Klassische Theoretische Physik III Theorie C

Karlsruher Institut für Technologie
Institut für Theorie
der Kondensierten Materie
Klassische Theoretische Physik III
Theorie C – Elektrodynamik: Zwischenklausur
Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Mi 12.12.2012, 17:30-19:30
Prof. Dr. Alexander Mirlin
Dr. Igor Gornyi
Aufgabe 1:
WS 12-13
Mathematische Grundlagen
(4+4+2+5=15 Punkte)
(a) Berechnen Sie
(
⃗r·
∇
⃗r i⃗k·⃗r
e
|⃗r|
)
(
und
⃗r×
∇
)
⃗r i⃗k·⃗r
e
,
|⃗r|
wobei ⃗k ein konstanter Vektor ist.
Lösung:
(
⃗r·
∇
⃗r i⃗k·⃗r
e
|⃗r|
)
⃗
(
)
⃗r
⃗r ( ⃗ i⃗k·⃗r )
⃗
∇r ·
+
· ∇r e
|⃗r|
|⃗r|
⃗ r · ⃗r + ⃗r · i⃗k ei⃗k·⃗r
∇
|⃗r| |⃗r|
d − 1 + i⃗k · ⃗r
⃗
|⃗r|
2 + i⃗k · ⃗r
i⃗k·⃗
r
=
e
=
eik·⃗r
=
eik·⃗r
⃗
= eik·⃗r
|{z}
d=3
wobei
|⃗r|
,
(
)
(
)
⃗
r
1
1
⃗r
⃗r·
⃗ r · ⃗r + ⃗r · ∇
∇
=
∇
|⃗r|
|⃗r|
|⃗r|
d
⃗r
d−1
=
− ⃗r · 3 =
.
|⃗r|
|⃗r|
|⃗r|
(
⃗r×
∇
⃗r i⃗k·⃗r
e
|⃗r|
)
]
(
)
⃗r
⃗r
⃗ r ei⃗k·⃗r
⃗
× ∇
= e
−
∇r ×
|⃗r|
|⃗r|
]
[
⃗r
⃗
× (i⃗k) eik·⃗r
= 0−
|⃗r|
i⃗k × ⃗r
⃗
= eik·⃗r
.
|⃗r|
(1)
(2)
[
i⃗k·⃗
r
(3)
(
)
⃗r
1 ⃗
1
⃗
⃗
∇r ×
=
∇r × ⃗r − ⃗r × ∇r
= 0,
|⃗r|
|⃗r|
|⃗r|
⃗ r × ⃗r = 0,
εijk ∂i rj = εijk δij = εiik = 0, ⇒ ∇
⃗ r 1 = − ⃗r
∇
|⃗r|
|⃗r|3
⇒
⃗ r 1 = − [⃗r × ⃗r] 1 = 0.
⃗r × ∇
| {z } |⃗r|3
|⃗r|
(4)
=0
(b) Berechnen Sie die Integrale mit der Delta-Funktion:
)
(
∫ ∞
∫ π
1
2
.
dx x δ(x − 3)
und
dθ sin θ δ sin θ −
2
−∞
0
Lösung:
∫
∞
−∞
∫
π
0
dx x2 δ(x − 3) = 32 = 9.
(5)
(
)
∫ π
∑
1
1
dθ sin θ δ sin θ −
=
dθ sin θ
δ(θ − θi )
2
| cos(θi )|
0
i
∑1
1
1 2
1 2
=
= √ + √
2 | cos(θi )|
2 3 2 3
i=1,2
2
= √ .
3
(6)
d sin θ = | cos θi |,
dθ θ=θi
i = 1, 2 :
Aufgabe 2:
√
√
3
1
2
, 0 ≤ θi ≤ π, cos θi = ± 1 − sin θi = ±
,
sin θi =
2√
2
3
| cos θi | =
,
(θ1 = π/6, θ2 = 5π/6).
(7)
2
Kugelkondensator
Eine massive, metallische Kugel mit Radius a ist
umschlossen von einer konzentrischen, dicken, metallischen Kugelschale, deren Innendurchmesser 2b und
Außendurchmesser 2c sind (s. Skizze).
(12+3+9+6=30 Punkte)
c
a
b
(a) Betrachten Sie zuerst den allgemeinen Fall mit beliebigen Ladungen Q1 und Q2
auf der Kugel bzw. der Schale. Ermitteln Sie die 2 × 2 Kapazitätsmatrix Cij dieses
Kugelkondensators explizit.
Lösung:
Qi =
∑
Cij Vj ,
j
Vj = Φj − Φ∞ |{z}
= Φj ,
(8)
Φ∞ =0
⃗ = −∇Φ(r)
⃗
E
= E(r)⃗er .
Q1 auf Kugel, Q2 auf Kugelschale:
1. b > r > a:
I
⃗ 1 · d⃗s =
E
∫
1
ρdV,
ϵ0
Q1
4πE1 r2 =
,
ϵ0
Q1
E1 (r) =
,
4πϵ0 r2
Q1
Φ1 (r) =
+ φ1 .
4πϵ0 r
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
2. b < r < c:
⃗2 = 0 ⇒
E
Qb = −Q1 ,
3. r > c:
I
⃗ 3 · d⃗s =
E
4πE3 r2 =
E3 (r) =
Φ3 (r) =
Φ2 = const.
Qc = Q2 − Qb = Q2 + Q1 .
∫
1
ρdV
ϵ0
Q1 + Q2
ϵ0
Q1 + Q2
4πϵ0 r2
Q1 + Q2
+ φ3 ,
4πϵ0 r
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
φ3 = 0 da Φ(r → ∞) → 0.
(19)
Nun bestimmen wir φ1 :
Φ1 (b) = Φ2 = Φ3 (c)
Q1 + Q2
Φ2 =
4πϵ0 c
Q1
Q1 + Q2
+ φ1 =
4πϵ0 b
4πϵ0 c
(
)
Q1 1 1
Q2
−
φ1 =
+
4πϵ0 c b
4πϵ0 c
(
)
Q1
Q1 1 1
Q2
Φ1 (r) =
+
−
+
4πϵ0 r 4πϵ0 c b
4πϵ0 c
(
)
Q1
1 1 1
Q2
Φ(a) =
+ −
.
+
4πϵ0 a c b
4πϵ0 c
ΦKugel
ΦSchale
(
)
1 1 1
Q1
Q2
+ −
,
=
+
4πϵ0 a c b
4πϵ0 c
Q1 + Q2
=
.
4πϵ0 c
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
Φ = P̂ Q
(28)


1 1 1
1
1  c+a−b
c 
P̂ =

1
1 
4πϵ0
c
c
(
)
(
)
1 1 1 1
1
1 1 1
b−a
DetP̂ =
+ −
− 2 =
−
=
c c a b
c
c a b
abc

1
1
−
abc  c

c
Ĉ = P̂ −1 = 4πϵ0
 1
1 1 1 
b−a
−
+ −
c
c a b


ab
ab
−

b−a 
= 4πϵ0  b − a

ab
ab
−
+c
b−a
b−a
(29)
(30)

(31)
(32)
(b) Bestimmen Sie die Gesamtenergie des Kondensators mit den Ladungen Q1 und Q2 .
)
1 ∑ −1
1(
(C )ij Qi Qj =
P11 Q21 + 2P12 Q1 Q2 + P22 Q22
2 ij
2
[(
)
]
1
1 1 1
2
1 2
2
=
+ −
Q1 + Q1 Q2 + Q2 .
8πϵ0
c a b
c
c
W =
(33)
(34)
(c) Nun trägt die Kugel die Ladung Q1 und die Schale sei ungeladen (Q2 = 0). Berech⃗ und das Potential Φ im gesamten Raum, sowie die
nen Sie das elektrische Feld E
Oberflächenladungsdichte σa auf der Kugel sowie σb und σc auf der Schale.
Q2 = 0:
1. r < a:
⃗ = 0,
E
Φ(r) = Φ1 (a)|Q2 =0 =
Q1
4πϵ0
(
1 1 1
+ −
a c b
)
(35)
(36)
2. a < r < b:
Q1 ⃗r
,
4πϵ0 r3
(
)
Q1 1 1 1
Φ(r) =
+ −
4πϵ0 r c b
⃗ =
E
(37)
(38)
3. b < r < c:
⃗ = 0,
E
Q1
Φ(r) =
4πϵ0 c
(39)
(40)
4. r > c:
Q1 ⃗r
,
4πϵ0 r3
Q1
Φ(r) =
4πϵ0 r
⃗ =
E
σa =
Q1
,
4πa2
σb = −
Q1
,
4πb2
(41)
(42)
σc =
Q1
.
4πc2
(43)
(d) Nun wird die Kugelschale geerdet (die Kugel trägt wieder die Ladung Q1 ). Wie
⃗ Φ und die Oberflächenladungen?
verändern sich E,
Qb = −Q1 ,
Φ(b) = 0.
(44)
1. r < a:
⃗ = 0,
E
)
(
Q1
1 1
Φ(r) =
−
.
4πϵ0 a b
(45)
(46)
2. a < r < b:
Q1 ⃗r
,
4πϵ0 r3
(
)
Q1 1 1
Φ(r) =
−
.
4πϵ0 r b
⃗ =
E
(47)
(48)
3. b < r:
⃗ = 0,
E
Φ(r) = 0.
σa =
Aufgabe 3:
Q1
,
4πa2
σb = −
Q1
,
4πb2
(49)
(50)
σc = 0.
Zwei Ladungen
(51)
(7+7+10+6=30 Punkte)
−q
Zwei Ladungen q und −q befinden sich an
den Punkten ⃗r+ = (0, 0, a) bzw. ⃗r− = (0, 0, b)
in den Abständen b > a > 0 von einer geerdeten leitenden Ebene z = 0 (s. Abbildung).
b
q
a
11
111
00
000
11
111
00
000
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
11
111
00
000
000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111
11
111
00
000
11
111
00
000
11
00
(a) Finden Sie das Potential dieser Anordnung im gesamten Raum.
⃗ − = (0, 0, −a) und R
⃗ + = (0, 0, −b)
Spigelladungen: R
Potential:
(
)
q
1
1
1
1
Φ(⃗r) =
−
−
+
.
4πϵ0 |⃗r − a⃗ez | |⃗r − b⃗ez | |⃗r + a⃗ez | |⃗r + b⃗ez |
(52)
(b) Entwickeln Sie das Potential für große Abstände (|⃗r| ≫ b) von der Ebene zur ersten
nichtverschwindenden Ordnung.
Multipolentwicklung:
Monopol: Q = 0
Dipol: p⃗ = [(−q)b + qa + (−q)(−a) + q(−b)] ⃗ez = 2q(a − b)⃗ez
Potential:
p⃗ · ⃗r
q(a − b) cos ϑ
Φ≃
=
,
⃗er · e⃗z = cos ϑ.
(53)
3
4πϵ0 r
2πϵ0 r2
(c) Berechnen Sie die auf der Ebene induzierte Flächenladungsdichte σ und die gesamte,
auf der Ebene induzierte Ladung.
[
]
q
⃗r − a⃗ez
⃗r − b⃗ez
⃗r + a⃗ez
⃗r + b⃗ez
−
−
+
4πϵ0 (ρ2 + a2 )3/2 (ρ2 + b2 )3/2 (ρ2 + a2 )3/2 (ρ2 + b2 )3/2
[
]
q
a
b
=
⃗ez − 2
+
,
(54)
2πϵ0
(ρ + a2 )3/2 (ρ2 + b2 )3/2
[
]
q
a
b
σ =
− 2
+
.
(55)
2π
(ρ + a2 )3/2 (ρ2 + b2 )3/2
⃗ = 0+ ) =
E(z
Qind = 0.
(56)
[
]
q2
−1
1
1
−1
F =
+
+
+
.
4πϵ (2a)2 (a + b)2 (a + b)2 (2b)2
(57)
(d) Welche Kraft wirkt auf die Ebene?
(5+5=10 Bonuspunkte)
Bonusaufgabe
Skizzieren Sie das Feldlinienbild für b − a ≪ a (d.h. mit dem Abstand der Punktladungen viel kleiner als a) und für b ≫ a.
Abbildung 1: Feldlinien für Ladungen auf den Positionen 8.5 und 9 bzw. 0.5 und 9. Gestrichelte Linien: Ez = 0.
Lösung: s. Abbildung 1.
Punkteverteilung Bonusaufgabe (in jeder Skizze):
1P Kleiner Dipol: Dipolfeld zwischen den Ladungen (b − a ≪ a) bzw. zwischen
Ladung und Spiegelladung in der Nähe der Oberfläche (b ≫ a)
1P Großer Dipol: Feldkonfiguration Ladungen-Platte
⃗ ⊥ Platte
1P E
2P Position von Ez (z = 0+ ) = 0 und Feldlinienkonfiguration an dieser Stelle (insbesondere Änderung der Richtung der Pfeile).
Aufgabe 4:
Helmholtz Spulen
(10+8+7=25 Punkte)
Durch zwei parallel in den Ebenen z = −a bzw. z = a angeordnete Metalldrahtringe
mit Radius R fließt jeweils der Strom I1 bzw. I2 (s. Skizze).
I1
I2
R
z
−a
0
a
(a) Berechnen Sie das magnetische Feld auf der z-Achse.
[
]
I1
µ0 R 2
I2
B=
+
2
((z + a)2 + R2 )3/2 ((z − a)2 + R2 )3/2
(
4π
Gauss: µ0 →
c
)
.
(58)
(b) Betrachten Sie nun den Grenzfall a ≫ R. Berechnen Sie die Gegeninduktivität
(Induktivitätskoeffizient M12 ) der Spulen.
a ≫ R:
]
[
µ0 R2 I1
I2
B ≃
+
2
R3 (2a)2
z = −a :
Φj =
∑
Mji Ii
i
Φ1 ≃ πR B|z=−a
2
(59)
(60)
]
[
I2
πµ0 R4 I1
+
≃
2
R3 (2a)3
(61)
4
M12 =
πµ0 R
= M21 .
16a3
(62)
(c) Berechnen Sie für a ≫ R die Kraft, die notwendig ist, um die beiden Leiterschleifen
entlang der z-Achse voneinander zu entfernen.
∂Wmagn F = ∂a 1∑
Wmagn =
Mij Ii Ij = const(a) + M12 I1 I2
2 ij
(63)
(64)
4
F =
3π µ0 R
I1 I2 .
16 a4
(65)