Roter Faden: 1.Hubblesches Gesetz

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Der Skalenfaktor des Universums
Roter Faden:
1.Hubblesches Gesetz: v = H d
2.Wie mißt man Geschwindigkeiten?
3.Wie mißt man Abstände?
4.Wie alt ist das Universum?
5.Wie groß ist das sichtbare Universum?
2. November 2007
Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer
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Bestimmung der Geschwindigkeiten
Relative Geschwindigkeit v der Galaxien aus Dopplerverschiebung.
Blauverschiebung
Absorptionslinien
Vrel
Keine Verschiebung
Rotverschiebung
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Relativistische Dopplerverschiebung
Relative Geschwindigkeit v der Galaxien aus Dopplerverschiebung.
(
Quelle bewegt sich, aber Frequenz konstant. In einer Periode Δt´=T
vergrößert sich Abstand von λrest = cT auf λobs = (c+v)T´.
Die relativistische Zeitdilatation ergibt: T´/ T = γ =
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Relativistische Rotverschiebung
1
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Abstandsmessungen
Und SNIa, das sind Supernovae
die aus Doppelsternen entstehen,
sehr hell leuchten und immer
praktisch gleiche Anfangshelligkeit haben. Perfekte
Standardkerzen,
sichtbar auf sehr große Entfernungen
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Bestimmung der Abstände zwischen Galaxien
Trigonometrie:
r = Astronomische Einheit (AE) =
= 1.496 108 km = 1/(206265) pc.
π
d/2
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r
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Einheiten
Abstand zur Sonne: 8 Lichtminuten. Nächster Stern: 1,3 pc.
Zentrum der Milchstraße: 8 kpc. Nächste Galaxy: 55 kpc
Andromeda Nebel: 770 kpc.
Milchstraße
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Cluster (1 Mpc)
Supercluster (100 Mpc) Universum (10000Mpc)
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Bestimmung der Abstände durch Spektroskopie
Leuchtkraft L = Oberflächenhelligkeit F x Fläche πR2
oder Energieströme messen:
Scheinbare Helligkeit m = gemessene Strahlungsstrom,
d.h. pro Zeiteinheit vom Empfänger registrierte Energie.
Absolute Helligkeit M = scheinbare Helligkeit auf Abstand
von r0 = 10 pc und m ∝ 1/4πR2.
L aus Temperatur (Farbe)
m messbar mit Photoplatte, digitale Kamera …..
F oder M aus
a) Spektrum plus Hertzsprung-Russel Diagram
b) Cepheiden (absolute Leuchtkraft M aus Periode)
c) Supernovae Ia ( M bekannt)
d) Tully-Fisher Relation (Rotationsgeschwindigkeit ∝ M)
e) hellsten Sterne einer Galaxie
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Leuchtkraft der Sterne
Leuchtkraft der Sonne
LS = 3.9 1026 W = 4.75m
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Antike: 6 Größenklassen der
scheinbaren Helligkeiten m,
angegeben mit 1m .. 6m.
Sterne sechster Größe kaum
mit Auge sichtbar. Sonne: 4,75m
Man sagt: Sonne hat Größe
(oder magnitude) 4.75
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Leuchtkraft und Entfernungsmodul
Die Leuchtkraft L (engl. luminosity) eines Sterns ist die abgestrahlte Energie
integriert über alle Wellenlängen. Aus der Helligkeit in unterschiedlichen
Frequenzbändern (U=UV, B=Blau, V=Visuell) kann man die Leuchtkraft
(oder bolometrische Helligkeit) rekonstruieren.
Die bolometrische Helligkeit der Sonne wird festgelegt auf M☼ = 4,75
(stimmt ungefähr mit Skale 1-6 der Antiken).
Die Helligkeit (engl. magnitude) in einem bestimmten Spektralbereich
hängt vom Abstand und Durchsichtigkeit des Universums für die Strahlung ab.
Man definiert die absolute Helligkeit M als die Helligkeit auf einem Abstand
von 10 pc and die scheinbare Helligkeit m (= gemessener Strahlungsstrom S, d.h.
pro Zeit und Flächeneinheit vom Empfänger registrierte Energie)
für einem Abstand d als m = M + 5 log (d/10pc).
Der logarithmische Term m-M nennt man Entfernungsmodul (distance modulus)
und kann benutzt werden um Abstände zu bestimmen, wenn m und M bekannt s
Oder man kann die Helligkeiten von Sternen vergleichen bei gleichem Abstand:
M1 - M2 = 2.5 log S1/S2 , wenn die Strahlungsströme S1 und S2 bekannt sind.
Eine Supernova Ia hat M= -19.6, die Sonne 4.75, so die Helligkeiten unterscheiden
sich um einen Faktor 10 (4,75+19,6)/ 2.5 ≈ 10 Größenordnungen.
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Nicht-Linearität des Hubbleschen Gesetzes
parametrisieren mit Bremsparameter q0
(Taylor-Entwicklung: S(t)=S(t0)-S `(t0)(t-t0)-½ S ``(t0)(t-t0)2)
Experimentell: q=-0.6±0.02: abstoßende Gravitationskraft
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Hubble Diagramm aus SN Ia Daten
Abstand aus dem Hubbleschen
Gesetz mit Bremsparameter
q0=-0.6 und H=0.7 (100 km/s/Mpc)
z=1-> r=c/H(z+1/2(1-q0)z2)=
3.108/(0.7x105 )(1+0.8) Mpc
= 7 Gpc
Abstand aus SN1a Helligkeit m
mit absoluter Helligkeit M=-19.6:
m=24.65 und log d=(m-M+5)/5) ->
Log d=(24.65+19.6+5)/5=9.85
d = 7.1 Gpc
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Bestimmung der Abstände durch Spektroskopie
Absolute Helligkeit M aus:
a) Spektrum plus Hertzsprung-Russel Diagram
b) Cepheiden (absolute Leuchtkraft M aus Periode)
c) Supernovae Ia ( M bekannt)
d) Tully-Fisher Relation (Rotationsgeschwindigkeit ∝ M)
e) hellsten Sterne einer Galaxie
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Herzsprung-Russell Diagramm
Oh
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Be
A
Fine
Girl
Kiss
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Me
Right No
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Herzsprung-Russel Diagramm
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©J. Hörandel
Siehe Astroteilchenphysik I
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©J. Hörandel
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Entstehung Supernova Ia
A giant red star (right) blowing gas onto a white dwarf star
caused an explosion so violent that it could be seen 8,000
trillion miles away on Earth without a telescope on Feb. 12,
2006. (David A.Hardy/www.astroart.org & PPARC)
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Geschichte der SN1987a
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Cepheiden (veränderliche Sterne)
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Tully-Fisher : max. Rotationsgeschwindigkeit
der Spiralgalaxien prop. Leuchtkraft
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Hubblesches Gesetz in “comoving coordinates”
d
D
Beispiel:
D = S(t) d (1)
Diff, nach Zeit⇒
D = S(t) d (2)
oder
D = v = S(t)/S(t) D
Oder v = HD
mit H = S(t)/S(t)
D = S(t) d
S(t) = zeitabhängige Skalenfaktor, die die Expansion
berücksichtigt.
Durch am Ende alle Koordinaten mit Skalenfaktor
zu multiplizieren, kann ich mit einem festen
(comoving) Koordinatensystem rechnen.
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Einfluss des Dichteparameters auf die Expansion
Offenes Univ.
Flaches Univ.
Geschlossenes Univ.
Vergleich mit einer Rakete mit U<T, U=T und U>T
Radius des sichtbaren Universum ∝ S, d.h. S(t) bestimmt
Zukunft des Universums!
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Zeitabhängigkeit der Skalenfaktor S(t) bei Ω=1
r ∝ S(t) und ρ ∝ 1/r3 ⇒
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Altersabschätzung des Universum für Ω=1
Oder dS/dt = H S oder mit S = kt2/3
2/3 k t-1/3 = H kt2/3 oder t0 = 2/(3H0) ≈ 10 . 109 a
Richtige Antwort:
t0 ≈ 1/H0 ≈ 14 . 109 a,
da durch Vakuumenergie
nicht-lineare Terme
im Hubbleschen Gesetz
auftreten (entsprechend
abstoßende Gravitation).
τ0=1/H0, da tan α = dS / dt = S0 / t0
τuni = 2 / 3H0
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Wie groß ist das sichtbare Universum für Ω=1?
Naiv: R = ct0 ist Radius des Universums.
Dies ist richtig für ein statisches Universum ohne Expansion.
Mit Expansion: R = 3ct0.
Beweis (mit comoving coor.):
Betrachte sphärische Koor. (R,θ,ϕ,t) und mitbewegende
Koor. (σ,θ,ϕ,η) und Lichtstrahl in Ri. ϕ=θ=0.
Dann gilt: R = c t und σ = c η, weil c = unabh. vom Koor. System
Aus R = S(t) σ folgt dann: R = c S(t) η = ct, d.h. Zeit
skaliert auch mit S(t)!
Daraus folgt: η = ∫ dη = ∫ dt / S(t) oder mit S(t) = kt2/3
σ = c∫ dη = c∫1/ kt2/3dt = (3c/k) t1/3
Oder R0= S(t) σ = 3 c t0 = 3 x 3.108 x 14.109 x 3.107 = 3.8x1026 m=
3.8x1026/3.1x1016=12 Gpc
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Beobachtungen:
Ω=1, jedoch
Alter >>2/3H0
Alte SN dunkler
als erwartet
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Vakuumenergie ⇒abstoßende Gravitation
Vakuumenergie and cosmological constant both produce repulsive gravity ⇒ equivalent!
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Energie-Inhalt des Universums (später mehr)
Ω= ρ/ρcrit 1.0±0.04
Λ
ΩM= ρM/ρcrit
ΩCDM= ρCDM/ρcrit
ΩΛ= ρΛ/ρcrit =73%
Nur 4-5% der Energieform ist bekannt, d.h. besteht aus bekannten
Teilchen, wie Atome, Neutrinos, usw. 95% VÖLLIG UNBEKANNT.
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Zum Mitnehmen:
1. Comoving coordinates erlauben Rechnungen
OHNE die Expansion zu berücksichtigen.
Nachher werden alle Abstände und auch
die Zeit mit dem Skalenfaktor S(t) multipliziert.
2. Zeitabhängigkeit des Skalenfaktors: S = kt2/3
3. Alter des Universums für Ω = 1 und ohne
Vakuumenergie: t0 = 2/(3H0) ≈ 10 . 109 a
Dieser Wert ist zu niedrig, weil die beschleunigte
Expansion durch die Vakuumenergie vernachlässigt wird.
4. Größe des sichtbaren Universums für Ω = 1: 3ct0
(ohne Expansion: ct0)
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