Elementare Rechenoperationen - Georg-August

Mathematisches Propädeutikum für Agrar- und
Forstwissenschaftler
1. Vorlesung:
Elementare Rechenoperationen
Marc Goerigk, Jonas Ide und Robert Schieweck
Georg-August-Universität Göttingen
Göttingen, 26.09.2011
Was machen wir heute?
6
√
3
x
3x −
x
−
2x 2 − 14x − 16
−45ax 3 · ln(49)
≤
+ log8 64
x −8
ln(7) · (30ax 2 + 10ax)
Elementare Rechenoperationen
1 Elementare Rechenoperationen
Zahlenbereiche
Bruchrechnung
Potenzieren
Wurzelziehen
Logarithmieren
Gleichungen und Ungleichungen
2 Wie gehts weiter?
Elementare Rechenoperationen
1 Elementare Rechenoperationen
Zahlenbereiche
Bruchrechnung
Potenzieren
Wurzelziehen
Logarithmieren
Gleichungen und Ungleichungen
2 Wie gehts weiter?
Zahlenbereiche
Natürliche Zahlen - N
Die Zahlen, mit denen wir normalerweise zählen, bilden die Menge
der natürlichen Zahlen N.
• (0,) 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Zahlenbereiche
Natürliche Zahlen - N
Die Zahlen, mit denen wir normalerweise zählen, bilden die Menge
der natürlichen Zahlen N.
• (0,) 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Ganze Zahlen - Z
Fügt man noch die entsprechenden negativen Zahlen hinzu, erhält
man die Menge der ganzen Zahlen Z.
• . . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Zahlenbereiche
Natürliche Zahlen - N
Die Zahlen, mit denen wir normalerweise zählen, bilden die Menge
der natürlichen Zahlen N.
• (0,) 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Ganze Zahlen - Z
Fügt man noch die entsprechenden negativen Zahlen hinzu, erhält
man die Menge der ganzen Zahlen Z.
• . . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
• Die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen
(Schreibweise N ⊂ Z). Das heißt, dass jede natürliche Zahl
auch eine ganze Zahl ist (aber nicht umgekehrt).
Zahlenbereiche
Rationale Zahlen - Q
Alle Zahlen, die wir als Bruch mit einer ganzen Zahl im Zähler und
einer ganzen Zahl (6= 0) im Nenner schreiben können, nennen wir
rationale Zahlen.
Zähler
Nenner
Zahlenbereiche
Rationale Zahlen - Q
Alle Zahlen, die wir als Bruch mit einer ganzen Zahl im Zähler und
einer ganzen Zahl (6= 0) im Nenner schreiben können, nennen wir
rationale Zahlen.
Zähler
Nenner
• Division durch 0 ist nicht definiert ⇒ Nenner 6= 0.
Zahlenbereiche
Rationale Zahlen - Q
Alle Zahlen, die wir als Bruch mit einer ganzen Zahl im Zähler und
einer ganzen Zahl (6= 0) im Nenner schreiben können, nennen wir
rationale Zahlen.
Zähler
Nenner
• Division durch 0 ist nicht definiert ⇒ Nenner 6= 0.
• Z ist eine Teilmenge von Q, da a = 1a .
Zahlenbereiche
Rationale Zahlen - Q
Alle Zahlen, die wir als Bruch mit einer ganzen Zahl im Zähler und
einer ganzen Zahl (6= 0) im Nenner schreiben können, nennen wir
rationale Zahlen.
Zähler
Nenner
• Division durch 0 ist nicht definiert ⇒ Nenner 6= 0.
• Z ist eine Teilmenge von Q, da a = 1a .
• Rationale Zahlen lassen sich auch anders darstellen →
Dezimalschreibweise.
Zahlenbereiche
Rationale Zahlen - Q
Alle Zahlen, die wir als Bruch mit einer ganzen Zahl im Zähler und
einer ganzen Zahl (6= 0) im Nenner schreiben können, nennen wir
rationale Zahlen.
Zähler
Nenner
• Division durch 0 ist nicht definiert ⇒ Nenner 6= 0.
• Z ist eine Teilmenge von Q, da a = 1a .
• Rationale Zahlen lassen sich auch anders darstellen →
Dezimalschreibweise.
• Genau die Zahlen, die sich als Dezimalzahl mit endlicher oder
periodischer Zahlenfolge schreiben lassen, sind rationale
Zahlen.
Zahlenbereiche
Reelle Zahlen - R
Die Menge aller Zahlen, die sich als Dezimalzahl schreiben lassen,
nennen wir reelle Zahlen.
Zahlenbereiche
Reelle Zahlen - R
Die Menge aller Zahlen, die sich als Dezimalzahl schreiben lassen,
nennen wir reelle Zahlen.
• Q ist eine Untermenge von R
• R enthält aber auch Zahlen, die nicht in Q enthalten sind.
Zahlenbereiche
Reelle Zahlen - R
Die Menge aller Zahlen, die sich als Dezimalzahl schreiben lassen,
nennen wir reelle Zahlen.
• Q ist eine Untermenge von R
• R enthält aber auch Zahlen, die nicht in Q enthalten sind.
• R ist die Menge aller Zahlen, die am Zahlenstrahl darstellbar
sind
Rechenregeln für reelle Zahlen
Rechengesetze
Seien a, b, c reelle Zahlen (Schreibweise: a, b, c ∈ R).
• Kommutativgesetz der Addition: a + b = b + a
Rechenregeln für reelle Zahlen
Rechengesetze
Seien a, b, c reelle Zahlen (Schreibweise: a, b, c ∈ R).
• Kommutativgesetz der Addition: a + b = b + a
• Kommutativgesetz der Multiplikation: ab = ba
Rechenregeln für reelle Zahlen
Rechengesetze
Seien a, b, c reelle Zahlen (Schreibweise: a, b, c ∈ R).
• Kommutativgesetz der Addition: a + b = b + a
• Kommutativgesetz der Multiplikation: ab = ba
• Assoziativgesetz der Addition: (a + b) + c = a + (b + c)
Rechenregeln für reelle Zahlen
Rechengesetze
Seien a, b, c reelle Zahlen (Schreibweise: a, b, c ∈ R).
• Kommutativgesetz der Addition: a + b = b + a
• Kommutativgesetz der Multiplikation: ab = ba
• Assoziativgesetz der Addition: (a + b) + c = a + (b + c)
• Assoziativgesetz der Multiplikation: (ab)c = a(bc)
Rechenregeln für reelle Zahlen
Rechengesetze
Seien a, b, c reelle Zahlen (Schreibweise: a, b, c ∈ R).
• Kommutativgesetz der Addition: a + b = b + a
• Kommutativgesetz der Multiplikation: ab = ba
• Assoziativgesetz der Addition: (a + b) + c = a + (b + c)
• Assoziativgesetz der Multiplikation: (ab)c = a(bc)
• Distributivgesetz: a(b + c) = ab + ac
Rechenregeln für reelle Zahlen
Rechengesetze
Seien a, b, c reelle Zahlen (Schreibweise: a, b, c ∈ R).
• Kommutativgesetz der Addition: a + b = b + a
• Kommutativgesetz der Multiplikation: ab = ba
• Assoziativgesetz der Addition: (a + b) + c = a + (b + c)
• Assoziativgesetz der Multiplikation: (ab)c = a(bc)
• Distributivgesetz: a(b + c) = ab + ac
Minus und Geteilt
• −a = +(−a)
• a : b = a · b1
Rechenregeln für reelle Zahlen
Rechengesetze
Seien a, b, c reelle Zahlen (Schreibweise: a, b, c ∈ R).
• Kommutativgesetz der Addition: a + b = b + a
• Kommutativgesetz der Multiplikation: ab = ba
• Assoziativgesetz der Addition: (a + b) + c = a + (b + c)
• Assoziativgesetz der Multiplikation: (ab)c = a(bc)
• Distributivgesetz: a(b + c) = ab + ac
Minus und Geteilt
• −a = +(−a)
• a : b = a · b1
Vorzeichenregeln
• −(−a) = a
• a(−b) = −(ab)
• −(a + b) = −a − b
• (−a)(−b) = ab
• −(a − b) = −a + b
Elementare Rechenoperationen
1 Elementare Rechenoperationen
Zahlenbereiche
Bruchrechnung
Potenzieren
Wurzelziehen
Logarithmieren
Gleichungen und Ungleichungen
2 Wie gehts weiter?
Brüche
Zähler
• Zahlen der Form Nenner
nennen wir Brüche
Brüche
Zähler
• Zahlen der Form Nenner
nennen wir Brüche
Rechenregeln
• ba = dc genau dann, wenn a · d = b · c (Gleichheit rationaler
Zahlen)
Brüche
Zähler
• Zahlen der Form Nenner
nennen wir Brüche
Rechenregeln
• ba = dc genau dann, wenn a · d = b · c (Gleichheit rationaler
Zahlen)
a·d
• ba = b·d
(Erweitern)
ad
• bd
:= ba (Kürzen)
Brüche
Zähler
• Zahlen der Form Nenner
nennen wir Brüche
Rechenregeln
• ba = dc genau dann, wenn a · d = b · c (Gleichheit rationaler
Zahlen)
a·d
• ba = b·d
(Erweitern)
ad
• bd
:= ba (Kürzen)
ad
cb
• ba + dc = bd
+ bd
= ad+cb
(Addition rationaler Zahlen)
bd
Brüche
Zähler
• Zahlen der Form Nenner
nennen wir Brüche
Rechenregeln
• ba = dc genau dann, wenn a · d = b · c (Gleichheit rationaler
Zahlen)
a·d
• ba = b·d
(Erweitern)
ad
• bd
:= ba (Kürzen)
ad
cb
• ba + dc = bd
+ bd
= ad+cb
(Addition rationaler Zahlen)
bd
a
c
a·c
• b · d = b·d (Multiplikation rationaler Zahlen)
Brüche
Zähler
• Zahlen der Form Nenner
nennen wir Brüche
Rechenregeln
• ba = dc genau dann, wenn a · d = b · c (Gleichheit rationaler
Zahlen)
a·d
• ba = b·d
(Erweitern)
ad
• bd
:= ba (Kürzen)
ad
cb
• ba + dc = bd
+ bd
= ad+cb
(Addition rationaler Zahlen)
bd
a
c
a·c
• b · d = b·d (Multiplikation rationaler Zahlen)
• ba : dc = ba · dc (Division rationaler Zahlen)
Brüche
Zähler
• Zahlen der Form Nenner
nennen wir Brüche
Rechenregeln
• ba = dc genau dann, wenn a · d = b · c (Gleichheit rationaler
Zahlen)
a·d
• ba = b·d
(Erweitern)
ad
• bd
:= ba (Kürzen)
ad
cb
• ba + dc = bd
+ bd
= ad+cb
(Addition rationaler Zahlen)
bd
a
c
a·c
• b · d = b·d (Multiplikation rationaler Zahlen)
• ba : dc = ba · dc (Division rationaler Zahlen)
−a
+a
−a
+a
• +b
= −b
= ba , −b
= +b
= − ba (Vorzeichen)
Kürzen von Brüchen
Fehlerquelle!
k·a+c
k·b
6=
a+c
b
wenn k 6= 1 und c 6= 0
Kürzen von Brüchen
Primfaktorzerlegung
Primzahl
Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie durch genau zwei
Zahlen ohne Rest teilbar ist, nämlich durch 1 und sich selbst.
Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
Kürzen von Brüchen
Primfaktorzerlegung
Primzahl
Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie durch genau zwei
Zahlen ohne Rest teilbar ist, nämlich durch 1 und sich selbst.
Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
Primfaktorzerlegung
Jede natürliche Zahl hat eine (bis auf Vertauschen der Faktoren)
eindeutige Primfaktorzerlegung.
Kürzen von Brüchen
Primfaktorzerlegung
Primzahl
Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie durch genau zwei
Zahlen ohne Rest teilbar ist, nämlich durch 1 und sich selbst.
Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
Primfaktorzerlegung
Jede natürliche Zahl hat eine (bis auf Vertauschen der Faktoren)
eindeutige Primfaktorzerlegung.
Die Primfaktorzerlegung kann uns beim Kürzen helfen:
• Zuerst zerlegen wir Zähler und Nenner in ihre Primfaktoren.
• Dann streichen wir Zahlen, die in Zähler und Nenner gleich
sind.
Kürzen von Brüchen
Teilbarkeitsregeln
Problem
• Es ist nicht einfach, einer großen Zahl ihre
Primfaktorzerlegung anzusehen.
• Leider gibt es auch (im Allgemeinen) keine schnelle Methode,
um die Primfaktorzerlegung zu bestimmen.
• Für kleine Zahlen gibt es Teilbarkeitsregeln.
Kürzen von Brüchen
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit natürlicher Zahlen
Eine natürliche Zahl ist durch
• 2 teilbar, wenn
• 3 teilbar, wenn
• 4 teilbar, wenn
• 5 teilbar, wenn
• 6 teilbar, wenn
• 8 teilbar, wenn
• 9 teilbar, wenn
Kürzen von Brüchen
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit natürlicher Zahlen
Eine natürliche Zahl ist durch
• 2 teilbar, wenn ihre Endziffer durch 2 teilbar ist.
• 3 teilbar, wenn
• 4 teilbar, wenn
• 5 teilbar, wenn
• 6 teilbar, wenn
• 8 teilbar, wenn
• 9 teilbar, wenn
Kürzen von Brüchen
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit natürlicher Zahlen
Eine natürliche Zahl ist durch
• 2 teilbar, wenn ihre Endziffer durch 2 teilbar ist.
• 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (die Summe ihrer Ziffern)
durch 3 teilbar ist.
• 4 teilbar, wenn
• 5 teilbar, wenn
• 6 teilbar, wenn
• 8 teilbar, wenn
• 9 teilbar, wenn
Kürzen von Brüchen
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit natürlicher Zahlen
Eine natürliche Zahl ist durch
• 2 teilbar, wenn ihre Endziffer durch 2 teilbar ist.
• 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (die Summe ihrer Ziffern)
durch 3 teilbar ist.
• 4 teilbar, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete
Zahl durch 4 teilbar ist.
• 5 teilbar, wenn
• 6 teilbar, wenn
• 8 teilbar, wenn
• 9 teilbar, wenn
Kürzen von Brüchen
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit natürlicher Zahlen
Eine natürliche Zahl ist durch
• 2 teilbar, wenn ihre Endziffer durch 2 teilbar ist.
• 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (die Summe ihrer Ziffern)
durch 3 teilbar ist.
• 4 teilbar, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete
Zahl durch 4 teilbar ist.
• 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist.
• 6 teilbar, wenn
• 8 teilbar, wenn
• 9 teilbar, wenn
Kürzen von Brüchen
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit natürlicher Zahlen
Eine natürliche Zahl ist durch
• 2 teilbar, wenn ihre Endziffer durch 2 teilbar ist.
• 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (die Summe ihrer Ziffern)
durch 3 teilbar ist.
• 4 teilbar, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete
Zahl durch 4 teilbar ist.
• 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist.
• 6 teilbar, wenn die Zahl gerade und ihre Quersumme durch 3
teilbar ist.
• 8 teilbar, wenn
• 9 teilbar, wenn
Kürzen von Brüchen
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit natürlicher Zahlen
Eine natürliche Zahl ist durch
• 2 teilbar, wenn ihre Endziffer durch 2 teilbar ist.
• 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (die Summe ihrer Ziffern)
durch 3 teilbar ist.
• 4 teilbar, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete
Zahl durch 4 teilbar ist.
• 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist.
• 6 teilbar, wenn die Zahl gerade und ihre Quersumme durch 3
teilbar ist.
• 8 teilbar, wenn die aus den letzten drei Ziffern gebildete Zahl
durch 8 teilbar ist.
• 9 teilbar, wenn
Kürzen von Brüchen
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit natürlicher Zahlen
Eine natürliche Zahl ist durch
• 2 teilbar, wenn ihre Endziffer durch 2 teilbar ist.
• 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (die Summe ihrer Ziffern)
durch 3 teilbar ist.
• 4 teilbar, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete
Zahl durch 4 teilbar ist.
• 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist.
• 6 teilbar, wenn die Zahl gerade und ihre Quersumme durch 3
teilbar ist.
• 8 teilbar, wenn die aus den letzten drei Ziffern gebildete Zahl
durch 8 teilbar ist.
• 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Elementare Rechenoperationen
1 Elementare Rechenoperationen
Zahlenbereiche
Bruchrechnung
Potenzieren
Wurzelziehen
Logarithmieren
Gleichungen und Ungleichungen
2 Wie gehts weiter?
Potenzieren
Potenz einer Zahl
Sei a ∈ R eine reelle Zahlen und n ∈ N eine natürliche Zahl. Wir
bezeichnen
an = a| · a ·{z. . . · a}
n−mal
als die n − te Potenz von a.
• a wird Basis genannt.
• n wird Exponent genannt.
Potenzieren
Negative Exponenten
Für a ∈ R und n ∈ Z ist
a−n =
1
.
an
Potenzieren
Negative Exponenten
Für a ∈ R und n ∈ Z ist
a−n =
0 als Exponent
Wir definieren a0 = 1.
1
.
an
Potenzieren
Potenzgesetze
Für a, b ∈ R \ {0} und m, n ∈ Z gilt:
• an · am = an+m
n
• aam = an−m
• an · b n = (a · b)n
n
n
• ba n = ba
• (am )n = am·n
Potenz einer Zahl
Fehlerquelle
Im Allgemeinen gilt: (an )m 6= a(n
m)
Potenz einer Zahl
Fehlerquelle
Im Allgemeinen gilt: (an )m 6= a(n
m
Vereinbarung: an = a(n
m)
m)
Elementare Rechenoperationen
1 Elementare Rechenoperationen
Zahlenbereiche
Bruchrechnung
Potenzieren
Wurzelziehen
Logarithmieren
Gleichungen und Ungleichungen
2 Wie gehts weiter?
Wurzelziehen
Wurzelziehen
Gegeben: natürliche Zahl n ∈ N, reelle Zahl a ∈ R
Gesucht: reelle Zahl b ∈ R, so dass b n = a.
Wurzelziehen
Wurzelziehen
Gegeben: natürliche Zahl n ∈ N, reelle Zahl a ∈ R
Gesucht: reelle Zahl b ∈ R, so dass b n = a.
Definition
Sei a ≥ 0 und n ∈ N.
• Ist n ungerade oder 0, gibt es genau eine Zahl b mit b n = a.
Wir nennen b die n-te Wurzel von a.
• Ist n gerade, gibt es zwei Zahlen b mit b n = a. Die n-te
Wurzel von a ist dann die positive Zahl b mit b n = a.
Wurzelziehen
Wurzelziehen
Gegeben: natürliche Zahl n ∈ N, reelle Zahl a ∈ R
Gesucht: reelle Zahl b ∈ R, so dass b n = a.
Definition
Sei a ≥ 0 und n ∈ N.
• Ist n ungerade oder 0, gibt es genau eine Zahl b mit b n = a.
Wir nennen b die n-te Wurzel von a.
• Ist n gerade, gibt es zwei Zahlen b mit b n = a. Die n-te
Wurzel von a ist dann die positive Zahl b mit b n = a.
√
1
• Wir bezeichnen die n-te Wurzel einer Zahl mit n a oder a n .
Wurzelziehen
Wurzelziehen
Gegeben: natürliche Zahl n ∈ N, reelle Zahl a ∈ R
Gesucht: reelle Zahl b ∈ R, so dass b n = a.
Definition
Sei a ≥ 0 und n ∈ N.
• Ist n ungerade oder 0, gibt es genau eine Zahl b mit b n = a.
Wir nennen b die n-te Wurzel von a.
• Ist n gerade, gibt es zwei Zahlen b mit b n = a. Die n-te
Wurzel von a ist dann die positive Zahl b mit b n = a.
√
1
• Wir bezeichnen die n-te Wurzel einer Zahl mit n a oder a n .
• Die Zahl a nennen wir Radikand, die Zahl n den
Wurzelexponenten.
Wurzelziehen
Wurzelziehen
Gegeben: natürliche Zahl n ∈ N, reelle Zahl a ∈ R
Gesucht: reelle Zahl b ∈ R, so dass b n = a.
Definition
Sei a ≥ 0 und n ∈ N.
• Ist n ungerade oder 0, gibt es genau eine Zahl b mit b n = a.
Wir nennen b die n-te Wurzel von a.
• Ist n gerade, gibt es zwei Zahlen b mit b n = a. Die n-te
Wurzel von a ist dann die positive Zahl b mit b n = a.
√
1
• Wir bezeichnen die n-te Wurzel einer Zahl mit n a oder a n .
• Die Zahl a nennen wir Radikand, die Zahl n den
Wurzelexponenten.
√
Schreiben wir a, so meinen wir stets die zweite Wurzel (oder
√
Quadratwurzel) 2 a.
Wurzelziehen
Rechenregeln
Wurzelgesetze
√
1
Eine andere Schreibweise für Wurzeln ist n a = a n . Dadurch lassen
sich mit Hilfe der Potenzgesetze folgende Rechenregeln für
Wurzeln herleiten:
Seien a > 0 und n, m ∈ N.
√
√
√
√
• n am = ( n a)m und n an = ( n a)n = a
√
√ √
• n a n b = n ab
√
p
n a
• √
= n ba
n
b
p√
p√
√
• n m a = nm a = m n a
Wurzelziehen und Potenzieren
Nützlich zum Auflösen von Termen mit Potenzen und Wurzeln ist
√
1
die Schreibweise n a = a n :
√
m
• Schreibe ( n a)m = a n und benutze Potenzgesetze zum
Rechnen.
Elementare Rechenoperationen
1 Elementare Rechenoperationen
Zahlenbereiche
Bruchrechnung
Potenzieren
Wurzelziehen
Logarithmieren
Gleichungen und Ungleichungen
2 Wie gehts weiter?
Logarithmieren
Logarithmieren
Gegeben: reelle positive Zahlen a, b, b 6= 1
Gesucht: reelle Zahl x so dass b x = a
Logarithmieren
Logarithmieren
Gegeben: reelle positive Zahlen a, b, b 6= 1
Gesucht: reelle Zahl x so dass b x = a
Definition
Seien a, b positive reelle Zahlen und b 6= 1.
• Die eindeutig bestimmte Zahl x ∈ R mit b x = a heißt
Logarithmus von a zur Basis b.
• Wir verwenden die Schreibweise x = logb (a).
Dekadischer und natürlicher Logarithmus
Notation
• Der Logarithmus zur Basis 10 heißt dekadischer Logarithmus.
Er wird mit lg oder oft auch mit log bezeichnet.
• Der Logarithmus zur Basis e (der Eulerschen Zahl 2.71828)
heißt natürlicher Logarithmus. Er wird mit ln bezeichnet.
Dekadischer Logarithmus
• Darstellung von Daten in einem Diagramm
• ph-Wert einer Lösung
• Erdbebenstärke auf der Richter-Skala
Natürlicher Logarithmus
Taucht in vielen Gebieten der Mathematik auf (Integralrechnung,
Differentialrechnung, Komplexe Zahlen, Trigonometrie)
Logarithmen
Rechenregeln des Logarithmus
Für relle positive Zahlen a, b, c mit c 6= 1 gilt:
1
logc (1) = 0
Logarithmen
Rechenregeln des Logarithmus
Für relle positive Zahlen a, b, c mit c 6= 1 gilt:
1
logc (1) = 0
2
logc c = 1
Logarithmen
Rechenregeln des Logarithmus
Für relle positive Zahlen a, b, c mit c 6= 1 gilt:
1
logc (1) = 0
2
logc c = 1
3
c logc (a) = a
Logarithmen
Rechenregeln des Logarithmus
Für relle positive Zahlen a, b, c mit c 6= 1 gilt:
1
logc (1) = 0
2
logc c = 1
3
c logc (a) = a
4
logc (c a ) = a
Logarithmen
Rechenregeln des Logarithmus
Für relle positive Zahlen a, b, c mit c 6= 1 gilt:
1
logc (1) = 0
2
logc c = 1
3
c logc (a) = a
4
logc (c a ) = a
5
logc (a) = logc (b) genau dann, wenn a = b
Logarithmen
Rechenregeln des Logarithmus
Für relle positive Zahlen a, b, c mit c 6= 1 gilt:
1
logc (1) = 0
2
logc c = 1
3
c logc (a) = a
4
logc (c a ) = a
5
logc (a) = logc (b) genau dann, wenn a = b
6
logc (ab) = logc (a) + logc (b)
Logarithmen
Rechenregeln des Logarithmus
Für relle positive Zahlen a, b, c mit c 6= 1 gilt:
1
logc (1) = 0
2
logc c = 1
3
c logc (a) = a
4
logc (c a ) = a
5
logc (a) = logc (b) genau dann, wenn a = b
6
logc (ab) = logc (a) + logc (b)
7
logc ( ba ) = logc (a) − logc (b)
Logarithmen
Rechenregeln des Logarithmus
Für relle positive Zahlen a, b, c mit c 6= 1 gilt:
1
logc (1) = 0
2
logc c = 1
3
c logc (a) = a
4
logc (c a ) = a
5
logc (a) = logc (b) genau dann, wenn a = b
6
logc (ab) = logc (a) + logc (b)
7
logc ( ba ) = logc (a) − logc (b)
8
logc (ab ) = b logc (a)
Logarithmen
Rechenregeln des Logarithmus
Für relle positive Zahlen a, b, c mit c 6= 1 gilt:
1
logc (1) = 0
2
logc c = 1
3
c logc (a) = a
4
logc (c a ) = a
5
logc (a) = logc (b) genau dann, wenn a = b
6
logc (ab) = logc (a) + logc (b)
7
logc ( ba ) = logc (a) − logc (b)
8
logc (ab ) = b logc (a)
9
loga (b) =
logc (b)
logc (a)
für a 6= 1
Logarithmen
Berechnung mit dem Taschenrechner
log77 (100) =
log77 (100) =
ln(100)
ln(77)
log(100)
log(77)
≈
≈
4.605
4.344 ≈ 1.06
2
1.886 ≈ 1.06
Elementare Rechenoperationen
1 Elementare Rechenoperationen
Zahlenbereiche
Bruchrechnung
Potenzieren
Wurzelziehen
Logarithmieren
Gleichungen und Ungleichungen
2 Wie gehts weiter?
Auflösen von Gleichungen
Eine Gleichung a = b bleibt wahr, wenn mit beiden Seiten der
Gleichung das Gleiche gemacht wird.
• a = b genau dann, wenn a + c = b + c für beliebiges c.
• a = b genau dann, wenn a − c = b − c für beliebiges c.
• a = b genau dann, wenn a · c = b · c für ein c 6= 0.
• a = b genau dann, wenn ca = bc für ein c 6= 0.
Auflösen von Gleichungen
Eine Gleichung a = b bleibt wahr, wenn mit beiden Seiten der
Gleichung das Gleiche gemacht wird.
• a = b genau dann, wenn a + c = b + c für beliebiges c.
• a = b genau dann, wenn a − c = b − c für beliebiges c.
• a = b genau dann, wenn a · c = b · c für ein c 6= 0.
• a = b genau dann, wenn ca = bc für ein c 6= 0.
Wichtig: Die Rechenoperation muss immer mit der ganzen Seite
durchgeführt werden.
Auflösen von Gleichungen
Eine Gleichung a = b bleibt wahr, wenn mit beiden Seiten der
Gleichung das Gleiche gemacht wird.
• a = b genau dann, wenn a + c = b + c für beliebiges c.
• a = b genau dann, wenn a − c = b − c für beliebiges c.
• a = b genau dann, wenn a · c = b · c für ein c 6= 0.
• a = b genau dann, wenn ca = bc für ein c 6= 0.
Wichtig: Die Rechenoperation muss immer mit der ganzen Seite
durchgeführt werden.
Tipp: Steht die Variable, nach der wir auflösen wollen, an
mehreren Stellen, fassen wir sie erst zusammen.
Auflösen quadratischer Gleichungen
p-q-Formel
Die Lösungen der Gleichung x 2 + px + q = 0 sind:
r p
p 2
x1 = − +
−q
2
2
r p 2
p
und x2 = − −
−q
2
2
Polynomdivision
• Gegeben: Gleichung mit Grad > 2
x 3 + 3x 2 + 10 = 5x 2 + x + 8
• Ziel: Gleichung nach x auflösen
• Vorgehen:
Polynomdivision
• Gegeben: Gleichung mit Grad > 2
x 3 + 3x 2 + 10 = 5x 2 + x + 8
• Ziel: Gleichung nach x auflösen
• Vorgehen:
1 Alles auf eine Seite bringen
x 3 − 2x 2 − x + 2 = 0
Polynomdivision
• Gegeben: Gleichung mit Grad > 2
x 3 + 3x 2 + 10 = 5x 2 + x + 8
• Ziel: Gleichung nach x auflösen
• Vorgehen:
1 Alles auf eine Seite bringen
x 3 − 2x 2 − x + 2 = 0
2
Lösung raten: x = 1
Polynomdivision
• Gegeben: Gleichung mit Grad > 2
x 3 + 3x 2 + 10 = 5x 2 + x + 8
• Ziel: Gleichung nach x auflösen
• Vorgehen:
1 Alles auf eine Seite bringen
x 3 − 2x 2 − x + 2 = 0
2
3
Lösung raten: x = 1
Polynomdivision ergibt
(x − 1)(x 2 − x − 2) = 0
Polynomdivision
• Gegeben: Gleichung mit Grad > 2
x 3 + 3x 2 + 10 = 5x 2 + x + 8
• Ziel: Gleichung nach x auflösen
• Vorgehen:
1 Alles auf eine Seite bringen
x 3 − 2x 2 − x + 2 = 0
2
3
Lösung raten: x = 1
Polynomdivision ergibt
(x − 1)(x 2 − x − 2) = 0
4
Also x − 1 = 0 oder x 2 − x − 2 = 0
Polynomdivision
• Gegeben: Gleichung mit Grad > 2
x 3 + 3x 2 + 10 = 5x 2 + x + 8
• Ziel: Gleichung nach x auflösen
• Vorgehen:
1 Alles auf eine Seite bringen
x 3 − 2x 2 − x + 2 = 0
2
3
Lösung raten: x = 1
Polynomdivision ergibt
(x − 1)(x 2 − x − 2) = 0
4
5
Also x − 1 = 0 oder x 2 − x − 2 = 0
p-q-Formel liefert x = 1 oder x = −1 oder x = 2.
Ungleichungen
Rechnen mit Ungleichungen
1
a < b und b < c ⇒ a < c
Obige Aussagen gelten auch für ≤ und ≥
Ungleichungen
Rechnen mit Ungleichungen
1
a < b und b < c ⇒ a < c
2
a<b ⇒ a+c <b+c
Obige Aussagen gelten auch für ≤ und ≥
Ungleichungen
Rechnen mit Ungleichungen
1
a < b und b < c ⇒ a < c
2
a<b ⇒ a+c <b+c
3
a < b und c > 0 ⇒ ac < bc
Obige Aussagen gelten auch für ≤ und ≥
Ungleichungen
Rechnen mit Ungleichungen
1
a < b und b < c ⇒ a < c
2
a<b ⇒ a+c <b+c
3
a < b und c > 0 ⇒ ac < bc
4
a < b und c < 0 ⇒ ac > bc
Obige Aussagen gelten auch für ≤ und ≥
Ungleichungen
Rechnen mit Ungleichungen
1
a < b und b < c ⇒ a < c
2
a<b ⇒ a+c <b+c
3
a < b und c > 0 ⇒ ac < bc
4
a < b und c < 0 ⇒ ac > bc
5
ab > 0 genau dann, wenn a > 0 und b > 0 oder a < 0 und
b<0
Obige Aussagen gelten auch für ≤ und ≥
Ungleichungen
Rechnen mit Ungleichungen
1
a < b und b < c ⇒ a < c
2
a<b ⇒ a+c <b+c
3
a < b und c > 0 ⇒ ac < bc
4
a < b und c < 0 ⇒ ac > bc
5
ab > 0 genau dann, wenn a > 0 und b > 0 oder a < 0 und
b<0
6
ab < 0 genau dann, wenn a > 0 und b < 0 oder a < 0 und
b>0
Obige Aussagen gelten auch für ≤ und ≥
Ungleichungen
Rechnen mit Ungleichungen
1
a < b und b < c ⇒ a < c
2
a<b ⇒ a+c <b+c
3
a < b und c > 0 ⇒ ac < bc
4
a < b und c < 0 ⇒ ac > bc
5
ab > 0 genau dann, wenn a > 0 und b > 0 oder a < 0 und
b<0
6
ab < 0 genau dann, wenn a > 0 und b < 0 oder a < 0 und
b>0
7
ab = 0 genau dann, wenn a = 0 oder b = 0
Obige Aussagen gelten auch für ≤ und ≥
Ungleichungen
Rechnen mit Ungleichungen
1
a < b und b < c ⇒ a < c
2
a<b ⇒ a+c <b+c
3
a < b und c > 0 ⇒ ac < bc
4
a < b und c < 0 ⇒ ac > bc
5
ab > 0 genau dann, wenn a > 0 und b > 0 oder a < 0 und
b<0
6
ab < 0 genau dann, wenn a > 0 und b < 0 oder a < 0 und
b>0
7
ab = 0 genau dann, wenn a = 0 oder b = 0
Obige Aussagen gelten auch für ≤ und ≥
Beim Umformen von Ungleichungen muss man 4. beachten,
ansonsten kann man vorgehen wie beim Umformen von
Gleichungen!
Anwendung
6
√
3
x
3x −
x
−
2x 2 − 14x − 16
−45ax 3 · ln(49)
≤
+ log8 64
x −8
ln(7) · (30ax 2 + 10ax)
Wie gehen wir nun vor, um diese Aufgabe zu lösen?
Elementare Rechenoperationen
1 Elementare Rechenoperationen
Zahlenbereiche
Bruchrechnung
Potenzieren
Wurzelziehen
Logarithmieren
Gleichungen und Ungleichungen
2 Wie gehts weiter?
Wie gehts weiter?
• Jetzt: Gruppeneinteilung
• bis 13:00 Uhr Freie Übungen in den jeweiligen Übungsgruppen
• 14:30-16:00 Uhr Gruppenübungen
• Vorlesungsfolien ab 17:00 Uhr unter
http:
//optimierung.math.uni-goettingen.de/agrarforst/