Mathematik für Informatiker I

Mathematik für Informatiker I
Mitschrift zur Vorlesung vom 04.01.2005
Im Neuen Jahr fangen wir mit Diskreter Mathematik an.
Diskrete Mathematik:
- Mengenlehre
- Funktion, Relation
- Zählen
- Graphen
- Bäume
- Komplexität der Algorithmen
Zählen
Auswahl mit Wiederholung
Beispiel: Wieviele Binärzahlen mit n Bits gibt es?
{0, 1}
Alternativen:
0
1
1
2×
2×
2×
2×
= 25
2×
Im Allgemeinen 2n = 2| × 2 ×{z2 . . . × 2}
n-mal
Auswahl ohne Wiederholung:
Beispiel: Zahlen von 1 bis 7. Wieviele Anordnungen gibt es?
Alternativen:
6
3
1
2
4
5
7×
6×
5×
4×
3×
2×
Anzahl der Permutationen von 7 Objekten =7!
7
1× =7!
k Objekte aus n ohne Wiederholung
1
2
3 ... k
...
n × (n − 1) × (n − 2) × . . . (n − (k − 1))
n × (n − 1) · (n − 2) × . . . (n − k + 1)
k-Permutation
k aus n Objekten
n(n − 1) . . . (n − (k − 1)) =
n!
(n−k)!
=
=
n!
(n − k)!
n(n−1)(n−2)...(n−(k−1))(n−k)(n−(k+1))...1
(n−k)(n−k−1)(n−k−2)...1
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − (k − 1))(n − (k + 1)) . . . 1
(n − k)(n − (k + 1))(n − (k + 2)) . . . 1
|
{z
}
Beispiel: Sechs Zahlen aus 49 (die Reihenfolge ist wichtig).
49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 =
49!
43!
Wieviele Kombinationen von sechs aus 49 gibt es? (Reihenfolge der Zahlen
unwichtig.)
Alternativen:
49×
48×
47×
46×
45×
Jede Permutation ist äquivalent
{47, 1, 5, 3, 13, 20} = {1, 5, 47, 13, 20, 3}
Anzahl der unterschiedlichen Ausgänge
44×
49!
(49 − 6!) = 49!
6!
43!6!
Im Allgemeinen: C(n, k) =
n!
(n−k)!k!
Beispiel: Lotto
C(49, 6) =
49!
∼ 13Millionen
43! 6!
Binominalformel
(a + b)0
(a + b)1
(a + b)2
(a + b)3
=
=
=
=
1
a+b
a2 + 2ab + b2
a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
Pascal-Dreieck
Potenz
1
1
1
1
0
1
2
3
1
1
3
2
1
3
C(2, 0) C(2, 1) C(2, 2)
||
||
||
2!
1! 1!
1
2!
0! 2!
C(3, 0) C(3, 1) C(3, 2) C(3, 3)
||
||
||
||
3!
3! 0!
3!
2! 1!
3!
1! 2!
3!
0! 3!
1. Vermutung:
C(2,0)
C(2,1)
@
@
R
@
C(3,0)
C(2,2)
@
@
R
@
C(3,1)
C(3,2)
C(3,3)
Im allgemeinen: C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k) = C(n, k)
2. Vermutung:
(a + b)n = C(n, 0) an + C(n, 1) an−1 b + C(n, 2) an−2 b2 + . . .
. . . C(n, n − 1) abn−1 + C(n, n) bn
(a + b)n = (a + b)n−1 (a + b)
Beweis der 1. Vermutung:
C(n, k) =
n!
(n−k)! k!
C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k) = C(n, k) −→ Pascalsche Formel
(n−1)!
((n−1)−(k−1))!(k−1)!
+
(n−1)!
(n−1−k)!k!
=
?
n!
(n−k)! k!
=
n!
(n−k!k!)
||
(n−1)!
(n−k)!(k−1)!
+
(n−1)!
(n−k−1)!k!
||
(n−1)!
(n−k−1)!(k−1)!
(n−1)!
(n−k−1)!(k−1)!
=
n!
(n−k)!k!
1
+1
(n−k) k
k+(n−k)
(n−k)k
Beweis der 2. Vermutung:
Beweise:(a + b)n =
Pn
i=0
C(n, i)an−i bi
Beweis per Induktion:
Induktionsanfang für n = 1
Pn
1−0 0
(a + b)1 =
b
i=0 C(1, 0)a
1!
1!
a+b
= 1! 0! a + 0! 1! b
a+b
= a+b
Induktionsannahme
(a + b)n =
zu beweisen
Pn
i=0
C(n, i)an−i bi