhalten. Die
durch den Zufallsalgorithmus gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Gn ist also gerade
die Gleichverteilung.
Aufgabe 2
Für n ≥ 1 sei Gn wie in Aufgabe 1 und wir nehmen eine Gleichverteilung auf Gn an, deren
Wahrscheinlichkeitsmaß wir mit ProbG∈Gn bezeichnen.
(a) Berechnen Sie in Abhängigkeit von n ≥ 1 die Wahrscheinlichkeit
ProbG∈Gn (die Anzahl der Kanten von G ist gerade) .
Ermitteln Sie weiter
lim ProbG∈Gn (die Anzahl der Kanten von G ist gerade) .
n→∞
(b) Bestimmen Sie
lim ProbG∈Gn (G hat einen Durchmesser ≤ 2) .
n→∞
Ein Graph G = (V, E) hat dabei Durchmesser ≤ 2 wenn für jedes Paar (x, y) ∈ V × V
gilt x = y oder (x, y) ∈ E oder es gibt ein z ∈ V mit (x, z), (z, y) ∈ E.
(c) Schlussfolgern Sie den Wert von
lim ProbG∈Gn (G ist stark zusammenhängend) .
n→∞
(d) Zeigen Sie
lim ProbG∈Gn (G enthält ein Dreieck) = 1 .
n→∞
Ein Dreieck in einem Graphen G = (V, E) besteht dabei aus drei paarweise verschiedenen
Knoten x, y, z ∈ V mit (x, y), (y, z), (z, x) ∈ E (wir schreiben dafür ∆(x, y, z)).
Hinweis: Für vier paarweise verschiedene Knoten x, y, z, z 0 ∈ V sind die Ereignisse ∆(x, y, z)
und ∆(x, y, z 0 ) nicht stochastisch unabhängig. Hingegen sind ∆(x, y, z) und ∆(x, y 0 , z 0 ) für
fünf paarweise verschiedene Knoten x, y, y 0 , z, z 0 ∈ V stochastisch unabhängig.
Bitte wenden!
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9. Übungsblatt zur Vorlesung Logik in der Informatik“
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Aufgabe 3
Eine partielle Ordnung ist eine Struktur A = (A, ≤A ) mit einer reflexiven, transitiven und
antisymmetrischen binären Relation ≤A auf A. Eine lineare Ordnung ist eine partielle Ordnung
A = (A, ≤A ) bei der die Relation ≤A total ist, d.h. für alle a, b ∈ A gilt a ≤ b oder b ≤ a.
Für je zwei partielle Ordnungen A = (A, ≤A ) und B = (B, ≤B ) definieren wir eine weitere
partielle Ordnung A × B = (A × B, ≤A×B ) durch
(a1 , b1 ) ≤A×B (a2 , b2 )
⇐⇒
a1 ≤A a2 und b1 ≤B b2 .
(a) Betrachten Sie die Formel
ϕ = ∃=1 x ∀y : x ≤ y .
Bestimmen Sie eine endliche Menge Φ von Paaren von FO-Sätzen mit der folgenden Eigenschaft: Für alle partiellen Ordnungen A und B gilt A × B |= ϕ genau dann, wenn es
ein Paar (ψA , ψB ) ∈ Φ gibt mit A |= ψA und B |= ψB .
(b) Lösen Sie Teilaufgabe (a) für die Formel
ϕ = ∃=2 x∀y : x ≤ y .
(c) Lösen Sie Teilaufgabe (a) erneut für die Formel
ϕ = ∃x, y, z : x < y < z ∧ ¬(∃u : x < u < y ∨ y < u < z)
und lineare Ordnungen A und B.
Bemerkung: Für lineare Ordnungen A und B ist A × B im Allgemeinen keine lineare
Ordnung.
(d) Finden Sie eine MSO-Formel ϕ, so dass für alle endlichen linearen Ordnungen A = (A, ≤A )
und B = (B, ≤B ) gilt: A × B |= ϕ genau dann, wenn |A| = |B|.
(e) Zeigen Sie, dass es keine endliche Menge Φ von Paaren von SO-Formeln mit der folgenden
Eigenschaft gibt: Für alle endlichen linearen Ordnungen A = (A, ≤A ) und B = (B, ≤B )
gilt |A| = |B| genau dann, wenn es ein Paar (ψA , ψB ) ∈ Φ mit A |= ψA und B |= ψB gibt.