4. ¨UBUNGSBLATT ANWESENHEITSAUFGABEN: Aufgabe 1

ANALYSIS · WS 2016/2017
Vorlesung: Prof. Dr. P. Ullrich
Übungen: Dr. D. Habeck/ Dr. M. Steinhauer
4. ÜBUNGSBLATT
Bearbeitung in den Übungen vom 15.11.2016 - 18.11.2016
Abgabe der Hausaufgaben: bis 21.11.2016, 12:30, in den Fächern im G-Foyer
(Bitte ÜbungsgruppenleiterIn und Übungsgruppennummer angeben!)
ANWESENHEITSAUFGABEN:
Aufgabe 1:
Überprüfen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
a) an =
n(2−5n)+3
3n2 +1
n
1
b) bn = (−1) 1 − 3n
q
c) cn = n 4 + n−1
n+1
√
√
d) dn = n − n − 1
Aufgabe 2:
Beweisen oder widerlegen Sie:
a) Ist an eine reelle Folge, bn eine Nullfolge und gilt |an | ≤ |bn | für alle n ∈ N, so ist
auch an eine Nullfolge.
b) Wenn die Folgen an und cn = an · bn konvergieren, so konvergiert auch die Folge bn .
c) Eine reelle Folge an konvergiert genau dann gegen a ∈ R, wenn bn = an − a eine
Nullfolge ist.
Aufgabe 3:
Seien a, b positive reelle Zahlen mit a > b. Weiterhin seien durch
a1 = a,
b1 = b,
an+1 =
1
(an + bn ) ,
2
bn+1 =
p
an · bn
zwei Folgen an und bn (rekursiv) definiert. Zeigen Sie, dass beide Folgen konvergieren und
den gleichen Grenzwert besitzen.
Aufgabe 4:
a) Berechnen Sie die Reihenwerte der folgenden beiden Reihen:
P∞
1 k
(1)
−
k=0
3
P∞
1 k
(2)
(für a ∈ R, a > 1)
k=0 1 − a
P
1
b) Bestimmen Sie den Reihenwert von ∞
k=1 k(k+1) , in dem Sie den Grenzwert der n-ten
Pn
1
Partialsumme Sn = k=1 k(k+1)
berechnen.
HAUSAUFGABEN:
Aufgabe 5 (4+3+3+3+3 Punkte):
√
a) Zeigen Sie, dass die Folge an = n n gegen 1 konvergiert. (Hinweis: Stellen Sie die
Folge an in der Form an = 1 + bn dar und zeigen Sie mit Hilfe des Binomischen
Lehrsatzes, dass bn eine (positive) Nullfolge ist.)
b) Bestimmen Sie (mit Hilfe von Teilaufgabe a) sowie den Rechenregeln aus der Vorlesung) jeweils den Grenzwert.
(1) an =
1−3n
5+2·3n
(2) bn =
(−1)n n2
n2 +1
(3) cn =
1
3
(4) dn =
+
p
n
(3−n)5
(7+n)5
n
2n+1
Aufgabe 6 (2+2+2 Punkte):
Beweisen oder widerlegen Sie:
a) Ist an eine Nullfolge und bn eine beschränkte Folge, so ist die Folge cn = an · bn eine
Nullfolge.
b) Wenn die Folgen an und bn divergieren, so divergieren auch die Folgen an + bn und
an − b n .
c) Die Folgen an und bn konvergieren genau dann, wenn die Folgen an + bn und an − bn
konvergieren.
Aufgabe 7: (4+4 Punkte)
Berechnen Sie die Reihenwerte der folgenden beiden Reihen:
P∞
k+1 1 k
a)
k=1 (−1)
7
b)
P∞
1
k=1 k(k+2)