arbeitsunterlagen - Universität des Saarlandes

ARBEITSUNTERLAGEN
ZUR VORLESUNG UND ÜBUNG AN DER
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
DERIVATIVE FINANZINSTRUMENTE
im
SS 
Derivative Finanzinstrumente
SS 
Übung
Aufgabe  (Innerer Wert, Zeitwert, Basiskurs, Aufgeld)
Am .. kostete eine Kaufoption der Volkswagen AG , e, wobei die Aktie zum
Preis von , e gehandelt wurde. Bestimmen Sie den inneren Wert sowie den Zeitwert
der Option, wenn der Basiskurs  e beträgt. Berechnen Sie ferner das Aufgeld.
Am gleichen Tag steht die Aktie der Deutschen Telekom AG bei , e. Wie groß ist der
Ausübungskurs einer Verkaufsoption, die für , e zu haben ist, wenn ein time value von
, e zugrunde liegt?
Aufgabe  (Arbitrage)
Beweisen Sie folgende Arbitrageaussage:
Für zwei Portfolios A und B, die nicht von außen verändert werden können, gelten in
einem perfekten Markt folgende Aussagen für den Wert V der Portfolios:
VA (t⋆ ) 6 VB (t⋆ ) ⇒ ∀t6t⋆ : VA (t) 6 VB (t)
VA (t⋆ ) = VB (t⋆ ) ⇒ ∀t6t⋆ : VA (t) = VB (t)
Aufgabe  (Ertragsdiagramm)
Bauen Sie ein Portfolio mit folgendem Ertragsdiagramm auf:
a)
Ertrag
✻
Bearish Vertical Spread
K2
✲ St⋆
K1
b)
Ertrag
✻
Butterfly Spread
K1
K2
K

✲ St⋆
Derivative Finanzinstrumente
c)
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Ertrag
✻
Top Straddle
K
d)
Übung
✲ St⋆
Ertrag
✻
Top Vertical Combination
✲ St⋆
K1
K2
Stellen Sie die Positionen aus Teil a) und b) einmal nur mit Puts und einmal nur mit
Calls her. Beschreiben Sie das Anlageziel der Positionen a) - d).
Aufgabe  (Ertragsdiagramme)
a) Erzeugen Sie mittels Optionen eine Position, die das gleiche Ertragsdiagramm wie
eine Aktie long bzw. short besitzt. Welchen Vorteil bietet der synthetische Kauf der
Aktie im Vergleich zum direkten Kauf?
b) Veranschaulichen Sie das „Drehen“ der Position des Käufers einer Kauf- bzw. Verkaufsoption anhand geeigneter Ertragsdiagramme. Betrachten Sie den gleichen Sachverhalt aus der Sicht des Stillhalters.
Aufgabe  (Zinsswap)
Ein Swap ist der Austausch von Zahlungsforderungen oder -verbindlichkeiten mit dem
Ziel, die relativen (komparativen) Vorteile, die jeweils ein Partei gegenüber der anderen
aufgrund ihrer Stellung an einem bestimmten Finanzmarkt genießt, zu arbitrieren.
Beispielhaft soll dieser Geschäftstyp anhand eines (direkten) Zinsswap zwischen den Fir-

Derivative Finanzinstrumente
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Übung
men A und B verdeutlicht werden. Folgende Tabelle bringt die unterschiedlichen Kreditkonditionen der beiden Firmen am Markt für variable bzw. fixe Zinsen zum Ausdruck.
Festzins
Variabel
Firma A
 %
Libor + , %
Firma B
 %
Libor + , %
Demnach besitzt Firma A im Bereich variabler, Firma B im Bereich fixer Zinsen komparative Vorteile. Will Firma B sich nun im variablen, Firma A sich im Festzinsbereich
verschulden, so bietet sich folgender Zinstausch an.
Jede Firma verschuldet sich im Bereich ihrer komparativen Stärke. Anschließend tauschen
beide Firmen gemäß folgendem Diagramm ihre Zinsverpflichtungen aus (Swap):
Swap
✛
LIBOR + .%
z
Firma A
}|
%
✛
{
✲
LIBOR
Firma B
✲
%
a) Geben Sie die Nettozahlungen beider Firmen an und berechnen Sie die Summe der
Zinsersparnis insgesamt!
b) Geben Sie bei folgenden allgemeinen Zinskonditionen eine notwendige und hinreichende Bedingung an, so dass ein Zinsswap möglich ist. Wie hoch ist die Summe
der Zinsersparnis beider Firmen in diesem (allgemeinen) Fall?
Festzins
Variabel
(f ix)
iA
(f ix)
iB
Firma A
iA
Firma B
iB
(var)
(var)
Aufgabe  (Put-Call-Parität)
SC bzw. SP bezeichne den Wert eines (Bullish bzw. Bearish) Vertical Spread mit Ausübungskursen K1 < K2 bei Verwendung von Calls bzw. Puts (siehe Aufgabe ?? a)).
Berechnen Sie SC − SP ,
a) mittels der Put-Call-Parität
b) mittels eines Arbitrageportfolios,
wenn ausschließlich europäische Optionen verwendet werden.

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Übung
Aufgabe  (Arbitrage)
BC bzw. BP bezeichne den Wert eines Butterfly-Spread mit Ausübungskursen K1 <K2 wie
in Aufgabe ?? b) bei Verwendung von (evtl. amerikanischen) Calls bzw. Puts. Die Spitze
des Ertragsdiagrammes (bzw. Payoffs) liege in K. Zeigen Sie
a) mittels Satz .
b) mittels eines Arbitrageportfolios,
dass BC bzw BP einen positiven Wert besitzt, wenn K >
K1 +K2
2
bzw. K 6
K1 +K2
2
gilt.
Berechnen Sie den Wertunterschied BC − BP , wenn ausschließlich europäische Optionen
verwendet werden.
Aufgabe  (Arbitrageportfolio)
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Sachverhalte:
a) Der Wert einer amerikanischen Option ist niemals niedriger als der innere Wert.
Wenn darüber hinaus die Möglichkeit von Terminverkäufen oder short selling besteht,
ist der Wert einer Kaufoption sogar niemals niedriger als S − K · q −t − D für nicht
dividendengeschützte Optionen. Dabei steht q für den (stetigen) Zinsfaktor und D
für den Barwert aller Dividenden.
b) Der Wert einer Kaufoption ist niemals höher als der Aktienkurs bzw. bei Verkaufsoptionen niemals höher als der Ausübungskurs. Gilt dies für jedes underlying?
Aufgabe  (Arbitrage)
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen mittels Arbitrage:
Der Wert eines Bullish Vertical Spread ist nichtnegativ, falls
a) ausschließlich Calls
b) ausschließlich Puts
verwendet werden.
Aufgabe  (Bild, Urbild)
a) Berechnen und skizzieren Sie für die Funktion f : R → R mit
f (x) :=
1
6
· x · (x+5)·(x−4)
die Mengen
f ([−6, 4[), f ([−6, 0[), f ([−5, 4[), f ([−5, 0[)
und
f−1 ([−3, 6[), f−1 ([−∞, 6[), f−1 ([−∞, −3[)

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Übung
b) Sei f : M1 → M2 eine Abbildung und seien A, B bzw. C, D Teilmengen von M1 bzw.
M2 . Zeigen Sie, dass folgende Aussagen gelten:
i) f−1 (C ∩ D) = f−1 (C) ∩ f−1 (D)
ii) f−1 (C ∪ D) = f−1 (C) ∪ f−1 (D)
iii) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)
iv) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)
Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass in ??) die Gleichheit i.A. nicht gilt.
Aufgabe  (Messbare Funktionen)
a) Seien A und B zwei σ-Algebren in Ω mit A ⊂ B. Zeigen Sie, dass aus der
A-Messbarkeit einer Funktion f : Ω → R die B-Messbarkeit von f folgt.
b) Eine Indikatorfunktion
M
: Ω → R ist genau dann A-messbar, wenn M ∈ A gilt.
c) Zeigen Sie, dass f : Ω → R genau dann A-messbar ist, wenn eine der folgenden vier
äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
i) ∀α∈R : {f 6 α} ∈ A
ii) ∀α∈R : {f > α} ∈ A
iii) ∀α∈R : {f > α} ∈ A
iv) ∀α∈R : {f < α} ∈ A
Hinweis: Verwenden Sie die Gleichung {f > α} =
d) Seien f, g : Ω →
R
∞
S
{f > α+ k1 }
k=1
zwei A-messbare Funktionen. Zeigen Sie, dass die Mengen
{f < g}, {f 6 g}, {f = g} und {f 6= g} in A liegen.
Bemerkung: {f < g} ist die Kurzdarstellung der Menge {ω∈Ω | f (ω) < g(ω)}.
Die übrigen Mengen sind analog zu verstehen.
Hinweis: Verwenden Sie die Gleichung {f < g} =
S
{f <r} ∩ {r<g}
Q
r∈
Aufgabe  (Messbare Funktionen)
f, g : Ω −→ R seien A-messbare Funktionen. Beweisen Sie folgende Aussagen:
a) Für alle α, β ∈ R ist auch α + β · g messbar.
b) f + g ist messbar. Hinweis: Wenden Sie Teil ??) und Aufgabe ?? ??) an.
√ √ c) f 2 ist messbar. Hinweis: {f 2 > α} = f > α ∪ f 6− α für α>0.

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Übung
d) f · g ist messbar. Hinweis: f · g = 41 (f +g)2 − 14 (f −g)2
e) Ist (fk )∞
k=1 eine Folge messbarer Funktionen, so ist auch sup fk messbar.
k∈N
∞
T
Hinweis: {sup fk 6 α} =
{fk 6α}
k=1
Aufgabe  (Ereignisse, Wahrscheinlichkeitsmaß)
Im Folgenden sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) gegeben (siehe Definition .).
a) Beweisen Sie folgende Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes P.
) P(A∪B) + P(A∩B) = P(A) + P(B)
) A ⊂ B ⇒ P(A) 6 P(B)
) A ⊂ B ⇒ P(B\A) = P(B) − P(A)
b) Für eine aufsteigende Folge von Mengen Aℓ
∞
ℓ=1
definiert man lim Aℓ :=
ℓ→∞
∞
S
Aℓ .
ℓ=1
Zeigen Sie, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß P „stetig“ ist. D.h. für jede „monoton
wachsende“ Folge A1 ⊂ A2 ⊂ A3 . . . von Ereignissen aus A, gilt
lim P(Aℓ ) = P( lim Aℓ ) .
ℓ→∞
ℓ→∞
Hinweis: Man verwende die Mengen Bi mit B1 := A1 und Bi := Ai \Ai−1 für i > 2
∞
∞
S
S
und beachte
Aℓ =
Bℓ .
ℓ=1
ℓ=1
Aufgabe  (Stieltjes-Integrale)
Die Funktionen f, g : [−1, 1] −→ R seien definiert durch
(
(
0 für −1 6 x 6 0
0 für −1 6 x < 0
f (x) :=
g(x) :=
.
1 für
0<x61
1 für
06x61
Untersuchen Sie, welche der folgenden Stieltjes-Integrale existieren, und berechnen Sie
gegebenenfalls deren Wert:
Z 0
Z
a)
f (x) dg(x)
b)
−1
1
f (x) dg(x)
0
c)
Z
1
f (x) dg(x)
−1
d)
Z
1
g(x) df (x)
0
Aufgabe  (Stieltjes-Integrale)
Für x ∈ R seien die Funktionen F, H, G, L wie folgt definiert:
(
0 für x<1
F (x) :=
H(x) := F (2x+5)
1 für x>1
(
X
ln(x) für x>0
G(x) :=
2−i
L(x) :=
0
sonst
{i∈N, i6x}

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Übung
a) Berechnen Sie die folgenden Stieltjes-Integrale.
Z
Z
Z
i)
x dF (x)
ii)
x dH(x)
iii)
x dG(x)
R
R
R
b) Existieren die folgenden Integrale?
Z 1
Z ∞
Z
1
i)
x dL(x) ii)
dL(x) iii)
0
1
x
1
L(x) dx iv)
0
iv)
Z
1
Z
e
1
x
dL(x)
1
L(x) dL(x)
0
Aufgabe  (Riemann-Stieltjes-Integrale)
Berechnen Sie die folgenden Riemann-Stieltjes-Integrale:
Z 2
Z 2
Z 2
2
2 2
a)
t dt ,
t dt ,
t8 +2t6 −3t4 +4t2 +1 dt2
0
0
π
b)
Z
2π
c)
Z
cos(t) d sin(t),
0
0
Z
π
0
sin5 (t) + 3 sin6 (t) d sin(t)
sin(t) dg(t) mit g(t) =
(
0 falls 0 6 t 6
1 falls
π
2
π
2
< t 6 2π



Z 2
 t+2 falls −2 6 t 6 −1
d)
t2 dg(t) mit g(t) =
2
falls −1 < t < 0

−2

 t2 +3 falls
0 6t6 2
0
Hinweis: Man stelle den „Integrator“ g in der Form g(t) = g1 (t) + g2 (t) dar, wobei
g1 stetig und g2 stückweise konstant ist.
Aufgabe  (Wahrscheinlichkeitsmaße)
Sei µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der σ-Algebra der Borelmengen in R. Wir definieren
Ωp := ω∈R | µ({ω}) > 0
a) Was gibt die Menge Ωp an?
b) Zeigen Sie, dass Ωp höchstens abzählbar unendlich ist. Welche Bedeutung hat dies für
die zu µ gehörende Verteilungsfunktion F : R → [0, 1] mit F (x) := µ ] − ∞, x] ?
1
Hinweis: Man zeige zunächst, dass die Mengen Aℓ = ω∈R | ℓ+1
< µ({ω}) 6 1ℓ
∞
S
für jedes ℓ∈N nur endlich viele Elemente enthalten und dass Ωp = · Aℓ gilt.
ℓ=1
Aufgabe  (Normalverteilung, Log-Normalverteilung)
Sei Z eine Nµ,σ2 -verteilte Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte ϕµ,σ2 .
Z +∞
Z +∞
a) Folgern Sie aus
ϕ0,1 (t) dt = 1 die Aussage
dFZ (t) = 1.
−∞

−∞
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Übung
b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen Z und eZ .
c) Zeigen Sie, dass α·Z+β eine Nαµ+β,α2 σ2 -verteilte Zufallsvariable ist.
d) Zeigen Sie, dass die Zufallsvariable Y := eZ eine Wahrscheinlichkeitsdichte pY mit
folgendem Aussehen besitzt:

 1 · ϕ 2 ln(x) falls x > 0
µ,σ
x
pY (x) =

0
falls x 6 0
Aufgabe  (Verteilungsfunktionen)
a) Sei Z : Ω → [0, +∞[ eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter Θ, d.h.
es gelte:
FZ (x) = P {Z6x} =
Z
0
x
Θ· e−Θ·t dt = 1 − e−Θ·x
i) Zeigen Sie, dass Z ein Dichte besitzt.
ii) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Y := 1 − e−c·Z . Welche Verteilung ergibt sich speziell für c = Θ?
iii) Berechnen Sie (sofern existent) Erwartungswert und Varianz von Z.
iv) Zeigen Sie, dass für alle s, t > 0
P(Z6s+t | Z>s) = P(Z6t)
gilt. Interpretieren Sie diese Aussage!
b) Eine Zufallsvariable Z : Ω → N0 heißt Poissonverteilt mit Parameter λ, wenn gilt
λk
P {Z=k} = e−λ ·
k!
i) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion einer mit Parameter λ Poissonverteilten
Zufallsvariablen Z.
ii) Zeigen Sie:
Sind Z1 , Z2 : Ω →
N
0
unabhängige und Poissonverteilte Zufallsvariablen mit
Parametern λ1 bzw. λ2 , so ist Z1 + Z2 ebenfalls Poissonverteilt mit Parameter
λ1 + λ2 .
iii) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz einer mit Parameter λ Poissonverteilten Zufallsvariablen.

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Übung
c) Eine Zufallsvariable Z : Ω → {0, 1, . . . , n} heißt binomialverteilt mit Parametern n
und p, wenn gilt
n k
P {Z=k} =
·p ·(1−p)n−k
k
i) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion einer mit Parametern n und p binomialverteilten Zufallsvariablen Z.
ii) Zeigen Sie:
Sind Z1 : Ω → {0, 1, . . . , n1 } und Z2 : Ω → {0, 1, . . . , n2 } unabhängige und
binomialverteilte Zufallsvariablen mit Parametern n1 und p bzw. n2 und p, so
ist Z1 + Z2 ebenfalls binomialverteilt mit Parametern n1 +n2 und p.
Hinweis: Man verwende ohne Beweis , dass gilt:
k X
n +n
n
n1
· 2 = 1 2
ℓ=0
ℓ
k
k−ℓ
iii) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz einer mit Parametern n und p
binomialverteilten Zufallsvariablen.
Aufgabe  (Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Korrelation)
X, Y, X1 , . . . , XN bezeichnen im Folgenden Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeits-
raum (N∈N).
a) Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der Zufallsvariablen
i) U := α·X + β (α, β∈R konstant) ii) V := X − E[X] iii) W :=
E
X− [X]
s(X)
b) Schließen Sie aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung
E[X1X2 ] 2 6 E[X12] · E[X22],
dass die Korrelation zweier Zufallsvariablen nur Werte zwischen −1 und 1 annimmt.
c) Prüfen Sie folgende Gleichung auf ihre Gültigkeit:
var
N
X
i=1
Xi =
N
X
var(Xi ) +
i=1
N
X
cov(Xi , Xj )
i,j=1
i6=j
d) Beweisen Sie für unabhängige Zufallsvariablen X1 , . . . , XN die Gleichung
var
N
X
i=1


Xi =
N
X
var(Xi )
i=1
Fans der Mathematik beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion!
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Übung
Aufgabe  (Unabhängigkeit, Erwartungswert, Bedingte Erwartung)
a) Zeigen Sie, dass zwei Ereignisse A und B genau dann unabhängig sind, wenn die
von ihnen erzeugten σ-Algebren unabhängig sind.
b) Seien X1 und X2 unabhängige Zufallsvariablen auf (Ω, A, P) mit
1
P {Xi =1} = P {Xi =−1} =
für i=1, 2.
2
Zeigen Sie, dass X1 , X2 und X1 · X2 zwar paarweise unabhängig, jedoch nicht unab-
hängig sind.
c) Sei Z eine Zufallsvariable auf (Ω, A, P) mit E[Z 2 ]<∞. Zeigen Sie, dass die Funktion
x 7→ E (Z − x)2
ihr Minimum im Punkt x =
E[Z] annimmt. Vergleichen Sie diese Eigenschaft des
Erwartungswertes mit der Eigenschaft der bedingten Erwartung.
Aufgabe  (Verteilungsfunktion, RS-Integrale)
Bei einem fairen Würfel bezeichne H(n, a) die Zahl der Möglichkeiten bei n Würfen die
Augensumme a zu werfen (n∈N, a∈Z). Sn sei die Augensumme nach dem n-ten Wurf.
a) Zeigen Sie, dass folgende Eigenschaften gelten
(
1 für a ∈ {1, . . . , 6}
i) H(1, a) =
0 für a ∈ Z\{1, . . . , 6}
ii) H(n+1, a) :=
6
X
H(n, a−j)
j=1
iii) H(k, a) = 0 in den Fällen a < k oder 6k < a
iv)
6n
X
H(n, a) = 6n
Hinweis: Vollständige Induktion
a=n
v) H(n, a) = H(n, 7n−a)
Hinweis: Vollständige Induktion
n X
a−1−6ℓ
n
b) Zeigen Sie, dass H(n, a) =
·
· (−1)ℓ gilt.
ℓ=0
n−1
ℓ
Hinweis: Überprüfen Sie die rekursive Eigenschaft ??). Verwenden Sie hierzu die
folgenden Eigenschaften der Binomialkoeffizienten (Was bedeuten diese Aussagen
im Pascalschen Dreieck?):
•
•
m X
ℓ
ℓ
k−1
k=0
k
+
ℓ
k
=
=
ℓ+1
k
m+1
k+1

Derivative Finanzinstrumente
•
6 X
b−j
j=1
r
=
SS 
Übung
b
b−6
−
r+1
r+1
c) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion Fn für die Augensumme Sn !
d)
i) Zeichnen Sie F3 in ein Schaubild und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
dafür, dass die Augensumme S3 nach dem . Wurf zwischen −10000 und ,
zwischen −10000 und , sowie oberhalb von  liegt!
ii) Berechnen Sie nachstehende RS-Integrale:
Z +∞
Z +∞
2
xdF3 (x),
x − E[S3 ] dF3 (x),
−∞
−∞
Z
+∞
2
e−x dF3 (x)
−∞
Aufgabe  (Bedingte Erwartung)
Beweisen Sie folgende Aussage:
Eine I-messbare ZV Z0 ist genau dann gleich der bedingten Erwartung
Z
Z
XZ0 d P =
XZd P
∀I-messbaren X :
Ω
E[Z | I], wenn
Ω
Hinweis: Beweisen Sie die Aussage zunächst für alle Treppenfunktionen X und verwenden Sie dann Satz . der Vorlesung.
Aufgabe  (Bedingte Erwartung)
Beweisen Sie folgende Eigenschaften der bedingten Erwartung (Satz . a), d), e), f)).
Verwenden Sie dabei die Eigenschaften der bedingten Erwartung aus Satz ..
a)
E[αZ1 + βZ2|I] = αE[Z1|I] + β E[Z2|I]
Hinweis: Verwenden Sie die Linearität des Integrals.
b) Ist X eine I-messbare Zufallsvariable, so gilt
E[X · Z | I] = X · E[Z | I].
Hinweis: Beweisen Sie diese Aussage zunächst für den Fall, dass X eine Treppenfunktion ist und verwenden anschließend Satz . der Vorlesung.
c) Für σ-Algebren H ⊂ I ⊂ A gilt:
i
h
E E[Z|I] H = E[Z|H] (Tower Law)
d) Sind die Zufallsvariable Z und die σ-Algebra I stochastisch unabhängig, so gilt
E[Z | I] = E[Z].

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Übung
e) Seien X, Y Zufallsvariablen mit endlicher Varianz und den Eigenschaften E[Y |X] =
E[Y 2 |X] = X 2 . Zeigen Sie, dass X = Y
Hinweis: Betrachten Sie E[(X − Y )2 ]
X und
fast sicher gilt.
Aufgabe  (Einfache symmetrische Irrfahrt)
Eine faire Münze werde wiederholt geworfen. Bei Kopf gewinne Robert jeweils  e, bei
Zahl verliere er  e.
a) Stellen Sie Roberts Ertrag Xn nach dem n-ten Wurf als stochastischen Prozess dar
und berechnen Sie die Mittelwert- sowie Varianzfunktion des Prozesses.
b) Das Spiel werde nach dem n-ten Wurf abgebrochen.
i) Wie viele verschiedene Spielerträge gibt es?
ii) Wie viele verschiedene Spielverläufe sind denkbar?
c)
i) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Roberts Ertrag nach dem . Wurf  e
beträgt?
ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Robert nach dem . Wurf mehr als  e
gewonnen?
iii) Berechnen Sie mit Hilfe der Normalverteilungsapproximation die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Robert nach dem . Wurf nicht mehr als  e verloren
hat!
d) Nach dem . Wurf hat Robert einen Ertrag von  e erzielt.
i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Robert nach dem . Wurf mehr als  e
gewonnen?
ii) Nach dem . Wurf weist Roberts Ertragskonto einen Wert von  e auf. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Robert nach dem . Wurf mehr als  e
gewonnen hat?
iii) Wie hat sich Roberts Gewinnerwartung (im Vergleich zum ersten Wurf) nach
dem . Wurf verändert?
Aufgabe  (Arithmetischer Binomialprozess)
Wir betrachten einen arithmetischen Binomialprozess
Xt := X0 +
t
X
Zk
(t∈N)
k=1

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Übung
mit den unabhängigen, identisch verteilten Zuwächsen (Zk )k∈N und den Wahrscheinlichkeiten P (Zk =u) = p sowie P (Zk =d) = 1−p.
a) Erzeugen Sie durch Münzwurf einen arithmetischen Binomialprozess mit p=0.5, d=1
und u=2. Führen Sie konkret  Simulationen zu je  Schritten durch und dokumentieren Sie jeweils den Spielverlauf in einem Diagramm.
b) Wie könnte man die Simulation verändern, um eine Wahrscheinlichkeit von p= 13 ,
p= 61 oder p= 17 zu erreichen?
Aufgabe  (Markoffprozess)
Mit einem Würfel werde etliche Male hintereinander gewürfelt. Dabei beschreiben die Zufallsvariablen (Xn )∞
n=1 das Ergebnis des n-ten Wurfes. Da man zusätzlich nach jedem Wurf
an der Summe der bisher gewürfelten Augen interessiert ist, werden die Zufallsvariablen
(Sn )∞
n=1 eingeführt. Diese geben an, wie hoch die Augensumme nach dem n-ten Wurf ist.
a) Sind die Zufallsvariablen der beiden Folgen untereinander stochastisch unabhängig?
b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Xn und Sn in Abhängigkeit
von n∈N.
∞
c) Zeigen Sie, dass (Xn )∞
n=1 und (Sn )n=1 jeweils einen Markoffprozess bilden.
Bemerkung: (Xt )t∈N heißt Markoffprozess, wenn für t1 < t2 < · · · < tn < tn+1 und
Ereignisse B1 , . . . , Bn+1 ∈ A gilt:
P(Xtn+1 ∈Bn+1 | Xtn ∈Bn , . . . , Xt1 ∈B1 ) = P(Xtn+1 ∈Bn+1 | Xtn ∈Bn )
Aufgabe  (Lemma von Itô)
Der Kurs (St )t>0 einer Aktie genüge einer geometrisch Brownschen Bewegung, d.h. es gelte
dSt = µ · St · dt + σ · St · dWt . Geben Sie folgende Prozesse in differentieller Form an:
a) yt := ln(St ).
b) zt := StΘ , wobei Θ > 0 fest.
c) Ft := Forward Price, bei stetigen Bestandshaltekosten b > 0.
Aufgabe  (Lemma von Itô, Log-Normalverteilung)
Berechnen Sie in Abhängigkeit von t den Erwartungswert und die Varianz einer in S0
startenden geometrischen Brownschen Bewegung (St )t>0 mit dSt = µ · St · dt + σ · St · dWt .
Hinweis:
Stellen Sie St in der Form St = K · ext mit geeignetem allgemeinem Wiener-Prozess (xt )

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Übung
und passender Konstante K dar. Anschließend verwende man Aufgabe ??.
Aufgabe  (Black/Scholes Differentialgleichung)
a) Zeigen Sie, dass die in Satz . gefundene Funktion VK,t⋆ (St ) = St e(b−i)T −K e−iT
für den Wert eines Terminkontraktes mit Terminkurs K die Differentialgleichung
von Black/Scholes erfüllt und der Randbedingung V (St⋆ ) = St⋆ − K genügt.
b) Berechnen Sie den Wert eines derivativen Finanzinstrumentes F vom europäischen
Typ, das zum Verfallszeitpunkt t⋆ den Wert
F (t⋆ ) =
(
1
falls
K1 6 St⋆ 6 K2
0 sonst
besitzt. Vorausgesetzt sei, dass das underlying St einer geometrisch Brownschen
Bewegung genügt und stetige Bestandshaltekosten b vorliegen.
Aufgabe  (Black/Scholes, Hebel von Optionen)
Berechnen Sie die partiellen Ableitungen der Black/Scholes-Werte europäischer Optionen
nach den Variablen S, t und T = t⋆ − t und den Hebel europäischer Optionen.
√
Hinweis: Man überlege sich zunächst, dass ebT ·S · N ′ (y+σ T ) − K · N ′ (y) = 0 gilt.
Aufgabe  (Exotische Option)
Ein derivatives Finanzinstrument F besitze zum Verfallszeitpunkt t⋆ in Abhängigkeit vom
underlying St⋆ den pay-off (siehe nachfolgende Skizze)
Ft⋆ =


0
falls






 St⋆ − K1 falls
St⋆ 6
K1
6 St⋆ 6
K1 +K2


K2 − St⋆ falls
6 St⋆ 6


2




0
falls
K2
6 St⋆
K1
K1 +K2
2
K2
Berechnen Sie den Wert Ft des Finanzinstrumentes zum Zeitpunkt t, wenn keine vorzeitige
Ausübung möglich ist, indem Sie das derivative Finanzinstrument als Summe geeigneter
Puts, Calls und Bonds darstellen.
Hierbei sei neben einem konstanten stetigen Zinssatz i vorausgesetzt, dass St einer geometrisch Brownschen Bewegung dSt = µ · St · dt + σ · St · dWt genügt und konstante stetige
Bestandshaltekosten b für St vorliegen.

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Übung
Ft⋆
✻
✲
K1
K1 +K2
2
St⋆
K2
Aufgabe  (Binomialmodell)
Eine Aktie genüge einer geometrisch Brownschen Bewegung, wobei folgende Daten gegeben sind (die Prozentangaben beziehen sich jeweils auf ein Jahr):
Aktienkurs:  e,-, Volatilität: %, stetiger Zinssatz: %, stetige Bestandshaltekosten: %
a) Bestimmen Sie unter Verwendung von  Zeitschritten mit Hilfe des Binomialmodells
den Aktienkursbaum in der Gestalt
Aktie

t= 
,
,
,
b) Bestimmen Sie unter Verwendung des Kursbaumes aus Teil a) die Werte der folgenden drei Optionen auf diese Aktie. Beschriften Sie dabei die Knoten der Bäume mit
dem jeweiligen Aktienkurs bzw. Optionswert.

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Übung
i) europäischer Call, Ausübungskurs:  e,-, Dividende:  e,- zum Zeitpunkt ,, Laufzeit: , Jahre.
Option
Aktie


t=
,
,
,
t=

,
,
,
ii) europäischer Lookback-Put, Ausübungskurs: Maximum der angenommenen Aktienkurse, Dividende: keine, Laufzeit: , Jahre.
Hinweis: Beachten Sie, dass aufgrund der Wegabhängigkeit des Ausübungskurses bei jedem Aktienkurs zum Verfallszeitpunkt in der Regel mehrere Werte
des Payoffs der Lookback-Option berücksichtigt werden müssen.
Option
Aktie

t=

,
,
,
t=

,
,
,

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Übung
iii) amerikanischer Lookback-Put, Ausübungskurs: Maximum der angenommenen Aktienkurse, Dividende: keine, Laufzeit: , Jahre.
Option
Aktie

t=


,
,
,
t=

,
,
,
Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe ??:
Volkswagen:
Innerer Wert = max(0, St − K) = , e – , e = , e
Zeitwert = Optionspreis – Innerer Wert = , e – , e = , e
Aufgeld =
Telekom:
Zeitwert
Aktienkurs
=
0, 7
63, 5
= %
Innerer Wert = Optionspreis – Zeitwert = , e – , e = , e
⇒ K = , e
Lösung zu Aufgabe ??:
Verwende Satz ., d.h. 0 6 VP (t⋆ ) ⇒ ∀t 6 t⋆ : 0 6 VP (t).
Behauptung: VA (t⋆ ) 6 VB (t⋆ ) ⇒ ∀t 6 t⋆ : VA (t) 6 VB (t)
Beweis: Gelte VA (t⋆ ) 6 VB (t⋆ ). Bilde Portfolio P := B − A , d.h. kaufe B und verkaufe
A . Dann gilt
VP (t⋆ ) = VB−A (t⋆ ) = VB (t⋆ ) − VA (t⋆ ) > 0 .
Nach Satz . gilt dann
∀t 6 t⋆ : 0 6 VP (t) = VB−A (t) = VB (t) − VA (t)
und damit die Behauptung.
Alternativ kann die Beweismethode aus Satz . verwendet werden, d.h. man nimmt an,
dass VA (t) > VB (t) für mindestens einen Zeitpunkt t < t⋆ gilt und führt dies zu einem
Widerspruch gegen die Arbitragefreiheit eines perfekten Marktes.
Lösung zu Aufgabe ??:
Bei den folgenden Lösungen wird (Ausnahme Teil a)) i.d.R. die analoge Bullish-Position
beschrieben. Die entsprechende Bearish-Position ergibt sich durch durch Eingehen der
entsprechenden Gegenpositionen, d.h. jede Short-Position wird zu einer Long-Position
und umgekehrt.
Kann eine Position durch Calls oder Puts erzeugt werden, ergibt sich - je nach Verwendung
von Puts bzw. Calls - zwar die gleiche Pay-off-Struktur, allerdings mit einer vertikalen Parallelverschiebung. Dadurch sind die Werte der gleichen Position wegen der unterschiedlichen Pay-offs unterschiedlich (z.T. negativ!!). Die Ertragsdiagramme sind allerdings gleich,
da bei ihnen der Kaufpreis mit dem Pay-off verrechnet wird. Zu den Auswirkungen beachte
man Aufgabenteil a), in dem alle Positionen (bearish und bullish) beschrieben werden.

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
a) Bullish vertical spread mit Calls:
Portfolio P bestehend aus (alle Positionen mit Fälligkeit t⋆ ):
.)  Call long mit Strike K1
.)  Call short mit Strike K2


0
falls
St⋆ 6 K1


Payoff: VP (t⋆ ) =
St⋆ − K1 falls K1 6 St⋆ 6 K2


 K − K falls
K2 6 St⋆
2
1
Wegen VP (t⋆ ) > 0 folgt VP (t) > 0!!
Pay-off
Ertrag
Bullish vertical spread (Calls)
K2 − K1
K1
St⋆
K2
Bullish vertical spread mit Puts:
Portfolio P bestehend aus (alle Positionen mit Fälligkeit t⋆ ):
.)  Put long mit Strike K1
.)  Put short mit Strike K2


St⋆ 6 K1

 K1 − K2 falls
Payoff: VP (t⋆ ) =



St⋆ − K2 falls K1 6 St⋆ 6 K2
0
falls
K2 6 St⋆
Wegen VP (t⋆ ) 6 0 folgt VP (t) 6 0!!
Pay-off
Ertrag
Bullish vertical spread (Puts)
K1
K1 − K2

K2
St⋆
Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Bearish vertical spread mit Calls:
Portfolio P bestehend aus (alle Positionen mit Fälligkeit t⋆ ):
.)  Call short mit Strike K1
.)  Call long mit Strike K2


0
falls
St⋆ 6 K1


Payoff: VP (t⋆ ) =
K1 − St⋆ falls K1 6 St⋆ 6 K2


 K − K falls
K2 6 St⋆
1
2
Wegen VP (t⋆ ) 6 0 folgt VP (t) 6 0!!
Pay-off
Ertrag
Bearish vertical spread (Calls)
K1
St⋆
K2
K1 − K2
Bearish vertical spread mit Puts:
Portfolio P bestehend aus (alle Positionen mit Fälligkeit t⋆ ):
.)  Put short mit Strike K1
.)  Put long mit Strike K2


St⋆ 6 K1

 K2 − K1 falls
Payoff: VP (t⋆ ) =



K2 − St⋆ falls K1 6 St⋆ 6 K2
0
falls
K2 6 St⋆
Wegen VP (t⋆ ) > 0 folgt VP (t) > 0!!
Pay-off
Ertrag
Bearish vertical spread (Puts)
K2 − K1
K1
K2
St⋆

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
b) Ein Butterfly-spread setzt sich offenbar aus einem Bearish- und einem Bullish vertical Spread zusammen. Damit stehen  Möglichkeiten zur Verfügung, je nachdem, ob
für die vertical spreads Puts oder Calls verwendet werden. Es entstehen hierdurch
wieder Parallelverschiebungen der Pay-offs. Man beachte hierzu auch Aufgabe ??.
Butterfly spread (K1 6 K 6 K2 ) mit Calls:
Portfolio P bestehend aus (alle Positionen mit Fälligkeit t⋆ ):
.) Kauf Bullish Spread, Strike K1 , K ( Call long Strike K1 ,  Call short Strike K)
.) Kauf Bearish Spread, Strike K, K2 ( Call long Strike K2 ,  Call short Strike K)


0
falls
St⋆ 6 K1




falls K1 6 St⋆ 6 K
St⋆ − K1
Payoff: VP (t⋆ ) =

2K − K1 − St⋆ falls K 6 St⋆ 6 K2




2K − K1 − K2 falls
K2 6 St⋆
Das Vorzeichen von VP (t⋆ ) wird durch die Lage von K bestimmt!!
Butterfly spread (K1 6 K 6 K2 ) mit Puts:
Portfolio P bestehend aus (alle Positionen mit Fälligkeit t⋆ ):
.) Kauf Bullish Spread, Strike K1 , K ( Put long Strike K1 ,  Put short Strike K)
.) Kauf Bearish Spread, Strike K, K2 ( Put long Strike K2 ,  Put short Strike K).


K1 − 2K + K2 falls
St⋆ 6 K1



 S ⋆ − 2K + K falls K 6 S ⋆ 6 K
2
1
t
t
Payoff: VP (t⋆ ) =

falls K 6 St⋆ 6 K2
K2 − St⋆




0
falls
K2 6 St⋆
Das Vorzeichen von VP (t⋆ ) wird durch die Lage von K bestimmt!!
Pay-off
Ertrag
Butterfly spread (Calls oder Puts) für K =
K1 +K2
2
K − K1
K1

K
K2
St⋆
Derivative Finanzinstrumente
SS 
Pay-off Calls/Puts
Ertrag
K2 − K
Butterfly spread (Calls/Puts) für K <
Lösungen der Aufgaben
K1 +K2
2
K1 + K2 − 2K
K − K1
K1
K
K1 +K2
2
St⋆
K2
2K − K1 − K2
Pay-off Calls/Puts
Ertrag
Butterfly spread (Calls/Puts) für K >
K1 +K2
2
K − K1
2K − K1 − K2
K2 − K
K1
K1 +K2
2
K
K2
St⋆
2K − K1 − K2
Wendet man eine Mischstrategie an, d.h. verwendet man Calls und Puts zum Aufbau
erhält man folgende Pay-offs:
Butterfly spread (K1 6 K 6 K2 ) mit Calls und Puts:
Portfolio P bestehend aus (alle Positionen mit Fälligkeit t⋆ ):
.) Kauf Bullish Spread, Strike K1 , K ( Call long Strike K1 ,  Call short Strike K)
.) Kauf Bearish Spread, Strike K, K2 ( Put long Strike K2 ,  Put short Strike K).


K2 − K
falls
St⋆ 6 K1



 K − K − K + S ⋆ falls K 6 S ⋆ 6 K
1
2
1
t
t
Payoff: VP (t⋆ ) =

K2 − K1 + K − St⋆ falls K 6 St⋆ 6 K2




K − K1
falls
K2 6 St⋆
oder umgekehrt:

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
.) Kauf Bullish Spread, Strike K1 , K ( Put long Strike K1 ,  Put short Strike K)
.) Kauf Bearish Spread, Strike K, K2 ( Call long Strike K2 ,  Call short Strike K)


K1 − K



 S⋆ −K
t
Payoff: VP (t⋆ ) =

K − St⋆




K − K2
Im Fall K <
K1 +K2
2
falls
St⋆ 6 K1
falls K1 6 St⋆ 6 K
falls K 6 St⋆ 6 K2
falls
K2 6 St⋆
ergibt dies folgende Graphik:
Pay-off
Ertrag
Butterfly spread (Mischstrategie Calls/Puts bzw. Puts/Call) für K <
K1 +K2
2
K2 − K
K − K1
K1
K1 +K2
2
K
K2
St⋆
K1 − K
K − K2
Im Fall K >
K1 +K2
2
ergibt dies folgende Graphik:
Pay-off
Ertrag
Butterfly spread (Mischstrategie Calls/Puts bzw. Puts/Call) für K >
K1 +K2
2
K − K1
K2 − K
K1
K1 +K2
2
K
K2
St⋆
K − K2
K1 − K
c) Der Top straddle ist ein Spezialfall der Top vertical Combination aus Teil d), indem

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
man K1 = K2 setzt. Verwendet man unterschiedliche Anzahlen von Calls und Puts,
spricht man auch von einem Strap (siehe Teil d)).
d) Top vertical Combination (K1 6 K2 ):
Portfolio P bestehend aus (alle Positionen mit Fälligkeit t⋆ ):
.) n Calls short, Strike K1
.) m Puts short, Strike K2 .


falls
St⋆ 6 K1
m · (St⋆ − K2 )


Payoff: VP (t⋆ ) =
(m − n) · St⋆ + n · K1 − m · K2 falls K1 6 St⋆ 6 K2



falls
K 6 S⋆
n · (K − S ⋆ )
1
2
t
t
Pay-off
Ertrag
Top vertical Combination mit n = m = 1
K1
K2
St⋆
K1 − K2
−K2
Pay-off
Ertrag
Top vertical Combination mit n = 3, m = 2
K1
St⋆
K2
m · (K1 − K2 )
Steigung
m−n
n · (K1 − K2 )
Steigung
m
Steigung
−n
−m · K2

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe ??:
a) Bilde das Portfolio P :=  Call long und  Put short, beide europäisch mit gleichem
Ausübungskurs K und gleicher Fälligkeit t⋆ . Offensichtlich gilt:
VP (t⋆ ) = St⋆ − K ,
d.h. P entspricht einem Terminkauf zum Terminkurs K. Wählt man speziell den
aktuellen Aktienkurs S0 als Terminkurs, erhält man die Ertragsposition eines Aktienkaufs. Nach Satz . ist der Wert VK,t⋆ eines Terminkaufs (bei stetigen Bestandshaltekosten b)
VK,t⋆ (St ) = St e(b−i)T −K e−iT .
Damit ergibt sich z.B. für K = S0 = 100, i = 6%, d = 2% (⇒ b = 4%), T = 1 Jahr:
VP (0) = VK,t⋆ (S0 ) = , e
Ertragsdiagramm
Pay-off
160
120
80
St⋆ − K
40
K
0
40
80
120
160
200
St⋆
−40
−80
−K
Der Vorteil liegt im geringeren Kapitaleinsatz und größeren Hebel.
b) Verwendet
man für Derivate eine vereinfachende -dimensionale Vektordarstellung
!
x
y
, in der x bzw. y den Ertrag angibt, mit dem man bei einem Kursanstieg bzw.
Fallen der Kurse um eine Einheit profitiert, haben Call, Put, Terminkauf (Aktien-
kauf) bzw. Terminverkauf (Aktienverkauf) folgendes Aussehen (siehe Teil a))
1
0

!
,
0
1
!
,
1
−1
!
,
−1
1
!
.
Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Dies liefert eine einfache Möglichkeit, Positionen zu „drehen“. Ein Call long kann
durch einen Terminverkauf, ein Put long durch einen Terminkauf „gedreht“ werden.
1
0
!
CK
+
−1
+
TV
1
!
!
0
=
1
=
0
und
1
PK
PK
!
+
+
1
−1
!
TK
=
=
1
0
!
CK
Ertragsdiagramm
Call long
Put long
St⋆
Drehachse
Lösung zu Aufgabe ??:
a) Die Zahlungsstruktur des SWAP hat folgendes Aussehen:
Swap
✛
LIBOR+.%
Firma A
}|
%
z
✛
{
✲
LIBOR
Firma B
✲
%
Offensichtlich zahlt Firma A einen Fixzins in Höhe von ,%, Firma B einen variablen Zins in Höhe von LIBOR. Der gemeinsame Vorteil beträgt %. Nachteil: Fa. B
trägt das höhere Ausfallrisiko von Fa. B.
Schaltet man einen Finanzintermediär ein, der das Ausfallrisiko trägt, hat der SWAP
folgendes Aussehen:
Finanz✒ institution
■
.%
.%
LIBOR
✛
LIBOR+.%
Firma A
✠|
LIBOR
{z
Swap
}
❘
Firma B
✲
%
Jetzt haben die beiden Firmen nur noch einen Vorteil von jeweils ,%. Der Finanzintermediär kassiert die restlichen ,%.

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
(var)
(var)
(var)
(f ix)
(f ix)
(f ix)
b) Definiert man ∆A−B := iA − iB und ∆A−B := iA − iB , so ist
(var)
(f ix)
∆A−B 6= ∆A−B .
eine notwendige und hinreichende Bedingung für einen Zinsswap, bei dem sich beide
(f ix)
Firmen besser stellen. Sind beide Differenzen negativ, betrachte man ∆B−A und
(var)
∆B−A .
(var)
(f ix)
Zum Beweis, dass ∆A−B 6= ∆A−B hinreichend ist, kann aus Symmetriegründen
(var)
(f ix)
o.B.d.A. ∆A−B < ∆A−B angenommen werden. Dies bedeutet, dass A komparative
Vorteile auf der variablen Zinsseite hat. Z.Z. ist, dass ein Swap möglich ist. Hierzu
wähle man ε mit
(var)
(f ix)
∆A−B < ε < ∆A−B
und betrachte folgende Zahlungsstruktur, in der sich jede der beiden Firmen auf
Seite ihres komparativen Vorteils verschuldet:
Swap
✛
Firma A
(var)
iA
z
✛
(var)
iA
(var)
B zahlt damit den variablen Zins iA
(var)
iA
(var)
− ε < iA
(var)
(f ix)
(f ix)
(f ix)
+ ε < iB
−ε
{
✲
Firma B
(f ix)
iB
− ε, und es gilt nach Wahl von ε
(var)
− ∆A−B = iB
A zahlt den fixen Zins iB
iB
}|
(f ix)
iB
+ ε, und es gilt nach Wahl von ε
(f ix)
(f ix)
+ ∆A−B = iA
Damit ist der Swap für beide Seiten von Vorteil.
Gelte umgekehrt, dass durch die letzte Skizze ein Swap erzeugt wird, bei dem sich
beide Parteien besser stellen.
(var)
Da B netto den variablen Zins iA
Entsprechend muss die (fixe) Nettozahlung von A, nämlich
sein. Diese beiden Forderungen lauten anders ausgedrückt
(var)
(f ix)
∆A−B < ε und ε < ∆A−B

(var)
− ε zahlt, muss dies kleiner als iB
(f ix)
iB + ε
sein.
(f ix)
kleiner als iA
✲
Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Bemerkung:
(var)
i) B spart offensichtlich iB
(f ix)
∆A−B
(var)
− iA
(var)
(f ix)
+ ε = ε − ∆A−B , A spart iA
− ε, d.h. die Gesamtersparnis beträgt
(f ix)
(f ix)
− iB
−ε =
(var)
∆A−B − ∆A−B .
Fordert man, dass beide Firmen gleiche Ersparnis haben, folgt
h
i
1
(f ix)
(var)
ε=
∆A−B − ∆A−B .
2
ii) Da die Zahlungen der beiden Firmen gegeneinander verrechnet werden, genügt
es nur eine Konstante ε bei einer der Zahlungen einzuführen.
iii) Führt man noch einen Finanzintermediär ein, entsteht i.A. Fall folgendes Bild
Finanz✒ institution
■
(f ix)
(f ix)
iB
iB
(var)
iA
✛
(var)
iA
Firma A
✠
|
(var)
(var)
−ε−δ
iA
{z
Swap
−ε
}
❘
Firma B
(f ix)
iB
✲
(f ix)
B spart ε − ∆A−B , A spart ∆A−B − ε − δ, d.h. die Gesamtersparnis
(f ix)
(var)
∆A−B − ∆A−B − δ
vermindert sich im Vergleich zu vorher um den Bankgewinn δ. Fordert man
wieder, dass beide Firmen gleiche Ersparnis haben, folgt in diesem Fall
h
i
1
(f ix)
(var)
∆A−B − ∆A−B − δ .
ε=
2
Lösung zu Aufgabe ??:
a) Es gilt gemäß Aufgabe ?? a) für den Preis S eines Bullish Vertical Spread mit
Strike K1 6 K2
eur
eur
SC (t) = CK
⋆ (t) − CK ,t⋆ (t)
2
1 ,t
bei Verwendung von Calls und
eur
SP (t) = PKeur
⋆ (t) − PK ,t⋆ (t)
2
1 ,t

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
bei Verwendung von Puts. Damit folgt:
i h
i
h
eur
eur
eur
eur
(t)
(t)
−
P
−
P
(t)
(t)
−
C
SC (t) − SP (t) = CK
⋆
⋆
⋆
⋆
K ,t
K ,t
K ,t
,t
| 1
{z 2
}
{z 2
}
| 1
SC (t)
SP (t)
Nach der Put-Call-Parität für europäische Optionen (Satz .) gilt jedoch:
(b−i)T
eur
eur
−K e−iT
CK,t
⋆ (t) − PK,t⋆ (t) = St e
Einsetzen liefert:
i
i h
h
eur
eur
eur
eur
(t)
(t)
−
P
(t)
−
P
(t)
−
C
CK
⋆
K2 ,t⋆
K1 ,t⋆
K2 ,t⋆
1 ,t
i
i h
h
eur
eur
eur
eur
= CK1 ,t⋆ (t) − PK1 ,t⋆ (t) − CK2 ,t⋆ (t) − PK2 ,t⋆ (t)
i
i h
h
= St e(b−i)T −K1 e−iT − St e(b−i)T −K2 e−iT
SC (t) − SP (t) =
= [K2 − K1 ] e−iT > 0
b) Bilde das Portfolio P := SC −SP , das gemäß Aufgabe ?? a) aus folgenden Positionen
besteht (K1 6 K2 ):
.) Call long, Strike K1
.) Call short, Strike K2
.) Put short, Strike K1
.) Put long, Strike K2
P hat folgenden Pay-off:
Position
St⋆ 6 K1
K1 6 St⋆ 6 K2
K2 6 St⋆
.)
0
.)
0
St⋆ − K1
St⋆ − K1
.)
−(K1 − St⋆ )
.)
VP (t⋆ )
0
0
−(St⋆ − K2 )
0
K2 − St⋆
K2 − St⋆
0
K2 − K 1
K 2 − K1
K2 − K 1
Wegen VP (t⋆ ) = K2 − K1 gilt
⋆ −t)
VP (t) = (K2 − K1 ) e−i(t
= (K2 − K1 ) e−iT .
c) Betrachtet man die bearish Position, drehen sich alle Vorzeichen bzw. Ungleichungen
um!!!!

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe ??:
a) Sei K1 6 K2 . Dann gilt für den Preis B eines Butterfly-Spread (je nachdem, ob
Calls oder Puts verwendet werden) gemäß Aufgabe ?? b):
eur
eur
eur
BC (t) = CK
⋆ (t) − 2CK,t⋆ + CK ,t⋆ (t)
2
1 ,t
eur
eur
BP (t) = PKeur
⋆ (t) − 2PK,t⋆ + PK ,t⋆ (t)
2
1 ,t
Nach der Konvexitätseigenschaft für Optionen (Satz .) gilt jedoch
1 eur
1 eur
CK1 ,t⋆ (t) + CK
⋆ (t)
2 ,t
2
2
> C eur
K1 +K2 ⋆ (t) ,
,t
2
nach Multiplikation mit 2 also
eur
eur
eur
CK
⋆ (t) + CK ,t⋆ (t) > 2C K1 +K2 ⋆ (t) .
1 ,t
2
,t
2
Da ein Call als Funktion des Ausübungskurses mofa ist, gilt im Fall K >
K1 + K2
2
eur
C eur
K1 +K2 ⋆ (t) > CK,t⋆ (t)
,t
2
und damit die Behauptung BC (t) > 0.
Im Fall von Puts erfolgt die gleiche Argumentation. Nach der Konvexitätseigenschaft
für Optionen (Satz .) gilt zunächst
eur
eur
PKeur
⋆ (t) + PK ,t⋆ (t) > 2P K1 +K2 ⋆ (t) .
1 ,t
2
,t
2
Da ein Put als Funktion des Ausübungskurses mowa ist, folgt im Fall K 6
K1 + K2
2
eur
eur
eur
PKeur
⋆ (t) + PK ,t⋆ (t) > 2P K1 +K2 ⋆ (t) > 2PK,t⋆ (t) .
2
1 ,t
,t
2
Dies ist gerade die Behauptung.
b) Bilde das Portfolio P, das gemäß Aufgabe ?? b) aus folgenden Positionen besteht
(K1 6 K2 ):
.) Call long, Strike K1
.) 2 Calls short, Strike K
.) Call long, Strike K2
P hat folgenden Pay-off:


0




St⋆ − K1
VP (t⋆ ) =

2K − K1 − St⋆




2K − K1 − K2
falls St⋆ 6 K1
falls K1 6 St⋆ 6 K
falls K 6 St⋆ 6 K2
falls K2 6 St⋆

Derivative Finanzinstrumente
Ist nun K >
K1 + K2
,
2
SS 
Lösungen der Aufgaben
so folgt
2K − K1 − K2 > 2
K1 + K2
2
− K1 − K2 = 0
und im Fall K 6 St⋆ 6 K2
2K − K1 − St⋆ > 2
K1 + K2
2
− K1 − St⋆ = K2 − St⋆ > 0 .
Analog läuft die Argumentation mit Puts.
Für die Differenz BC − BP gilt:
h
i h
i
eur
eur
eur
eur
eur
eur
BC (t) − BP (t) = CK
(t)
−
2C
+
C
(t)
−
P
(t)
−
2P
+
P
(t)
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
K,t
K2 ,t
K1 ,t
K,t
K2 ,t
1 ,t
i
i h
i
h
h
eur
eur
eur
eur
eur
eur
(t)
(t)
−
P
(t)
+
C
(t)
−
P
(t)
−
2
C
(t)
−
P
= CK
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
K2 ,t
K2 ,t
K,t
K,t
K1 ,t
1 ,t
i
i h
i
h
h
(b−i)T
−iT
(b−i)T
−iT
(b−i)T
−iT
+ St e
−K2 e
− 2 St e
−K e
= St e
−K1 e
i
h
K + K2 −iT
e
= 2· K − 1
2
Damit folgt
BC 6 BP falls K 6
BC = BP falls K =
BC > BP falls K >
K1 + K2
2
K1 + K2
2
K1 + K2
2
Lösung zu Aufgabe ??:
a) Würde die amerikanische Option einen geringeren Preis als ihr innerer Wert haben,
könnte durch Kauf der Option und sofortiger Ausübung ein risikoloser Gewinn erzielt
werden. Dies ist ein Widerspruch zur Arbitragefreiheit eines perfekten Marktes.
b) Nach der Put-Call-Parität für europäische Optionen (Satz .) gilt bei diskreten
Erträgen (Kosten) mit Barwert Dt (bezogen auf den Zeitpunkt t):
−iT
eur
eur
−Dt > St − K e−iT −Dt
CK,t
⋆ (t) = PK,t⋆ (t) + St − K e
eur
am
Wegen CK,t
⋆ > CK,t⋆ folgt die Behauptung.
Tritt der Fall −K e−iT −Dt > 0 ein, d.h. ist Dt negativ mit Dt < −K e−iT , folgt
eur
−iT
CK,t
−Dt > St .
⋆ (t) > St − K e
Rein theoretisch kann also bei extrem großen Kosten (Dt < 0) der Optionspreis
größer als der Preis des underlying sein!

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe ??:
Sei SC das Portfolio des bullish vertical spread mit Ausübungskursen K1 < K2 unter
Verwendung von Calls. Es besteht aus folgenden Positionen (siehe Aufgabe ?? a)):
.) Call long, Strike K1
.) Call short, Strike K2
SC hat folgenden Pay-off:
Position
St⋆ 6 K1 K1 6 St⋆ 6 K2
.)
0
.)
0
VSC (t⋆ )
0
St⋆ − K1
K2 6 St⋆
St⋆ − K1
0
−(St⋆ − K2 )
St⋆ − K1
K 2 − K1
Wegen VSC (t⋆ ) > 0 folgt VSC (t) > 0.
Bei Verwendung von Puts besteht der bullish vertical spread SP mit Ausübungskursen
K1 < K2 aus folgenden Positionen (siehe Aufgabe ?? a)):
.) Put long, Strike K1
.) Put short, Strike K2
SP hat folgenden Pay-off:
Position
St⋆ 6 K1
.)
K1 − St⋆
.)
VSP (t⋆ )
K1 6 St⋆ 6 K2 K2 6 St⋆
0
0
−(K2 − St⋆ )
−(K2 − St⋆ )
0
K1 − K2
St⋆ − K2
0
Wegen VSC (t⋆ ) 6 0 folgt VSC (t) 6 0.
Lösung zu Aufgabe ??:
a) Das lokale (!) Maximum bzw. Minimum wird angenommen in den Punkten
xmax =
√
−1− 61
3
bzw. xmin =
√
−1+ 61
3
mit den Funktionswerten
fmax = f (xmax ) =
√
√
√
(1+ 61)·(−14+ 61)·(13+ 61)
−
162
fmin := f (xmin ) =
√
√
√
(−1+ 61)·(14+ 61)·(−13+ 61)
162
≈ 7.005249758
bzw.
Der Graph der Funktion f (x) =
1
6
≈ −4.758336176
· x · (x+5)·(x−4) hat folgendes Aussehen:

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
y
7
y=6
6
5
4
3
2
1
−6
−4
−3
−2
−1
(
O 3)
(3)
xU
1
2
3
x
xU
x
x
−5
(2)
(
O 2)
(
O 1)
(1)
xU
4
5
6
x
−1
−2
y=−3
−3
−4
Damit gilt
f [−6, 4[ = f (−6), fmax = −10, fmax = f [−6, 0[
Achtung: Das Ergebnis lautet nicht [fmin , fmax [ oder [fmin , fmax ]!!!
Analog folgt
f [−5, 4[ = fmin , fmax
und
f [−5, 0[ = 0, fmax
Zur Berechnung des Urbildes bestimmen wir die Schnittpunkte des Graphen mit
den Geraden y=6 bzw. y= − 3. Die (oberen) Schnittpunkte mit y=6 liegen in
(1)
xO =
√
1− 73
,
2
(2)
(3)
xO = −2 und xO =
√
1+ 73
2
Die (unteren) Schnittpunkte mit y= − 3 liegen in
√
√
(2)
(3)
(1)
xU = −1− 19, xU = 1 und xU = −1+ 19

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Damit gilt
(1)
(1)
(2)
(2)
(3)
(3)
f−1 [−3, 6[ = [xU , xO [ ∪ [xO , xU [ ∪ [xU , xO [
Analog folgt
und
(1)
(2)
(3)
f−1 [−∞, 6[ = ]−∞, xO [ ∪ [xO , xO [
(1)
(2)
(3)
f−1 [−∞, −3[ = ]−∞, xU [ ∪ ]xU , xU [
b) f : M1 → M2 mit A, B ⊂ M1 und C, D ⊂ M2 .
i) z.z.: f−1 (C∩D) = f−1 (C) ∩ f−1 (D)
Beweis:
m1 ∈f−1 (C∩D)
⇐⇒
f (m1 )∈(C∩D) ⇐⇒ f (m1 )∈C ∧ f (m1 )∈D
⇐⇒
m1 ∈f−1 (C) ∧ m1 ∈f−1 (D) ⇐⇒ m1 ∈[f−1 (C) ∩ f−1 (D)]
ii) Ersetzt man ∩ durch ∪ und ∧ durch ∨ ergibt sich f−1 (C∪D) = f−1 (C) ∪ f−1 (D).
iii) z.z.: f (A∪B) = f (A) ∪ f (B)
Beweis:
m2 ∈f (A∪B)
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
∃m1 ∈(A∪B) : f (m1 )=m2
∃m1 ∈A : f (m1 )=m2 ∨ ∃m1 ∈B : f (m1 )=m2
m2 ∈f (A) ∨ m2 ∈f (B) ⇐⇒ m2 ∈ f (A) ∪ f (B)
iv) z.z.: f (A∩B) ⊂ f (A) ∩ f (B)
Beweis:
m2 ∈f (A ∩ B)
⇐⇒
⇐⇒
⇒
⇐⇒
⇐⇒
∃m1 ∈M1 : m1 ∈(A∩B) ∧ f (m1 )=m2
∃m1 ∈M1 : m1 ∈A ∧ m1 ∈B ∧ f (m1 )=m2
∃m1 ∈A : f (m1 )=m2 ∧ ∃m1 ∈M1 : f (m1 )=m2
m2 ∈f (A) ∧ m2 ∈f (B)
m2 ∈ f (A) ∩ f (B)
Gegenbeispiel: A = {1}, B = {2} und f : {1, 2} → {3}. Dann gilt:
f (A) = {3} = f (B) , f (A∩B) = f (∅) = ∅ =
6 {3} = f (A) ∩ f (B)

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe ??:
a) Sei f eine A-messbare Funktion. Dann gilt nach Definition
{f 6 α} ∈ A
Wegen A ⊂ B folgt damit auch die B-Messbarkeitsbedingung
{f 6 α} ∈ B
b) Nach Beispiel . i) der Vorlesung gilt


16α

 Ω falls
{ A ≤ α} =
∁M falls 0 6 α < 1


 ∅ falls
α<0
Wegen ∁M ∈ A ⇐⇒ M ∈ A liegen alle Urbilder genau dann in A, wenn M ∈ A
gilt.
c) Wegen
{f 6 α} ∈ A ⇐⇒ ∁{f 6 α} = {f > α} ∈ A
bzw.
{f > α} ∈ A ⇐⇒ ∁{f > α} = {f < α} ∈ A
sind die Aussagen i) und iii) bzw. ii) und iv) äquivalent. Es bleibt daher nur die
Äquivalenz der Aussagen ii) und iii) zu zeigen.
ii) ⇒ iii): Gelte ∀x ∈ R : {f > x} ∈ A.
Ist nun α ∈ R beliebig, so sind nach Voraussetzung alle Mengen {f > α + } in A.
1
k
Da σ-Algebren abgeschlossen bzgl. abzählbaren Vereinigungen sind, liegt auch
+∞
S
k=1
in A.
1
k
{f > α + } = {f > α}
iii) ⇒ ii): Gelte ∀x ∈ R : {f > x} ∈ A.
Ist nun α ∈ R beliebig, so sind nach Voraussetzung alle Mengen {f > α − } in A.
1
k
Da σ-Algebren abgeschlossen bzgl. abzählbaren Durchschnitten sind, liegt auch
+∞
T
k=1
in A.

1
k
{f > α − } = {f > α}
Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
d) Wegen der Messbarkeit von f und g liegen nach Teil c) die Mengen {f < r} und
{r < g} und damit auch die Mengen {f < r} ∩ {r < g} in A. Aus den Eigenschaften
einer σ-Algebra folgt dann, dass auch folgende Menge in A liegt:
S
{f < r} ∩ {r < g} = {f < g}
Q
r∈
Mit {f < g} liegt auch ∁{f < g} = {f > g} in A. Vertauscht man die Rollen von f
und g liegt auch {f 6 g} in A.
Wegen {f = g} = {f 6 g} ∩ {f > g} liegt damit auch {f = g} in A.
{f 6= g} = ∁{f = g} ∈ A.
Lösung zu Aufgabe ??:
a) Seien α, β ∈ R. Für β = 0 ist die Behauptung trivial!? Gelte daher β 6= 0. Ist r eine
beliebige reelle Zahl, so gilt

r−α


 {g < β } falls β > 0
{α + β · g < r} =
{g > r−α
} falls β < 0
β


 {α < r} falls β = 0
In allen  Fällen liegt ein Element von A vor. In den ersten beiden Fällen wegen der
Messbarkeit von g, im dritten Fall, weil {α < r} = ∅ oder {α < r} = Ω gilt.
b) Setzt man in Teil a) β = −1, folgt, dass die Funktion α − g für alle α ∈ R messbar
ist. Aus der Messbarkeit der Funktion f folgt daher nach Aufgabe ?? d), dass für
alle α ∈ R die Menge
{f 6 α − g} = {f + g 6 α}
in der σ-Algebra A liegt. Dies heißt gerade, dass f + g messbar ist.
c) Es gilt:
(
falls α 6 0
√
{f > α} ∪ {f 6 − α} falls α > 0
√
√
Da die Mengen {f > α} und {f 6 − α} wegen der Messbarkeit von f in A
{f 2 > α} =
√
Ω
liegen, liegt damit auch {f 2 > α} in A.
d) Da nach Teil a) und b)
1
(f
2
+ g) und
mit Teil c) aus der Darstellung
f ·g =
1
(f
4
+ g)2 −
1
(f
4
1
(f
2
− g) messbar sind, folgt die Behauptung
− g)2
e) Klar.

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe ??:
a)
) Es gelten folgende disjunkte Zerlegungen in A
A ∪ B = A∪
· (B ∩ Ā)
B = (A ∩ B) ∪
· (B ∩ Ā) ,
woraus wegen der Additivität von P folgt:
()
P(A ∪ B) = P(A) + P(B ∩ Ā)
()
P(B) = P(A ∩ B) + P(B ∩ Ā) .
Setzt man Gleichung (??) in Gleichung (??) ein, ergibt sich
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) .
),) Seien A, B ∈ A mit A ⊂ B. Wie in Teil ) gesehen gilt B = A ∪
· (B ∩ Ā) und
daher
P(B) = P(A) + P(B ∩ Ā) .
Die rechte Seite dieser Gleichung ist jedoch wegen P(B ∩ Ā) > 0 größer gleich
P(A). Wegen P(B) < ∞, resultiert außerdem
P(B) − P(A) = P(B ∩ Ā) .
b) Wir definieren B1 := A1 und Bj := Aj \Aj−1 für j = 2, 3, . . . . Dann sind die Mengen
Bj paarweise disjunkt in A, und es gilt
An =
n
[
·
Bj
j=1
und daher
A=
∞
[
·
Bj .
j=1
Aus der σ-Additivität von P folgt dann
P(A) =
∞
X
j=1
P(Bj ) = lim
n→∞
n
X
j=1
P(Bj ) = lim P
n→∞
Lösung
Z 0 zu Aufgabe ??:
a)
f (x) dg(x) = 0, da f ≡ 0 im Intervall [−1, 0].
−1

n
[
·
Bn = lim P(An ) .
j=1
n→∞
Derivative Finanzinstrumente
b)
Z1
SS 
Lösungen der Aufgaben
f (x) dg(x) = 0, da im Intervall [0, 1] nach Definition g≡1 und daher ∆g≡0 gilt.
0
c) Sei Z = {x0 , x1 , . . . , xn } eine beliebige Zerlegung des Intervalls [−1, 1] mit 0 ∈
/ Z.
ξi sei ein beliebiger Zwischenpunkt im Intervall [xi , xi+1 ]. Dann lautet die Rie-
mann-Stieltjes-Summe dieser Zerlegung:
n
X
i=1
f (ξi ) · (g(xi+1 ) − g(xi )) = f (ξi0 ) · (g(xi0 +1 ) − g(xi0 )) = f (ξi0 )
()
Hierbei sei [xi0 , xi0 +1 ] das Intervall, in dem 0 liegt. Gleichung (??) gilt, weil g in
[0, −1[ bzw. ]0, 1] jeweils konstant 0 bzw. 1 ist. Mit zunehmender Verfeinerung der
Zerlegung konvergiert ξi0 gegen 0 und man erhält
lim f (ξi0 ) = 0 bzw. lim f (ξi0 ) = 1
ξi0 ↑0
ξi0 ↓0
Daher existiert
Z
1
f (x) dg(x) nicht!
−1
Z
1
d) Da nach Teil b) das Integral
f (x) dg(x) = 0 existiert, gilt dies nach Satz A. e)
0
Z 1
auch für
g(x) df (x) und man erhält
0
Z
0
1
1 Z
g(x) df (x) = g(x)f (x) −
0
1
0
f (x) dg(x) = 1 − 0 = 1 .
Lösung zu Aufgabe ??:
a) Wir können in den Teilen i) - iii) dieser Aufgabe Satz A. g) des Anhangs verwenden,
da F, G, H Treppenfunktionen sind. F und H haben jeweils eine Sprungstelle der
Höhe 1 in x=1 bzw. x=−2. G hat die Sprungstellen i mit der Sprunghöhe 2−i (i∈N)
Z
A. g)
i)
x dF (x) = 1 · 1 = 1
R
Z
A. g)
ii)
x dH(x) = −2 · 1 = −2
R
iii)
Z
A. g)
R
x dG(x) =
∞
X
i=1
i·2
−i
=
∞
X
i=1
i·
i
1
2
= lim
n→∞
n
X
i=1
i·
i
1
2
.
Die letzte Summe lässt sich z.B. mit Satz . c) aus Mathematik A berechnen.
Es gilt nämlich für eine arithmetische Folge (ak ) und geometrische Folge (bk ):
n
X
k=1
ak bk = a1 b1 sn ( bb12 ) +
(a2 − a1 )bn
b1
b2 − 1
sn ( bb12 ) − n

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Dies liefert
lim
n→∞
n
X
i=1
i·
i
1
2
= lim
n→∞
h
1
2
·
( 12 )n − 1
1
2 −1
1
2
+ ( )n ·
i
−n = 1+1 = 2
2n − 1
2−1
Alternativ kann hier (für |x| < 1) folgende Gleichung verwendet werden:
∞
X
i=1
i
i·x =x
∞
X
i=1
i−1
i·x
=
∞
X
d
x
dx
xi = x
i=1
d
1
dx 1 − x
=
x
(1 − x)2
iv) Es gilt nach Satz A. d) des Anhangs
Z e
Z e
h
i
1
1 e
1
1 1
dL(x) =
· dx = −
=1−
x
1
b)
i)
ii)
Z
Z
1
x dL(x) = lim
a→0
0
+∞
1
1
x
x
1
Z
x
x
1
x dL(x) = lim
a→0
a
dL(x) = lim
a→∞
Z
a
1
1
x
Z
e
1
1
1
x
x · dx = lim (1 − a) = 1
a
dL(x) = lim
a→∞
Z
a
1
a→0
1
x
·
1
dx
x
= lim
a→∞
h
−
1
x
iii) Nach dem Satz von L’Hospital gilt: lim a ln(a) = 0. Dies liefert
ia
1
=1
a→0
Z
1
ln(x) dx = lim
a→0
0
Z
1
a
h
i1
ln(x) dx = lim x ln(x) − x = −1.
a→0
iv) Zusatzaufgabe:
Z 1
Z
ln(x)dL(x) = lim
a→0
0
a
1
1
ln(x) dx
x
a
= lim
a→0
1
2
h
ln(x)
2
i1
a
= ∞.
Lösung zu Aufgabe ??:
a) Statt zu rechnen, kann man auch die Regel
Z
1
αk dα =
αk+1
k+1
zur Erleichterung verwenden.
b) klar
c) klar
d) Eine Möglichkeit:



 t+2 falls −2 6 t 6 −1
g1 (t) =
1
falls −1 < t < 0 ,


 t2 +1 falls
0 6t6 2




 0 falls −2 6 t 6 −1
g2 (t) =
1 falls −1 < t < 0


 2 falls
0 6t6 2
Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe ??:
a) Die Menge Ωp enthält alle Umweltzustände, die eine positive Eintrittswahrscheinlichkeit besitzen.
b) Zeigen Sie, dass Ωp höchstens abzählbar unendlich ist.
Die zu µ gehörende Verteilungsfunktion F (x) := µ ] − ∞, x] kann daher höchstens abzählbar unendlich viele Unstetigkeitsstellen besitzen.
Hinweis: Man zeige zunächst, dass die Mengen Aℓ = ω∈R |
für jedes ℓ∈N
1
ℓ+1
< µ({ω}) 6
∞
S
nur endlich viele Elemente enthalten und dass Ωp = · Aℓ gilt.
1
ℓ
ℓ=1
Lösung zu Aufgabe ??:
a) Nach Beispiel . i) gilt
Z
+∞
dFZ (t) =
−∞
Z
3.17i)
ϕµ,σ2 (t)dt =
−∞
Substituiert man x :=
Z
+∞
+∞
dFZ (t) =
−∞
1
σ
t−µ
σ
Z
1
σ
Z
+∞
ϕ0,1
−∞
t−µ
σ
dt
⇐⇒ dt = σdx, so folgt
+∞
ϕ0,1 (x)σdx =
−∞
Z
+∞
ϕ0,1 (x) dx = 1
−∞
b) Sei Z eine Nµ,σ2 -verteilte Zufallsvariable und Y := eZ .
i) Da Z die Dichte ϕµ,σ2 besitzt, gilt
Z +∞
E[Z] =
tdFZ (t)
−∞
Z +∞
=
t · ϕµ,σ2 (t)dt
−∞
Z +∞
t−µ
1
t · ϕ0,1 (
=
)dt
σ −∞
σ
Z +∞
x= t−µ
1
σ
(σx + µ) · ϕ0,1 (x)σdx
=
σ −∞
Z +∞
Z +∞
=
x · ϕ0,1 (x) dx + µ
ϕ0,1 (x)dx
{z }
−∞ |
−∞
=
0+µ
Z
ungerade
+∞
ϕ0,1 (x)dx = µ
−∞
1 2
1 2
Alternative Argumentation: − e− 2 x ist Stammfunktion von x · e− 2 x .

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Die Varianz von Z berechnet sich analog.
var(Z)
=
=
=
x= t−µ
σ
=
=
E[(Z − E[Z])2]
Z
+∞
−∞
1
σ
1
σ
Z
Z
(t − µ)2 · ϕµ,σ2 (t)dt
+∞
(t − µ)2 · ϕ0,1 (
−∞
t−µ
)dt
σ
+∞
(σx)2 · ϕ0,1 (x)σdx
−∞
σ2
√
2π
Z
+∞
1 2
x2 · e− 2 x dx
−∞
Mittels partieller Integration folgt
Z
+∞
−∞
2
− 12 x2
x ·e
dx =
Z
+∞
−∞
=
=
h
h
1 2
(|{z}
−x ) · (−x
e− 2 x})dx
| {z
− xe
− 21 x2
− xe
− 21 x2
= 0+
f′
g
√
i+∞
−∞
i+∞
−∞
−
+
Z
+∞
−∞
√
2π
1 2
− e− 2 x dx
Z
+∞
ϕ0,1 (x)dx
−∞
2π
Die letzte Gleichung folgt dabei mittels L’Hospital aus
1 2
lim x e− 2 x =
x→±∞
lim
x→±∞
x
e
1 2
2x
L′ Hospital
=
lim
x→±∞
1
1
x · e2x
2
=0
Damit ergibt sich
var(Z) = σ 2
ii) Verwendet man Bemerkung . iv) für Y = eZ (alternativ Aufgabe ??), ergibt

Derivative Finanzinstrumente
sich
E[e
Z
] =
=
=
=
=
=
Z
SS 
Lösungen der Aufgaben
+∞
ex dFZ (x)
−∞
Z +∞
1 x−µ 2
1
√
e− 2 ( σ ) ex dx
2
2πσ −∞
Z +∞
2
2
2
1
− x −2xµ+µ2 −2σ x
2σ
√
e
dx
2πσ 2 −∞
Z +∞
2 2
2
4
1
− [x−(µ+σ )] 2−2µσ −σ
2σ
√
dx
e
2πσ 2 −∞
Z +∞
2]
2
1
− 12 ( x−[µ+σ
)2 µ+ σ2
σ
√
e
e
dx
2πσ 2 −∞
Z +∞
µ+σ2 /2
e
ϕµ+σ2 ,σ2 (x)dx
= e
−∞
µ+σ2 /2
Wir berechnen die Varianz mit Hilfe der Gleichung var(Y ) = E[Y 2 ] − E[Y ]2 .
Z +∞
2
2Z
E[Y ] = E[e ] =
e2x dFZ (x)
−∞
Z +∞
x=ln(t)
=
e2x ·ϕµ,σ2 (x)dx
−∞
Z +∞
2 2
2
4
1
− [x−(µ+2σ )] 2−4µσ −4σ
2σ
√
e
dx
=
2πσ 2 −∞
Z +∞
x−[µ+2σ 2 ] 2
1
) 2µ+2σ2
− 12 (
σ
√
=
e
dx
e
2
2πσ −∞
Z +∞
2µ+2σ2
=
e
ϕµ+2σ2 ,σ2 (x)dx
=
e
2µ+2σ2
−∞
Damit folgt schließlich
var(Y ) =
E[Y 2 ] − E[Y ]2
2µ+2σ2
µ+σ2 /2
− e
2
2
= e2µ+σ e(σ ) −1
= e
2
c) Es gilt Z = g(Z) mit g(t) = αt + β. Für α = 0 ist Z ≡ β deterministisch (E-wert =
Funktionswert β, Varianz = 0). Damit ist die Behauptung trivialerweise erfüllt.
Für α > 0 (⇒ g ist monoton wachsend) lautet die Verteilungsfunktion von Z:
Fα·Z+β (x) = P({ω | α · Z(ω) + β 6 x})
= P({ω | Z(ω) 6
= FZ (
x−β
)
α
x−β
})
α

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Ist α < 0 (⇒ g ist monoton fallend), so zeigt die analoge Rechnung
Fα·Z+β (x)
=
P({ω | α · Z(ω) + β 6 x})
=
P({ω | Z(ω) >
FZ stetig
=
P({ω | Z(ω) >
=
1 − FZ (
x−β
)
α
x−β
})
α
x−β
})
α
Verwendet man die Gleichung (siehe Beispiel . i))
ϕµ,σ2 (t) =
1
σ
ϕ0,1
t−µ
σ
,
so ergibt sich für FZ die Dichte
fZ (x) =
d
FZ (x)
dx
=
=
=
=



x−β
d
FZ (
)
falls
dx
α

 d 1 − FZ ( x − β ) falls
α
 dx
x
−
β
1

falls α
ϕµ,σ2

α
α

 − 1 ϕµ,σ2 x − β
falls α
α
α
1
x−β
ϕ 2
|α| µ,σ
α
x−β − µ α
1
ϕ0,1
σ|α|
1
p
2π(ασ)2
=
σ
e
− 12 ( x−(β+αµ)
)2
ασ
= ϕβ+αµ,α2 σ2 (x)
Also ist Z eine N (αµ + β, α2σ 2 )-verteilte Zufallsvariable.
d) Sei Y := eZ . Dann gilt für die Verteilungsfunktion von Y :
FY (x) = P({Y 6 x})
(
=

0
falls x 6 0
P({ln(Y ) 6 ln(x)}) falls x > 0
=
(
=
(
0
falls x 6 0
P({Z 6 ln(x)}) falls x > 0
0
falls x 6 0
Nµ,σ2 (ln(x)) falls x > 0
α>0
α<0
>0
<0
Derivative Finanzinstrumente
SS 
Es bleibt zu zeigen, dass FY auf ganz
FY (x) =
(
=
(
Lösungen der Aufgaben
R differenzierbar ist. Kritisch ist nur x = 0.
0
falls x < 0
d
N 2 (ln(x))
dx µ,σ
falls x > 0
0
falls x < 0
1
ϕ 2 (ln(x))
x µ,σ
falls x > 0
Es bleibt die Differenzierbarkeit von FY in x = 0 zu zeigen. Wir beweisen FY′ (0) = 0.
Da für x 6 0
FY (x) − FY (0)
x−0
=0
gilt, bleibt nur
lim
x↓0
FY (x) − FY (0)
x−0
= lim
x↓0
Nµ,σ2 (ln(x))
x
= 0,
zu zeigen. Wegen lim Nµ,σ2 (ln(x)) = lim Nµ,σ2 (z) = 0 kann L’Hospital angewendet
z→−∞
x↓0
werden und man erhält:
lim
x↓0
Nµ,σ2 (ln(x))
x
Ersetzt man nun
lim
x↓0
1
x
1
x
= lim √
x↓0
1
2πσ 2
e−
(ln(x)−µ)2
2σ 2
durch e− ln(x) , ergibt sich
Nµ,σ2 (ln(x))
x
=√
1
2πσ 2
lim e−
x↓0
(ln(x)−µ)2
−ln(x)
2σ 2
=√
1
2πσ 2
lim e−
(z−µ)2
+z
2σ 2
z→−∞
=0
und damit die Behauptung.
Bemerkung: Allgemeiner gilt der folgende Dichte-Transformationssatz. Ist Z eine
Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion FZ , Dichte fZ und g : R →]a, b[ invertierbar,
so gilt für die ZV Y := g(Z), wenn g mowa ist
FY (z) = P{g(Z) 6 z} =
=














falls
1
b6z
P{Z 6 g (z)} falls a 6 z 6 b
−1
falls
0
1
falls
z6a
b6z
FZ (g −1(z)) falls a 6 z 6 b
0
falls
z6a

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Damit hat Y die Dichtefunktion
FY′ (z)
=
=














falls
0
b6z
fZ (g (z)) · (g ) (z) falls a 6 z 6 b
−1
−1 ′
falls
0
falls
0
fZ (g −1 (z))
g ′ (g −1 (z))
b6z
falls a 6 z 6 b
falls
0
z6a
z6a
Ist g mofa ergibt sich wegen
P{g(Z) 6 z} = P{Z > g −1 (z)} = P{Z > g −1 (z)} = 1 − P{Z 6 g −1(z)}
entsprechend die Verteilungsfunktion 1 − FZ (g −1(z)) mit entsprechend negativem
Vorzeichen in der Ableitung.
Lösung zu Aufgabe ??:
a)
i) klar!
ii) Für x60 gilt {Y 6x} = ∅ und daher FY (x) = 0.
Für x>1 gilt {Y 6x} = Ω und daher FY (x) = 1.
Für 0<x<1 gilt
FY (x) = P {Y 6x}
= P {1 − e−c·Z 6 x}
n
o
ln(1−x)
= P
Z6−
c
ln(1−x)
Θ·
c
= 1−e
Θ
= 1 − (1−x) c
Für c = Θ ergibt sich FY (x) = x also eine Gleichverteilung!
Z ∞
h
it=∞ Z ∞
part.Int.
1
−Θ·t
−Θ·t
+
e−Θ·t dt =
iii) E[Z] = Θ·
t· e
dt =
− t· e
t=0
0
Analog liefert zweimalige partielle Integration
var[Z] =
1
Θ2
Beachte: Die Werte existieren nur für Θ > 0!

0
Θ
Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
iv) Die Aussage bedeutet, dass eine exponentialverteilte Zufallsvariable Z gedächtnislos ist.
P(Z6s+t | Z>s) =
=
=
=
P({Z6s+t} ∩ {Z>s})
P({Z>s})
P({s<Z6s+t})
1 − FZ (s)
FZ (s+t) − FZ (s)
1 − FZ (s)
1− e−Θ·(s+t) −1+ e−Θ·s
e−Θ·s
= 1− e−Θ·t
= FZ (t) = P(Z6t)
b), c) Für Zufallsvariablen Z1 , Z2 , die ganzzahlige Werte annehmen, gilt:
P {Z1 +Z2 = k}
= P
[
k
·
ℓ=0
=
k
X
ℓ=0
=
=
k
X
ℓ=0
k
X
ℓ=0
{Z1 =ℓ ∧ Z2 =k−ℓ}
P {Z1 =ℓ ∧ Z2 =k−ℓ}
P {Z1 =ℓ} ∩ {Z2 =k−ℓ}
P {Z1 =ℓ} · P {Z2 =k−ℓ}
Sind die Zi Poissonverteilt folgt weiter:
P {Z1 +Z2 = k}
=
k
X
ℓ=0
=
k
X
ℓ=0
P {Z1 =ℓ} · P {Z2 =k−ℓ}
e−λ1 ·
λℓ1
ℓ!
= e−(λ1 +λ2 ) ·
= e
−(λ1 +λ2 )
·
= e−(λ1 +λ2 ) ·
· e−λ2 ·
k
X
ℓ=0
k
X
ℓ=0
λk−ℓ
2
(k−ℓ)!
1
·λℓ ·λk−ℓ
ℓ!(k−ℓ)! 1 2
1 k
·
·λℓ1 ·λk−ℓ
2
k! ℓ
(λ1 +λ2 )k
k!

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Sind die Zi binomialverteilt folgt:
P {Z1 +Z2 = k}
k
X
=
P {Z1 =ℓ} · P {Z2 =k−ℓ}
ℓ=0
k X
=
n1
ℓ
ℓ=0
k
= p ·(1−p)
n1 +n2 −k
k X
n2
n1
·
·
k=0
k· e−λ ·
λk
k!
= λ· e−λ
∞
X
λk−1
(k−1)!
|k=1 {z
eλ
{z n1 +n2
k
Ist Z Poissonverteilt mit Parameter λ folgt
∞
X
k−ℓ
ℓ
ℓ=0
|
E[Z] =
n2
·pk−ℓ ·(1−p)n2 −k+ℓ
k−ℓ
·pℓ ·(1−p)n1 −ℓ ·
}
= λ
}
Zur Berechnung der Varianz verwenden wir var[Z] = E[Z 2 ] − E[Z]2 . Es gilt
E[Z 2]
=
∞
X
k 2 · e−λ ·
k=0
−λ
= λ· e
∞
X
k·
k=1
= λ· e−λ
∞
X
λk
k!
λk−1
(k−1)!
(k+1)·
k=0
λk
k!
∞
∞
hX
i
X
k
λk
−λ λ
−λ
= λ·
k· e · + e ·
k=1
2
|
k!
{z
E
= [Z]=λ
= λ +λ =
}
E[Z]
2
k=1
k!
| {z }
+ E[Z]
=eλ
Also gilt var[Z] = E[Z 2 ] − E[Z]2 = λ.
Lösung zu Aufgabe ??:
a) Verwendet man Bemerkung . v) der Vorlesung, gilt
E[g(X)] =
Z
R
g(t)dFX (t)
i) Es gilt U = g(X), mit g(t) = α · t + β. Damit ergibt sich

Derivative Finanzinstrumente
E[U]
SS 
Lösungen der Aufgaben
Z
(α · t + β)dFX (t)
Z
tdFX (t) + β
1dFX (t)
= α·
=
RZ
R
R
= α · E[X] + β
Analog folgt aus U 2 = f (X) mit f (t) = (α · t + β)2 = α2 t2 + 2αβt + β 2
E[U 2 ] = α2 · E[X 2] + 2αβ E[X] + β 2
Damit ergibt sich für die Varianz von U:
var(U) =
=
=
E[U 2 ] − E[U]2
α2 · E[X 2 ] + 2αβ E[X] + β 2 − (α · E[X] + β)2
α2 · (E[X 2 ] − E[X]2 )
= α2 · var(X)
ii) Es kann Teil ??) mit α = 1 und β = −E[X] angewendet werden. Man erhält
E[V ] = 0,
var(V ) = var(X)
iii) Nach Definition von W =
β=−
−E[X]
s(X)
X − E[X]
s(X)
=
V
s(X)
kann Teil ??) mit α =
1
s(X)
und
angewendet werden. Man erhält
E[W ] = 0,
var(W ) = 1
b) Es gilt nach Definition der Korrelation
corr(X1 , X2 )2 =
2
cov(X1 , X2 )
s(X1 )2 s(X2 )2
=
E (X1 − E[X1 ])(X2 − E[X2 ])
h i2
var(X1 ) var(X2 )
Verwendet man Vi := Xi − E[Xi ], so gilt nach Teil ??)
var(Xi ) = var(Vi ) = E[Vi2 ]
und man erhält
corr(X1 , X2 )
2
=
E[V1 · V2 ]
h
i2
var(V1 ) var(V2 )
=
E[V1 · V2 ]2
E[V12 ]E[V22 ]
Cauchy−
Schwarz
6
1
Bemerkung: Der Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen mit der Norm
Z
21
kf k :=
f 2 (ω)d P(ω)
Ω

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
ist ein Hilbert-Raum, wobei das Skalarprodukt gegeben ist durch
Z
hf, gi :=
f (ω)g(ω)d P(ω) =: f ∗ g
Ω
Für Skalarprodukte gilt bekanntlich die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
|f ∗ g| 6 kf k · kgk ⇐⇒ |f ∗ g|2 6 kf k2 · kgk2 ,
ausgeschrieben also
2 Z
Z
Z
2
2
f · gd P 6
g dP ,
f dP ·
Ω
Ω
Ω
bzw.
E[f · g]
2
6 E[f 2 ] · E[g 2 ]
=
" N
X
c) Nach Definition der Varianz gilt
" N
#
N
N
hX
X
i2
X
var
Xi − E
Xi
Xi = E
i=1
i=1
=
E
E
i=1
" N
X
i=1
=
E
i=1
" N
X
i=1
Xi −
N
X
E[Xi]
i=1
(Xi − E[Xi ])
2 #
2 #
N X
Xj − E[Xj ]
Xi − E[Xi ] ·
j=1
#


N
N
2 X X

= E
Xi − E[Xi ] +
Xi − E[Xi ] · Xj − E[Xj ] 
i=1
=
E
" N
X
i=1
=
N
X
i=1
=
N
X
i=1
i,j=1
i6=j
Xi − E[Xi ]
2
#


+ E
N
X
i,j=1
i6=j


Xi − E[Xi ] · Xj − E[Xj ] 
N
h
2 X
i
E Xi − E[Xi] + E Xi − E[Xi] · Xj − E[Xj ]
i,j=1
i6=j
var(Xi ) +
N
X
cov(Xi , Xj )
i,j=1
i6=j
d) Sind die Xi unabhängig, so gilt dies auch für die (Xi − E[Xi ]). Daraus folgt für i 6= j
i
h
E Xi − E[Xi] · Xj − E[Xj ]
cov(Xi , Xj )
=
h
i
h
i
unabh.
=
E Xi − E[Xi] · E Xj − E[Xj ]

Derivative Finanzinstrumente
E
Da nach Teil ??) aber
cov(Xi , Xj ) = 0 ,
h
SS 
Lösungen der Aufgaben
i
Xℓ − E[Xℓ ] = 0 gilt, folgt für i 6= j
woraus mit Teil ??) folgt:
var
N
X
Xi =
i=1
N
X
var(Xi ) +
i=1
N
X
cov(Xi , Xj ) =
i,j=1
i6=j
N
X
var(Xi )
i=1
Lösung zu Aufgabe ??:
a) Die von den Ereignissen A und B erzeugten σ-Algebren sind
σ(A) = {∅, Ω, A, Ā}
σ(B) = {∅, Ω, B, B̄}
Sind diese unabhängig, so sind insbesondere die Elemente A und B unabhängig.
Sind umgekehrt die Ereignisse A und B unabhängig, d.h. P(A∩B)= P(A)· P(B), ist
P(MA ∩ MB ) = P(MA ) · P(MB )
für alle MA ∈ σ(A) und MB ∈ σ(B) zu prüfen. Die einzigen nicht trivialen Fälle
sind dabei MA = Ā, MB = B bzw. der symmetrische Fall MA = A, MB = B̄. Nach
Gleichung (??) in Aufgabe ?? gilt aber
P(Ā ∩ B)
b)
(??)
=
P(B) − P(A ∩ B)
=
P(B) − P(A) · P(B)
=
(1 − P(A)) · P(B)
=
P(Ā) · P(B)
i) X1 und X1 ·X2 sind unabhängig (analog: X2 und X1 ·X2 )
P {X1 =±1} ∩ {X1 X2 =1}
=
P {X1 =±1} ∩ {X2 =±1}
X1 ,X2 unab.
=
P {X1 =±1} · P {X2 =±1}
P {X1 =±1} ∩ {X1 X2 =−1}
=
P {X1 =±1} ∩ {X2 =∓1}
X1 ,X2 unab.
=
P {X1 =±1} · P {X2 =∓1}
ii) X1 , X2 und X1 ·X2 sind abhängig, denn es gilt
P {X1 =1} ∩ {X2 =1} ∩ {X1 X2 =−1} = P ∅ = 0
jedoch
1 1 1
P {X1 =1} · P {X2 =1} · P {X1 X2 =−1} = · · 6= 0
2 2 2

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
c) Die Funktion
f (x) := E (Z − x)2 = E[Z 2 ] − 2x·E[Z] + x2
nimmt ihr Minimum offensichtlich in x = E[Z] an. Es gilt also
E
i
h
h
i
Z − E[Z]2 = min E |Z − x|2
R
x∈
Die bedingte Erwartung einer ZV Z ist die I-messbare ZV
E[Z|I] mit der Eigen-
schaft
E
i
h
h
i
Z − E[Z|I]2 = min E |Z − X|2
X
I-messbar
Liegt also keine Information vor, d.h. gilt I = {∅, Ω}, gilt insbesondere
E[Z|{∅, Ω}] = E[Z]
Lösung zu Aufgabe ??:
Vorbemerkung:
Die Hexanomialkoeffizienten könnenmit den Multinomialkoeffizienten
implizit berechnet
n
n1 , n2 , . . . , n6
werden. Der Multinomialkoeffizient
beschreibt die Zahl der Möglichkeiten
bei n Würfen genau ni -mal die Zahl i zu werfen (i = 1, . . . , 6 und n1 + · · · + n6 = n).
Bekanntlich ist
n
n1 , n2 , . . . , n6
=
n!
.
n1 ! · n2 ! · · · · n6 !
Damit folgt eine implizite Darstellung der H(n, a):
X
H(n, a) =
n1 +···+n6 =n
1·n1 +2·n2 +···+6·n6 =a
n
n1 , n2 , . . . , n6
Folgende Tabelle gibt einen Teil der Hexanomialkoeffizienten in einer Dreiecksform an, die
die rekursive Struktur der Koeffizienten (analog zum Pascalschen Dreieck) erkennen lässt.
Zahl der Möglichkeiten, bei n Würfen die Augensumme a zu erhalten. Notation H(n, a)
n
Augensumme a −→
↓
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
1
3
6
10
15
21
25
27
27
25
21
15
10
6
3
1
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
1
4
10
20
35
56
80
104
125
140
146
140
125
104
80
56
35
20
10
4
1
a)
i) H(1, a) = 1 für 1 6 a 6 6 ist klar, da es bei einem Wurf für jede mögliche
Augenzahl zwischen 1 und 6 nur eine Möglichkeit gibt.

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
ii) Die Augensumme a in n+1 Würfen wird dadurch erzielt, dass in n Würfen die
Summe a−j und im letzten Wurf j gewürfelt wird. Da für j die Zahlen 1 bis
6 zur Verfügung stehen, gibt es 6 Möglichkeiten, in n+1 Würfen die Summe a
zu erhalten. Dies liefert die rekursive Definition der Hexanomialkoeffizienten
H(n+1, a) :=
6
X
()
H(n, a−j)
j=1
iii) H(k, a) = 0 in den Fällen a < k oder 6k < a ist ebenfalls klar, da bei k Würfen
mindestens k und maximal 6k gewürfelt wird.
iv) Für n = 1 folgt dies nach Definition aus H(1, a) = 1 für a = 1, . . . , 6.
Gelte die Behauptung für eine natürliche Zahl m. Dann folgt aus der rekursiven
Definition und wegen H(m, k) = 0 für k > 6m:
6·(m+1)
X
H(m+1, a)
H(m+1,m)=0
=
a=m+1
6m+6
X
H(m+1, a)
a=m
ii)
=
6m+6
6
XX
H(m, a−j)
a=m j=1
=
6 6m+6
X
X
H(m, a−j)
j=1 a=m
=
6 6m+6
X
X
j=1 a=m+j
ℓ:=a−j
=
6 6m+6−j
X
X
j=1
=
:=ℓ
z}|{
H(m, a−j)
H(m, ℓ)
ℓ=m
6 X
6m
X
H(m, ℓ)
j=1 ℓ=m
Ind.Vor.
=
6
X
6m = 6m+1
j=1
v) Für n = 1 folgt dies wiederum nach Definition aus H(1, a) = 1 für a = 1, . . . , 6.
Gelte die Behauptung für eine natürliche Zahl m. Dann folgt aus der rekursiven

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Definition der Hexanomialkoeffizienten:
6
X
(??)
H(m+1, a)
=
H(m, a−j)
j=1
6
X
I.V
=
H(m, 7m−a+j)
j=1
6
X
j=7−k
=
k=1
6
X
=
H(m, 7m−a+(7−k))
H(m, 7m+7−a−k)
k=1
(??)
=
H(m+1, 7m+7−a)
=
b)
i)
ii)
k−1
k
+
n
n
m X
ℓ
ℓ=0
k
=
=
k
n+1
m+1
k+1
H(m+1, 7(m+1)−a)
(Induktion nach m unter Verwendung von Eigenschaft ??).)
iii) Wir benötigen Aussage ??) in folgender Form
6 X
b−j
r
j=1
=
b
r+1
−
b−6
r+1
()
Diese ergibt sich aus der folgenden einfachen Überlegung
6 X
b−j
r
j=1
=
b−1 X
j
r
j=b−6
=
b−1 X
j
j=0
??)
=
r
−
b−7 X
j
j=0
r
b
b−6
−
r+1
r+1
Wir definieren
n
a
n X
a−1−6ℓ
n
:=
·
· (−1)ℓ
ℓ=0
n−1
ℓ
und beweisen mittels vollständiger Induktion nach n, dass

n
a
= H(n, a) für alle n
Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
gilt. O.B.d.A. kann a > 1 angenommen werden. Zunächst gilt
1
a
=
=
a−1
a−7
−
0
0
(
1 − 0 für a = 1, . . . , 6
1 − 1 für a = 7, 8, . . .
= H(1, a)
Es bleibt die rekursive Eigenschaft (??) zu überprüfen.
6 X
n
j=1
a−j
=
=
(??)
=
n 6 X
X
a−j−1−6ℓ
n
·
· (−1)ℓ
j=1 ℓ=0
n X
ℓ=0
n X
ℓ=0
=
=
ℓ
b
· (−1)ℓ ·
n
· (−1)ℓ
ℓ
·
6 z }| {
X
a−1−6ℓ −j
j=1
n−1
h
i
a−1−6ℓ
a−7−6ℓ
−
n
n
n n X
X
n
a−1−6ℓ
n
a−7−6ℓ
ℓ
·
· (−1) +
·
· (−1)ℓ+1
ℓ=0
n X
ℓ=0
=
n
ℓ
n−1
ℓ
n
n
a−1−6ℓ
·
· (−1)ℓ
ℓ
n
+
ℓ=0
n+1
X
ℓ=1
ℓ
n
n
ℓ−1
a−1−6ℓ
·
· (−1)ℓ
n
n h i
X
n
n
a−1−6ℓ
a−1
+
(−1)ℓ
+
ℓ
ℓ−1
n
n
ℓ=1
??)
=
n X
a−1
n+1 a−1−6ℓ
+
(−1)ℓ
n
ℓ
n
ℓ=1
=
n+1 X
ℓ=0
n+1
a−1−6ℓ
·
· (−1)ℓ
ℓ
n
=
+
n a−1−6(n+1)
+
(−1)n+1
n
n
n+1 a−1−6(n+1)
(−1)n+1
n+1
n
n+1
a
c) Bezeichnen wir wie vorher mit H(n, a) die Zahl der Möglichkeiten, bei n Würfen die
Summe a zu erhalten, so lautet die Verteilungsfunktion für einen fairen Würfel
X H(n, a)
H(n, a)
(x)
=
P
({S
6
x})
=
bzw.
F
.
P ({Sn = a}) =
n
Sn
n
n
6
a6x
6
Da Sn nur ganzzahlige Werte annehmen kann, gilt außerdem
P ({Sn < x}) = FSn (⌈x − 1⌉)
d)
i) Nach Definition der Verteilungsfunktion und aus Teil ??) folgt:
P({a < S3 < b}) = P({S3 < b} \ {S3 6 a}) = F3 (⌈b − 1⌉) − F3 (a)
P({a 6 S3 < b}) = P({S3 < b} \ {S3 < a}) = F3 (⌈b − 1⌉) − F3 (⌈a − 1⌉)

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Die wesentlichen Werte von F3 sind (beachte die anschließende Graphik)
x
F3 (x)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
0
1
216
1
54
5
108
5
54
35
216
7
27
3
8
1
2
5
8
20
27
181
216
49
54
103
108
53
54
215
216
1
Damit folgt
1
54
P({−10.000 6 S3 < 5}) = F3 (4) =
, P({−10.000 6 S3 6 5}) =
P({−10.000 6 S3 < 2}) = F3 (1) = 0
P({15 6 S3 }) = 1 − F3 (14) = 1 −
49
54
=
, P({−10.000 6 S3 6 2}) = 0
5
54
,
F3 (x)
1
210
216
200
216
190
216
180
216
= F∞ (x) = lim Fn (x)
n→∞
170
216
160
216
150
216
140
216
130
216
120
216
110
216
100
216
90
216
80
216
70
216
60
216
50
216
40
216
30
216
20
216
10
216
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
x
18
ii) Prinzipiell gilt
E[f (S3)] =

Z
+∞
f (x)dF3 (x) =
−∞
18
X
i=3
5
108
f (i) · ∆F3 (i) =
18
X
i=3
f (i) ·
H(3, i)
63
Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Damit ergibt sich
Z
Z
xdF3 (x) =
−∞
+∞
−∞
+∞
21
2
(x − E[S3 ))2 dF3 (x) =
= var(S3 )
4
Z +∞
2
e(−x ) dF3 (x) = 0.5729050600 · 10−6
35
−∞
Lösung zu Aufgabe ??:
Gelte zunächst
∀I-messbaren X :
Z
XZ0 d P =
Ω
Z
()
XZd P
Ω
für eine I-messbare ZV Z0 . Wählt man nun speziell X =
A,
so erfüllt Z0 beide Eigen-
schaften der bedingten Erwartung (siehe Satz . der Vorlesung).
Umgekehrt hat nach Gleichung .) aus Satz . die bedingte Erwartung die Eigenschaft
Z
Z
Z
Z
.) Satz .
E[Z|I]d P =
Zd P =
A · E[Z|I]d P =
A · Zd P
Ω
A
A
Ω
Die Linearität des Integrals liefert daher für alle I-messbaren Treppenfunktionen T
Z
Z
T · Zd P .
T · E[Z|I]d P =
Ω
()
Ω
Ist nun X > 0 eine beliebige I-messbare ZV, so existiert eine Folge I-messbarer Treppenfunktionen (Tn )n∈N mit
lim Tn = X
n→∞
und aus den Grenzwerteigenschaften des Integrals folgt
Z
Z
X · E[Z|I]d P =
lim Tn · E[Z|I]d P
Ω
Ω n→∞
Z
= lim
Tn · E[Z|I]d P
n→∞ Ω
Z
(??)
= lim
Tn · Zd P
n→∞ Ω
Z
=
lim Tn · Zd P
n→∞
ZΩ
=
X · Zd P
Ω

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe ??:
Nach Definition aus Satz . ist die bedingte Erwartung einer ZV X unter der Information
I, die (bis auf das Maß 0) eindeutig bestimmte I-messbare ZV
Z
Z
E[X|I](ω)d P(ω) = X(ω)d P(ω)
∀A ∈ I :
E[X|I] mit
()
A
A
a) Aufgrund der Linearität des Integrals gilt für alle A ∈ I:
Z Z
Z
α · Z1 + β · Z2 (ω)d P = α ·
Z1 (ω)d P(ω) + β ·
Z2 (ω)d P(ω)
A
A
A
Aus Gleichung (??) ergibt sich dann weiter
Z Z
Z
Linear.
α · Z1 + β · Z2 (ω)d P
=
α·
Z1 (ω)d P(ω) + β ·
Z2 (ω)d P(ω)
A
A
A
Z
Z
(??)
=
α·
E[Z1|I](ω)d P(ω) + β · E[Z2|I](ω)d P(ω)
A
Z A
Linear.
=
α · E[Z1 |I] + β · E[Z2 |I] (ω)d P(ω)
A
Damit hat die ZV α · E[Z1 |I] + β · E[Z2 |I] für alle A ∈ I das gleiche Integral wie
α · Z1 + β · Z2 . Da diese als Summe I-messbarer ZVen ebenfalls I-messbar ist, muss
sie gleich der bedingten Erwartung von α · Z1 + β · Z2 sein.
b) Sei M eine beliebige I-messbare ZV. Dann ist auch M · X eine I-messbare ZV und
nach Eigenschaft (??) der bedingten Erwartung folgt
Z
Z
(??)
(M · X) · E[Z|I]d P =
(M · X)Zd P
Ω
Ω
Eine andere Klammerung
Z
Z
M · (XZ)d P
M · (X E[Z|I])d P =
Ω
Ω
zeigt, dass X E[Z|I] der in Teil ??) hergeleiteten Eigenschaft (??) der bedingten
Erwartung für XZ genügt, d.h. es ist X E[Z|I] = E[XZ|I].
c) Sei A ∈ H beliebig. Dann gilt wegen H ⊂ I auch A ∈ I, woraus sich aus der
Definition der bedingten Erwartung gemäß Satz . ergibt:
Z
Z
A∈I
E[Z|I]d P = Zd P
A
A
Bemerkung:
Wegen H ⊂ I gilt nach Aufgabe ??, dass jede H-messbare Funktion automatisch
I-messbar ist. Da E[Z|H] damit auch I-messbar ist, gilt damit insbesondere
i
h
E E[Z|H] I = E[Z|H] .

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
d) Wir verwenden Satz . der Vorlesung. Dieser besagt, dass für P-unabhängige ZVen
X1 , X2 gilt:
EP[X1 · X2] = EP[X1 ] · EP[X2 ]
⇐⇒
Z
Ω
X1 · X2 d P =
Z
Ω
Z
X1 d P ·
X2 d P
Ω
Ist nun M eine beliebige I-messbare ZV, so sind wegen der vorausgesetzten Unabhängigkeit von I und Z die ZV M und Z unabhängig. Damit folgt
Z
Z
M · E[Z]d P = E[Z] · Md P
ΩZ
Ω
Z
=
Zd P · Md P
Ω
Ω
Z
=
M · Zd P
Ω
Damit genügt
E[Z] der Bedingung der bedingten Wahrscheinlichkeit aus Teil ??).
(Alternativ kann hier wieder mit Indikatorfunktionen gearbeitet werden.)
e) Es gilt
E[(X−Y )2 ]
=
=
=
E E[(X−Y )2 |X]
E E[X 2 − 2XY + Y 2 |X]
E[X 2 − 2X 2 + X 2] = 0
Lösung zu Aufgabe ??:
a) Bezeichnet Zk das Ergebnis des k-ten Spiels, so gilt nach Spielvoraussetzung
P({Zk = 1}) = P({Zk = −1}) =
Xn =
n
X
1
2
und es gilt
Zk .
k=1
Damit ergibt sich
n
n
i X
hX
E[Xn] = E Zk = E[Zk ] = 0 .
k=1
k=1
Aus der Unabhängigkeit und Gleichverteilung der Zk folgt
var(Xn ) =
n
X
k=1
b)
var(Zk ) = n · var(Z1 ) = n · 1 = n
i) Die möglichen Spielerträge sind
ℓ · (−1) + (n − ℓ) · (+1) = n − 2ℓ
(ℓ = 0, . . . , n)
also die n + 1 Werte n, n − 2, . . . , −n.

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
ii) Die Anzahl der verschiedenen Spielverläufe ist 2n .
c)
i) Da Xn bei einer ungeraden Zahl n von Würfen den Wert 0 nicht annehmen
kann, gilt P({Xn = 0}) = 0.
ii) Nach  Würfen sind die Erträge 8, 6, 4, 2, 0, −2, −4, −6, −8 möglich (siehe Teil
??)). Nur die Werte 8 und 6 haben die gesuchte Eigenschaft X8 > 5. Für
das
8
Ergebnis 8 gibt es nur eine Möglichkeit, für das Ergebnis 6 gibt es
Mög7
lichkeiten (-mal „aufwärts“, -mal „abwärts“). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit
ist daher
P({X8 > 5}) =
1
8
1
· ( )8 ( )0
8
2
2
8 1 7 1 1
+
( )( )
2
7 2
=
9
28
iii) Wir verwenden, dass Xn binomialverteilt ist, mit Erwartungswert 0 und Varianz n. Für große n konvergiert die Binomialverteilung gegen die Normalverteilung mit den gleichen Parametern, also N0,n (siehe Skript . v)).
P({X100 > −10}) = 1 − P({X100 < −10})
−10 − 0
)
100
≈ 1−N ( √
= 1 − N (−1)
= 1 − (1 − N (1)) = N (1)
d)
i) Aufgrund der Unabhängigkeit der Zk gilt
Verteilung
P
n
Zk = Verteilung
k=m
n−m+1
P
k=1
Zk = Verteilung(Xn−m+1 ).
Mit der Darstellung
X14 = X6 +
14
X
Zk
k=7
folgt
P({X14 > 7 | X6 = 2}) = P({X6 +
= P({
14
P
14
P
k=7
Zk > 7 | X6 = 2})
Zk > 5})
k=7
= P({X8 > 5})

Teil ??)
=
9
28
Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
ii) Ganz offensichtlich gilt (einfacher mit Markoff-Eigenschaft, siehe Aufgabe ??)
P({X17 > 6 | X9 = 1; X6 = 2})
=
P({1 +
17
P
k=10
=
unabh.
=
P({
P({
17
P
k=10
17
P
Zk > 6 | X6 = 2})
Zk > 5 | X6 = 2})
Zk > 5})
k=10
=
P({X8 > 5})
Teil ??)
=
9
28
iii) Für alle n > 6 gilt (Martingaleigenschaft!):
n
E[Xn | X6 = 2] = E[X6 + P Zk | X6 = 2]
k=7
=
E[2 +
= 2+
n
P
n
P
k=7
Lösung zu Aufgabe ??:
Zk ]
k=7
E[Zk ]
= 2
a) Klar
b) Etwas trickreich ist die Simulation mittels Münzwurf im Fall p 6=
dabei von einer fairen Münze aus.
i) Um p =
1
3
1
.
2
Wir gehen
zu erreichen, werfen wir die Münze (mindestens) zweimal und legen
folgendes fest
→ zweimaligen Münzwurf wiederholen
KK
KZ, ZK →
d
→
ZZ
u
Die Eintrittswahrscheinlichkeit für u ist dann (Beachte, dass mit Wahrscheinlichkeit 0 der Münzwurf unendlich oft durchgeführt werden muss!):
p(u) =
∞
P
1
( )k =
k=1
ii) Um p =
1
7
4
1
4
1−
1
4
=
1
3
zu erreichen, werfen wir die Münze (mindestens) dreimal und legen
folgendes fest
KKK
→ dreimaligen Münzwurf wiederholen
KKZ, KZK, KZZ, ZKK, ZKZ, ZZK →
ZZZ
→
d
u

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Die Eintrittswahrscheinlichkeit für u ist dann (Beachte, dass mit Wahrscheinlichkeit 0 der Münzwurf unendlich oft durchgeführt werden muss!):
p(u) =
∞
P
1
( )k =
8
k=1
iii) Um p =
1
6
1
8
1−
1
8
=
1
7
zu erreichen, werfen wir die Münze (mindestens) dreimal und legen
folgendes fest
→ dreimaligen Münzwurf wiederholen
KKK, KKZ
KZK, KZZ, ZKK, ZKZ, ZZK →
d
→
ZZZ
u
Die Eintrittswahrscheinlichkeit für u ist dann (Beachte, dass mit Wahrscheinlichkeit 0 der Münzwurf unendlich oft durchgeführt werden muss!):
p(u) =
∞
P
1 1 k
1 1
( ) =
k=0
8 4
81−
1
4
=
1
6
Lösung zu Aufgabe ??:
Gegeben sind die ZVen Xi : Ωi → {1, . . . , 6} für i ∈ N und Sn :=
n
P
Xi . Der Einfachheit
halber liege ein fairer Würfel vor, d.h. für alle i ∈ N und k = 1, . . . , 6 gelte
P({Xi = k} =
i=1
1
6
Frage: Welche Ergebnisse verändern sich, falls kein fairer Würfel vorliegt?
a)
i) Die Xi sind offenbar stochastisch unabhängig.
ii) Die Folge (Sn )∞
n=1 ist nicht stochastisch unabhängig, da noch nicht einmal die
paarweise Unabhängigkeit erfüllt ist. Z.B. gilt
P({S2 = 2 | S1 = 2}) = 0 6= P({S2 = 2}) =
1
36
b) Alle Xi haben die gleiche Verteilung und damit die gleichen Erwartungswerte und
Varianz.
E[Xi]
=
E[Xi2]
=
var(Xi ) =

1
6
1
6
6
P
k=1
6
P
k=1
k =
k2 =
7
2
91
6
E[Xi2] − E[Xi]2
=
35
12
Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Für die Sn gilt
E[Sn]
E[ P Xi]
n
=
i=1
n
P
var(Sn ) = var(
=
Xi )
n
P
i=1
E[Xi]
Xi unabh.
=
i=1
n
P
i=1
= n·
7
2
35
12
var(Xi ) = n ·
c) (Zt )t∈N heißt Markoffprozess, wenn für t1 < t2 < · · · < tn < tn+1 und Ereignisse
B1 , . . . , Bn+1 ∈ A gilt:
P(Ztn+1 ∈Bn+1 | Ztn ∈Bn , . . . , Zt1 ∈B1 ) = P(Ztn+1 ∈Bn+1 | Ztn ∈Bn )
Voraussetzung bei dieser Definition ist natürlich, dass gilt:
P(Ztn ∈Bn , . . . , Zt1 ∈B1 ) 6= 0 .
Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ist dies äquivalent zu
P(Ztn+1 ∈Bn+1 ∧ Ztn ∈Bn ∧ · · · ∧ Zt1 ∈B1 )
P(Ztn ∈Bn ∧ · · · ∧ Zt1 ∈B1 )
=
P(Ztn+1 ∈Bn+1 ∧ Ztn ∈Bn )
P(Ztn ∈Bn )
()
i) Aufgrund der Unabhängigkeit der Xi gilt
P(Xtn+1 ∈Bn+1 ∧ Xtn ∈Bn ∧ · · · ∧ Xt1 ∈B1 ) =
n+1
Y
k=1
P(Xtk ∈Bk ) ,
woraus sich direkt ergibt, dass (Xt )t∈N die Markoff-Eigenschaft (??) erfüllt.
ii) Da der Prozess (St )t∈N nur ganzzahlige Werte annimmt, genügt es (hätte bei
Xt auch gereicht) Ereignisse der Form Stk = ik (ik ∈N) zu betrachten. Damit
folgt aus der Unabhängigkeit der Xt von den Su für t > u:
tP
n+1
P(Stn+1 =j Stn =in , . . . , St1 =i1 ) = P
Xk =j Stn =in , . . . , St1 =i1
k=1
= P Stn +
= P
tP
n+1
Xk =j Stn =in , . . . , St1 =i1
k=tn +1
tP
n+1
Xk =j−in Stn =in , . . . , St1 =i1
k=tn +1
= P
tP
n+1
Xk =j−in
k=tn +1
= P
tP
n+1
Xk =j−in Stn =in
k=tn +1
tP
n+1
= P Stn +
Xk =j Stn =in
k=tn +1
= P Stn+1 =j Stn =in

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe ??:
Das Lemma von Itô lautet:
Gilt dSt = α(St , t)dt + β(St , t)dWt , so genügt f (St , t) der stochastischen DGL
∂f (St , t)
dSt
∂x
df (St, t) =
+
∂f (St , t)
1 ∂ 2 f (St , t) 2
β (St , t)dt
dt +
∂t
2 ∂x2
Der Aktienkurs St genüge einem geometrischen Wiener-Prozess (geometrisch Brownsche
Bewegung), d.h.
dSt = µ · St dt + σ · St dWt .
Es liegt also ein spezieller Itô-Prozess mit α(S, t) = µ · St , β(S, t) = σ · St vor.
a) Wir betrachten den Logarithmus zt = ln(St ). Für f (x) = ln(x) haben wir
∂f (x)
∂x
=
1
x
∂ 2 f (x)
∂x2
,
=−
1
x2
und
∂f (x)
∂t
= 0.
Itôs Lemma liefert dann die folgende stochastische DGL für zt :
∂f
∂f
1 ∂2f
∂f
2
2
dzt =
(S
)
·
σ
·
S
+
(St ) · µ · St +
dt + (St ) · σ · dWt
t
t
2
2 ∂x
∂x
=
∂t
∂x
1 1 2 2
1
1
µ St −
σ
S
+
0
dt + σSt dWt
t
2
St
2 St
St
= (µ − 12 σ 2 )dt + σ dWt
Der Logarithmus eines geometrischen Wiener-Prozesses St ist also ein arithmetischer
Wiener-Prozess mit Driftrate µ − 21 σ 2 und Varianzrate σ 2 , d.h. St ist lognormalver-
teilt.
b) Wir betrachten zt = StΘ = f (St ), mit f (x) = xΘ . Itôs Lemma liefert dann folgende
stochastische DGL für zt :
dzt = Θ · StΘ−1 dSt + 0 +
Damit gilt
dzt
zt
1
2
· Θ(Θ−1)StΘ−2 · σ 2 St2
= µΘStΘ dt + σΘStΘ dWt + 12 · Θ(Θ−1)σ 2 StΘ dt
= µ + 12 · (Θ−1)σ 2 ΘStΘ dt + σΘStΘ dWt
= µ + 12 · (Θ−1)σ 2 Θzt dt + σΘzt dWt
= µ+
1
2
· (Θ−1)σ 2 Θdt + σΘdWt
zt ist also ein geometrischer Wiener-Prozess mit Driftrate µ +
Varianzrate σ 2 Θ2

1
2
· (Θ−1)σ 2 Θ und
Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
c) Wie in Satz . hergeleitet, ist bei stetigen Bestandshaltekosten b der Forward Price
⋆ −t)
Ft = St eb(t
Ableitungen
∂f
∂x
⋆ −t)
. Mit f (x, t) := x · eb(t
⋆ −t)
= eb(t
,
∂f
∂t
liefert Itô’s Lemma unter Verwendung der
∂2f
∂x2
= −b · f (x, t) ,
=0
für Ft die stochastische Differentialgleichung:
⋆ −t)
dFt = eb(t
⋆ −t)
= eb(t
⋆ −t)
dSt − bSt eb(t
dt + 0
⋆ −t)
(µSt dt + σSt dWt ) − bSt eb(t
⋆ −t)
⋆ −t)
= (µ−b)St eb(t
dt + σ eb(t
dt
St dWt
= (µ−b)Ft dt + σFt dWt
Dies bedeutet, dass der Terminkurs Ft ebenfalls ein geometrischer Wiener-Prozess
ist mit der gleichen Volatilität wie St , jedoch mit einer zu erwartenden momentanen
Rendite µ − b pro Zeiteinheit.
Lösung zu Aufgabe ??:
Der Aktienkurs (St )t>0 genüge einem geometrischen Wiener-Prozess, d.h. es gelte dSt =
µ · St · dt + σ · St · dWt . Startwert sei S0 . Wie in Aufgabe ?? ??) gesehen, genügt dann
ln(St ) der stochastischen DGL
d ln(St ) = (µ− 12 σ 2 )dt + σ dWt ,
d.h. es ist
ln(St ) = ln(S0 ) + (µ− 12 σ 2 )t + σ Wt .
Damit folgt
(µ− 12 σ2 )t+σ Wt
|
St = eln(St ) = S0 e
{z
Z
}
,
wobei Z ∼ N(µ− 1 σ2 )t,σ2 t . Nach Aufgabe ?? b) folgt für eine Na,b2 -verteilte ZV:
2
E[e
X
2
a+ b2
] = e
und
X
var(e ) = e
Dies liefert schließlich
E[St]
= S0 E[eX ] = S0 e(µ− 2 σ
1
2
2 )t+ σ t
2
2a+b2
(b2 )
e
−1
= S0 e(µt)

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
und
var(St ) = S02 var(eX )
=
1 2
2
S02 e2(µ− 2 σ )t+σ t
(σ2 t)
e
2
= S02 e2(µt) e(σ t) −1
2
= E[St ]2 e(σ t) −1
−1
Lösung zu Aufgabe ??:
a) Die DGL von Black/Scholes lautet
2
∂ V
1 2
β (S, t) 2
2
∂S
+ bS
∂V
∂V
− iV +
=0.
∂S
∂t
()
Zu überprüfen ist, ob
VK,t⋆ (St , t) = St e(b−i)T −K e−iT
der DGL (??) genügt.
∂VK,t⋆
∂S
∂ 2 VK,t⋆
∂S 2
∂VK,t⋆
∂t
= e(b−i)T
= 0
= St (i − b) e(b−i)T −iK e−iT = iV − bSt e(b−i)T
Einsetzen in die DGL (??) liefert:
0 + bSt e(b−i)T −iV + iV − bSt e(b−i)T = 0
Damit erfüllt VK,t⋆ (St , t) die DGL (??). Zum Zeitpunkt t⋆ hat VK,t⋆ den Wert
St⋆ e(b−i)0 −K e−i0 = St⋆ − K .
b) Gegeben ist das derivative Finanzinstrument F (St , t) mit Fälligkeitszeitpunkt t⋆ und
Pay-off
F (x, t⋆ ) =
(
1
falls
K1 6 x 6 K2
0 sonst
Nach Satz . der Vorlesung gilt
i
h
⋆
−iT
F (St , t) = e
E F (St⋆ , t )
Z ∞
2
σ2
1 [ln(x)−(ln(St )+(b− 2 )T )]
1
−iT
σ2 T
= e
F (x, t⋆ ) √ √ e− 2 ·
dx
σ T x 2π
0
Z K2
σ 2 )T )]2
2
1 − 12 · [ln(x)−(ln(St )+(b−
e−iT
2
σ T
dx
e
= √
σ 2πT

K1
x
Derivative Finanzinstrumente
SS 
Lösungen der Aufgaben
Die Substitution
u(x) :=
ln(x) − ln(St ) + (b −
√
σ T
σ2
2 )T
1
dx
σ Tx
⇐⇒ du = √
liefert
F (St , t) =
e−iT
√
2π
= e−iT
Z
u(K2 )
1
2
e− 2 u du
u(K )
1
N u(K2 ) − N u(K1 )
Hierbei bezeichne N (·) den Wert der Standardnormalverteilungsfunktion.
Lösung zu Aufgabe ??:
Die Elastizität einer Funktion f bzgl. der Variablen x ist
df
x
·
ǫf = f (x)
dx
Die Formel von Black/Scholes für einen europäischen Call lautet
√
C(S, T ) = e(b−i)T SN (y+σ T ) − e−iT KN (y),
mit
y=
S
ln( K
) + (b −
√
σ T
σ2
2 )T
()
.
Hinweis:
1
ebT ·S · e− 2 (y+σ
√
T )2
y2
−K · e− 2
√
1 2
S ebT · e−yσ T − 2 σ T −K
1 2
S
= e(− 2 y ) S ebT · e− ln( K )−bT −K
K
(− 12 y 2 )
S· −K = 0
= e
1 2
)
= e(− 2 y
S
Zur Berechnung der Elastizität (Hebel) wird die partielle Ableitung
verwenden dabei
(∗)
1
2π
N ′ (x) = √
∂C
∂S
benötigt. Wir
x2
e− 2 = ϕ0,1 (x)
Mit Produkt- und Kettenregel der Differentialrechnung folgt
√
√
∂C
∂y
∂y
= e(b−i)T N (y+σ T ) + S · N ′ (y+σ T ) ·
− e−iT ·K · N ′ (y) ·
∂S
∂S
= e(b−i)T
∂S
h
i
√
√
∂y
−iT
N (y+σ T ) +
S · ϕ0,1 (y+σ T ) · − e
·K · ϕ0,1 (y)
∂S
h
√
2 i
√
∂y
1
− 21 (y+σ T )2
−iT
− y2
·
e
−
e
·K
·
e
= e(b−i)T N (y+σ T ) +
·√ · S
|
{z
}
∂S
2π
= 0
√
= e(b−i)T N (y+σ T )

Derivative Finanzinstrumente
Zur Berechnung von
∂P
∂S
SS 
Lösungen der Aufgaben
greifen wir auf die Put-Call-Parität zurück.
C − P = S e(b−i)T −K e−iT
Damit ergibt sich
∂C
∂S
−
∂P
∂S
= e(b−i)T ⇐⇒
∂P
∂S
=
∂C
∂S
− e(b−i)T
Einsetzen liefert
∂P
∂S
√
= e(b−i)T N (y+σ T ) − e(b−i)T
√ = − e(b−i)T 1 − N (y+σ T )
√
= − e(b−i)T N (−y − σ T )
Die restlichen Ableitungen werden analog berechnet (siehe Welcker/Kloy/Schindler S.
). Z.B. gilt:
∂C
∂T
√
√
∂y
σ
= (b−i) e(b−i)T SN (y+σ T ) + e(b−i)T S · N ′ (y+σ T ) ·
+ √
+i e−iT ·K · N (y) − e−iT ·K · N ′ (y) ·
√
∂y
∂T
∂T
2 T
=0
}|
{
z
√
∂y
bT
′
′
e S · N (y+σ T ) − K · N (y)
·
= (b−i) e(b−i)T SN (y+σ T ) + e−iT
∂T
√
σ
−iT
(b−i)T
′
·K · N (y)
S N (y+σ T ) +i e
+ √ e
|
{z
}
2 T
e−bT
N ′ (y) K
S
√
e−iT Kσ
= (b−i) e(b−i)T SN (y+σ T ) + √
· N ′ (y) + i e−iT KN (y)
2 T
∂C
∂t
und
∂P
∂t
ergeben sich dann aus
∂f
∂t
=
∂f
∂T
·
∂T
∂t
=−
∂f
∂T
.
Lösung zu Aufgabe ??:
Der gegebene Pay-off ist der eines Butterfly-Spread. Wie in Aufgabe ?? ??) gesehen, kann
solch ein Spread dargestellt werden durch ein Portfolio B bestehend aus
 Call long Strike K1 ,  Call long Strike K2 ,  Call short Strike K12 =
K1 + K2
2
Der Wert VB dieses Portfolios ist dann
VB = CK1 + CK2 − 2CK12 .
Da wir eine geometrisch Brownsche Bewegung für den Aktienkurs vorausgesetzt haben,
kann VB berechnet werden, indem jede einzelne Option mit der Black/Scholes-Formel

Derivative Finanzinstrumente
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Lösungen der Aufgaben
berechnet wird (Alternativ dazu kann man wie in Aufgabe ?? vorgehen, indem man den
abgezinsten Erwartungswert des Pay-off berechnet.). Mit der Notation
yα :=
ln( KSα ) + (b −
√
σ T
σ2
2 )T
,
α ∈ {1, 2, 12}
gilt dann
√
VB = e(b−i)T SN (y1+σ T ) − e−iT K1 N (y1 )
√
+ e(b−i)T SN (y2 +σ T ) − e−iT K2 N (y2)
√
−2 e(b−i)T SN (y12 +σ T ) − e−iT K12 N (y12 )
√
√ √
= e(b−i)T S N (y1 +σ T ) − 2N (y12 +σ T ) + N (y2 +σ T )
−iT
−e
K1 N (y1 ) − N (y12 ) + K2 N (y2 ) − N (y12 )
