Vorlesung 2: Roter Faden: 0. Wiederholung 1. Mitbewegende

Vorlesung 2:
Roter Faden:
0. Wiederholung
1. Mitbewegende Koordinaten
2. Wie berechnet man Skalenfaktor?
3. Alter des Universums
4. Größe des Universums
5. Krümmung des Universums
4. November 2005
Kosmologie, SS 04, Prof. W. de Boer
1
Hubble (geb. 1879)
Hubble entdeckte dass sogenannte Nebel auch variable Sterne
beinhalteten. Schlussfolgerung: dies sind Galaxien.
Er entdeckte dass die meisten Galaxien eine Rotverschiebung
aufwiesen, die mit dem Abstand zunahm: Hubblesches Gesetz: v=Hr
Richtige Erklärung: es gab am Anfang einen Urknall. (und es gab
einen Anfang!!!!)
Analogie: Rosinen im Brot
sind wie Galaxien im Universum.
Auch hier relative Geschwindigk.
der Rosinen ∝ Abstand bei
der Expansion des Teiches,
d.h. v=Hr.
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Zum Mitnehmen:
1. Gravitation bestimmt Geschehen im Weltall
2. Hubblesches Gesetz: v=HD
v aus Rotverschiebung
D aus Entfernungsleiter
H = Expansionsrate = v/D
= h 100 km/s/Mpc
h = 0.71+-0.04
= Hubblekonstante in
Einheiten von 100 km/s/Mpc
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Hubble Diagramm aus SN Ia Daten
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Leuchtkraft und Entfernungsmodul
Die Leuchtkraft L (engl. luminosity) eines Sterns ist die abgestrahlte Energie
integriert über alle Wellenlängen. Aus der Helligkeit in unterschiedlichen
Frequenzbändern (U=UV, B=Blau, V=Visuell) kann man die Leuchtkraft
(oder bolometrische Helligkeit) rekonstruieren.
Die bolometrische Helligkeit der Sonne wird festgelegt auf M☼ = 4,75
(stimmt ungefähr mit Skale 1-6 der Antiken, 6 ist schwach).
Die Helligkeit (engl. magnitude) in einem bestimmten Spektralbereich
hängt vom Abstand und Durchsichtigkeit des Universums für die Strahlung ab.
Man definiert die absolute Helligkeit M als die Helligkeit auf einem Abstand
von 10 pc and die scheinbare Helligkeit m (= gemessener Strahlungsstrom S, d.h.
pro Zeit und Flächeneinheit vom Empfänger registrierte Energie)
für einem Abstand d als m = M + 5 log (d/10pc).
Der logarithmische Term m-M nennt man Entfernungsmodul (distance modulus)
und kann benutzt werden um Abstände zu bestimmen, wenn m und M bekannt sind
Oder man kann die Helligkeiten von Sternen vergleichen bei gleichem Abstand:
M1 - M2 = -2.5 log S1/S2 , wenn die Strahlungsströme S1 und S2 bekannt sind.
Eine Supernova Ia hat M= -19.6, die Sonne 4.75, so die Helligkeiten unterscheiden
sich um einen Faktor 10 (4,75+19,6)/ 2.5 ≈ 10 Größenordnungen.
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Hubblesche Gesetz in “comoving coordinates”
d
D
Beispiel:
D = S(t) d (1)
Diff, nach Zeit⇒
D = S(t) d (2)
oder
D = v = S(t)/S(t) D
Oder v = HD
mit H = S(t)/S(t)
D = S(t) d
S(t) = zeitabhängige Skalenfaktor, die die Expansion
berücksichtigt.
Durch am Ende alle Koordinaten mit Skalenfaktor
zu multiplizieren, kann ich mit einem festen
(comoving) Koordinatensystem rechnen.
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Universum ist homogen und isotrop auf großen Skalen
Dichte bei
großen z
nimmt ab,
weil viele
Galaxien
nicht mehr
sichtbar.
homogen,
nicht isotrop
4. November 2005
nicht homogen,
isotrop
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Der Skalenfaktor S(t) nach Newton
M
m
v
Dimensionslose
Dichteparameter:
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Einfluss des Dichteparameters auf die Expansion
Offenes Univ.
Flaches Univ.
Geschlossenes Univ.
Vergleich mit einer Rakete mit U<T, U=T und U>T
Radius des sichtbaren Universum ∝ S, d.h. S(t) bestimmt
Zukunft des Universums!
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Zeitabhängigkeit der Skalenfaktor S(t) bei Ω=1
r ∝ S(t) und ρ ∝ 1/r3 ⇒
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Altersabschätzung des Universum für Ω=1
Oder dS/dt = H S oder mit S = kt2/3
2/3 k t-1/3 = H kt2/3 oder t0 = 2/(3H0) ≈ 10 . 109 a
Richtige Antwort:
t0 ≈ 1/H0 ≈ 14 . 109 a,
da durch Vakuumenergie
nicht-lineare Terme
im Hubbleschen Gesetz
auftreten (entsprechend
abstoßende Gravitation).
τ0=1/H0, da tan α = dS / dt = S0 / t0
τuni = 2 / 3H0
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Bremsparameter q0
(Taylor-Entwicklung: S(t)=S(t0)-S `(t0)(t-t0)-½ S ``(t0)(t-t0)2)
Experimentell: q=-0.6±0.02: abstoßende Gravitationskraft
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Hubble Diagramm aus SN Ia Daten
Abstand aus dem Hubbleschen
Gesetz mit Bremsparameter
q0=-0.6 und H=0.7 (100 km/s/Mpc)
z=1-> r=c/H(z+1/2(1-q0)z2)=
3.108/(0.7x105 )(1+0.8) Mpc
= 7 Gpc
Abstand aus SNe I1a Helligkeit m
mit absoluter Helligkeit M=-19.6:
m=24.65 und log d=(m-M+5)/5) ->
Log d=(24.65-19.6+5)/5=9.85
= 7.1 Gpc
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Wie groß ist das sichtbare Universum für Ω=1?
Naiv: R = ct0 ist Radius des Universums.
Dies ist richtig für ein statisches Universum ohne Expansion.
Mit Expansion: R = 3ct0.
Beweis (mit comoving coor.):
Betrachte sphärische Koor. (R,θ,ϕ,t) und mitbewegende
Koor. (σ,θ,ϕ,η) und Lichtstrahl in Ri. ϕ=θ=0.
Dann gilt: R = c t und σ = c η, weil c = unabh. vom Koor. System
Aus dR = S(t) dσ folgt dann: dR = cdt = c S(t) dη, d.h. Zeit
skaliert auch mit S(t)!
Daraus folgt: η = ∫ dη = ∫ dt / S(t) oder mit S(t) = kt2/3
σ = c∫ dη = c∫ k/t2/3dt = (3c/k) t1/3
Oder R = S(t) σ = 3 c t0 = 3 x 3.108 x 14.109 x 3.107 = 3.7x1026 cm=
3.7x1026/3.1x1016=12 Gpc
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Zum Mitnehmen:
1. Comoving coordinates erlauben Rechnungen
OHNE die Expansion zu berücksichtigen.
Nachher werden alle Abstände und auch
die Zeit mit dem Skalenfaktor S(t) multipliziert.
2. Zeitabhängigkeit des Skalenfaktors: S = kt2/3
3. Alter des Universums für Ω = 1 und ohne
Vakuumenergie: t0 = 2/(3H0) ≈ 10 . 109 a
Dieser Wert ist zu niedrig, weil die beschleunigte
Expansion durch die Vakuumenergie vernachlässigt wird.
3. Größe des sichtbaren Universums für Ω = 1: 3ct0
(ohne Expansion: ct0)
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