Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer
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Der Skalenfaktor des Universums Roter Faden: 1.Hubblesches Gesetz: v = H d 2.Wie mißt man Geschwindigkeiten? 3.Wie mißt man Abstände? 4.Wie alt ist das Universum? 5.Wie groß ist das sichtbare Universum? 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 1 Bestimmung der Geschwindigkeiten Relative Geschwindigkeit v der Galaxien aus Dopplerverschiebung. Blauverschiebung Absorptionslinien Vrel Keine Verschiebung Rotverschiebung 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 2 Relativistische Dopplerverschiebung Relative Geschwindigkeit v der Galaxien aus Dopplerverschiebung. ( Quelle bewegt sich, aber Frequenz konstant. In einer Periode Δt´=T vergrößert sich Abstand von λrest = cT auf λobs = (c+v)T´. Die relativistische Zeitdilatation ergibt: T´/ T = γ = 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 3 Relativistische Rotverschiebung 1 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 4 Abstandsmessungen Und SNIa, das sind Supernovae die aus Doppelsternen entstehen, sehr hell leuchten und immer praktisch gleiche Anfangshelligkeit haben. Perfekte Standardkerzen, sichtbar auf sehr große Entfernungen 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 5 Bestimmung der Abstände zwischen Galaxien Trigonometrie: r = Astronomische Einheit (AE) = = 1.496 108 km = 1/(206265) pc. π d/2 2. November 2007 r Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 6 Einheiten Abstand zur Sonne: 8 Lichtminuten. Nächster Stern: 1,3 pc. Zentrum der Milchstraße: 8 kpc. Nächste Galaxy: 55 kpc Andromeda Nebel: 770 kpc. Milchstraße 2. November 2007 Cluster (1 Mpc) Supercluster (100 Mpc) Universum (10000Mpc) Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 7 Bestimmung der Abstände durch Spektroskopie Leuchtkraft L = Oberflächenhelligkeit F x Fläche πR2 oder Energieströme messen: Scheinbare Helligkeit m = gemessene Strahlungsstrom, d.h. pro Zeiteinheit vom Empfänger registrierte Energie. Absolute Helligkeit M = scheinbare Helligkeit auf Abstand von r0 = 10 pc und m ∝ 1/4πR2. L aus Temperatur (Farbe) m messbar mit Photoplatte, digitale Kamera ….. F oder M aus a) Spektrum plus Hertzsprung-Russel Diagram b) Cepheiden (absolute Leuchtkraft M aus Periode) c) Supernovae Ia ( M bekannt) d) Tully-Fisher Relation (Rotationsgeschwindigkeit ∝ M) e) hellsten Sterne einer Galaxie 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 8 Leuchtkraft der Sterne Leuchtkraft der Sonne LS = 3.9 1026 W = 4.75m 2. November 2007 Antike: 6 Größenklassen der scheinbaren Helligkeiten m, angegeben mit 1m .. 6m. Sterne sechster Größe kaum mit Auge sichtbar. Sonne: 4,75m Man sagt: Sonne hat Größe (oder magnitude) 4.75 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 9 Leuchtkraft und Entfernungsmodul Die Leuchtkraft L (engl. luminosity) eines Sterns ist die abgestrahlte Energie integriert über alle Wellenlängen. Aus der Helligkeit in unterschiedlichen Frequenzbändern (U=UV, B=Blau, V=Visuell) kann man die Leuchtkraft (oder bolometrische Helligkeit) rekonstruieren. Die bolometrische Helligkeit der Sonne wird festgelegt auf M☼ = 4,75 (stimmt ungefähr mit Skale 1-6 der Antiken). Die Helligkeit (engl. magnitude) in einem bestimmten Spektralbereich hängt vom Abstand und Durchsichtigkeit des Universums für die Strahlung ab. Man definiert die absolute Helligkeit M als die Helligkeit auf einem Abstand von 10 pc and die scheinbare Helligkeit m (= gemessener Strahlungsstrom S, d.h. pro Zeit und Flächeneinheit vom Empfänger registrierte Energie) für einem Abstand d als m = M + 5 log (d/10pc). Der logarithmische Term m-M nennt man Entfernungsmodul (distance modulus) und kann benutzt werden um Abstände zu bestimmen, wenn m und M bekannt s Oder man kann die Helligkeiten von Sternen vergleichen bei gleichem Abstand: M1 - M2 = 2.5 log S1/S2 , wenn die Strahlungsströme S1 und S2 bekannt sind. Eine Supernova Ia hat M= -19.6, die Sonne 4.75, so die Helligkeiten unterscheiden sich um einen Faktor 10 (4,75+19,6)/ 2.5 ≈ 10 Größenordnungen. 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 10 Bremsparameter q0 (Taylor-Entwicklung: S(t)=S(t0)-S `(t0)(t-t0)-½ S ``(t0)(t-t0)2) Experimentell: q=-0.6±0.02: abstoßende Gravitationskraft 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 11 Hubble Diagramm aus SN Ia Daten Abstand aus dem Hubbleschen Gesetz mit Bremsparameter q0=-0.6 und H=0.7 (100 km/s/Mpc) z=1-> r=c/H(z+1/2(1-q0)z2)= 3.108/(0.7x105 )(1+0.8) Mpc = 7 Gpc Abstand aus SN1a Helligkeit m mit absoluter Helligkeit M=-19.6: m=24.65 und log d=(m-M+5)/5) -> Log d=(24.65+19.6+5)/5=9.85 d = 7.1 Gpc 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 12 Bestimmung der Abstände durch Spektroskopie Absolute Helligkeit M aus: a) Spektrum plus Hertzsprung-Russel Diagram b) Cepheiden (absolute Leuchtkraft M aus Periode) c) Supernovae Ia ( M bekannt) d) Tully-Fisher Relation (Rotationsgeschwindigkeit ∝ M) e) hellsten Sterne einer Galaxie 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 13 Herzsprung-Russell Diagramm Oh 2. November 2007 Be A Fine Girl Kiss Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer Me Right No 14 Herzsprung-Russel Diagramm 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 15 ©J. Hörandel Siehe Astroteilchenphysik I 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 16 ©J. Hörandel 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 17 Entstehung Supernova Ia A giant red star (right) blowing gas onto a white dwarf star caused an explosion so violent that it could be seen 8,000 trillion miles away on Earth without a telescope on Feb. 12, 2006. (David A.Hardy/www.astroart.org & PPARC) 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 18 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 19 Geschichte der SN1987a 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 20 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 21 Cepheiden (veränderliche Sterne) 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 22 Tully-Fisher : max. Rotationsgeschwindigkeit der Spiralgalaxien prop. Leuchtkraft 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 23 Hubblesches Gesetz in “comoving coordinates” d D Beispiel: D = S(t) d (1) Diff, nach Zeit⇒ D = S(t) d (2) oder D = v = S(t)/S(t) D Oder v = HD mit H = S(t)/S(t) D = S(t) d S(t) = zeitabhängige Skalenfaktor, die die Expansion berücksichtigt. Durch am Ende alle Koordinaten mit Skalenfaktor zu multiplizieren, kann ich mit einem festen (comoving) Koordinatensystem rechnen. 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 24 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 25 Einfluss des Dichteparameters auf die Expansion Offenes Univ. Flaches Univ. Geschlossenes Univ. Vergleich mit einer Rakete mit U<T, U=T und U>T Radius des sichtbaren Universum ∝ S, d.h. S(t) bestimmt Zukunft des Universums! 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 26 Zeitabhängigkeit der Skalenfaktor S(t) bei Ω=1 r ∝ S(t) und ρ ∝ 1/r3 ⇒ 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 27 Altersabschätzung des Universum für Ω=1 Oder dS/dt = H S oder mit S = kt2/3 2/3 k t-1/3 = H kt2/3 oder t0 = 2/(3H0) ≈ 10 . 109 a Richtige Antwort: t0 ≈ 1/H0 ≈ 14 . 109 a, da durch Vakuumenergie nicht-lineare Terme im Hubbleschen Gesetz auftreten (entsprechend abstoßende Gravitation). τ0=1/H0, da tan α = dS / dt = S0 / t0 τuni = 2 / 3H0 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 28 Wie groß ist das sichtbare Universum für Ω=1? Naiv: R = ct0 ist Radius des Universums. Dies ist richtig für ein statisches Universum ohne Expansion. Mit Expansion: R = 3ct0. Beweis (mit comoving coor.): Betrachte sphärische Koor. (R,θ,ϕ,t) und mitbewegende Koor. (σ,θ,ϕ,η) und Lichtstrahl in Ri. ϕ=θ=0. Dann gilt: R = c t und σ = c η, weil c = unabh. vom Koor. System Aus R = S(t) σ folgt dann: R = c S(t) η = ct, d.h. Zeit skaliert auch mit S(t)! Daraus folgt: η = ∫ dη = ∫ dt / S(t) oder mit S(t) = kt2/3 σ = c∫ dη = c∫1/ kt2/3dt = (3c/k) t1/3 Oder R0= S(t) σ = 3 c t0 = 3 x 3.108 x 14.109 x 3.107 = 3.8x1026 m= 3.8x1026/3.1x1016=12 Gpc 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 29 Beobachtungen: Ω=1, jedoch Alter >>2/3H0 Alte SN dunkler als erwartet 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 30 Vakuumenergie ⇒abstoßende Gravitation Vakuumenergie and cosmological constant both produce repulsive gravity ⇒ equivalent! 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 31 Energie-Inhalt des Universums (später mehr) Ω= ρ/ρcrit 1.0±0.04 Λ ΩM= ρM/ρcrit ΩCDM= ρCDM/ρcrit ΩΛ= ρΛ/ρcrit =73% Nur 4-5% der Energieform ist bekannt, d.h. besteht aus bekannten Teilchen, wie Atome, Neutrinos, usw. 95% VÖLLIG UNBEKANNT. 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 32 Zum Mitnehmen: 1. Comoving coordinates erlauben Rechnungen OHNE die Expansion zu berücksichtigen. Nachher werden alle Abstände und auch die Zeit mit dem Skalenfaktor S(t) multipliziert. 2. Zeitabhängigkeit des Skalenfaktors: S = kt2/3 3. Alter des Universums für Ω = 1 und ohne Vakuumenergie: t0 = 2/(3H0) ≈ 10 . 109 a Dieser Wert ist zu niedrig, weil die beschleunigte Expansion durch die Vakuumenergie vernachlässigt wird. 4. Größe des sichtbaren Universums für Ω = 1: 3ct0 (ohne Expansion: ct0) 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 33
