Staatsexamen GS: Hinweise zur schriftlichen und mündlichen

Staatsexamen GS: Hinweise zur schriftlichen und mündlichen Prüfung
Bodo Werner
13. April 2010
1. Hinweise zur schriftlichen Prüfung
Es wird zwei Vorschläge zu je 4 Aufgaben geben, von denen ein Satz (zu 4 Aufgaben) ausgewählt werden muss. Es werden für alle KandidatInnen einer Prüfungsperiode
einen
zwei
Aufgabensätze enthaltenen Vorschlag geben.
Mit hohem Gewicht (etwa 75%) werden Aufgaben aus Mathe III (Analysis) und Mathe IV
(Stochastik) darunter sein. Hierauf kann man sich vortreich vorbereiten, indem alle damaligen Präsenz- und Übungsaufgaben durchgearbeitet werden (und dabei ganz besonders auf die
korrekte mathematische Sprache geachtet wird!). Natürlich werden dabei Kenntnisse aus Mathe
I und II, vor allem aus Mathe I, sehr hilfreich sein.
Die restlichen ca. 25% werden Aufgaben sein, die thematisch zu weiterführenden Vorlesungen
gehören, z.B. zu Fibonaccizahlen oder zur elementaren Zahlen- oder/und Gruppentheorie. Diese
Aufgaben können im Prinzip auch mit Mitteln von Mathe I-IV gelöst werden, d.h. sie erfordern
keine speziellen Kenntnisse aus den weiterführenden Vorlesungen.
Es gilt halt nur dasselbe wie z.B. im Langstreckenlauf: Je mehr man trainiert, desto besser sind
die Leistungen.
2. Beispiele für mündliche Prüfungsfragen
Vorbemerkung: Die folgenden Beispiele sollen exemplarisch den Ablauf einer mündlichen Prüfung aufzeigen. Die dabei verwendeten mathematischen Begrie (
Vokabeln) sind fett gedruckt.
Es kann gar nicht oft genug gesagt werden, dass es das Hauptziel der mündlichen Prüfung ist,
den verständigen Umgang mit diesen Begrien nachzuweisen.
Sie können eine Prüfung sehr gut in Ihrer Arbeitsgruppe simulieren, indem Sie sich gegenseitig
Kurzreferate zu den angesprochenen Themen halten. Wenn Sie ausschlieÿlich alleine lernen,
laufen Sie Gefahr, dass Sie sich nicht richig einschätzen! Sie müssen sich dann häuger selbst
abfragen, laut, mit Schreiber und Papier, um die wesentlichen Benennungen, Formeln und
Terme aufzuschreiben.
Achten Sie dabei unbedingt auf die Korrektheit verwendeter Begrie. Lernen Sie, ähnliche,
Funktion - Funktionswert, Verteilung
- Verteilungsfunktion, Ereignis - Elementarereignis, unendliche Reihe - Partialsumme. Machen
aber doch verschiedene Begrie zu unterscheiden wie z.B.
Sie sich zu jeder Frage zunächst klar, welches die zentralen Begrie sind!!
Die Fragen sind in der Regel anspruchsvoll. In einer konkreten Situation einer mündlichen
Prüfung können Sie mit Hilfen rechnen. Die hier vorliegende Frageliste, die noch erweitert
werden kann, soll aber auch Ihr Verständnis verbessern. Sie können auch dann, wenn nicht
direkt erfragt, ein erläuterndes Beispiel Ihrer Wahl anbieten.
Sie dürfen aber aus der Frageliste keineswegs die Schlüsse ziehen, dass nichts anderes gefragt
wird. Versuchen Sie, Ihr Verständnis für die angesprochenen Inhalte auch in einer Umgebung
der jeweiligen Frage zu verbessern.
1
Analysis
1.
Folgen allgemein
•
rekursiver und
geometrische Folge (an )
Erklären Sie an Hand eines Beispiels den Unterschied zwischen
expliziter Darstellung einer Folge.
Antwort: Eine
lässt sich explizit durch
an := q n
und rekursiv durch
an = q · an−1 , a0 = 1
darstellen.
•
Was haben reelle Folgen mit Abbildungen zu tun? A.: Es handelt sich um eine Abbildung von IN nach IR, wobei einer natürlichen Zahl
n das n.te Folgenglied zugeordnet
wird.
•
Um was für eine Folge handelt es sich bei der berühmten
Fibonacci-Folge? Antwort:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
•
Wie lautet das
Bildungsgesetz?
Antwort: Jedes Folgenglied ist die Summe ihrer
Vorgänger.
•
Wie nennt man ein solches Bildungsgesetz und wie kann man dieses hier knapp
formulieren? Antwort:
Rekursives Bildungsgesetz,
Fn+1 = Fn + Fn−1 , F0 = 0, F1 = 1.
•
Welchen Typ von Bildungsgesetzen gibt es noch und gibt es einen solchen auch für FFolgen? Antwort:
von
Binet.
explizites Bildungsgesetz. Dieses gibt es hier. Es ist die Formel
Ich kenne diese nicht auswendig, weiÿ aber, dass die groÿe Goldenen
Schnittzahl dort vorkommt.
•
Hat die F-Folge einen
Grenzwert?
ist unbeschränkt. Z.B. kann man
Antwort: Nein, sie wächst über alle Grenzen,
Fn ≥ n
ganz einfach mit vollständiger Induktion
zeigen.
•
•
•
Nullfolge an. Antwort: an = n1 .
Wodurch ist eine Nullfolge deniert? Antwort: Sie hat den Grenzwert Null.
Wann liegt eine Zahl b in der ε-Nähe einer anderen Zahl a? (ε sei positiv). Antwort:
Geben Sie ein Beispiel für eine
Wenn
|a − b| < ε.
2
•
ε-Denition einer Nullfolge? Benutzen
ε > 0 gibt es ein n0 ∈ IN, so dass alle an
Wie lautet die
Sie den Begri
wort: Für alle
für
n > n0
ε-Nähe. Antε-Nähe von
in der
Null liegen, d.h., dass gilt
|an | < ε
für alle
n > n0 .
.
•
Man bezeichnet meist eine Folge mit dem Symbol
Antwort:
•
n.tes
Folgenglied.
Was ist eine
an = 1
an ?
für alle
n.
beschränkte Folge? Antwort: Es muss obere und untere Schranken
geben, d.h., es muss Zahlen
c<C
geben mit
c ≤ an ≤ C
•
Wie nennt man
Muss eine Folge unendlich viele verschiedene Folgenglieder besitzen? Antwort: Nein.
Beispiel: Konstantenfolge
•
(an )n∈IN .
für alle
n
Geben Sie ein Beispiel für eine beschränkte, aber nicht konvergente Folge. Mit Ben
gründung. Antwort: an = (−1) . Angenommen, die Folge hat einen Grenzwert. Nen-
a. Wenn man ε := 0.5 wählt, so liegt +1 oder −1 nicht in der ε-Umgebung
a. Jedes zweite Folgenglied liegt also auÿerhalb der ε-Umgebung. Widerspruch.
nen wir ihn
von
•
•
geometrische Folge? Antwort: an = qn mit einer Basis q.
Wie lautet deren rekursives Bildungsgesetz? Antwort: an+1 = qan . Ein FolgenWas ist eine
glied ist das
q -fache
an := q n
seines Vorgängers.
•
Wann ist
•
qn
eine Nullfolge für |q| > 1? A.: Nein, siehe weiter unten. Bemerkung: Für kein
n n
n
q
k ist nk eine Nullfolge für |q| > 1. Allerding ist qn! eine Nullfolge, da die Exponentialreihe konvergiert.
•
Gibt es einen Grenzwert von
Ist
gegen
•
eine Nullfolge? Antwort: Wenn
q > 1?
Was heiÿt das? A.: Zu jedem (noch so groÿen)
Man kann die
Verbal: Zu jedem
A.: Nein, aber die Folge divergiert
Wie lautet der
K >0
K >0
gibt es stets ein
liegen ab einem
n0
n0 ,
so dass
alle Folgenglieder
eulersche Zahl e als Grenzwert einer ganz bestimmten Folge de-
nieren. Welche Folge ist dies? A.:
•
für
∞.
an > K für n > n0 .
an rechts von K .
•
an : q n
|q| < 1.
an := (1 + n1 )n .
Hauptsatz über konvergente Folgen? A.: Die Summe (Produkt,
Dierenz, Quotient) zweier konvergenter Folgen konvergiert gegen die Summe (Produkt, Dierenz, Quotient) ihrer Grenzwerte. Bei dem Quotienten muss man verlangen, dass der Grenzwert der zweiten Folge unglech Null ist.
3
•
Geben Sie ein Beispiel an, wo man den Hauptsatz gut anwenden kann. A.:
an :=
3 + 5n
3/n2 + 5/n
=
4 + 3n2
4/n2 + 3
konvergiert gegen Null.
2.
Geometrische Folgen
geometrische Folge? Antwort: an := qn mit einem q ∈ IR.
•
Was ist eine
•
Wo treten geometrische Folgen auf ? Antwort: a) Verzinsung,
Zinssatz ist. b) Frequenzen der 12 Töne einer temperierten
c) Bakterienwachstum (pro Zeiteinheit um
•
Kann man eine geometrische Folge auch
q := 1 + p, wobei p der
1/12
Tonleiter mit q := 2
.
p%).
rekursiv denieren? Antwort: Ja, an+1 =
qan .
•
Sehen Sie eine Verwandtschaft zu
arithmetischen Folgen? A.: Bei geometrischen
Folgen ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgengleider konstant, bei arithmetischen Folgen ist es die Dierenz
d,
d.h. esgilt das rekursive Bildungsgesetz
an+1 = an + d.
•
Gibt es noch andere Folgen, die dieser Rekursion genügen? Antwort: Ja, alle Vielfan
chen, also an = cq mit c ∈ IR.
•
Was wissen Sie über die Konvergenz einer geometrischen Folge? Antwort: Fals
1,
handelt es sich um eine Nullfolge (der Grenzwert ist Null), für
sich um eine Konstantenfolge (Grenzwert 1), für
q = −1
q=1
|q| <
handelt es
um eine beschränkte Folge
mit zwei Häufungspunkten und sonst um eine unbeschränkte Folge, die für
q >1
gegen Unendlich divergiert.
•
Berechnen Sie die
relative Wachstumsrate von geometrischen Folgen. Antwort:
an+1 − an
q n+1 − q n
=
= q − 1.
an
qn
•
Die relative Wachstumsrate ist also konstant, d.h. unabhängig von
solch ein Wachstum? Antwort: Exponentiell. Für
Wachsen, für
•
0<q<1
q > 1
n. Wie nennt man
monotones exponentielles
exponentielles Fallen.
Gibt es geometrische Folgen, die der Fibonacci-Rekursion an+1 = an + an−1 (für alle
n) genügen? Antwort: Wenn man man an = q n ansetzt, so muss q n+1 = q n + q n−1 für
n−1
alle n gelten. Dividiert man beide Seiten durch q
, so erhält man die quadratische
2
Gleichung q = q + 1 mit den beiden Lösungen q = Φ (Groÿe Goldene Schnittzahl)
und
q = −φ
(mit
φ
als kleine Goldene Schnittzahl).
4
•
q > 1 divergiert die Folge an := q n gegen Unendlich, ebenfalls jede Potenz
bn := nk mit irgendeinem k ∈ IN (eine solche Folge heiÿt arithmetische Folge k ter
Für
Ordnung). Welche Folge geht schneller gegen Unendlich und wie formuliert man dies?
Antwort: Es gilt
nk
= 0,
n→∞ q n
lim
d.h. die geometrische Folge überholt die Potenzfolge irgendwann.
•
(Einserfrage). Können Sie diese letzte Aussage beweisen? Antwort: Setze
cn :=
nk
qn
und zeige, dass es ein möglicherweise sehr groÿes
N
gibt, so dass
(cn )
für
n ≥ N
streng monoton, exponentiell fällt. Denn es gilt
( n+1
)k
1
cn+1
= n
→ < 1.
cn
q
q
•
3.
qn
eine Nullfolge, wenn
nk
da die Exponentialreihe konvergiert.
Also: Für kein
k
ist
|q| > 1.
Allerding ist
qn
eine Nullfolge,
n!
Reelle Funktionen allgemein
Unter
reellen Funktionen versteht man Funktionen f : J → IR, t 7→ f (t) mit einem reellen
Intervall
ist
f (t)
•
Sie spielen insbesondere beim kontinuierlichen Wachstum eine Rolle. Dann
eine reelle Wachstumsgröÿe zur Zeit
Wann
falls
•
J.
t.
fällt (wächst) eine Funktion monoton? Antwort: f (x) ≤ f (y) für x > y bzw.
f (x) ≥ f (y)
Wann besitzt
f
für
x > y.
eine Umkehrfunktion? Wie gewinnt man diese?
g bildt J 0 := f (J) nach IR (genauer nach
J ) ab. Man errechnet g(y), indem man f (x) = y nach x auöst. Zeichnerischer erhält
man den Graphen von g durch Spiegelung des Graphen von f an der Diagonalen
y = x.
A.
4.
f
muss injektiv sein. Die Umkehrfunktion
Exponentialfunktionen (Siehe auch exponentielles Wachstum)
•
Wie sind Exponentialfunktionen deniert? A.
•
Für welche
•
a
wachsen (fallen) sie? A.:
f : IR → IR, f (x) := ax
mit
a > 0.
a > 1(< 1).
Umkehrfunktionen? Graphen? A: Logarithmus zur Basis
a,
deren Graphen man
durch Spiegelung eines Exponentialfunktions-Graphen an der Diagonalen erhält.
5
•
Kann man eine beliebige Exponentialfunktion mit Hilfe der eulerschen Zahl
ax = ex·ln a .
e
und
des natürlichen Logarithmus ausdrücken? A.:
•
Wie lauten die Potenzgesetze und wie leiten sich hieraus die Logarithmusgesetze
log(u · v) = log u + log v
ax · ay = ax+y durch
x
y
Setzen von u : a , v := a .
ab? A.: Dies folgt aus dem Potenzgesetz
dem Logarithmus zur Basis
5.
a)
und
Logarithmieren mit
Potenzfunktionen
• Was sind Potenzfunktionen? A.: Mit einem Exponenten b > 0 handelt es sich
um Abbildungen
2
Beispiel: x 7→ x .
•
Kann
x
etwa für
•
x 7→ xb
oder auch mit einem Koezienten
eine beliebige reelle Zahl sein? A.: Nein, es muss i.A.
b = 0.5
a
um
x≥0
x 7→ a · xb .
gelten, wie man
erkennen kann.
Zeichnen Sie den Graphen einer Potenzfunktion für
0 < b < 1, b = 1
und für
b>1
und machen Sie den qualitativen Unterschied dieser Funktionen im Hinblick auf
sublinear, linear und superlinear klar. A.: Typische Fälle sind b = 0.5 < 1 und
b = 2 > 1.
•
Wodurch ist
Potenzwachstum charakterisiert? A.: Die Wachstumsgröÿe y = f (x)
wächst bei Verdopplung (oder Verdreifachung oder Vervielfachung von
Faktor
x
um einen
c > 0) stets um einen gleichen von der Ausgangsgröÿe x unabhängigen Faktor.
f (cx)/f (x) = cb für alle x.
Genauer: Es ist
•
Beispiel für Potenzwachstum? A.:
f (x) :=Artenzahl
zur Fläche
x.
Ein empirisches
Gesetz, das bestätigt wird, wenn die Messpunkte in einer log-log-Skala nahezu auf
einer Geraden mit Steigung
•
b
liegen.
b
Welches ist die Umkehrfunktion von x 7→ x ? A.: Wieder eine Potenzfunktion mit
1
. Die Umkehrfunktion einer superlinear wachsenden Potenzfunktion
Exponenten
b
(b > 1) ist sublinear wachsend (1/b < 1) (und vice versa).
Ihre Graphen entstehen
6.
durch Spiegelung an der Diagonalen. Bemerkung: Letzteres gilt generell.
Periodische Funktionen
• Was versteht man unter Kreisfunktionen, auch trigonometrische Funktionen
genannt? A.: Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens
•
Woher stammt der Name
Kreisfunktion? A.: Man kann den Einheitskreis für ihre
Denition heranziehen (Zeichnung!). Wenn man gedanklich um den Einheitskreis
im mathematisch positiven Sinne herumwandert, nimmt die Länge des Kreisbogens
(das Bogenmaÿ
φ)
kontinuierlich zu und man kann den Wert der trigonometrischen
Funktionen als Funktion von
φ
verfolgen(Hierzu gibt es ein schönes Applet von
Mathe-Online).
6
Abbildung 1: Periodische Funktionen
•
Welche
T = 2π .
Periode
haben die Kreisfunktionen im Bogenmaÿ (mit Begründung)? A.:
Wenn man einmal rum ist (der Umfang des Einheitskteises ist
2π ),
beginnt
alles von vorn.
•
•
Welche Periode hat
Wie ist allgemein eine
f (x)
•
x 7→ sin(10 · x)?
für alle
A.:
T =
2π
10
=
π
.
5
T -Periodische Funktion f : IR → IR deniert?
A.:
f (x + T ) =
x.
Frequenz
1
T
Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit oder Anzahl der Periodenintervalle, die in
Was versteht man unter
einer T-periodischen Funktion? A.
ν :=
ein Intervalle mit der Länge Eins hineinpassen. Beispiel: Pulsschlag (Herzfrequenz!)
q-periodischen Folge an ? A.: an+q = an für alle n.
•
Was versteht man unter einer
•
Können Sie ein Beispiel aus der Vorlesung
Fibonaccizahlen, ... angeben, wo periodi-
sche Folgen auftreten? A.: Betrachte einen Orbit einer Drehung um einen rationalen
p
Winkel ω = , deniert durch xk = k · ω mod 1.
q
•
Schauen Sie sich Abb. 1 an.
Sie sehen zwei Graphen von
2π -periodischen Funktionen. Um welche handelt es sich?
Welches sind deren Minimalperioden? Welche der beiden Funktionen hat die höhere
Frequenz? A.: Der blaue Graph ist der von
Die Minimalperiode der letzteren ist
7.
2π/6
cos(2x),
der rote von
0.2 + 0.3 · sin(6x).
π.
(sie ist höherfrequentig), der ersteren
Unendliche Reihen
•
Beispiel für eine unendliche Reihe? Antworten: Die harmonische Reihe (sie diverP
1
1
giert!) 1 +
+ 31 + · · · oder ∞
k=1 k oder .....
2
•
Beschreiben Sie möglichst allgemein (oder auch unter Beziehung auf das Beispiel
eben), unter Verwendung der Begrie
Reihenglieder
eine unendliche Reihe ist. Antwort: Ist eine Folge
7
(an )
Partialsummen, was
die Reihenglieder, z.B.
und
Partial-
1
gegeben, so ist die zugehörige unendliche Reihe die Folge der
n
P
P
sn = nk=0 ak und wird mit dem Symbol ∞
k=0 ak bezeichnet. Wenn diese
Folge der Partialsummen gegen einen
s konvergiert, so nennt man s den
an =
summen
Grenzwert
Wert der unendlichen Reihe und schreibt
∞
X
ak = s.
k=0
•
geometrische Reihe? Antwort: Ihre Reihenglieder sind durch
geometrische Folge an = qn gegeben, d.h. es handelt sich um die Reihe
Was ist eine
∞
X
eine
qk .
k=0
Ihre Partialsummen laassen sich mit Hilfe der geometrischen Summenformel explizit
angeben. Siehe nächste Frage.
•
Wann konvergiert eine geometrische Reihe? Gegen welchen Wert? Antwort: Wegen
der
geometrischen Summenformel (Begründung?) gilt
sn =
n
X
qk =
k=0
Es ist Unsinn, wenn Sie sagen, dass
Wenn
gegen
1−q n+1
konvergiert.
1−q
|q| < 1 ist (q k ) eine Nullfolge. Aus dem Hauptsatz
von Folgen folgt, dass
sn =
Daher ist
•
sn
1 − q n+1
.
1−q
1 − q n+1
1
→
.
1−q
1−q
1
der Wert der geometrischen Reihe, wenn
1−q
Was haben
x = 0.12.
Antwort: Es ist
x=
12
12
12
+
+
+ ···
100 10000 1000000
Bei den Nennern handelt es sich um Potenzen
100k ,
x = 12(q + q 2 + q 3 + · · · ) = 12
also mit
∞
X
k=0
P∞
k=0
|q| < 1.
periodische Dezimalbrüche mit unendlichen Reihen zu tun? Nehmen
wir das Beispiel
Bei
über die Konvergenz
qk
handelt es um eine gemetrische Reihe.
8
q :=
q k − 12.
1
gilt
100
•
Wir haben zwei Läufer, der langsamere ist um 10% langsamer als der schnellere
und erhält daher einen Vorsprung von 100 Metern. Denken Sie an
Achilles und
die Schildkröte. Wo kommt hier eine geometrische Reihe ins Spiel? Antwort: Am
Anfang beträgt der Abstand 100. Wenn der schnellere Läufer 100 m zurückgelegt hat,
beträgt der Vorsprung 90 Meter, er ist auf des
q -fache mit q := 0.9 geschrumpft. Jedes
Mal, wenn der schnellere Läufer den Abstand zum Vordermann zurückgelegt hat, ist
dieser auf 90% des vorherigen Wertes gefallen. Addieren wir alle diese Abstände
zusammen, erhalten wir
2
3
100 + 100q + 100q + 100q + · · · = 100
∞
X
q k = 100
k=0
1
= 1000.
1 − 0.9
Nach 1000 Metern wird der langsamere Läufer aufgeholt.
•
Hätte man das auch ohne geometrische Reihe herausbekommen können? Antwort:
x die gesuchte Länge. Wenn der schnellere Läufer x Meter zurücklegt,
so ist der langsamere Läufer q · x Meter mit q := 0.9 gelaufen. Daher muss für die
zurückgelegte Strecke x bis zum Zusammentreen
Ja. Nennen wir
x = 100 + qx
gelten, woraus sich für
•
q = 0.9 x = 1000
ergibt.
Welche Zinsaufgabe führt auf eine Partialsumme einer geometrischen Reihe? Antwort: Ratensparvertrag.
•
Exponentialreihe oder auch die Sinusreihe (bzw. Kosinusreihe) sind Beispiele
für Funktionsreihen. Konkretisieren Sie eine von diesen. A.:
Die
Sinusreihe:
sin x = x −
Exponentialreihe:
ex = 1 + x +
x3 x5 x7
+
−
+ ··· ,
3!
5!
7!
x2 x3
xn
+
+ ··· +
+ ···
2!
3!
n!
Kosinusreihe:
cos x = 1 −
•
x2 x4 x6
+
−
+ ···
2!
4!
6!
Wenn Sie mit Hilfe der Exponentialreihe die eulersche Zahl
geht das? A.:
e=2+
9
1
1
+ + ···
2! 3!
e
berechnen sollen, wie
•
(Einserfrage) Können Sie hieraus die
Eulersche Formel ableiten?
A.: Diese Formel lautet
eix = cos x + i sin x
Weiter Ü 14 von Mathe III. Es kommen auch alle Fragen zu komplexen Zahlen in
Frage, im Kap.
•
Zahlentheorie, Gruppen aufgeführt sind.
Im Skript wird bewiesen, dass die Exponentialreihe
1+x+
xn
x2 x3
+
+ ··· +
+ ···
2!
3!
n!
für alle x ∈ IR konvergiert, nicht aber, dass ihr (natürlich von x ahängige) Wert
ex ist. Scheuen Sie sich den Beweis an. Was folgt für die Konvergenz der Folge
an := xn /n!? Antwort: Es handelt sich stets um eine Nullfolge - ganz gleich, wie groÿ
x ist. Bemerkung: Für die Konvergenz einer unendlichen Reihe ist es notwendig, dass
die Reihenglieder (an ) eine Nullfolge bilden.
8.
Exponentielles Wachstum
Bemerkung: Die Analysis hatte Wachstum zum bestimmenden Thema. Daher sollte jedem
Folgen ein diskretes Wachstum (an ist die Wachstumsgröÿe zum Zeitpunkt
reelle Funktionen f : J → IR, t 7→ f (t) ein kontinuierliches Wachstum beschrei-
klar sein, dass
n)
und
ben. Im ersten Fall ist die relative Wachstumsrate zum Zeitpunkt
um zweiten Fall ist die relative Wachstumsrate zum Zeitpunkt
t
n
die Gröÿe
an+1 −an
,
an
f 0 (t)
. Die Zähf (t)
des exponentiellen
die Gröÿe
Wachstumsgesetz
zu jedem Zeitpunkt gleich (konstant).
Achten Sie darauf dass ich unter Exponentiellem Wachstum auch immer das exponentielle
ler sind jeweils die absoluten Wachstumsraten. Das
Wachstums lautet: Die relative Wachstumsrate ist
Fallen mit einschlieÿe. Stichworte: Verdopplungszeit, Halbwertzeit.
Beim exponentiellen Wachstum ist die unabhängige Variable meist die Zeit daher die
Verwendung des Buchstabens
•
t
(tempus).
exponentiellem Wachstum (diskret und kontinuierlich)?
Antwort: Die relative Wachstumsrate muss konstant sein, d.h. der relative Zu-
Was versteht man unter
wachs in einer Zeiteinheit ist stets gleich, unabhängig von dem Ausgangswert der
Wachstumsgröÿe.
Diskret: Ist der Zeitpunkt
n,
die Wachstumsgröÿe zu dieser Zeit
an ,
die Zeiteinheit
an+1 −an
Eins, so ist der absolute Zuwachs an+1 −an und der relative Zuwachs
(in einer
an
Zeiteinheit). Diese ist genau für
an = a0 (1 + p)n konstant
geometrische Folgen
gleich
p (unabhängig von n. Bemerkung: Ist p > 0, also q := 1 + p > 1, so handelt es
p < 0,also q := 1 + p < 1, geht es um exponentielles
sich um echtes Wachsen, wenn
Fallen.
10
t, die Wachstumsgröÿe zu dieser Zeit f (t), die
h, so ist der absolute Zuwachs f (t + h) − f (t) und der relative Zuwachs
f racf (t + h) − f (t)f (t) (in einer Zeiteinheit). Wenn f (t) = at , so ist f (t + h) =
at+h = at ah = ah f (t), d.h. der Faktor ist ah (unabhängig von t!).
Kontinuierlich: Ist der Zeitpunkt
Zeiteinheit
f 0 (t)
für die relative Wachstumsrate benutzen (mit
f (t)
0
f (t)). Wenn f (t) = eλt , so ist f 0 (t) = λeλt = λf (t),
t
ln at
für alle t. Da a = e
, beschreibt also jede Exponentialfunktion
Man kann aber auch die Denition
der
absoluten Wachstumsrate
f 0 (t)
= λ
f (t)
exponentielles Wachstum - genauer ein exponentielles Wachsen, wenn
also
ln a > 0)
und ein exponentielles Fallen, wenn
0<a<1
(also
a > 1
(also
ln a < 0).
Beispiel: Bakterien vermehren sich innerhalb einer Stunde um 10%. Diskret: an+1 =
1.1an , also an = a0 ·1.1n . Kontinuierlich f (t) = f (0)·1.1t . Im letzteren Fall kann man
T
von einer Verdopplungszeit TD sprechen, deniert durch 1.1 D = 2 (logarithmieren!).
•
Geben Sie Beispiele für diskretes exponentielles Wachstum. Antwort: Zinseszinsen.
p
ist der Zinssatz und
a0
ist das Startguthaben. Wenn
p := 1,
haben wir einen
Verdopplungsprozess pro Zeiteinheit verdoppelt sich die Wachstumsgröÿe.
•
Gibt es auch
f (t) = at mit
exponentielles Fallen?
0 < a < 1.
Antwort: Ja:
f (t) = a−t
mit
Beim exponentiellen Fallen gibt es eine
a > 1
oder
Halbwertzeit,
innerhalb der sich die Wachstumsgröÿe halbiert.
•
Gibt es neben den Exponentialfunktionen noch andere streng monoton wachsende
Funktionen? Antwort: Ja.
f (t) = tb mit b > 0, aber auch die
Potenzfunktionen
Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen, die Logarithmus-Funktionen.
•
Skizzieren Sie eine Exponentialfunktion und ihre Umkehrfunktionen. Hinweis bei der
A.: Die Graphen von Umkehrfunktionen entstehen aus Spiegelungen an der Diagonale aus dem ursprünglichen Graphen.
•
Um welche Funktionen handelt es sich in Abb. 2?
Antwort:
√
f (x) := x2 , x, ex , ln(x), sin(x), arcsin(x).
Beachte: Die Graphen von Um-
kehrfunktionen entstehen aus Spiegelungen an der Diagonale aus dem ursprünglichen
Graphen.
•
log(x · y) = log x + log y aus dem Potenzgesetz ax · ay = ax+y .
x · y = alog(xy) , andererseits gilt x · y = alog x · alog y = alog x+log y
Begründen Sie, dass
A.: Einserseits ist
(Potenzgesetz).
Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen
1
tenzfunktionen mit Exponenten .
b
•
Welche Funktionen sind nicht monoton? Antwort: Die
wie
9.
x 7→ xb
•
x 7→ sin x
(aber nicht nur die).
Dierentialrechnung
11
mit
b > 0?
Antwort: Wieder Po-
periodischen Funktionen
Abbildung 2: Funktionen und ihre Umkehrfunktionen
•
Ableitung einer Funktion f
Dierenzenquotienten
Was versteht man unter der
Grenzwert eines
an der Stelle
a?
Antwort:
f (x) − f (a)
.
x→a
x−a
f 0 (a) = lim
f 0 (a)
(a, f (a)).
Oder
•
ist die
Steigung der Tangente
an den
Graphen
Punkte
(a, f (a))
und
(x, f (x)).
•
im
Punkt
Sekante durch die beiden
Zeichnung!
die Wegstrecke, die von einem Fahrzeug bis zur Zeit t zurückgelegt wird.
f (t)−f (a)
0
0
Was genau ist f (a) und was ist der Dierenzenquotient
? Antwort: f (a)
t−a
f (t)−f (a)
ist die
zur Zeit a.
ist die
t−a
im Zeitintervall zwischen t und a.
Sei
f (t)
Momentangeschwindigkeit
schwindigkeit
•
f
Welcher Zusammenhang besteht zwischen diesen beiden Interpretationen? Antwortskizze: Der Dierenzenquotient ist die Steigung einer
•
von
Sei
f (t)
Durchschnittsge-
eine Wachstumsgröÿe. Was versteht man unter der (momentanen)
0
zur Zeit t? Antwort: f (t).
ten Wachstumsrate
Und unter der relativen Wachstumsrate?
Antwort:
f 0 (t)/f (t),
absolu-
also absolute
Wachstumsrate bezogen auf die Wachstumsgröÿe selbst.
•
Wie kann man mit Hilfe der Ableitung
0
charakterisieren? A.: f (t) ≥ 0 für alle t.
12
monotones Wachstum einer Funktion f
10.
Integralrechnung
•
Was versteht man unter einem
bestimmten Integral? Antwort: Gegeben ein In-
tervall J := [a, b] und eine Funktion f : J → IR. Als bestimmtes Integral bezeichnet
man
b
Z
f (x)dx,
a
was man als die (vorzeichenbehaftete) Fläche zwischen dem Graphen von
x-Achse
•
zwischen
a
und
b
f
und der
interpretieren kann (Zeichnung!).
Was ist
Z
2π
sin xdx?
0
Antwort: Null (Zeichnung, Flächen heben sich auf )
•
Hauptsatz der Dierential und Integralrechnung? Antwort
Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a),
a
wobei
•
F
Stammfunktion von f
ist, als
F0 = f
erfüllt.
Beweisskizze dieses Hauptsatzes? (Einserfrage)
Rx
Rb
Antwort: Betrachte F (x) :=
f (t)dt. Dann ist a f (x)dx = F (b) − F (a), und es
0
0
ist F (x) = f (x) für alle x zu zeigen. Wenn man Monotonie von f annimmt, ist mit
h>0
f (x)h < F (x + h) − F (x) < f (x + h)h
f (x) <
Nun lasse
•
h→0
F (x + h) − F (x)
< f (x + h).
h
gehen.
Kennen Sie Anwendungen der Integralrechnung auf die Stochastik? Antwort: Bei
kontinuierlichen Zufallsvariablen
X,
deren Verteilungen eine W-Dichte
f (x)
besitzt,
kann man Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von bestimmten Integralen ausrechnen:
Z
P (a ≤ X ≤ b) =
f (x)dx.
a
Statistik
1.
Stichprobe
13
b
•
Wieso kann man mit einem
n
A.: Wenn man z.B. von
Vektor
aus dem IR
n
eine
Stichprobe
beschreiben?
Personen deren Gewicht misst, erhält man einen Vektor
n, dessen j -te Komponente das Gewicht der Person Nr. j ist. n heiÿt
Umfang der Stichprobe, der Vektor Stichprobenvektor. Immer dann, wenn
der Länge
man Zahlen erhebt, wenn es also um ein quantitatives Merkmal geht, hat man es
mit einem Stichprobenvektor zu tun.
•
In der beschreibenden Statistik spielt der Begri
relative Häugkeit eines Merk-
mals innerhalb einer Stichprobe eine groÿe Rolle. Erklären Sie diesen Begri. A.: Die
absolute Häugkeit eines
probenvektors, für den
dividiert durch
•
Merkmals ω ist die Anzahl der Komponenten xj des Stich-
xj = ω .
Die relative Häugkeit ist die absolute Häugkeit
n.
Was versteht man unter einer
Häugkeitsverteilung einer Stichprobe mit endli-
chem Merkmalraum und wie visualisiert man diese?
Lösung:Sei Ω = {ω1 , ..., ωm } der Merkmalraum und hj , j = 1, 2, ..., m die relativen
Häugkeiten des Merkmals ωj . Dann gibt der Vektor h := (h1 , ..., hm ) die Häugkeitsverteilung an. Sie kann man durch ein Stab- oder Balken- oder (bei klassierten
Daten) durch ein Histogramm veranschaulichen, aber auch durch ein Kreisdiagramm
oder Flächendiagramm.
•
Stellen Sie sich vor, Sie hätten von 1.000 SchülerInnen deren Gewicht bestimmt.
Wie würden Sie diese Zahlenreihe grasch darstellen. A.: Klassierung der Daten,
Häugkeitsverteilung, Histogramm. Siehe Skript.
•
Erklären Sie an Hand von Beispielen die Attribute
kret kontinuierlich von Merkmalen.
quantitativ, qualitativ, dis-
A.: Erhebt man die Nationalität oder Farben oder das Geschlecht, so sind die Merkmale qualitativ. Bestehen die Merkmale aus Zahlen, so spricht man von quantitativen
Merkmalen. Kommen nur endlich viele Merkmale in Frage (z.B. Noten, Gewichtsklassen, Nationalität), so spricht man von diskreten Merkmalen. Sind die Merkmale
irgendwelche reellen Zahlen aus einem Intervall (z.B. Gewicht, Länge, ...), so spricht
man von kontinuierlichen Merkmalen. Letztere werden durch Klassierung zu diskreten Merkmalen.
•
Nennen wir den Vektor
x
xk .
Mittelwert
Wie ist sein
,
Pn
1
sein
und sein
deniert? A.: Mittelwert ist
k=1 xk , der
n
Median (bzw. 10%-Quantil) ist eine Zahl mit der Eigenschaft, das etwa die Hälfte
Median
und seine Komponenten
10%-Quantil
(bzw. 10%) aller erhobenen Werte kleiner und die andere Hälfte (bzw. 90%) gröÿer
ausfällt. Präzise:
q
ist ein
10%-Quantil
der Stichprobe, wenn höchsten 10% der
Werte kleiner und höchstens 90% gröÿer ausfallen.
Oder (logisch äquivalent):
q
ist ein
10%-Quantil der Stichprobe, wenn mindestens
10% der Werte kleiner oder gleich und mindestens 90% gröÿer oder gleich ausfallen.
Bemerkung: Machen Sie sich klar, was es heiÿt, in vergleichbaren Stichproben (z.B.
14
bei Vergleichsarbeiten) sei das eine 10%-Quantil gröÿer als das andere (oder auch
beim 90%-Quantil).
•
Stellen Sie sich vor, Sie machen eine Stichprobe vom Umfang
n = 100, indem Sie 100-
mal drei Würfel werfen und ihre Augensumme notieren. Erklären Sie an Hand dieses
Beispiels den Zusammenhang zwischen
Mittelwert
einer Stichprobe und
Erwar-
tungswert einer Zufallsvariable. A.: Die Augensumme ist eine Zufallsvariable, deren
Erwartungswert so etwa bei 10 liegen dürfte. Wenn man hinreichend viele Versuche
macht, so besagt das Gesetz der groÿen Zahl, dass der Mittelwert der Stichprobe
(Versuchsreihe) mit wachsendem Umfang der Stichprobe gegen den Erwartungswert
konvergiert (wenn die Würfel perfekt sind).
•
Wie kann man den Mittelwert einer Stichprobe noch charakterisieren?
Pm
A.: x =
j=1 hj ωj , Schwerpunkt einer Massenverteilung auf einer geraden Linie.
•
Was versteht man unter der
(empirischen) Varianz einer Stichprobe? A.:
Pn
− x)2
.
n−1
j=1 (xj
Dies ist fast die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert
•
(Einserfrage) Erklären Sie kurz den Begri
Korrelation zwischen zwei Merkmalen
einer Erhebung. A.: Gegeben sind zwei Stichprobenvektoren
und
y
gleichen UmMenschen).
Anschaulich würde man von Korrelation reden, wenn positive (negative)
xk − x auch
stets positive (negative)
und
yk − y
y
x
n
fangs mit Mittelwerten
x
x.
(z.B. die Länge und das Gewicht von
zur Folge hätten. Vielleicht nicht immer, aber häug.
Hier bietet sich an, den Wert (ein Sklalarprodukt zweier Vektoren!)
Sxy :=
n
X
(xk − x)(yk − y)
(1)
k=1
zu betrachten. In den
x
und
y
Korrelationskoezient rxy
zwischen den Stichprobenvektoren
geht diese Zahl entscheidend ein:
rxy = p
Sxy
.
Sxx Syy
Er liegt zwischen -1 und 1. Der Korrelationskoezient kann als der Kosinus des
Winkels zwischen den Vektoren
xm := (x1 − x, ..., xm − x), ym := (y1 − y, ..., ym − y)
interpretiert werden.
Man kann die beiden Stichprobenvektoren auch zu einer Punktwolke
1, 2, ..., n
(xk , yk ), k =
zusammenstellen. Je eher die Wolke die Gestalt einer Geraden annimmt,
desto korrelierter sind die beiden Merkmale.
15
Stochastik
1.
W-Modell
•
Was versteht man unter einem diskreten W-Modell? Antwort: Der
Merkmalraum
Ω eines Zufallsexperiments muss endlich oder wenigstens abzählbar sein. Zwischenanmerkung: Beschränken Sie sich ruhig auf den endlichen Fall. Weiter: Bezeichnet man
die Elemente von
sen diese
Ω
mit
ω1 , ..., ωm
sie heiÿen
Elementarereignisse -, so müs-
Elementar-Wahrscheinlichkeitn pj := P (ωj ), j = 1, ..., m besitzen, die
nichtnegativ sind und sich zu Eins aufaddieren:
m
X
pj = 1.
j=1
Der Vektor
p = (p1 , p2 , ..., pm ) liefert die Wahrscheinlichkeitsverteilung und kann
z.B. durch ein Balkendiagramm veranschaulicht werden. Dies ist immer dann sinnvoll, wenn die Merkmale quantitativ sind und auf der x-Achse der Gröÿe nach angeordnet werden.
•
Wie hängt
m
X
pj = 1
j=1
Kolmogoro-Axiomen zusammen? Antwort: Ist P ein W-Maÿ auf dem
Merkmalraum Ω, so muss P (Ω) = 1 gelten. Für disjunkte Ereignisse A und B
mit den
muss
P (A + B) = P (A) + P (B)
gelten. Aus diesen beiden Eigenschaften (Ω ist die
disjunkte Vereinigung aller Elementarereignisse) ergeben sich die obige Bedingung
Pm
j=1 pj = 1. Dass pj ≥ 0 gilt, folgt daraus, dass P (A) ≥ 0 für jedes Ereignis A
gelten muss.
•
Wie hängen die Begrie Wahrscheinlichkeit und Häugkeit (aus der Statistik) zusammen?
A.: Wahrscheinlichkeit kann als Grenzwert von relativen Häugkeiten angesehen werden, wenn man das Gesetz der groÿen Zahl benutzt. Beispiel: Man interessiert sich für
die Augensumme 10 eines Wurfes mit 2 Würfeln. Dan kann man entweder mit Hilfe
von Symmetrieannahmen eines perfekten Würfels die Wahrscheinlichkeit1/12 direkt
berechnen. Man kann aber auch, insbesondere bei nicht perfekten Würfeln, eine empirische Untersuchung mit Hilfe einer Stichprobe mit groÿem Umfang
und die
•
relative Häugkeit der Augensumme 10 ermitteln.
n durchführen
Geben Sie das einfachste diskrete W-Modell an.
B(p) mit einem Parameter p. Hier ist Ω = {0, 1} und
P (0) = 1 − p folgt. Beispiel: Münzwurf mit p = 12 und der
Antwort: a) Bernoullimodell
P (1) = p,
woraus
16
Codierung Wappen=0 und Zahl=1 oder aber auch den Wurf einer Heftzwecke
oder auch einmaliges Würfeln, wobei man sich nur für Ergebnis
6 (dann ist p = 1/6)
oder nicht interessiert.
Antwort b)
•
Laplace-Modell: Alle Elementarereignisse sind gleichwahrscheinlich.
n-mal wiederholt? Antwort: Binomialmodell B(n, p) mit den beiden Parametern n und p. Der Merkmalraum hat die n + 1 Elemente 0, 1, 2, ..., n, es ist also Ω = {0, 1, ..., n}, wenn man
als Zufallsvariable X die Anzahl der Einsen (Treer) betrachtet. Die Elementar-
Welches Modell erhält man, wenn man das Bernoullimodell
Wahrscheinlichkeiten sind
n j
b(n, p; j) := pj =
p (1 − p)n−j .
j
•
Alltagsbeispiel für das Binomialmodell? A.: a) Bierkiste,
dass eine Flasche beschädigt ist. b) Wahlumfrage,
p:=
p:=
Wahrscheinlichkeit,
Wahrscheinlichkeit, dass je-
mand sich für eine bestimmte Partei ausspricht. Eigene Beispiele nden!
•
Wie sieht der Merkmalraum aus, wenn man sich für die Reihenfolge der Nullen und
Einsen interessiert? Antwort: Jedes Ergebnis ist ein n-Tupel aus Nullen und Einsen,
n
also aus Ω := {0, 1} . Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes n-Tupel mit genau
j
j Einsen ist p (1 − p)n−j . Nehmen wir z.B. n = 7 und j = 3. Die Wahrscheinlichkeit
3
4
für das spezielle 7-Tupel (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0) ist p (1 − p) .
•
Was für eine Annahme wird bei der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten stillschweigend benutzt? Antwort: Die stochastische Unabhängigkeit der Bernoulliexperimente.
•
Können Sie jetzt die Formel
begründen? Antwort:
•
n j
b(n, p; j) := pj =
p (1 − p)n−j
j
n
Ja. Es gibt
solcher n-Tupel mit j
j
Einsen.
Wie sieht die zugehörige Wahrscheinlichkeit-Verteilung grasch aus? A.: Siehe Skript
oder Internet oder Abb. 3.
•
Warum ähnelt die W-Verteilung zur Binomialverteilung einer Glockenkurve für groÿe
n?
A.: Zentraler Grenzwertsatz. Die Parameter der Normalverteilung sind
und
•
σ :=
µ=n·p
p
np(1 − p).
Können Sie ein Urnenmodell für das Binomialmodell geben? Wie kann man den
n
Koezienten
hiermit erklären?
j
Antwort: Man stelle sich eine Urne mit roten und schwarzen Kugeln vor. Es werde
mit Zurücklegen gezogen. Als einen Treer bezeichne man den Fall, dass eine rote
17
Abbildung 3: Binomialverteilung
p (der Anteil der roten Kugeln
n-mal gezogen. Dann ist b(n, p; j) die Wahrscheinlichkeit,
Kugel gezogen wird. Die Wahrscheinlichkeit hierfür sei
an allen Kugeln). Es werde
j Treer vorliegen.
n = 10, j = 3: Dann ist b(10, p; 3)
dass genau
Beispiel:
die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10mal
Ziehen genua 3 Treer vorliegen. Die 3 Treer können in den ersten drei Zügen, im
10
zweiten, vierten und sechsten,...., insgesamt in
Treeranordnungen erfolgen.
3
3
7
Jede spezielle Treerfolge hat die Wahrscheinlichkeit p (1 − p) .
•
Diskutieren Sie Abb. 3.
Es handelt sich um eine Binomialverteilung mit
n = 30,
die Höhe der Balken gibt
E ist np. Aus der
E = 21 ablesen, so dass sich p = 0.7 ablesen lässt. Es könnte sich
die jeweilige Elementarwahrscheinlichkeit an. Ihr Erwartungswert
Zeichung kann man
auch um eine empirische Verteilung handeln, die normalverteilt ist. In der Tat besagt
der zentrale Grenzwertsatz, dass
B(n, p)
Verteilung besitzt (mit Erwartungswert
für groÿe
µ = np
n
eine normalverteilungsähnliche
und Streuung
σ =
p
np(1 − p)).
Die Streuung in Abb. 3 kann man deshalb schätzen (fast 69% aller Werte liegen
im Streuintervall) zu
p
2.
σ
zwischen 2 und 3. Man kann sie auch berechenen:
σ =
np(1 − p) = 2, 51...
Wahrscheinlichkeit von Ereignissen
•
Was ist ein
Ereignis? A.: Eine Teilmenge A des Merkmalraums. Z.B. beim Würfeln
mit zwei Würfeln das Ereignis Pasch, d.h.
•
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit
A := {(1, 1), (2, 2), ..., (6, 6)}.
P (A)
Hilfe der Elementarwahrscheinlichkeiten? A.
P (A) =
X
ωj ∈A
18
pj ,
in einem diskreten W-Modell mit
d.h. man addiert einfach die Elementarwahrscheinlichkeiten zu in
A
gelegenen Ele-
mentarereignissen.
•
Wie berechnet man empirisch die Wahrscheinlichkeit
P (A)
(Stichwort: Gesetz der
groÿen Zahl)? A.: Man führt das Zufallsexperiment sehr oft aus und nähert
durch die
•
P (A)
relative Häugkeit für das Eintreen von A an. Gesetz der groÿen Zahl.
In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird der Begri Wahrscheinlichkeit axiomatisch
eingeführt. Nennen Sie einige der Kolmogoro-Axiome! A.: Skript Def. 3.2.
•
Veranschaulichen Sie diese Axiome zeichnerisch. A.: Skript Abb. 3.2-3.5.
•
Wie berechnet man
P (A)
beim
Laplacemodell? A.: Anzahl der günstigen
Fälle
dividiert durch alle möglichen Fälle,
P (A) =
3.
|A|
.
|Ω|
Binomialkoezienten (Vorstufe der Binomialverteilung)
•
keiten aus
n
Dingen
k ≤ n
aus 49). Oder auch besser:
elementigen Menge.
•
n
(lies: n über k ) ist die Anzahl der Möglichk
Dinge auszuwählen, kurz: k aus n (Beispiel: Lotto: 6
Kombinatorische Denition? A.:
Anzahl aller k-elementigen Teilmengen einer n-
Wie würden Sie Schülerinnen
5
3
= 10
kombinatorisch erläutern?
A. Sie müssen sich für eine solche 5-elementige Menge entscheiden, dass Schüler deren
3-elementige Teilmengen abzählen können.
•
Binomische Formel? A.:
n
(a + b) =
n X
n
k=0
Berechnung mit dem
•
Symmetrie? Warum? A.:
gleichzeitig diejenigen
•
ak bn−k .
Pascaldreieck? A.: Siehe Skript Mathe I
•
k -elementigen
k
n
k
n−k
n
. Mit jeder Auswahl von k Dingen werden
n−k
Dinge ausgewählt, die nicht dazu gehören. Mit einer
=
Teilmenge ist auch ihr
(n − k)-elementiges
Komplement festgelegt.
Rekursion, die der Berechnung im Pascalschen Dreieck zugrunde liegt? A.:
n
n−1
n−1
=
+
.
k
k
k−1
•
Begründung? A.: Ein Element der
n-elementigen
Menge werde markiert. Gehört es
n−1
nicht zu den k Ausgewählten: Davon
Möglichkeiten (k aus n − 1). Gehört es
k
n−1
dazu: Hiervon gibt es
Möglichkeiten (k − 1 aus n − 1).
k−1
19
•
Begründung der Binomischen Formel? A.: Beim Ausmultipliziern der
n Faktoren von
(a + b)n = (a + b)(a + b) · · · (a + b)
treten Terme der Form
Faktoren
•
4.
b
ak bn−k
auf , wobei in
ausgewählt wird. Hierfür gibt es
k Faktoren a,
n
k
in den restlichen
n−k
Möglichkeiten.
Binomialmodell? A.: Siehe Frage zuvor.
Verteilungsfunktion
•
Erklären Sie den Begri
Verteilungsfunktion für ein diskretes, quantitatives W-
Modell. A.: Skript Def. 3.8.
•
Unterschied zwischen W-Verteilung und Verteilungsfunktion? A.: Ersteres ist ein WVektor, den man durch ein Balkendiagramm veranschaulichen kann. Das zweite ist
eine monoton wachsende Treppenfunktion (Skript Abbildungen 3.7, 3.8).
•
Wie sieht eine Verteilungsfunktion bei kontinuierlichen Modellen aus? A.: Aus der
Treppenfunktion wird eine stetige, monoton wachsende Funktion, beginnend bei
Null, endend bei Eins. Beispiel: Rechtecksverteilung, Normalverteilung (Abb. 3.11).
5. Relle
•
Zufallsvariable
Zufallsvariable? Antwort: Ein quantitatives Ergebnis eines Zufallsexperiments. Ist Ω der Merkmalraum, so ist eine Zufallsvariable eine FunkWas ist eine reelle
tion
•
X : Ω → IR.
periment ist Fiebermessen am
beim Arzt.
•
Ω = {1, ..., 6}2 , X := Augensumme. Oder. ZufallsexKrankenbett. X := Temperatur. Oder: Wartezimmer
Beispiel? Antwort: Zwei Würfel,
X :=
Zeit, die zwischen der Ankunft zweier Patienten verstreicht.
Wann ist eine Zufallsvariable
diskret (mit Beispiel)? Antwort: Wenn sie nur endlich
(oder abzählbar unendlich) viele Ergebnisse
xk , k = 1, 2, .., m annnehmen kann. Z.B.
ist das bei der Augensumme von Würfeln der Fall.
•
Was versteht man unter der
Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen? Ant-
wort: Die Wahrscheinlichkeiten
pk = P (X = xk ), k = 1, ..., m
zu einem Vektor
zusammengestellt.
•
Kenngröÿen von Zufallsvariablen (Erwartungswert, Varianz,
Streuung, Median, Quantile). Man sollte die Formeln für diskrete Zufallsvariable
Frage
nach
kennen. Siehe Kap. IV.3.9
6.
Stochastische Abhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten
20
•
Denition für
bedingte Wahrscheinlichkeit? A.:
P (A|B) =
•
P (AB)
.
P (B)
Bei welcher Fragestellung der Medizin (Krankheit, test auf eine Erkrnakung) treten
bedingte Wahrscheinlichkeiten auf ? A.: Sei
gegriene Person krank ist und
B
A das Ereignis, dass eine zufällig heraus-
das Ereignis, dass eine zufällig herausgegriene
Person mit Hilfe eines bestimmten Tests positiv auf diese Erkrankung getestet wird.
Dann interessieren
P (A|B)
die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete
Person wirklich krank ist und
P (B|A) dass eine kranke Person positiv getestet
wird. Siehe Skript.
•
Beispiel für zwei stochastisch abhängige Ereignisse? A.: Wurf mit zwei Würfeln.
1
Ereignis A :=Pasch, B :=Augensumme ≥ 11. Dann ist P (A) = , aber P (A|B) =
6
1
.
3
•
Wann heiÿen zwei Ereignisse
P (A|B)
•
oder wenn
A und B stochastisch
P (AB) = P (A)P (B).
unabhängig? A.: Wenn
P (A) =
Welche Rolle spielt die stochastische Unabhängigkeit beim Binomialmodell? A.: Das
Ergebnis eines jeden Bernoulli-Experiments muss stochastisch unabhängig von den
anderen Ergebnissen sein. Das erreicht man beim Urnenmodell, indem man zurücklegt und gut mischt.
7.
Kontinuierliche Zufallsvariable
•
Stellen Sie sich vor, ein Stab der Länge 3m wird an irgendeiner, zufällig ausgewählten Stelle durchtrennt. Die Schnittstelle kann als Zahl
x ∈ I := (0, 3)
mathematisch
erfasst werden. Hierdurch ist eine kontinuierliche Zufallsvariable deniert. Zeichnen
Sie ihre Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeit-Dichte, wenn alle Schnittstellen gleichwahrscheinlich sind. A.: Die Dichte hat die Form eines Rechtecks der
1
über dem Intervall [0, 3], an allen anderen Punkten x < 0 und x > 3 hat
Höhe
3
sie den Wert Null. Die Verteilungsfunktion ist Null bis x = 0, steigt dann bis x = 3
linear auf das Niveau Eins an, um danach dort zu verharren.
•
•
Wie heiÿt die Verteilung der wichtigsten kontinuierlichen Zufallsvariable? A.
malverteilung, ihre W-Dichte hat die Gestalt einer Glockenkurve.
Nor-
Beschreiben Sie die in Abb. 4 abgebildete Grak.
A.: Die Normalverteilung hat zwei Parameter,
µ,
der Erwartungswert, und
σ,
die
Streuung. 68,27% aller Werte einer normalverteilten Zufallsvariable liegt im Streuintervall, 95,45% im Intervall mit zweifacher Streuung, 99,27% in einem Intervall mit
dreifacher Streuung.
Die Gesamtäche ist Eins. Die Fläche unterhalb der Glockenkurve zwischen zwei
Stellen
a < b gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die normalverteilte Zufallsvariable
a und b annimmt.
Werte zwischen
21
Abbildung 4: Periodische Funktion
•
Nehmen wir an, Sie vergeben in einer Arbeit maximal 100 Punkte und die Ergebnisse
der Schülerinnen seien normalverteilt mit Mittelwert
60
und Streuung
10.
Wieviel
Prozent haben dann weniger als 50 Punkte? A.: Die Hälfte von 31,73%, also rund
16%
Zahlentheorie, Gruppen
1.
Verknüpfungen bei Gruppen
•
Bei
Gruppen spielen sog. Verknüpfungen eine Rolle. Beispiele? A. Am bekann-
testen sind die Verknüpfungen der Addition und Multiplikation, die (IR.+), bzw.
?
wobei IR die Menge der reellen Zahlen ohne die Null ist, zu einer Gruppe
(IR? , ·),
machen.
Aber auch die Verkettung von Abbildungen kann eine (i.A. nicht-kommunative) Ver-
symmetrischen Gruppe Sn aller Permutationen (Bijektionen) der Menge {1, 2, ..., n} auf.
knüpfung sein. Diese tritt bei der
•
Können Sie ein Beispiel geben, dass die Verkettung von zwei Abbildungen keine
kommutative Verknüpfung ist (Hinweis: Symmetrie eines gleichseitigen Dreiecks). A.:
Wenn ich erst an einer Mittelsenkrechten spiegel (Abbildung
Grad gegen den Uhrzeigersinn drehe (Abbildung
•
S)
und dann um 120
R), erkennt man, dass R◦S 6= S ◦R.
Kennen Sie Verknüpfungen, die nicht notwendig zu Gruppen, wohl aber zu
poiden
Grup-
führen? A.: Die Vereinigung oder der Durchschnitt von Mengen, die Ver-
knüpfung von Aussagen mit dem logischen Operatoren
und, oder,
das Produkt von Matrizen, die Summe von Vektoren, ......
22
die Summe oder
•
Was wäre bei der
Vereinigung
von Mengen das neutrale Element? A.: Die leere
Menge.
2.
Rechnen mit Resten
•
n treten Gruppen auf. Erläutern
Sie dies. Antwort: Mögliche Reste sind 0, 1, .., n−1, die man zu Z
Zn := {0, 1, ..., n−1}
zusammenfasst. Die Modulo-Rechnung k mod n ergibt den Rest, wenn man k durch
n dividiert. Die Modulo-Addition +n wird durch
Bei dem Rechnen mit Resten bei der Division mit
j +n k := (j + k) mod n
deniert.
•
ZZn , versehen mit dieser Modulo-Addition, ist eine Gruppe.
Stellen Sie sich eine Uhr mit Zeigern vor, die die Stunden von 0 (12), 1, 2, ...,
11 anzeigt. Können Sie hier die modulo-Addition erläutern? Wenn es jetzt 10 Uhr
morgens ist, wie berechnen Sie die Uhrzeit nach 401 Stunden? A.: 3 Stunden nach
11 Uhr steht der Stundenzeiger auf 2 Uhr. Es ist
3 Uhr oder 15 Uhr. Da
•
Welches ist das
411 mod 24 = 3,
Da
411 mod 12 = 3,
ist es
ist es dann 13 Uhr.
neutrale Element, wie berechnet man die (additiven) Inversen?
Antwort: Das neutrale Element ist
•
n = 12.
0,
das Inverse von
k
ist
n − k.
Wenn man ganz analog eine Modulo-Multiplikation deniert, erhält man dann auch
eine Gruppe? Antwort: Wenn überhaupt, muss man die Null rausnehmen, da diese
keine (multiplikative) Inverse besitzt, also
Zn? := {1, 2, .., n − 1}
betrachten.
m ∈ ZZn besitzen ein multiplikatives Inverses, die zu n teilerfremd
sind. Z.B. besitzt m = 2 in Z
Z4 kein multiplikatives Inverses, da 2, multipliziert mit
irgend einem k ∈ IN bei Division durch n niemals den Rest 1 haben kann.
Nur solche Zahlen
3.
Diedergruppe
•
Wie kann man die a)
Symmetrie eines gleichseitigen Dreiecks (oder b) eines
Quadrates) beschreiben? Antwort: a) Durch die Symmetriegruppe des Dreiecks, die
Diedergruppe D3 , bestehend aus den drei Spiegelungen an den Winkel- (Seiten-)
Halbierenden und den drei Drehungen um 0, 120 Und 240 Grad.
b) Die Diedergruppe D4 , bestehend aus den vier Spiegelungen an den Mittelsenkrechten und den beiden Diagonalen und den drei Drehungen um 0, 90, 180 und
270 Grad.
Achtung: Die Elemente der Gruppe sind die geometrischen Abbildungen, nicht etwa
die Eckpunkte!
23
•
Zeichne ein gleichseitiges Dreieck und eine Winkelhalbierende. Sei
an dieser Winkelhalbierenden und
positiven Sinn. Was ist
R
R
S
die Spiegelung
eine Drehung um 120 Grad im mathematisch
verknüpft mit
S
und
S
verknüpft mit
R?
Antwort: Bei-
des sind wieder Spiegelungen, aber verschieden. Ersteres ist die Spiegelung an der
Winkelhalbierenden, die auf der gegebenen gegen den Uhrzeigersinn folgt.
•
Dies ist ein Beispiel, wo die Gruppenelemente Abbildungen sind. Ist das auch bei
der sog.
Permutationsgruppe, auch symmetrische Gruppe der Ordnung n ge-
nannten Gruppe so?
Antwort: Ja. Hier ist
Gruppe
•
Sn
X = {1, 2, ..., n}
die Menge aller
Wieviele Elemente hat
gibt es noch
n
Sn ?
eine Menge der
Bíjektionen von X .
n!
Antwort:
Mächtigkeit n. Dann ist die
Begründung: Für das erste Element von
mögliche Bilder, für das zweite nur noch
n − 1,
X
da es ein anderes
Bild als das erste haben muss. Nach dem Produktsatz der Kombinatorik gibt es
dann
n(n − 1)
mögliche Kombinationen für das erste und zweite Element von
Fährt man so fort, erhält man
n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1 = n!
X.
Kombinationen (hier
Permutationen).
4.
Zahlen
rationale Zahlen? Antwort: Alle Brüche
•
Was sind
•
Gibt es auch nicht-rationale Zahlen? Antwort: Ja,
Kreiszahl
•
und eulersche Zahl
√
2 irrational? Antwort:
x = pq erfüllt x2 = 2........)
Wie erkennt man an
p
irrationale Zahlen
und
wie
q.
√
2,
e..
Warum ist
nommen,
•
π
p
mit ganzen Zahlen
q
Siehe Skript. Skizzierung des Beweises (Ange-
Dezimalbrüchen, ob die durch sie dargestellte Zahl rational ist
oder nicht? Antwort: Es müssen endliche oder unendlich-periodische Dezimalbrüche
sein.
•
•
•
Gibt es mehr rationale oder mehr irrationale Zahlen? Antwort: Es gibt jeweils un-
endlich viele, aber nur abzählbar unendlich viele rationale Zahlen, aber überabzählbar unendlich viele irrationale Zahlen.
Begründung? Antwort siehe Skript (Einserfrage).
Komplexe Zahlen kann man durch Punkte der Gauÿ'schen Zahlenebene darstellen. Wo liegt die imaginäre Einheit i? Welche relle quadratische Gleichung
wird von ihr gelöst?
Antwort:
•
(0, 1),
Gleichung
x2 = −1.
Die imaginäre Einheit liegt auf der Ordinate.
Wie bezeichnet man eine komplexe Zahl
Antwort:
z = a + ib.
24
z
mit
Realteil
a
und
Imaginärteil
b?
•
Erklären Sie, wie man komplexe Zahlen addiert und multipliziert. Antwort: Siehe
Skript.
•
Polarkoordinaten r und α auf der einen
Welche Beziehung besteht zwischen den
und den kartesischen Koordinaten
a
und
b
einer komplexen Zahl
z
auf der anderen
Seite? Antwort:
a = r cos α, b = r sin α,
Zeichnung!!
•
Wie kann man die Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinaten deuten?
Antwort: Addition von Winkeln, Multiplikation der Abstände zum Nullpunkt.
•
Wie lautet die schönste Formel der Mathematk? Antwort:
eπi + 1 = 0.
•
Warum bilden alle komplexen Zahlen vom Betrag Eins eine Gruppe? A.: Alle diese
Zahlen bilden in der Gauÿ'schen Zahlenebene den Einheitskreis. Multipliziert man
zwei solcher Zahlen, so bleibt der Betrag unverändert (Eins), die Winkel addieren
sich.
Achtung: Die Elemente der Gruppe hier sind komplexe Zahlen, nicht etwa die durch
sie denierten Drehungen.
Analytische Geometrie
Zu dem Thema Geraden und Ebenen bitte alles in Mathe II nachlesen.
1.
Winkel zwischen Vektoren, Länge von Vektoren
•
Wieso kann man mit Hilfe des Skalarproduktes Winkel ausrechenn? A.: Sind
w
v
und
zwei Vektoren, so gilt
v · w = |v| · |w| · cos(α),
wobei
v
der Winkel zwischen
und
•
Wann heiÿen zwei Vektoren
•
Wie kann man zu zwei Vektoren
der zu
2.
α
v
und
w
v
und
w
w
v
ist.
orthogonal? A.: Wenn v · w = 0.
und
w
3
des IR einen dritten Vektor bestimmen,
orthogonal ist? A.: Vektorprodukt.
Geraden
•
Wie lautet die
Parameterdarstellung
Raum? A. (Kap. II.2.7). Ist in Punkt
P
einer Geraden
G
in der Ebene oder im
und ein Richtungsvektor
v
der Geraden
gegeben, so ist
G := {P + λv : λ ∈ IR}.
Zu jedem Parameter
λ
gibt es einen Punkt
dies eine Art Punkt-Steigungsform.
25
P + λv
der Geraden. In der Ebene ist
•
Wie kann man erkennen, ob 2 Geraden parallel sind? A.: Die beiden Richtungsvektoren müssen Vielfache von einander sein.
•
Gibt es auch eine
Koordinatenform
einer Geraden? A.: Nur in der Ebene. Hier
gilt
G := {(x, y) : ax + by = c},
wobei
a
und
b
Koezienten sind, die nicht beide verschwinden dürfen.
•
Wie kann man in diesem Fall den Vektor
•
In der Schule betrachtet man auch Geraden mit der Funktionsgleichung
Normalenvektor auf G .
(a, b) geometrisch interpretieren? Antwort:
y = mx + b.
mx − y = −b. Dies ist oensichtlich eine spezielle Koordinatenform. Der Vektor (m, −1) steht senkrecht auf der
Geraden. Dies korrespondiert damit, dass m die Steigung der Geraden ist.
Wie passt diese hier hinein? A.: Umschreiben ergibt
3.
Ebenen
•
Was versteht man unter der
len Raum? Antwort:
Koordinatenform einer Ebene im dreidimensiona-
E := {(x, y, z) ∈ IR3 : ax + by + cz = d}
wobei
a, b, c, d gegebene Zahlen sind, die die Ebene charakterisieren. a, b und c dürfen
nicht alle Null sein.
(a, b, c) geometrisch interpretieren? Antwort: Normalen-
•
Wie kann man den Vektor
•
Begründung? Antwort: Der
vektor auf E .
Ebene muss
Verbindungsvektor v := (v1 , v2 , v3 ) zweier Punkte der
av1 + bv2 + cv3 = 0
erfüllen (Man schreibe für die beiden Punkte die
Skalarprodukt aus v
und a := (a, b, c) Null, die beiden Vektoren sind also orthogonal.
Ebenengleichungen hin und subtrahiere diese). Daher ist das
•
Was versteht man unter einer Parameterform einer Ebene? A.: s. Skript
•
Wie kann man aus einer Parameterform eine Koordinatenform einer Ebene berechnen? A.: Mit Hilfe des Vektorproduktes kann man aus einem Richtungspaar
v, w
einen Normalenvektor berechnen. Die rechte seite der Koordinatenform erhält man,
indem man einen Punkt der Ebene (etwa den Punkt
P
der Parameterform) in die
Koordinatenform einsetzt.
•
Zwei Ebenen unterscheiden sich nur durch die vierte Zahl
d. Was weiÿ man über die
parallel.
wenn die Länge
beiden Ebenen? Antwort: Die beiden Ebenen sind
•
Hessesche Normalform?
Antwort: Liegt vor,
von
gleich Eins ist.
•
Konsequenz? Antwort:
|d|
ist der
Abstand der Ebene zum Ursprung.
26
a = (a, b, c)
Fibonacci-Zahlen, Goldener Schnitt und Kettenbrüche
Zu diesem Thema empfehle ich zur Wiederholung und zur Schwerpunktbildung ein Skript
Kettenbrüche (Probevorlesung für Erstsemester, B. Werner WS 07/08)
•
Wie kommt man auf die explizite Darstellung (Formel von
Binet) bei Fibonaccizahlen?
an := λn für die
= an +an−1 (für alle n), erhält die Gleichungen λn+1 = λn +λn−1
2
aus und bekommt eine quadratische Gleichung λ = λ + 1. Die
A.: Man macht einen Ansatz in Gestalt einer geometrischen Folge
Fibonacci-Rekursion
für alle
n,
klammert
an+1
λn−1
beiden Nullstellen (eine ist die groÿe Goldene Schnittzahl) gehen in die Formel von
Binet
ein.
•
(Zusammenhang zwischen Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt) Was wissen Sie
über die Folge der Quotienten aufeinanderfolgender F-Zahlen? Antwort: Sie
konvergiert,
es gilt
lim
Fn+1
=Φ
Fn
Φ.
n→∞
mit der groÿen
Goldenen Schnittzahl
Fn
betrachtet?
Fn+1
•
Warum gilt dies? Was ist, wenn man
•
Wie sind die kleine und groÿe Goldene Schnittzahl deniert? A.: Teilt man eine Strecke
φ
1
der Länge Eins golden, so hat die gröÿere Teilstrecke gerade die Länge φ, da
= 1−φ
φ
(Ganze Strecke zur gröÿeren Teilstrecke verhält sich wie die gröÿere zur kleineren Teil-
limn→∞
Goldene Rechtecke und Goldene Dreiecke, Pentagon
strecke). Siehe auch Mathe I (
und
Pentagramm. Das Pnetagon wimmelt von Goldenen Dreiecken. Es gibt i.W. zwei
verschiedene Goldene Dreiecke.)
•
Darstellung der kleinen Goldenen Schnittzahl durch einen Kettenbruch? A.: Die Koezienten sind alle Eins. Das kann man leicht zeigen, indem man aus der Kettenbruchdar1
gewinnt.
stellung φ =
1+φ
•
Begründung? A.: Kann man aus der Formel von
bruchdarstellung von
Binet gewinnen oder aus der Ketten-
φ, da die Quotienten aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen gerade
φ sind. Im Skript nachlesen! Begründung (Induktion!)
die Konvergenten von
•
Erläutern Sie ein Modell, das auf Fibonacci-Zahlen führt. A.: Kaninchenvermehrung,
Panzenwachstum, X-Chromosomen, Mauerbau aus Ziegelsteinen, ... (s. Skript). Zumindest beim Kaninchenmodell sollten Sie die F-Rekursion etwa für die Alttierpaare herleiten
können.
•
Erläutern Sie den Begri
Kettenbruch, Koezienten
vergenten des Kettenbruchs. A.: s. Skript.
27
des Kettenbruchs sowie
Kon-
•
Geben Sie den Zusammenhang zwischen dem Kettenbruch der kleinen oder der groÿen
φ = [1], Φ =
von φ gerade die
GSZ und den Fibonacci-Zahlen an und bgründen Sie diesen. A.-Skizze:
[1; 1].
Fn /Fn+1
Konvergenten
sind. Es gilt nämlich
1
1+
•
n.ten
Per Induktion kann man einsehen, dass die
Quotienten
=
Fn
Fn+1
Fn+1
.
Fn+1 + Fn
Unterschied zwischen der Darstellung von Zahlen durch Dezimalbrüche und Kettenbrüche.
A.: Rationale Zahlen besitzen endliche oder periodisch-unendliche Dezimalbrüche, aber
stets endliche Kettenbrüche.
Es gibt aber auch periodische, unendliche Kettenbrüche (z.B. die Darstellung der Goldenen Schnittzahl). Diese Zahlen sind gerade die Lösungen quadratischer Gleichungen mit
ganzzahligen Koezienten.
•
Wie berechnet man einen periodischen Kettenbruch, z.B.
ω=
ω = [12]?
A.:
1
1
1 + 2+ω
führt auf eine quadratische Gleichung.
•
Hat ein Rechteck zwei aufeinanderfolgende F-Zahlen als Seitenlängen, so nennt man es
ein F-Rechteck. Fügt man diesem Rechteck über der längeren Seite ein Quadrat an, so
erhält man wieder ein F-Rechteck. Warum?
A.: Beginnen Sie mit einem 1x1-Quadrat ......
Gibt es eine ähnliche Situation beim Goldenen Rechteck? A.: Ja: Fügt man einem Goldenen Rechteck ein Quadrat über der längeren Seite an, erhält man wieder ein Goldenes
Rechteck.
•
Warum gilt
√
2 = [1; 2, 2, 2, 2, ...]?
Wie kann man dieses Resultat mit dem
euklidischen (Rechteck-)Algorithmus
Beziehung setzen?
A.: Das Seitenverhältnis eines
DIN-A-Blattes
√
beträgt
2
(warum?). Man kann ein
Quadrat (Falten!!) abtrennen (erster Koezient = 1). Das Restrechteck
√
tenverhältnis
2 + 1,
von ihm kann man
ähnlich zum Ausgangsrestrechteck
in
R1
hat das Sei-
zwei Quadrate abtrennen, das Restrechteck ist
R1 .
Bemerkung: Dass sich ein DIN-A4-Blatt nicht vollständig in Quadrate aufteilen lässt,
√
folgt aus der Irrationalität von
2.
Dass dies auch näherungsweise nicht gut geht, liegt
an den vergleichsweise kleinen Koezienten 2 des Kettenbruchs.
28
•
Erläutern Sie den
euklidischen Algorithmus zur Berechnung des Kettenbrauch einer
Zahl geometrisch. Wie kann man daran den speziellen Kettenbruch der Goldenen Schnittzahl wiederentdecken?
A.: Rechteckalgorithmus! Trennt man von einem Goldenen Rechteck ein Quadrat ab, so
ist das Restrechteck wieder golden.
29