Es wird zwei Vorschläge zu je 4 Aufgaben geben, von denen ein

Staatsexamen GS: Hinweise zur schriftlichen und mündlichen Prüfung
Bodo Werner
13. April 2010
1. Hinweise zur schriftlichen Prüfung
Es wird zwei Vorschläge zu je 4 Aufgaben geben,
von denen ein Satz (zu 4 Aufgaben) ausgewählt
werden muss. Es werden für alle KandidatInnen
einer Prüfungsperiode
einen zwei Aufgabensätze
enthaltenen Vorschlag geben.
Mit hohem Gewicht (etwa 75%) werden Aufgaben aus Mathe III (Analysis) und Mathe IV
(Stochastik) darunter sein. Hierauf kann man
sich vortreich vorbereiten, indem alle damaligen Präsenz- und Übungsaufgaben durchgearbeitet werden (und dabei ganz besonders auf die
korrekte mathematische Sprache geachtet wird!).
Natürlich werden dabei Kenntnisse aus Mathe I
und II, vor allem aus Mathe I, sehr hilfreich sein.
Die restlichen ca. 25% werden Aufgaben sein, die
thematisch zu weiterführenden Vorlesungen gehören, z.B. zu Fibonaccizahlen oder zur elementa1
ren Zahlen- oder/und Gruppentheorie. Diese Aufgaben können im Prinzip auch mit Mitteln von
Mathe I-IV gelöst werden, d.h. sie erfordern keine speziellen Kenntnisse aus den weiterführenden
Vorlesungen.
Es gilt halt nur dasselbe wie z.B. im Langstreckenlauf: Je mehr man trainiert, desto besser
sind die Leistungen.
2. Beispiele für mündliche Prüfungsfragen
Vorbemerkung: Die folgenden Beispiele sollen exemplarisch den Ablauf einer mündlichen Prüfung aufzeigen. Die dabei verwendeten mathema-
Vokabeln) sind fett gedruckt. Es
tischen Begrie (
kann gar nicht oft genug gesagt werden, dass es
das Hauptziel der mündlichen Prüfung ist, den
verständigen Umgang mit diesen Begrien nachzuweisen.
Sie können eine Prüfung sehr gut in Ihrer Arbeitsgruppe simulieren, indem Sie sich gegenseitig
Kurzreferate zu den angesprochenen Themen hal2
ten. Wenn Sie ausschlieÿlich alleine lernen, laufen
Sie Gefahr, dass Sie sich nicht richig einschätzen!
Sie müssen sich dann häuger selbst abfragen,
laut, mit Schreiber und Papier, um die wesentlichen Benennungen, Formeln und Terme aufzuschreiben.
Achten Sie dabei unbedingt auf die Korrektheit verwendeter Begrie. Lernen Sie, ähnliche,
aber doch verschiedene Begrie zu unterschei-
Funktion - Funktionswert, Verteilung
- Verteilungsfunktion, Ereignis - Elementarereignis, unendliche Reihe - Partialsumme. Machen
den wie z.B.
Sie sich zu jeder Frage zunächst klar, welches die
zentralen Begrie sind!!
Die Fragen sind in der Regel anspruchsvoll. In
einer konkreten Situation einer mündlichen Prüfung können Sie mit Hilfen rechnen. Die hier
vorliegende Frageliste, die noch erweitert werden
kann, soll aber auch Ihr Verständnis verbessern.
Sie können auch dann, wenn nicht direkt erfragt,
3
ein erläuterndes Beispiel Ihrer Wahl anbieten.
Sie dürfen aber aus der Frageliste keineswegs die
Schlüsse ziehen, dass nichts anderes gefragt wird.
Versuchen Sie, Ihr Verständnis für die angesprochenen Inhalte auch in einer Umgebung der jeweiligen Frage zu verbessern.
4
Analysis
1.
Folgen allgemein
• Erklären
Sie an Hand eines Beispiels den
rekursiver und expliziter Darstellung einer Folge. Antwort: Eine geometrische Folge (an ) lässt
Unterschied zwischen
sich explizit durch
an := q n
und rekursiv durch
an = q · an−1, a0 = 1
darstellen.
• Was
haben reelle Folgen mit Abbildungen
zu tun? A.: Es handelt sich um eine Abbildung von IN nach IR, wobei einer natürlichen Zahl
n das n.te Folgenglied zugeordnet
wird.
• Um
was für
eine Folge handelt es
bei der berühmten
sich
Fibonacci-Folge? Ant-
5
wort:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
• Wie
lautet das
Bildungsgesetz? Antwort:
Jedes Folgenglied ist die Summe ihrer Vorgänger.
• Wie
nennt man ein solches Bildungsgesetz
und wie kann man dieses hier knapp formulieren? Antwort:
setz,
Rekursives Bildungsge-
Fn+1 = Fn + Fn−1, F0 = 0, F1 = 1.
• Welchen
Typ von Bildungsgesetzen gibt es
noch und gibt es einen solchen auch für FFolgen? Antwort:
explizites Bildungsge-
setz. Dieses gibt es hier. Es ist die Formel
von Binet. Ich kenne diese nicht auswendig,
weiÿ aber, dass die groÿe Goldenen Schnittzahl dort vorkommt.
• Hat
die F-Folge einen
Grenzwert?
Ant-
wort: Nein, sie wächst über alle Grenzen, ist
6
unbeschränkt. Z.B. kann man
Fn ≥ n ganz
einfach mit vollständiger Induktion zeigen.
• Geben
Sie ein Beispiel für eine
an. Antwort:
• Wodurch
an = n1 .
Nullfolge
ist eine Nullfolge deniert? Ant-
Grenzwert Null.
• Wann liegt eine Zahl b in der ε-Nähe einer
wort: Sie hat den
a? (ε sei positiv). Antwort:
Wenn |a − b| < ε.
• Wie lautet die ε-Denition einer Nullfolge?
Benutzen Sie den Begri ε-Nähe. Antwort:
Für alle ε > 0 gibt es ein n0 ∈ IN, so dass
alle an für n > n0 in der ε-Nähe von Null
anderen Zahl
liegen, d.h., dass gilt
|an| < ε
für alle
n > n0 .
.
• Man
bezeichnet meist eine Folge mit dem
Symbol
wort:
(an)n∈IN. Wie nennt man an? Ant-
n.tes
Folgenglied.
7
• Muss
eine Folge unendlich viele verschiede-
ne Folgenglieder besitzen? Antwort: Nein.
Beispiel: Konstantenfolge
an = 1 für alle n.
• Was ist eine beschränkte Folge? Antwort:
Es muss
obere und untere Schranken
geben, d.h., es muss Zahlen
c < C
geben
mit
c ≤ an ≤ C
für alle
n
• Geben Sie ein Beispiel für eine beschränkte,
aber nicht konvergente Folge. Mit Begründung. Antwort:
an = (−1)n. Angenommen,
die Folge hat einen Grenzwert. Nennen wir
a. Wenn man ε := 0.5 wählt, so liegt +1
oder −1 nicht in der ε-Umgebung von a. Jeihn
des zweite Folgenglied liegt also auÿerhalb
der
ε-Umgebung.
• Was
wort:
ist eine
an = q n
Widerspruch.
geometrische Folge?
mit einer Basis
• Wie lautet deren rekursives
8
Ant-
q.
Bildungsge-
setz?
Antwort:
an+1 = qan.
Ein Folgen-
q -fache seines Vorgängers.
• Wann ist an := q n eine Nullfolge? Antwort:
Wenn |q| < 1.
glied ist das
• Ist
qn
n
eine Nullfolge für
|q| > 1?
A.: Nein,
siehe weiter unten. Bemerkung: Für kein
ist
ist
qn
eine Nullfolge für
nnk
q
n! eine
|q| > 1.
k
Allerding
Nullfolge, da die Exponentialrei-
he konvergiert.
• Gibt es einen Grenzwert von an : q n für
q > 1? A.: Nein, aber die Folge divergiert
gegen ∞.
• Was heiÿt das? A.: Zu jedem (noch so
groÿen) K > 0 gibt es stets ein n0 , so dass
an > K für n > n0. Verbal: Zu jedem
K > 0 liegen ab einem n0 alle Folgenglieder
an rechts von K .
• Man kann die eulersche Zahl e als Grenzwert einer ganz bestimmten Folge denie9
ren. Welche Folge ist dies? A.:
1 )n .
n
an := (1 +
Hauptsatz über konvergente Folgen? A.: Die Summe (Pro-
• Wie
lautet
der
dukt, Dierenz, Quotient) zweier konvergenter Folgen konvergiert gegen die Summe
(Produkt, Dierenz, Quotient) ihrer Grenzwerte. Bei dem Quotienten muss man verlangen, dass der Grenzwert der zweiten Folge unglech Null ist.
• Geben
Sie ein Beispiel an, wo man den
Hauptsatz gut anwenden kann. A.:
3 + 5n
3/n2 + 5/n
an :=
=
2
4 + 3n
4/n2 + 3
konvergiert gegen Null.
2.
Geometrische Folgen
• Was ist eine geometrische Folge?
wort:
an := q n
mit einem
10
q ∈ IR.
Ant-
• Wo
treten geometrische Folgen auf? Ant-
wort: a) Verzinsung,
q := 1 + p,
wobei
p
der Zinssatz ist. b) Frequenzen der 12 Töne
einer temperierten Tonleiter mit
q := 21/12.
c) Bakterienwachstum (pro Zeiteinheit um
p%).
• Kann man eine geometrische Folge auch rekursiv denieren? Antwort: Ja, an+1 =
qan.
• Sehen Sie eine Verwandtschaft zu arith-
metischen Folgen? A.: Bei geometrischen
Folgen ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgengleider konstant, bei arith-
d, d.h.
an+1 =
metischen Folgen ist es die Dierenz
esgilt das rekursive Bildungsgesetz
an + d.
• Gibt
es noch andere Folgen, die dieser Re-
kursion genügen? Antwort: Ja, alle Vielfachen, also
an = cq n
11
mit
c ∈ IR.
• Was
wissen Sie über die Konvergenz einer
geometrischen Folge? Antwort: Fals
1,
|q| <
handelt es sich um eine Nullfolge (der
Grenzwert ist Null), für
q = 1
handelt es
sich um eine Konstantenfolge (Grenzwert
1), für
q = −1
um eine beschränkte Folge
mit zwei Häufungspunkten und sonst um eine unbeschränkte Folge, die für
q > 1 gegen
Unendlich divergiert.
• Berechnen
Sie die
relative Wachstums-
rate von geometrischen Folgen. Antwort:
an+1 − an q n+1 − q n
=
= q − 1.
n
an
q
• Die
relative Wachstumsrate ist also kon-
stant, d.h. unabhängig von
n.
Wie nennt
man solch ein Wachstum? Antwort: Expo-
q > 1 monotones exponentielWachsen, für 0 < q < 1 exponentielles
nentiell. Für
les
Fallen.
12
• Gibt
es
geometrische
Fibonacci-Rekursion
Folgen,
die
der
an+1 = an +an−1 (für
n) genügen? Antwort: Wenn man man
an = q n ansetzt, so muss q n+1 = q n +q n−1
für alle n gelten. Dividiert man beide Seiten
n−1, so erhält man die quadratische
durch q
2
Gleichung q = q +1 mit den beiden Lösungen q = Φ (Groÿe Goldene Schnittzahl) und
q = −φ (mit φ als kleine Goldene Schnittalle
zahl).
• Für q > 1 divergiert die Folge an :=
q n gegen Unendlich, ebenfalls jede Potenz
bn := nk mit irgendeinem k ∈ IN (eine
solche Folge heiÿt arithmetische Folge k ter
Ordnung). Welche Folge geht schneller gegen Unendlich und wie formuliert man dies?
Antwort: Es gilt
nk
lim n = 0,
n→∞ q
d.h. die geometrische Folge überholt die Po13
tenzfolge irgendwann.
• (Einserfrage).
Können Sie diese letzte Aus-
sage beweisen? Antwort: Setze
nk
cn := n
q
und zeige, dass es ein möglicherweise sehr
groÿes
N
gibt, so dass
(cn)
für
n ≥ N
streng monoton, exponentiell fällt. Denn es
gilt
k
)
cn+1 ( n+1
1
n
=
→ < 1.
cn
q
q
qn
• Also: Für kein k ist k eine Nullfolge, wenn
n n
|q| > 1. Allerding ist qn! eine Nullfolge, da
die Exponentialreihe konvergiert.
3.
Reelle Funktionen allgemein
reellen Funktionen versteht man Funktionen f : J → IR, t 7→ f (t) mit einem reellen Intervall J . Sie spielen insbesondere beim
Unter
14
kontinuierlichen Wachstum eine Rolle. Dann
ist
f (t) eine reelle Wachstumsgröÿe zur Zeit t.
• Wann
fällt (wächst) eine Funktion mono-
ton? Antwort: f (x) ≤ f (y) für x > y bzw.
f (x) ≥ f (y) für x > y .
• Wann besitzt f eine Umkehrfunktion?
falls
Wie
gewinnt man diese?
A.
f
muss injektiv sein. Die Umkehrfunk-
g bildt J 0 := f (J) nach IR (genauer
nach J ) ab. Man errechnet g(y), indem man
f (x) = y nach x auöst. Zeichnerischer erhält man den Graphen von g durch Spiegelung des Graphen von f an der Diagonalen
y = x.
tion
4.
Exponentialfunktionen
(Siehe auch expo-
nentielles Wachstum)
• Wie sind Exponentialfunktionen deniert?
x
A. f : IR → IR, f (x) := a mit a > 0.
15
• Für welche a wachsen (fallen) sie? A.: a >
1(< 1).
• Umkehrfunktionen? Graphen? A: Logarithmus zur Basis a, deren Graphen man durch
Spiegelung
eines
Exponentialfunktions-
Graphen an der Diagonalen erhält.
• Kann
man eine beliebige Exponentialfunk-
tion mit Hilfe der eulerschen Zahl
e
und
des natürlichen Logarithmus ausdrücken?
A.:
ax = ex·ln a.
• Wie lauten die Potenzgesetze und wie leiten
sich hieraus die Logarithmusgesetze
log(u · v) = log u + log v
ab? A.: Dies folgt aus dem Potenzgesetz
ay = ax+y
durch Logarithmieren mit dem
Logarithmus zur Basis
u : ax, v := ay .
5.
ax ·
Potenzfunktionen
16
a)
und Setzen von
• Was
nem
Potenzfunktionen? A.: Mit eiExponenten b > 0 handelt es sich
sind
x 7→ xb oder auch mit
b
einem Koezienten a um x 7→ a · x .
2
Beispiel: x 7→ x .
• Kann x eine beliebige reelle Zahl sein? A.:
Nein, es muss i.A. x ≥ 0 gelten, wie man
etwa für b = 0.5 erkennen kann.
• Zeichnen Sie den Graphen einer Potenzfunktion für 0 < b < 1, b = 1 und für
b > 1 und machen Sie den qualitativen Unum Abbildungen
terschied dieser Funktionen im Hinblick auf
sublinear, linear
und
A.: Typische Fälle sind
b = 2 > 1.
superlinear
klar.
b = 0.5 < 1
und
Potenzwachstum
charakte-
risiert? A.: Die Wachstumsgröÿe
y = f (x)
• Wodurch
ist
wächst bei Verdopplung (oder Verdreifachung oder Vervielfachung von
Faktor
c > 0)
x
um einen
stets um einen gleichen von
17
x unabhängigen Faktor.
b
Genauer: Es ist f (cx)/f (x) = c für alle x.
der Ausgangsgröÿe
• Beispiel
für
Potenzwachstum?
f (x) :=Artenzahl zur Fläche x. Ein
A.:
empi-
risches Gesetz, das bestätigt wird, wenn die
Messpunkte in einer log-log-Skala nahezu
auf einer Geraden mit Steigung
b
liegen.
• Welches ist die Umkehrfunktion von x 7→
xb? A.: Wieder eine Potenzfunktion mit Exponenten
1.
b
Die Umkehrfunktion einer su-
perlinear wachsenden Potenzfunktion (
1)
1/b < 1)
ist sublinear wachsend (
b>
(und
Ihre Graphen entstehen
durch Spiegelung an der Diagonalen.
vice
versa).
Bemerkung: Letzteres gilt generell.
6.
Periodische Funktionen
• Was versteht man unter Kreisfunktionen,
auch
trigonometrische Funktionen
ge-
nannt? A.: Sinus, Kosinus, Tangens und Ko18
tangens
• Woher
on?
stammt
der
KreisfunktiEinheitskreis für
Name
A.: Man kann den
ihre Denition heranziehen (Zeichnung!).
Wenn man gedanklich um den Einheitskreis im mathematisch positiven Sinne herumwandert, nimmt die Länge des Kreisbogens (das Bogenmaÿ
φ)
kontinuierlich zu
und man kann den Wert der trigonometrischen Funktionen als Funktion von
φ
ver-
folgen(Hierzu gibt es ein schönes Applet
von Mathe-Online).
• Welche Periode haben die Kreisfunktionen
im Bogenmaÿ (mit Begründung)? A.: T =
2π . Wenn man einmal rum ist (der Umfang
des Einheitskteises ist 2π ), beginnt alles von
vorn.
• Welche Periode hat x 7→ sin(10 · x)? A.:
π.
T = 2π
=
10
5
• Wie ist allgemein eine T -Periodische Funk19
f : IR → IR
f (x) für alle x.
tion
• Was
deniert? A.:
versteht man unter
f (x + T ) =
Frequenz
T-periodischen Funktion? A.
einer
ν := T1
Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit
oder Anzahl der Periodenintervalle, die in
ein Intervalle mit der Länge Eins hineinpassen. Beispiel: Pulsschlag (Herzfrequenz!)
• Was
versteht
man
unter
periodischen Folge an?
für alle
A.:
einer
q-
an+q = an
n.
• Können Sie ein Beispiel aus der Vorlesung
Fibonaccizahlen, ... angeben, wo periodische Folgen auftreten? A.: Betrachte einen
Orbit einer Drehung um einen rationalen
Winkel
ω = pq ,
deniert durch
xk = k ·
ω mod 1.
• Schauen
Sie
Sie sich Abb. 1 an.
sehen
zwei
20
Graphen
von
2π -
Abbildung 1: Periodische Funktionen
periodischen Funktionen. Um welche handelt es sich? Welches sind deren Minimalperioden? Welche der beiden Funktionen
hat die höhere Frequenz? A.: Der blaue
Graph ist der von
cos(2x),
der rote von
0.2 + 0.3 · sin(6x). Die Minimalperiode der
letzteren ist 2π/6 (sie ist höherfrequentig),
der ersteren π .
7.
Unendliche Reihen
• Beispiel für eine unendliche Reihe? Antworten: Die harmonische Reihe (sie divergiert!)
1 + 12 + 31 + · · ·
• Beschreiben
oder
P∞ 1
k=1 k
oder .....
Sie möglichst allgemein (oder
21
auch
unter
Beziehung
auf
das
Beispiel
eben), unter Verwendung der Begrie
Rei-
henglieder und Partialsummen, was eine unendliche Reihe ist. Antwort: Ist eine
Folge
1
n
(an) die Reihenglieder, z.B. an =
gegeben, so ist die zugehörige unend-
liche Reihe die Folge der
sn =
P
∞
Pn
Partialsummen
k=0 ak und wird mit dem Symbol
k=0 ak bezeichnet. Wenn diese Folge der
Grenzwert s
konvergiert, so nennt man s den Wert der
Partialsummen gegen einen
unendlichen Reihe und schreibt
∞
X
ak = s.
k=0
• Was
ist eine
geometrische Reihe?
Ant-
wort: Ihre Reihenglieder sind durch eine
geometrische Folge an = qn
22
gegeben,
d.h. es handelt sich um die Reihe
∞
X
qk .
k=0
Ihre Partialsummen laassen sich mit Hilfe
der geometrischen Summenformel explizit
angeben. Siehe nächste Frage.
• Wann
konvergiert eine geometrische Rei-
he? Gegen welchen Wert? Antwort: Wegen
der
geometrischen Summenformel (Be-
gründung?) gilt
sn =
n
X
k=0
n+1
1
−
q
qk =
.
1−q
Es ist Unsinn, wenn Sie sagen, dass
1−q n+1
1−q
konvergiert.
Nullfolge. Aus
Hauptsatz über die Konvergenz
Wenn
dem
sn gegen
|q| < 1
ist
(q k )
23
eine
von Folgen folgt, dass
1 − q n+1
1
sn =
→
.
1−q
1−q
Daher ist
1
1−q
Reihe, wenn
• Was
haben
der Wert der geometrischen
|q| < 1.
periodische Dezimalbrüche
mit unendlichen Reihen zu tun? Nehmen
x = 0.12. Antwort: Es
12
12
12
x=
+
+
+ ···
100 10000 1000000
wir das Beispiel
ist
Bei den Nennern handelt es sich um Potenzen
100k ,
also mit
1
q := 100
gilt
x = 12(q + q 2 + q 3 + · · · ) = 12
∞
X
q k − 12.
k=0
Bei
P∞
k
q
k=0
handelt es um eine gemetri-
sche Reihe.
• Wir
haben zwei Läufer, der langsamere ist
um 10% langsamer als der schnellere und er24
hält daher einen Vorsprung von 100 Metern.
Denken Sie an
kröte.
Achilles und die Schild-
Wo kommt hier eine geometrische
Reihe ins Spiel? Antwort: Am Anfang beträgt der Abstand 100. Wenn der schnellere
Läufer 100 m zurückgelegt hat, beträgt der
Vorsprung 90 Meter, er ist auf des
mit
q := 0.9
q -fache
geschrumpft. Jedes Mal, wenn
der schnellere Läufer den Abstand zum Vordermann zurückgelegt hat, ist dieser auf
90% des vorherigen Wertes gefallen. Addieren wir alle diese Abstände zusammen, erhalten wir
100+100q+100q 2+100q 3+· · · = 100
∞
X
q k = 100
k=0
Nach 1000 Metern wird der langsamere
Läufer aufgeholt.
• Hätte man das auch ohne geometrische Reihe herausbekommen können? Antwort: Ja.
25
Nennen wir
x
die gesuchte Länge. Wenn
der schnellere Läufer
x
Meter zurücklegt,
so ist der langsamere Läufer
q := 0.9
q · x Meter mit
gelaufen. Daher muss für die zu-
rückgelegte Strecke
x
bis zum Zusammen-
treen
gelten,
x = 100 + qx
woraus sich für q = 0.9 x = 1000
ergibt.
• Welche
Zinsaufgabe führt auf eine Parti-
alsumme einer geometrischen Reihe? Antwort: Ratensparvertrag.
• Die
Exponentialreihe
oder auch die Si-
nusreihe (bzw. Kosinusreihe) sind Beispiele für
Funktionsreihen. Konkretisieren Sie
eine von diesen. A.:
Sinusreihe:
x3 x5 x7
sin x = x − + − + · · · ,
3!
5!
7!
26
Exponentialreihe:
2
3
n
x
x
x
ex = 1 + x + + + · · · +
+ ···
2!
3!
n!
Kosinusreihe:
x2 x4 x6
cos x = 1 − + − + · · ·
2!
4!
6!
• Wenn Sie mit Hilfe der Exponentialreihe die
eulersche Zahl e berechnen sollen, wie geht
das? A.:
1
1
e = 2 + + + ···
2! 3!
• (Einserfrage)
Können Sie hieraus die
lersche Formel ableiten?
Eu-
A.: Diese Formel lautet
eix = cos x + i sin x
Weiter Ü 14 von Mathe III. Es kommen
auch alle Fragen zu komplexen Zahlen in
Frage, im Kap.
Zahlentheorie, Gruppen
aufgeführt sind.
27
• Im Skript wird bewiesen, dass die Exponentialreihe
xn
x2 x3
+ ···
1 + x + + + ··· +
2!
3!
n!
für alle x ∈ IR konvergiert, nicht aber, dass
x
ihr (natürlich von x ahängige) Wert e ist.
Scheuen Sie sich den Beweis an. Was folgt
für die Konvergenz der Folge
an := xn/n!?
Antwort: Es handelt sich stets um eine Nullfolge - ganz gleich, wie groÿ
x
ist. Bemer-
kung: Für die Konvergenz einer unendlichen
Reihe ist es notwendig, dass die Reihenglieder
8.
(an)
eine Nullfolge bilden.
Exponentielles Wachstum
Bemerkung:
Die
Analysis
hatte
Wachstum
zum bestimmenden Thema. Daher sollte jedem klar sein, dass
Folgen ein diskretes Wachs-
an ist die Wachstumsgröÿe zum Zeitpunkt n) und reelle Funktionen f : J →
IR, t 7→ f (t) ein kontinuierliches Wachstum
tum (
28
beschreiben. Im ersten Fall ist die relative
Wachstumsrate zum Zeitpunkt
ÿe
an+1−an
an ,
n
um zweiten Fall ist die relati-
ve Wachstumsrate zum Zeitpunkt
ÿe
f 0(t)
.
f (t)
die Grö-
t
die Grö-
Die Zähler sind jeweils die abso-
luten Wachstumsraten. Das
Wachstumsgesetz
des exponentiellen Wachstums lautet: Die relative Wachstumsrate ist
zu jedem Zeitpunkt
gleich (konstant).
Achten Sie darauf dass ich unter
Exponenti-
ellem Wachstum auch immer das exponentielle Fallen mit einschlieÿe. Stichworte: Verdopplungszeit, Halbwertzeit.
Beim exponentiellen Wachstum ist die unabhängige Variable meist die Zeit daher die
Verwendung des Buchstabens
• Was
versteht man unter
t
(tempus).
exponentiellem
Wachstum (diskret und kontinuierlich)?
Antwort: Die relative Wachstumsrate
29
muss konstant sein, d.h. der relative Zuwachs in einer Zeiteinheit ist stets gleich,
unabhängig
von
dem
Ausgangswert
der
Wachstumsgröÿe.
Diskret: Ist der Zeitpunkt
n,
die Wachs-
an, die Zeiteinheit
Eins, so ist der absolute Zuwachs an+1 −an
tumsgröÿe zu dieser Zeit
und der relative Zuwachs
an+1−an
an
Zeiteinheit). Diese ist genau für
(in einer
geometri-
sche Folgen an = a0(1 + p)n
konstant
p (unabhängig von n. Bemerkung: Ist
p > 0, also q := 1 + p > 1, so handelt es
sich um echtes Wachsen, wenn p < 0,also
q := 1 + p < 1, geht es um exponentielles
gleich
Fallen.
Kontinuierlich:
Ist
der
t,
f (t),
Zeitpunkt
Wachstumsgröÿe zu dieser Zeit
die
die
h, so ist der absolute Zuwachs
f (t + h) − f (t) und der relative Zuwachs
f racf (t + h) − f (t)f (t) (in einer ZeiteinZeiteinheit
30
f (t) = at, so ist f (t + h) =
at+h = atah = ahf (t), d.h. der Faktor ist
ah (unabhängig von t!).
heit). Wenn
Man kann aber auch die Denition
f 0(t)
f (t)
für
die relative Wachstumsrate benutzen (mit
der
absoluten Wachstumsrate f 0(t)).
f (t) = eλt, so
f 0(t)
λf (t), also f (t) = λ
Wenn
f 0(t) = λeλt =
t
für alle t. Da a =
ist
eln at, beschreibt also jede Exponentialfunktion exponentielles Wachstum - genauer ein
exponentielles Wachsen, wenn
a > 1
ln a > 0) und ein exponentielles
wenn 0 < a < 1 (also ln a < 0).
so
(al-
Fallen,
Beispiel: Bakterien vermehren sich innerhalb einer Stunde um 10%. Diskret:
an+1 =
1.1an, also an = a0 · 1.1n. Kontinuierlich
f (t) = f (0) · 1.1t. Im letzteren Fall kann
man von einer Verdopplungszeit TD spreT
chen, deniert durch 1.1 D = 2 (logarith31
mieren!).
• Geben
Sie Beispiele für diskretes exponen-
tielles Wachstum. Antwort: Zinseszinsen.
ist der Zinssatz und
ben. Wenn
p := 1,
a0
p
ist das Startgutha-
haben wir einen Ver-
dopplungsprozess pro Zeiteinheit verdoppelt sich die Wachstumsgröÿe.
• Gibt es auch exponentielles Fallen? Ant−t mit a > 1 oder
wort: Ja: f (t) = a
f (t) = at mit 0 < a < 1. Beim exponentiellen Fallen gibt es eine
Halbwertzeit, inner-
halb der sich die Wachstumsgröÿe halbiert.
• Gibt
es
nen
noch
neben
den
andere
Exponentialfunktio-
streng
monoton
sende Funktionen? Antwort: Ja.
wach-
Potenz-
funktionen f (t) = tb mit b > 0,
aber auch die Umkehrfunktionen von
Exponentialfunktionen, die LogarithmusFunktionen.
32
Abbildung 2: Funktionen und ihre Umkehrfunktionen
• Skizzieren Sie eine Exponentialfunktion und
ihre Umkehrfunktionen. Hinweis bei der A.:
Die Graphen von Umkehrfunktionen entstehen aus Spiegelungen an der Diagonale aus
dem ursprünglichen Graphen.
• Um
welche Funktionen handelt es sich in
Abb. 2?
√ x
2
Antwort: f (x) := x ,
x, e , ln(x), sin(x), arcsin(
Beachte: Die Graphen von Umkehrfunktionen
entstehen
Diagonale
aus
aus
dem
33
Spiegelungen
an
ursprünglichen
der
Gra-
phen.
• Begründen Sie, dass log(x·y) = log x+log y
x
y
x+y . A.:
aus dem Potenzgesetz a · a = a
log(xy), andererseits
Einserseits ist x · y = a
log x · alog y = alog x+log y (Pogilt x · y = a
tenzgesetz).
• Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen
x 7→ xb mit b > 0? Antwort: Wieder Potenzfunktionen mit Exponenten
• Welche
Funktionen sind nicht monoton?
Antwort: Die
wie
9.
1.
b
x 7→ sin x
periodischen Funktionen
(aber nicht nur die).
Dierentialrechnung
• Was versteht man unter der Ableitung einer Funktion f an der Stelle a? Antwort:
Grenzwert eines
Dierenzenquotienten
f (x) − f (a)
0
f (a) = lim
.
x→a
x−a
34
Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt
Oder
f 0(a)
ist die
(a, f (a)).
• Welcher
Zusammenhang
besteht
zwi-
schen diesen beiden Interpretationen? Antwortskizze: Der Dierenzenquotient ist die
Steigung einer
Punkte
Sekante
(a, f (a))
und
durch die beiden
(x, f (x)).
Zeichnung!
• Sei f (t) die Wegstrecke, die von einem Fahrzeug bis zur Zeit t zurückgelegt wird. Was
0
genau ist f (a) und was ist der Dierenzenf (t)−f (a)
0
quotient
? Antwort: f (a) ist die
t−a
Momentangeschwindigkeit zur Zeit a.
f (t)−f (a)
t−a
ist die
Durchschnittsgeschwin-
digkeit im Zeitintervall zwischen t und a.
• Sei f (t)
eine Wachstumsgröÿe. Was ver-
steht man unter der (momentanen)
absolu-
ten Wachstumsrate zur Zeit t? Antwort:
f 0(t).
35
• Und
rate?
unter
relativen Wachstums-
der
f 0(t)/f (t),
Antwort:
Wachstumsrate
bezogen
also absolute
auf
die
Wachs-
tumsgröÿe selbst.
• Wie kann man mit Hilfe der Ableitung monotones Wachstum einer Funktion f cha0
rakterisieren? A.: f (t) ≥ 0 für alle t.
10.
Integralrechnung
• Was
bestimmGegeben ein In-
versteht man unter einem
ten Integral? Antwort:
tervall J := [a, b] und eine
J →
Funktion
f :
IR. Als bestimmtes Integral bezeich-
net man
Z b
f (x)dx,
a
was man als die (vorzeichenbehaftete) Fläche zwischen dem Graphen von
Achse zwischen
f
und der
x-
a und b interpretieren kann
(Zeichnung!).
36
• Was
ist
Z 2π
sin xdx?
0
Antwort: Null (Zeichnung, Flächen heben
sich auf)
• Hauptsatz
der Dierential und Integralrechnung? Antwort
Z b
f (x)dx = F (b) − F (a),
a
F Stammfunktion
F 0 = f erfüllt.
wobei
• Beweisskizze
von
f
ist, als
dieses Hauptsatzes? (Einser-
frage)
Rx
F (x) := 0 f (t)dt.
Rb
Dann ist
a f (x)dx = F (b) − F (a), und
0
es ist F (x) = f (x) für alle x zu zeigen.
Wenn man Monotonie von f annimmt, ist
mit h > 0
Antwort: Betrachte
f (x)h < F (x + h) − F (x) < f (x + h)h
37
F (x + h) − F (x)
f (x) <
< f (x + h).
h
Nun lasse h → 0 gehen.
• Kennen Sie Anwendungen der Integralrechnung auf die Stochastik? Antwort: Bei kon-
X , deren Verf (x) besitzt, kann
tinuierlichen Zufallsvariablen
teilungen eine W-Dichte
man Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von bestimmten Integralen ausrechnen:
Z b
P (a ≤ X ≤ b) =
f (x)dx.
a
Statistik
1.
Stichprobe
• Wieso
dem IR
kann man mit einem
n
eine
Vektor
aus
Stichprobe beschreiben? A.:
Wenn man z.B. von
n
Personen deren Ge-
wicht misst, erhält man einen Vektor der
38
Länge
wicht
n, dessen j -te Komponente das Geder Person Nr. j ist. n heiÿt Um-
fang der Stichprobe,
probenvektor. Immer
der Vektor
Stich-
dann, wenn man
Zahlen erhebt, wenn es also um ein quantitatives Merkmal geht, hat man es mit einem
Stichprobenvektor zu tun.
• In
der beschreibenden Statistik spielt der
Begri
relative Häugkeit
eines Merk-
mals innerhalb einer Stichprobe eine groÿe
Rolle. Erklären Sie diesen Begri. A.: Die
absolute Häugkeit eines
Merkmals ω
ist
xj des Stichprobenvektors, für den xj = ω . Die relative
die Anzahl der Komponenten
Häugkeit ist die absolute Häugkeit dividiert durch
n.
• Was versteht man unter einer Häugkeits-
verteilung einer Stichprobe mit endlichem
Merkmalraum und wie visualisiert man diese?
39
Lösung:Sei Ω = {ω1, ..., ωm} der Merk-
malraum und hj , j = 1, 2, ..., m die relativen Häugkeiten des Merkmals ωj . Dann
gibt der Vektor h := (h1, ..., hm) die Häugkeitsverteilung an. Sie kann man durch
ein Stab- oder Balken- oder (bei klassierten
Daten) durch ein Histogramm veranschaulichen, aber auch durch ein Kreisdiagramm
oder Flächendiagramm.
• Stellen
Sie sich vor, Sie hätten von 1.000
SchülerInnen deren Gewicht bestimmt. Wie
würden Sie diese Zahlenreihe grasch darstellen. A.: Klassierung der Daten, Häugkeitsverteilung, Histogramm. Siehe Skript.
• Erklären Sie an Hand von Beispielen die At-
quantitativ, qualitativ, diskret
kontinuierlich von Merkmalen.
tribute
A.: Erhebt man die Nationalität oder Farben oder das Geschlecht, so sind die Merkmale
qualitativ.
Bestehen
40
die
Merkmale
aus Zahlen, so spricht man von quantitativen Merkmalen. Kommen nur endlich viele
Merkmale in Frage (z.B. Noten, Gewichtsklassen, Nationalität), so spricht man von
diskreten Merkmalen. Sind die Merkmale
irgendwelche reellen Zahlen aus einem Intervall (z.B. Gewicht, Länge, ...), so spricht
man von kontinuierlichen Merkmalen. Letztere werden durch Klassierung zu diskreten
Merkmalen.
• Nennen
wir den Vektor
ponenten
x
und seine Kom-
xk . Wie ist sein Mittelwert, sein
Median und sein 10%-Quantil
deniert?
P
A.: Mittelwert ist
1
n
n
k=1 xk ,
der Median
(bzw. 10%-Quantil) ist eine Zahl mit der
Eigenschaft, das etwa die Hälfte (bzw. 10%)
aller erhobenen Werte kleiner und die andere Hälfte (bzw. 90%) gröÿer ausfällt. Präzise:
q
ist ein
10%-Quantil der Stichprobe,
wenn höchsten 10% der Werte kleiner und
41
höchstens 90% gröÿer ausfallen.
Oder (logisch äquivalent):
Quantil
q
ist ein
10%-
der Stichprobe, wenn mindestens
10% der Werte kleiner oder gleich und mindestens 90% gröÿer oder gleich ausfallen.
Bemerkung: Machen Sie sich klar, was es
heiÿt, in vergleichbaren Stichproben (z.B.
bei Vergleichsarbeiten) sei das eine 10%Quantil gröÿer als das andere (oder auch
beim 90%-Quantil).
• Stellen
Sie sich vor, Sie machen eine Stich-
probe vom Umfang
n = 100,
indem Sie
100-mal drei Würfel werfen und ihre Augensumme notieren. Erklären Sie an Hand dieses Beispiels den Zusammenhang zwischen
Mittelwert einer Stichprobe und Erwartungswert einer Zufallsvariable. A.: Die
Augensumme ist eine Zufallsvariable, deren Erwartungswert so etwa bei 10 liegen
dürfte. Wenn man hinreichend viele Versu42
che macht, so besagt das Gesetz der groÿen
Zahl, dass der Mittelwert der Stichprobe
(Versuchsreihe) mit wachsendem Umfang
der Stichprobe gegen den Erwartungswert
konvergiert (wenn die Würfel perfekt sind).
• Wie
kann man den Mittelwert einer Stich-
probe noch charakterisieren?
A.:
x =
Pm
j=1 hj ωj ,
Schwerpunkt einer
Massenverteilung auf einer geraden Linie.
• Was versteht man unter der (empirischen)
Varianz einer Stichprobe? A.:
Pn
2
(x
−
x)
j
j=1
n−1
.
Dies ist fast die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert
• (Einserfrage)
x.
Erklären Sie kurz den Begri
Korrelation zwischen zwei Merkmalen einer Erhebung. A.: Gegeben sind zwei Stichprobenvektoren
x
und
43
y
gleichen Umfangs
x
mit Mittelwerten
und
ge und das Gewicht von
y (z.B. die Länn Menschen). An-
schaulich würde man von Korrelation re-
xk − x auch
yk − y zur Folge
den, wenn positive (negative)
stets positive (negative)
hätten. Vielleicht nicht immer, aber häug.
Hier bietet sich an, den Wert (ein Sklalarprodukt zweier Vektoren!)
Sxy :=
n
X
(xk − x)(yk − y)
k=1
zu betrachten. In den
(1)
Korrelationskoezi-
ent rxy zwischen den Stichprobenvektoren
x und y geht diese Zahl entscheidend ein:
Sxy
rxy = p
.
SxxSyy
Er liegt zwischen -1 und 1. Der Korrelationskoezient kann als der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren
xm := (x1−x, ..., xm−x), ym := (y1−y, ..., ym−
44
interpretiert werden.
Man kann die beiden Stichprobenvektoren
auch zu einer Punktwolke
(xk , yk ), k =
1, 2, ..., n zusammenstellen. Je eher die Wolke die Gestalt einer Geraden annimmt, desto korrelierter sind die beiden Merkmale.
Stochastik
1. W-Modell
• Was versteht man unter einem diskreten WModell? Antwort: Der Merkmalraum Ω
eines Zufallsexperiments muss endlich oder
wenigstens abzählbar sein. Zwischenanmerkung: Beschränken Sie sich ruhig auf den
endlichen Fall. Weiter: Bezeichnet man die
Elemente von
Ω mit ω1, ..., ωm sie heiÿen
Elementarereignisse -, so müssen diese
Elementar-Wahrscheinlichkeitn pj :=
P (ωj ), j = 1, ..., m
45
besitzen, die nichtne-
gativ sind und sich zu Eins aufaddieren:
m
X
pj = 1.
j=1
Der
die
Vektor
p = (p1, p2, ..., pm)
liefert
Wahrscheinlichkeitsverteilung
und
kann z.B. durch ein Balkendiagramm veranschaulicht werden. Dies ist immer dann
sinnvoll, wenn die Merkmale quantitativ
sind und auf der x-Achse der Gröÿe nach
angeordnet werden.
• Wie
hängt
m
X
pj = 1
j=1
mit den
Kolmogoro-Axiomen
men? Antwort: Ist
ein W-Maÿ auf dem
P (Ω) = 1 gelten. Für disjunkte Ereignisse A und B
muss P (A + B) = P (A) + P (B) gelMerkmalraum
Ω,
P
zusam-
so muss
46
Ω ist
ten. Aus diesen beiden Eigenschaften (
die disjunkte Vereinigung aller Elementarereignisse) ergeben sich die obige Bedingung
Pm
j=1 pj = 1.
daraus, dass
Dass
pj ≥ 0
gilt, folgt
P (A) ≥ 0 für jedes Ereignis A
gelten muss.
• Wie hängen die Begrie Wahrscheinlichkeit
und Häugkeit (aus der Statistik) zusammen?
A.: Wahrscheinlichkeit kann als Grenzwert
von relativen Häugkeiten angesehen werden, wenn man das Gesetz der groÿen Zahl
benutzt. Beispiel: Man interessiert sich für
die Augensumme 10 eines Wurfes mit 2
Würfeln. Dan kann man entweder mit Hilfe von Symmetrieannahmen eines perfekten
Würfels die Wahrscheinlichkeit
1/12
direkt
berechnen. Man kann aber auch, insbesondere bei nicht perfekten Würfeln, eine empirische Untersuchung mit Hilfe einer Stich47
probe mit groÿem Umfang
und die
n
relative Häugkeit
durchführen
der Augen-
summe 10 ermitteln.
• Geben Sie das einfachste diskrete W-Modell
an.
B(p) mit einem Parameter p. Hier ist Ω = {0, 1} und
P (1) = p, woraus P (0) = 1 − p folgt. Bei1 und der Codiespiel: Münzwurf mit p =
2
Antwort: a) Bernoullimodell
rung Wappen=0 und Zahl=1 oder aber
auch den Wurf einer Heftzwecke oder auch
einmaliges Würfeln, wobei man sich nur für
Ergebnis
6
(dann ist
p = 1/6)
oder nicht
interessiert.
Antwort b)
Laplace-Modell: Alle Elemen-
tarereignisse sind gleichwahrscheinlich.
• Welches
das
Modell
erhält
Bernoullimodell
Antwort:
man,
n-mal
wenn
wiederholt?
Binomialmodell B(n, p)
48
man
mit
n und p. Der
Merkmalraum hat die n + 1 Elemente
0, 1, 2, ..., n, es ist also Ω = {0, 1, ..., n},
wenn man als Zufallsvariable X die Anden
beiden
Parametern
zahl der Einsen (Treer) betrachtet. Die
Elementar-Wahrscheinlichkeiten
sind
b(n, p; j) := pj =
n j
p (1 − p)n−j .
j
• Alltagsbeispiel für das Binomialmodell? A.:
a) Bierkiste, p:= Wahrscheinlichkeit, dass
eine Flasche beschädigt ist. b) Wahlumfrage,
p:=
Wahrscheinlichkeit, dass jemand
sich für eine bestimmte Partei ausspricht.
Eigene Beispiele nden!
• Wie sieht der Merkmalraum aus, wenn man
sich für die Reihenfolge der Nullen und Einsen interessiert? Antwort: Jedes Ergebnis
n-Tupel aus Nullen und Einsen, aln
so aus Ω := {0, 1} . Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes n-Tupel mit genau
ist ein
49
j Einsen ist pj (1 − p)n−j . Nehmen wir z.B.
n = 7 und j = 3. Die Wahrscheinlichkeit
für das spezielle 7-Tupel (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0)
3
4
ist p (1 − p) .
• Was
für eine Annahme wird bei der Mul-
tiplikation der Wahrscheinlichkeiten stillschweigend benutzt? Antwort: Die stochastische Unabhängigkeit der Bernoulliexperimente.
• Können
Sie jetzt die Formel
n j
b(n, p; j) := pj =
p (1 − p)n−j
j
n
begründen? Antwort: Ja. Es gibt
cher
• Wie
n-Tupel
mit
j
j
sol-
Einsen.
sieht die zugehörige Wahrscheinlich-
keit-Verteilung
grasch
aus?
A.:
Siehe
Skript oder Internet oder Abb. 3.
• Warum
ähnelt die W-Verteilung zur Bino-
mialverteilung einer Glockenkurve für groÿe
50
n?
A.: Zentraler Grenzwertsatz. Die Para-
meter der Normalverteilung sind
und
σ :=
• Können
p
µ = n·p
np(1 − p).
Sie ein Urnenmodell für das Bino-
mialmodell geben? Wie kann man den Koezienten
n
j
hiermit erklären?
Antwort: Man stelle sich eine Urne mit roten und schwarzen Kugeln vor. Es werde
mit Zurücklegen gezogen. Als einen Treffer bezeichne man den Fall, dass eine rote
Kugel gezogen wird. Die Wahrscheinlichkeit
hierfür sei
p
(der Anteil der roten Kugeln
an allen Kugeln). Es werde
n-mal
gezogen.
b(n, p; j) die Wahrscheinlichkeit,
dass genau j Treer vorliegen.
Beispiel: n = 10, j = 3: Dann ist b(10, p; 3)
Dann ist
die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10mal Ziehen genua 3 Treer vorliegen. Die 3 Treffer können in den ersten drei Zügen, im
zweiten, vierten und sechsten,...., insgesamt
51
Abbildung 3: Binomialverteilung
in
10
3
Treeranordnungen erfolgen. Je-
de spezielle Treerfolge hat die Wahrscheinlichkeit
p3(1 − p)7.
• Diskutieren
Sie Abb. 3.
Es handelt sich um eine Binomialverteilung
mit
n = 30, die Höhe der Balken gibt die je-
weilige Elementarwahrscheinlichkeit an. Ihr
E ist np. Aus der Zeichung
kann man E = 21 ablesen, so dass sich p =
0.7 ablesen lässt. Es könnte sich auch um
Erwartungswert
eine empirische Verteilung handeln, die normalverteilt ist. In der Tat besagt der zentrale Grenzwertsatz, dass
52
B(n, p)
für groÿe
n
eine normalverteilungsähnliche Verteilung
besitzt (mit Erwartungswert
Streuung
σ=
p
np(1 − p)).
µ = np
und
Die Streuung
in Abb. 3 kann man deshalb schätzen (fast
69% aller Werte liegen im Streuintervall) zu
σ
zwischen 2 und 3. Man kann sie auch be-
rechenen:
2.
σ=
p
np(1 − p) = 2, 51...
Wahrscheinlichkeit von Ereignissen
• Was ist ein Ereignis? A.: Eine Teilmenge
A
des Merkmalraums. Z.B. beim Würfeln
mit zwei Würfeln das Ereignis Pasch, d.h.
A := {(1, 1), (2, 2), ..., (6, 6)}.
• Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit
P (A) in einem diskreten W-Modell mit Hilfe der Elementarwahrscheinlichkeiten? A.
P (A) =
X
pj ,
ωj ∈A
d.h. man addiert einfach die Elementarwahrscheinlichkeiten zu in
53
A gelegenen Ele-
mentarereignissen.
• Wie
berechnet man empirisch die Wahr-
scheinlichkeit
P (A)
(Stichwort: Gesetz der
groÿen Zahl)? A.: Man führt das Zufallsexperiment sehr oft aus und nähert
durch die
relative Häugkeit für das Ein-
treen von
• In
P (A)
A
an. Gesetz der groÿen Zahl.
der Wahrscheinlichkeitstheorie wird der
Begri Wahrscheinlichkeit axiomatisch eingeführt. Nennen Sie einige der KolmogoroAxiome! A.: Skript Def. 3.2.
• Veranschaulichen Sie diese Axiome zeichnerisch. A.: Skript Abb. 3.2-3.5.
• Wie
berechnet man
modell?
P (A)
beim
Laplace-
A.: Anzahl der günstigen Fälle
dividiert durch alle möglichen Fälle,
|A|
P (A) =
.
|Ω|
3.
Binomialkoezienten
54
(Vorstufe der Bino-
mialverteilung)
n
k (lies: n
• Kombinatorische Denition? A.:
über k ) ist die Anzahl der Möglichkeiten aus
n Dingen k ≤ n Dinge auszuwählen, kurz:
k aus n (Beispiel: Lotto: 6 aus 49). Oder
auch besser: Anzahl aller k -elementigen
Teilmengen einer n-elementigen Men-
ge.
• Wie
würden Sie Schülerinnen
5
3 = 10
kombinatorisch erläutern?
A.
Sie
müssen
sich
für
eine
solche
5-
elementige Menge entscheiden, dass Schüler deren 3-elementige Teilmengen abzählen
können.
• Binomische
Formel?A.:
n
X
n k n−k
n
(a + b) =
a b
.
k
k=0
• Berechnung
mit dem
Siehe Skript Mathe I
55
Pascaldreieck?
A.:
n
n k = n−k .
• Symmetrie? Warum? A.:
Mit
jeder Auswahl von k Dingen werden gleichzeitig diejenigen n−k Dinge ausgewählt, die
nicht dazu gehören. Mit einer k -elementigen
Teilmenge ist auch ihr (n − k)-elementiges
Komplement festgelegt.
• Rekursion,
die der Berechnung im Pascal-
schen Dreieck zugrunde liegt? A.:
n
n−1
n−1
=
+
.
k
k
k−1
• Begründung?
A.:
Ein
Element
der
n-
elementigen Menge werde markiert. Gehört
es nicht zu den
n−1
k
k
Ausgewählten: Davon
k
Möglichkeiten (
es dazu: Hiervon gibt es
ten (
k−1
aus
• Begründung
n − 1).
n − 1). Gehört
n−1
aus
k−1
Möglichkei-
der Binomischen Formel? A.:
Beim Ausmultipliziern der
n
Faktoren von
(a + b)n = (a + b)(a + b) · · · (a + b)
56
treten Terme der Form
in
k
Faktoren
Faktoren
n
k
a,
auf , wobei
in den restlichen
n−k
b ausgewählt wird. Hierfür gibt es
Möglichkeiten.
• Binomialmodell?
4.
ak bn−k
A.: Siehe Frage zuvor.
Verteilungsfunktion
• Erklären Sie den Begri Verteilungsfunk-
tion
für ein diskretes, quantitatives W-
Modell. A.: Skript Def. 3.8.
• Unterschied
zwischen
W-Verteilung
und
Verteilungsfunktion? A.: Ersteres ist ein
W-Vektor, den man durch ein Balkendiagramm veranschaulichen kann. Das zweite
ist eine monoton wachsende Treppenfunktion (Skript Abbildungen 3.7, 3.8).
• Wie sieht eine Verteilungsfunktion bei kontinuierlichen Modellen aus? A.: Aus der
Treppenfunktion wird eine stetige, monoton
wachsende Funktion, beginnend bei Null,
57
endend bei Eins. Beispiel: Rechtecksverteilung, Normalverteilung (Abb. 3.11).
Zufallsvariable
• Was ist eine reelle Zufallsvariable?
5. Relle
Ant-
ZuMerkmal-
wort: Ein quantitatives Ergebnis eines
fallsexperiments. Ist Ω der
raum, so ist eine Zufallsvariable eine Funktion
X : Ω → IR.
• Beispiel? Antwort: Zwei Würfel, Ω
{1, ..., 6}2, X := Augensumme. Oder.
=
Zu-
fallsexperiment ist Fiebermessen am Krankenbett.
X :=
Temperatur. Oder: Warte-
zimmer beim Arzt.
X := Zeit, die zwischen
der Ankunft zweier Patienten verstreicht.
• Wann
ist eine Zufallsvariable
diskret (mit
Beispiel)? Antwort: Wenn sie nur endlich
(oder abzählbar unendlich) viele Ergebnisse
xk , k = 1, 2, .., m annnehmen kann. Z.B. ist
das bei der Augensumme von Würfeln der
58
Fall.
Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen?
• Was
versteht
man
unter
der
Antwort: Die Wahrscheinlichkeiten
P (X = xk ), k = 1, ..., m
pk =
zu einem Vektor
zusammengestellt.
Kenngröÿen von Zufallsvariablen (Erwartungswert, Varianz, Streuung, Median, Quantile). Man sollte die
• Frage
nach
Formeln für diskrete Zufallsvariable kennen.
Siehe Kap. IV.3.9
6.
Stochastische Abhängigkeit, bedingte
Wahrscheinlichkeiten
• Denition für bedingte Wahrscheinlichkeit? A.:
P (AB)
P (A|B) =
.
P (B)
• Bei
welcher
Fragestellung
der
Medizin
(Krankheit, test auf eine Erkrnakung) tre59
ten bedingte Wahrscheinlichkeiten auf? A.:
A das Ereignis, dass eine zufällig herausgegriene Person krank ist und B das EreigSei
nis, dass eine zufällig herausgegriene Person mit Hilfe eines bestimmten Tests positiv
auf diese Erkrankung getestet wird. Dann
interessieren
P (A|B)
die Wahrschein-
lichkeit, dass eine positiv getestete Person
wirklich krank ist und
P (B|A)
dass
eine kranke Person positiv getestet wird.
Siehe Skript.
• Beispiel für zwei stochastisch abhängige Ereignisse? A.: Wurf mit zwei Würfeln. Ereig-
A :=Pasch, B :=Augensumme ≥ 11.
1
1
Dann ist P (A) = , aber P (A|B) = .
6
3
• Wann heiÿen zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig? A.: Wenn P (A) =
P (A|B) oder wenn P (AB) = P (A)P (B).
• Welche Rolle spielt die stochastische Unabnis
hängigkeit beim Binomialmodell? A.: Das
60
Ergebnis eines jeden Bernoulli-Experiments
muss stochastisch unabhängig von den anderen Ergebnissen sein. Das erreicht man
beim Urnenmodell, indem man zurücklegt
und gut mischt.
7.
Kontinuierliche Zufallsvariable
• Stellen
Sie sich vor, ein Stab der Länge 3m
wird an irgendeiner, zufällig ausgewählten
Stelle durchtrennt. Die Schnittstelle kann
als Zahl
x ∈ I := (0, 3)
mathematisch
erfasst werden. Hierdurch ist eine kontinuierliche Zufallsvariable deniert. Zeichnen
Sie ihre Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeit-Dichte, wenn alle Schnittstellen gleichwahrscheinlich sind. A.: Die Dichte hat die Form eines Rechtecks der Höhe
1
3
[0, 3], an
x < 0 und x > 3
über dem Intervall
ren Punkten
allen andehat sie den
Wert Null. Die Verteilungsfunktion ist Null
61
Abbildung 4: Periodische Funktion
bis
x = 0,
steigt dann bis
x=3
linear auf
das Niveau Eins an, um danach dort zu verharren.
• Wie
heiÿt die Verteilung der wichtigsten
kontinuierlichen Zufallsvariable? A.
Nor-
malverteilung, ihre W-Dichte hat die Gestalt einer Glockenkurve.
• Beschreiben
Sie die in Abb. 4 abgebildete
Grak.
A.: Die Normalverteilung hat zwei Parameter,
µ,
der Erwartungswert, und
62
σ,
die
Streuung. 68,27% aller Werte einer normalverteilten Zufallsvariable liegt im Streuintervall, 95,45% im Intervall mit zweifacher
Streuung, 99,27% in einem Intervall mit
dreifacher Streuung.
Die Gesamtäche ist Eins. Die Fläche unterhalb der Glockenkurve zwischen zwei Stellen
a < b
gibt
die
Wahrscheinlichkeit
an, dass die normalverteilte Zufallsvariable
Werte zwischen
• Nehmen
a
und
b
annimmt.
wir an, Sie vergeben in einer Ar-
beit maximal 100 Punkte und die Ergebnisse der Schülerinnen seien normalverteilt
mit Mittelwert
60 und Streuung 10. Wieviel
Prozent haben dann weniger als 50 Punkte?
A.: Die Hälfte von 31,73%, also rund 16%
Zahlentheorie, Gruppen
1. Verknüpfungen bei Gruppen
63
• Bei
gen
Gruppen
spielen sog.
Verknüpfun-
eine Rolle. Beispiele? A. Am bekann-
testen sind die Verknüpfungen der Addition und Multiplikation, die
(IR?, ·),
?
wobei IR
(IR.+),
bzw.
die Menge der reellen
Zahlen ohne die Null ist, zu einer Gruppe
machen.
Aber auch die Verkettung von Abbildungen
kann eine (i.A. nicht-kommunative) Ver-
symmePermutatio-
knüpfung sein. Diese tritt bei der
trischen Gruppe Sn
nen (Bijektionen) der
aller
Menge
{1, 2, ..., n}
auf.
• Können Sie ein Beispiel geben, dass die Verkettung von zwei Abbildungen keine kommutative Verknüpfung ist (Hinweis: Symmetrie eines gleichseitigen Dreiecks). A.:
Wenn ich erst an einer Mittelsenkrechten
spiegel (Abbildung
S)
und dann um 120
Grad gegen den Uhrzeigersinn drehe (Abbil64
dung
R), erkennt man, dass R ◦ S 6= S ◦ R.
• Kennen
Sie Verknüpfungen, die nicht not-
wendig zu Gruppen, wohl aber zu
poiden
Grup-
führen? A.: Die Vereinigung oder
der Durchschnitt von Mengen, die Verknüpfung von Aussagen mit dem logischen Operatoren
und, oder, die Summe oder das Pro-
dukt von Matrizen, die Summe von Vektoren, ......
• Was
wäre bei der
Vereinigung
von Mengen
das neutrale Element? A.: Die leere Menge.
2.
Rechnen mit Resten
• Bei
dem Rechnen mit Resten bei der Di-
vision mit
n
treten
Gruppen
auf. Erläu-
tern Sie dies. Antwort: Mögliche Reste sind
0, 1, .., n−1, die man zu ZZn := {0, 1, ..., n−
1} zusammenfasst. Die Modulo-Rechnung
k mod n ergibt den Rest, wenn man k durch
n dividiert. Die Modulo-Addition +n wird
65
durch
j +n k := (j + k) mod n
deniert.
ZZn,
versehen mit dieser Modulo-
Addition, ist eine Gruppe.
• Stellen
Sie sich eine Uhr mit Zeigern vor,
die die Stunden von 0 (12), 1, 2, ..., 11 anzeigt. Können Sie hier die modulo-Addition
erläutern? Wenn es jetzt 10 Uhr morgens
ist, wie berechnen Sie die Uhrzeit nach 401
Stunden? A.: 3 Stunden nach 11 Uhr steht
der Stundenzeiger auf 2 Uhr. Es ist
411 mod 12 = 3, ist es
Uhr. Da 411 mod 24 = 3,
Da
n = 12.
3 Uhr oder 15
ist es dann 13
Uhr.
• Welches
neutrale Element, wie
die (additiven) Inversen?
ist das
berechnet man
Antwort: Das neutrale Element ist
Inverse von
• Wenn
man
k
ist
0,
das
n − k.
ganz
66
analog
eine
Modulo-
Multiplikation deniert, erhält man dann
auch eine Gruppe? Antwort: Wenn überhaupt, muss man die Null rausnehmen, da
diese keine (multiplikative) Inverse besitzt,
also
Zn? := {1, 2, .., n − 1}
betrachten.
m ∈ ZZn
Nur solche Zahlen
besitzen ein
multiplikatives Inverses, die zu
n
teiler-
fremd sind. Z.B. besitzt m = 2 in ZZ4 kein
multiplikatives Inverses, da 2, multipliziert
mit irgend einem
n
3.
k ∈ IN bei Division durch
niemals den Rest 1 haben kann.
Diedergruppe
Symmetrie eines gleichseitigen Dreiecks (oder b) eines Quadrates) beschreiben? Antwort: a)
• Wie
kann
man
die
a)
Durch die Symmetriegruppe des Dreiecks,
die Diedergruppe
D3,
67
bestehend aus den
Spiegelungen an den Winkel- (SeitenHalbierenden und den drei Drehungen
drei
)
um 0, 120 Und 240 Grad.
b) Die Diedergruppe
vier
D4, bestehend aus den
Spiegelungen an den Mittelsenkrech-
ten und den beiden Diagonalen und den drei
Drehungen um 0, 90, 180 und 270 Grad.
Achtung: Die Elemente der Gruppe sind die
geometrischen Abbildungen, nicht etwa die
Eckpunkte!
• Zeichne
ein gleichseitiges Dreieck und eine
Winkelhalbierende. Sei
S
die Spiegelung an
dieser Winkelhalbierenden und
R eine Dre-
hung um 120 Grad im mathematisch positiven Sinn. Was ist
S
verknüpft mit
R
R?
verknüpft mit
S
und
Antwort: Beides sind
wieder Spiegelungen, aber verschieden. Ersteres ist die Spiegelung an der Winkelhalbierenden, die auf der gegebenen gegen den
Uhrzeigersinn folgt.
68
• Dies
ist
ein
Beispiel,
wo
die
Gruppen-
elemente Abbildungen sind. Ist das auch
Permutationsgruppe, auch
symmetrische Gruppe der Ordnung n
bei der sog.
genannten Gruppe so?
X = {1, 2, ..., n} eine Menge der Mächtigkeit n. Dann ist die
Gruppe Sn die Menge aller Bíjektionen
von X .
• Wieviele Elemente hat Sn? Antwort: n! Begründung: Für das erste Element von X
gibt es noch n mögliche Bilder, für das zweite nur noch n − 1, da es ein anderes Bild
Antwort: Ja. Hier ist
als das erste haben muss. Nach dem Produktsatz der Kombinatorik gibt es dann
n(n − 1)
mögliche Kombinationen für das
X . Fährt man
so fort, erhält man n(n−1)(n−2) · · · 2·1 =
n! Kombinationen (hier Permutationen).
erste und zweite Element von
69
4.
Zahlen
• Was sind rationale Zahlen? Antwort: Alle
p
Brüche
q mit ganzen Zahlen p und q .
• Gibt es auch nicht-rationale Zahlen? Ant√
wort: Ja, irrationale Zahlen wie
2,
Kreiszahl π und eulersche Zahl e..
√
• Warum ist 2 irrational? Antwort: Siehe Skript. Skizzierung des Beweises (Angenommen,
x = pq
erfüllt
x2 = 2........)
• Wie erkennt man an Dezimalbrüchen, ob
die durch sie dargestellte Zahl rational ist
oder nicht? Antwort: Es müssen endliche
oder unendlich-periodische Dezimalbrüche
sein.
• Gibt es mehr rationale oder mehr irrationale Zahlen? Antwort: Es gibt jeweils unend-
abzählbar unendlich
Zahlen, aber überabzähl-
lich viele, aber nur
viele rationale
bar unendlich viele irrationale Zahlen.
70
• Begründung? Antwort siehe Skript (Einserfrage).
• Komplexe Zahlen kann man durch Punk-
Gauÿ'schen Zahlenebene darstelWo liegt die imaginäre Einheit i?
te der
len.
Welche relle quadratische Gleichung wird
von ihr gelöst?
Antwort:
(0, 1),
x2 = −1.
Gleichung
Die
imaginäre Einheit liegt auf der Ordinate.
• Wie
mit
bezeichnet man eine komplexe Zahl
z
Realteil a und Imaginärteil b? Ant-
wort:
z = a + ib.
• Erklären
Sie, wie man komplexe Zahlen
addiert und multipliziert. Antwort: Siehe
Skript.
• Welche
Beziehung
besteht
Polarkoordinaten r
und
α
zwischen
auf der einen
und den kartesischen Koordinaten
einer komplexen Zahl
71
den
a
und
b
z auf der anderen Sei-
te? Antwort:
a = r cos α, b = r sin α,
Zeichnung!!
• Wie kann man die Multiplikation komplexer
Zahlen in Polarkoordinaten deuten? Antwort: Addition von Winkeln, Multiplikation
der Abstände zum Nullpunkt.
• Wie
lautet die schönste Formel der Mathe-
matk? Antwort:
eπi + 1 = 0.
• Warum
bilden alle komplexen Zahlen vom
Betrag Eins eine Gruppe? A.: Alle diese
Zahlen bilden in der Gauÿ'schen Zahlenebene den Einheitskreis. Multipliziert man zwei
solcher Zahlen, so bleibt der Betrag unverändert (Eins), die Winkel addieren sich.
Achtung: Die Elemente der Gruppe hier
sind komplexe Zahlen, nicht etwa die durch
sie denierten Drehungen.
72
Analytische Geometrie
Zu dem Thema Geraden und Ebenen bitte alles
in Mathe II nachlesen.
1.
Winkel zwischen Vektoren, Länge von
Vektoren
• Wieso
kann man mit Hilfe des Skalarpro-
duktes Winkel ausrechenn? A.: Sind
w
v
und
zwei Vektoren, so gilt
v · w = |v| · |w| · cos(α),
α
v und w ist.
• Wann heiÿen zwei Vektoren v und w orthogonal? A.: Wenn v · w = 0.
• Wie kann man zu zwei Vektoren v und w
wobei
der Winkel zwischen
3 einen dritten Vektor bestimmen, der
des IR
zu
v
und
w
orthogonal ist? A.: Vektorpro-
dukt.
2.
Geraden
73
• Wie
lautet die
Parameterdarstellung ei-
G in der Ebene oder im Raum?
A. (Kap. II.2.7). Ist in Punkt P und ein
Richtungsvektor v der Geraden gegeben, so
ner Geraden
ist
G := {P + λv : λ ∈ IR}.
Zu jedem Parameter λ gibt es einen Punkt
P + λv der Geraden. In der Ebene ist dies
eine Art Punkt-Steigungsform.
• Wie kann man erkennen, ob 2 Geraden parallel sind? A.: Die beiden Richtungsvektoren müssen Vielfache von einander sein.
• Gibt es auch eine Koordinatenform einer
Geraden? A.: Nur in der Ebene. Hier gilt
G := {(x, y) : ax + by = c},
wobei
a
und
b
Koezienten sind, die nicht
beide verschwinden dürfen.
• Wie kann man in diesem Fall den Vektor
(a, b) geometrisch interpretieren? Antwort:
74
Normalenvektor auf G .
• In der Schule betrachtet man auch Geraden
mit der Funktionsgleichung y = mx + b.
Wie passt diese hier hinein? A.: Umschreiben ergibt
mx − y = −b.
Dies ist of-
fensichtlich eine spezielle Koordinatenform.
Der Vektor
(m, −1) steht senkrecht auf der
Geraden. Dies korrespondiert damit, dass
m
3.
die Steigung der Geraden ist.
Ebenen
• Was versteht man unter der Koordinaten-
form einer Ebene im dreidimensionalen
Raum? Antwort:
E := {(x, y, z) ∈ IR3 : ax + by + cz = d}
a, b, c, d gegebene Zahlen sind, die die
Ebene charakterisieren. a, b und c dürfen
wobei
nicht alle Null sein.
• Wie
kann man den Vektor
(a, b, c)
trisch interpretieren? Antwort:
75
geome-
Normalen-
vektor auf E .
• Begründung? Antwort: Der Verbindungsvektor v := (v1, v2, v3) zweier Punkte der
Ebene muss av1 + bv2 + cv3 = 0 erfüllen
(Man schreibe für die beiden Punkte die
Ebenengleichungen hin und subtrahiere diese). Daher ist das
und
aus
v
a := (a, b, c) Null, die beiden Vektoren
sind also
• Was
Skalarprodukt
orthogonal.
versteht man unter einer Parameter-
form einer Ebene? A.: s. Skript
• Wie
kann man aus einer Parameterform
eine Koordinatenform einer Ebene berechnen? A.: Mit Hilfe des Vektorproduktes
kann man aus einem Richtungspaar
v, w
einen Normalenvektor berechnen. Die rechte seite der Koordinatenform erhält man,
indem man einen Punkt der Ebene (etwa
den Punkt
P
der Parameterform) in die Ko-
ordinatenform einsetzt.
76
• Zwei
Ebenen unterscheiden sich nur durch
die vierte Zahl
d.
Was weiÿ man über die
beiden Ebenen? Antwort: Die beiden Ebe-
parallel.
• Hessesche Normalform? Antwort: Liegt
vor, wenn die Länge von a = (a, b, c) gleich
nen sind
Eins ist.
• Konsequenz? Antwort: |d| ist der Abstand
der Ebene zum Ursprung.
Fibonacci-Zahlen, Goldener Schnitt und
Kettenbrüche
Zu diesem Thema empfehle ich zur Wiederholung und zur Schwerpunktbildung ein Skript Kettenbrüche (Probevorlesung für Erstsemester, B.
Werner WS 07/08)
• Wie
kommt man auf die explizite Darstellung
(Formel von
Binet) bei Fibonaccizahlen?
A.: Man macht einen Ansatz in Gestalt einer geometrischen Folge
77
an := λn
für die
an+1 = an + an−1 (für
n+1 = λn +
alle n), erhält die Gleichungen λ
λn−1 für alle n, klammert λn−1 aus und be2
kommt eine quadratische Gleichung λ = λ +
1. Die beiden Nullstellen (eine ist die groÿe
Fibonacci-Rekursion
Goldene Schnittzahl) gehen in die Formel von
Binet ein.
• (Zusammenhang
zwischen
Fibonacci-Zahlen
und dem Goldenen Schnitt) Was wissen Sie
über die Folge der Quotienten aufeinanderfolgender F-Zahlen? Antwort: Sie
konvergiert,
es gilt
Fn+1
lim
=Φ
n→∞ Fn
mit der groÿen
• Warum gilt
limn→∞ FFn
n+1
Goldenen Schnittzahl Φ.
dies?
Was
ist,
wenn
man
betrachtet?
• Wie sind die kleine und groÿe Goldene Schnittzahl deniert? A.: Teilt man eine Strecke der
78
Länge Eins golden, so hat die gröÿere Teilstrecke gerade die Länge
φ
φ, da φ1 = 1−φ
(Gan-
ze Strecke zur gröÿeren Teilstrecke verhält sich
wie die gröÿere zur kleineren Teilstrecke). Sie-
Goldene Rechtecke und
Goldene Dreiecke, Pentagon und Pentagramm. Das Pnetagon wimmelt von Goldehe auch Mathe I (
nen Dreiecken. Es gibt i.W. zwei verschiedene
Goldene Dreiecke.)
• Darstellung
der kleinen Goldenen Schnittzahl
durch einen Kettenbruch? A.: Die Koezienten sind alle Eins. Das kann man leicht zeigen, indem man aus der Kettenbruchdarstellung
1
φ = 1+φ
• Begründung?
von
Binet
gewinnt.
A.: Kann man aus der Formel
gewinnen oder aus der Ketten-
bruchdarstellung von
φ,
da die Quotienten
aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen gerade
die Konvergenten von
79
φ sind. Im Skript nach-
lesen! Begründung (Induktion!)
• Erläutern
Zahlen
Sie ein Modell, das auf Fibonacci-
führt.
A.:
Panzenwachstum,
Kaninchenvermehrung,
X-Chromosomen,
Mau-
erbau aus Ziegelsteinen, ... (s. Skript). Zumindest
die
beim
Kaninchenmodell
F-Rekursion
etwa
für
die
sollten
Sie
Alttierpaare
herleiten können.
Kettenbruch, Koezienten des Kettenbruchs sowie Konvergenten des Kettenbruchs. A.: s. Skript.
• Erläutern
• Geben
Sie den Begri
Sie den Zusammenhang zwischen dem
Kettenbruch der kleinen oder der groÿen GSZ
und den Fibonacci-Zahlen an und bgründen
Sie diesen. A.-Skizze:
Induktion kann man
Konvergenten von
φ = [1], Φ = [1; 1]. Per
einsehen, dass die n.ten
φ
80
gerade die Quotienten
Fn/Fn+1
sind. Es gilt nämlich
1
1 + FFn
n+1
• Unterschied
Zahlen
Fn+1
=
.
Fn+1 + Fn
zwischen
durch
der
Darstellung
Dezimalbrüche
und
von
Ketten-
brüche. A.: Rationale Zahlen besitzen endliche oder periodisch-unendliche Dezimalbrüche, aber stets endliche Kettenbrüche.
Es gibt aber auch periodische, unendliche Kettenbrüche (z.B. die Darstellung der Goldenen
Schnittzahl). Diese Zahlen sind gerade die Lösungen quadratischer Gleichungen mit ganzzahligen Koezienten.
• Wie
berechnet man einen periodischen Ket-
tenbruch, z.B.
ω = [12]?
A.:
1
ω=
1
1 + 2+ω
führt auf eine quadratische Gleichung.
81
• Hat
ein Rechteck zwei aufeinanderfolgende F-
Zahlen als Seitenlängen, so nennt man es ein
F-Rechteck. Fügt man diesem Rechteck über
der längeren Seite ein Quadrat an, so erhält
man wieder ein F-Rechteck. Warum?
A.: Beginnen Sie mit einem 1x1-Quadrat ......
Gibt es eine ähnliche Situation beim Goldenen
Rechteck? A.: Ja: Fügt man einem Goldenen
Rechteck ein Quadrat über der längeren Seite
an, erhält man wieder ein Goldenes Rechteck.
• Warum
gilt
√
2 = [1; 2, 2, 2, 2, ...]?
Wie kann man dieses Resultat mit dem
eukli-
dischen (Rechteck-)Algorithmus in Beziehung setzen?
A.:
Das
Seitenverhältnis
√
eines
DIN-A-
Blattes beträgt 2 (warum?). Man kann ein
Quadrat (Falten!!) abtrennen (erster Koezient = 1). Das Restrechteck
82
R1
hat das Sei-
√
tenverhältnis
2 + 1, von ihm kann man zwei
Quadrate abtrennen, das Restrechteck ist ähnlich zum Ausgangsrestrechteck
R1 .
Bemerkung: Dass sich ein DIN-A4-Blatt nicht
vollständig in Quadrate aufteilen lässt, folgt
√
aus der Irrationalität von
2.
Dass dies auch
näherungsweise nicht gut geht, liegt an den
vergleichsweise
kleinen
Koezienten
2
des
Kettenbruchs.
• Erläutern
mus
Sie den
euklidischen Algorith-
zur Berechnung des Kettenbrauch einer
Zahl geometrisch. Wie kann man daran den
speziellen Kettenbruch der Goldenen Schnittzahl wiederentdecken?
A.: Rechteckalgorithmus! Trennt man von einem Goldenen Rechteck ein Quadrat ab, so ist
das Restrechteck wieder golden.
83