Kosmologie, SS 04, Prof. W. de Boer

Vorlesung 2:
Roter Faden:
0. Wiederholung
1. Mitbewegende Koordinaten
2. Wie berechnet man Skalenfaktor?
3. Alter des Universums
4. Größe des Universums
5. Krümmung des Universums
4. November 2005
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Hubble (geb. 1879)
Hubble entdeckte dass sogenannte Nebel auch variable Sterne
beinhalteten. Schlussfolgerung: dies sind Galaxien.
Er entdeckte dass die meisten Galaxien eine Rotverschiebung
aufwiesen, die mit dem Abstand zunahm: Hubblesches Gesetz: v=Hr
Richtige Erklärung: es gab am Anfang einen Urknall. (und es gab
einen Anfang!!!!)
Analogie: Rosinen im Brot
sind wie Galaxien im Universum.
Auch hier relative Geschwindigk.
der Rosinen ∝ Abstand bei
der Expansion des Teiches,
d.h. v=Hr.
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Zum Mitnehmen:
1. Gravitation bestimmt Geschehen im Weltall
2. Hubblesches Gesetz: v=HD
v aus Rotverschiebung
D aus Entfernungsleiter
H = Expansionsrate = v/D
= h 100 km/s/Mpc
h = 0.71+-0.04
= Hubblekonstante in
Einheiten von 100 km/s/Mpc
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Hubble Diagramm aus SN Ia Daten
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Leuchtkraft und Entfernungsmodul
Die Leuchtkraft L (engl. luminosity) eines Sterns ist die abgestrahlte Energie
integriert über alle Wellenlängen. Aus der Helligkeit in unterschiedlichen
Frequenzbändern (U=UV, B=Blau, V=Visuell) kann man die Leuchtkraft
(oder bolometrische Helligkeit) rekonstruieren.
Die bolometrische Helligkeit der Sonne wird festgelegt auf M☼ = 4,75
(stimmt ungefähr mit Skale 1-6 der Antiken, 6 ist schwach).
Die Helligkeit (engl. magnitude) in einem bestimmten Spektralbereich
hängt vom Abstand und Durchsichtigkeit des Universums für die Strahlung ab.
Man definiert die absolute Helligkeit M als die Helligkeit auf einem Abstand
von 10 pc and die scheinbare Helligkeit m (= gemessener Strahlungsstrom S, d.h.
pro Zeit und Flächeneinheit vom Empfänger registrierte Energie)
für einem Abstand d als m = M + 5 log (d/10pc).
Der logarithmische Term m-M nennt man Entfernungsmodul (distance modulus)
und kann benutzt werden um Abstände zu bestimmen, wenn m und M bekannt sind
Oder man kann die Helligkeiten von Sternen vergleichen bei gleichem Abstand:
M1 - M2 = -2.5 log S1/S2 , wenn die Strahlungsströme S1 und S2 bekannt sind.
Eine Supernova Ia hat M= -19.6, die Sonne 4.75, so die Helligkeiten unterscheiden
sich um einen Faktor 10 (4,75+19,6)/ 2.5 ≈ 10 Größenordnungen.
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Hubblesche Gesetz in “comoving coordinates”
d
D
Beispiel:
D = S(t) d (1)
Diff, nach Zeit⇒
D = S(t) d (2)
oder
D = v = S(t)/S(t) D
Oder v = HD
mit H = S(t)/S(t)
D = S(t) d
S(t) = zeitabhängige Skalenfaktor, die die Expansion
berücksichtigt.
Durch am Ende alle Koordinaten mit Skalenfaktor
zu multiplizieren, kann ich mit einem festen
(comoving) Koordinatensystem rechnen.
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Universum ist homogen und isotrop auf großen Skalen
Dichte bei
großen z
nimmt ab,
weil viele
Galaxien
nicht mehr
sichtbar.
homogen,
nicht isotrop
4. November 2005
nicht homogen,
isotrop
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Der Skalenfaktor S(t) nach Newton
M
m
v
Dimensionslose
Dichteparameter:
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Einfluss des Dichteparameters auf die Expansion
Offenes Univ.
Flaches Univ.
Geschlossenes Univ.
Vergleich mit einer Rakete mit U<T, U=T und U>T
Radius des sichtbaren Universum ∝ S, d.h. S(t) bestimmt
Zukunft des Universums!
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Zeitabhängigkeit der Skalenfaktor S(t) bei Ω=1
r ∝ S(t) und ρ ∝ 1/r3 ⇒
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Altersabschätzung des Universum für Ω=1
Oder dS/dt = H S oder mit S = kt2/3
2/3 k t-1/3 = H kt2/3 oder t0 = 2/(3H0) ≈ 10 . 109 a
Richtige Antwort:
t0 ≈ 1/H0 ≈ 14 . 109 a,
da durch Vakuumenergie
nicht-lineare Terme
im Hubbleschen Gesetz
auftreten (entsprechend
abstoßende Gravitation).
τ0=1/H0, da tan α = dS / dt = S0 / t0
τuni = 2 / 3H0
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Bremsparameter q0
(Taylor-Entwicklung: S(t)=S(t0)-S `(t0)(t-t0)-½ S ``(t0)(t-t0)2)
Experimentell: q=-0.6±0.02: abstoßende Gravitationskraft
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Hubble Diagramm aus SN Ia Daten
Abstand aus dem Hubbleschen
Gesetz mit Bremsparameter
q0=-0.6 und H=0.7 (100 km/s/Mpc)
z=1-> r=c/H(z+1/2(1-q0)z2)=
3.108/(0.7x105 )(1+0.8) Mpc
= 7 Gpc
Abstand aus SNe I1a Helligkeit m
mit absoluter Helligkeit M=-19.6:
m=24.65 und log d=(m-M+5)/5) ->
Log d=(24.65-19.6+5)/5=9.85
= 7.1 Gpc
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Wie groß ist das sichtbare Universum für Ω=1?
Naiv: R = ct0 ist Radius des Universums.
Dies ist richtig für ein statisches Universum ohne Expansion.
Mit Expansion: R = 3ct0.
Beweis (mit comoving coor.):
Betrachte sphärische Koor. (R,θ,ϕ,t) und mitbewegende
Koor. (σ,θ,ϕ,η) und Lichtstrahl in Ri. ϕ=θ=0.
Dann gilt: R = c t und σ = c η, weil c = unabh. vom Koor. System
Aus dR = S(t) dσ folgt dann: dR = cdt = c S(t) dη, d.h. Zeit
skaliert auch mit S(t)!
Daraus folgt: η = ∫ dη = ∫ dt / S(t) oder mit S(t) = kt2/3
σ = c∫ dη = c∫ k/t2/3dt = (3c/k) t1/3
Oder R = S(t) σ = 3 c t0 = 3 x 3.108 x 14.109 x 3.107 = 3.7x1026 cm=
3.7x1026/3.1x1016=12 Gpc
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Zum Mitnehmen:
1. Comoving coordinates erlauben Rechnungen
OHNE die Expansion zu berücksichtigen.
Nachher werden alle Abstände und auch
die Zeit mit dem Skalenfaktor S(t) multipliziert.
2. Zeitabhängigkeit des Skalenfaktors: S = kt2/3
3. Alter des Universums für Ω = 1 und ohne
Vakuumenergie: t0 = 2/(3H0) ≈ 10 . 109 a
Dieser Wert ist zu niedrig, weil die beschleunigte
Expansion durch die Vakuumenergie vernachlässigt wird.
3. Größe des sichtbaren Universums für Ω = 1: 3ct0
(ohne Expansion: ct0)
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