Operationen - Atlas Mathe

Operationen
Ich kann . . .
31
Zahlen zerlegen
Zahlen in Summanden zerlegen
S. 32
Zahlen in Faktoren zerlegen
S. 34
Operationen mit Handlungen und Situationen verbinden
auf der Stellentafel addieren
S. 36
auf der Stellentafel subtrahieren
S. 38
Rechengesetze formulieren und als Rechenhilfe verwenden
Additionsschritte erklären
S. 40
Subtraktionsschritte erklären
S. 42
auf verschiedenen Wegen addieren
und subtrahieren
S. 44
Rechenwege schriftlich festhalten
S. 46, 66
Operationen sicher ausführen
Zahlen im Kopf addieren
S. 48
Zahlen im Kopf subtrahieren
S. 50
Zahlen im Kopf multiplizieren
S. 52
Zahlen im Kopf dividieren
S. 54
Zahlen auf Papier addieren
S. 56
Zahlen auf Papier subtrahieren
S. 58
Zahlen auf Papier multiplizieren
S. 60
Zahlen auf Papier dividieren
S. 62
Operationen in Zusammenhängen erkennen und anwenden
Grundoperationen erkennen und ausführen
S. 64
32
Wie sehen Summen von
und ihren
Partnerinnen aus?
UHU-Zahlen
UHU-Zahlen sehen von vorne oder von hinten gelesen gleich aus.
Jede UHU-Zahl hat eine Partnerin mit vertauschten Ziffern.
Beispiele:
343, 989, 272, …
Partnerinnen:
434, 898, 727, …
Addierst du UHU-Zahlen und ihre Partnerinnen, bekommst du spezielle Summen.
Beispiele: 343 + 434 = 777,
989 + 898 = 1887
Warum ist das so? Zerlegst du UHU-Zahlen in Stellenwerte, sieht das so aus:
Beispiel:
343 = 3 · 100 + 4 · 10 + 3
434 = 4 · 100 + 3 · 10 + 4
Summe
343 + 434 = 7 · 100 + 7 · 10 + 7 = 777
1. Suche eigene Beispiele von solchen Summen. Tausche sie mit anderen aus.
UHU-Zahl
Partnerin
Summe
Differenz
2. Gefällt dir die Bezeichnung „UHU-Zahl“? Wie würdest du diese Zahlen nennen?
3. Formuliere eine Regel, wie du ohne viel zu rechnen von einer UHU-Zahl
zur zugehörigen Summe kommen kannst.
4. Berechne auch die Differenzen zwischen UHU-Zahlen und ihren Partnerinnen.
Findest du dazu eine Regel?
5. Vergleiche deine Regeln mit anderen.
Auch ANNA-Zahlen sehen von vorne oder von hinten gelesen gleich aus
und haben Partnerinnen.
Beispiele:
3443, 9889, 2772, . . .
Partnerinnen:
4334, 8998, 7227, . . .
Auch ihre Summen sind speziell:
Beispiele: 3443 + 4334 = 7777,
33
9889 + 8998 = 18887
In Stellenwerte zerlegt und gerechnet:
Beispiel:
3443 = 3 · 1000 + 4 · 100 + 4 · 10 + 3
4334 = 4 · 1000 + 3 · 100 + 3 · 10 + 4
Summe
3443 + 4334 = 7 · 1000 + 7 · 100 + 7 · 10 + 7 = 7777
6. Suche eigene Beispiele von solchen Summen. Tausche sie mit anderen aus.
ANNA-Zahl
Partnerin
Summe
Differenz
7. Formuliere eine Regel, wie du ohne zu rechnen von einer ANNA-Zahl
zur zugehörigen Summe kommen kannst.
8. Untersuche auch Differenzen von ANNA-Zahlen und ihren Partnerinnen.
Ich kann Zahlen in Summanden zerlegen
M0452
Familien
34
Zu welchen
gehören
die Zahlen des Zehner-Einmaleins?
•
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
30
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
40
0
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
60
0
60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
70
0
70
140
210
280
350
420
490
560
630
700
80
0
80
160
240
320
400
480
560
640
720
800
90 100
0
0
90 100
180 200
270 300
360 400
450 500
540 600
630 700
720 800
810 900
900 1000
Das ist die Tabelle des Zehner-Einmaleins. In der ersten Zeile stehen Zehnerzahlen.
Im Vergleich zur Einmaleins-Tabelle steht bei den Ergebnissen deshalb immer das
Zehnfache.
Rechenfamilien im Zehner-Einmaleins
Beispiel: 240 = 8 · 30
240 gehört zu den Familien der 8er- und der 30er-Zahlen.
In der Tabelle findest du auch 240 = 3 · 80 = 4 · 60 = 6 · 40 . 240 gehört also auch
zu den Familien der 3er-, 4er-, 6er-, 40er-, 60er-, 80er-Zahlen.
Weitere Möglichkeiten, die Zahl 240 als Produkt zu schreiben sind:
240 = 2 · 120 = 5 · 48 = 10 · 24 = 12 · 20 = 15 · 16
Zusammengefasst: 240 gehört zu den Familien der 2er-, 3er-, 4er-, 5er-, 6er-, 10er-,
12er-, 15er-, 16er-, 20er-, 24er-, 30er-, 40er-, 48er-, 60er-, 80er-, 120er-Zahlen.
1. Schreibe in dein Heft zu den Ergebniszahlen des Zehner-Einmaleins
möglichst viele Zerlegungen in Produkte.
2. Trage die Faktoren (Familienzugehörigkeiten) in die Tabelle ein.
3. Setze die Tabelle in deinem Heft fort und vergleiche deine Ergebnisse mit anderen.
Familienzughörigkeiten der Ergebniszahlen des Zehner-Einmaleins
20
30
40
35
50
60
70
80
90
100
120
140
150
160
180
200
210
240 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120
250
270
280
300
…
4. Welche Zahlen der Tabelle haben die größten Familien?
5. Wie kannst du überprüfen, ob du alle Familien einer Zahl gefunden hast?
Ich kann Zahlen in Faktoren zerlegen
M0587
Stellentafel,
Knöpfe oder
Plättchen oder
kleine Münzen
Wie haben Rechenmeister
addiert?
36
Früher konnten viele Leute nicht lesen,
schreiben oder rechnen. Sie waren deshalb
auf Schreibkundige und auf Rechenmeister
angewiesen. Rechenmeister haben auf
Rechentischen mit Rechensteinen gerechnet.
Auf der Stellentafel kannst du rechnen wie ein Rechenmeister.
1. Lege auf deiner Stellentafel die Beispiele nach.
Beispiel: 845 + 436 = ?
1. Schritt: Du legst die beiden Zahlen mit Knöpfen.
T
H
Z
E
••••• |•••
••••
••••
•••
T
•••••
••••• |•
H
Z
E
8
4
5
4
3
6
2. Schritt: Du schiebst die Knöpfe der beiden Zahlen zusammen (addierst sie).
T H Z E
T
H
Z
E
••••• |••••• ••••• |••
••
3. Schritt: Die vollen Zehner wechselst du.
T
H
Z
•
••••• |••••• ••••• |•••
••
••••• |•••••
•
12
7
11
E
T
H
Z
E
••••• |•••••
•
1
2
8
1
Ergebnis: 845 + 436 = 1281
Die drei Schritte der Addition auf der Stellentafel sind:
1. Zahlen legen.
2. Knöpfe zusammenschieben.
3. Je zehn Knöpfe wechseln.
Das zweite Beispiel zeigt, wie das Wechseln auch in mehreren Schritten erfolgen
kann. Der Wechsel von Einern löst einen zweiten Wechsel bei den Zehnern aus.
Beispiel: 738 + 865 = ?
T
H
3a.
•
••••• |••
••••• |•••
••••• |•••••
•••••
••••• |•••••
•••••
3b.
•
••••• |•
1.
2.
Z
E
•••
••••• |•••
•••••
••••• |•
••••• |•••• ••••• |•••••
•••
••••• |••••• ••••• |•••••
•••
••••• |•••••
•••
T
H
Z
E
7
3
8
8
6
5
15
9
13
1
5
10
3
1
6
0
3
37
Ergebnis: 738 + 865 = 1603
2. Rechne auf der Stellentafel. Kontrolliere mit deiner Partnerin oder deinem Partner.
a) 279 + 765 =
b) 428 + 533 =
c) 698 + 384 =
3. Du bist der Rechenmeister. Jemand gibt dir den Auftrag, zwei dreistellige Zahlen
zu addieren. Rechne auf der Stellentafel. Trage dann die Rechnung ein.
Rechnung _____________
T
H
Z
E
T
H
Z
E
1.
2.
3.
Ergebnis _____________
4. Suche zwei Zahlen mit der Summe 1005 und addiere diese auf der Stellentafel.
Wähle die Zahlen so, dass du möglichst oft wechseln musst.
Ich kann auf der Stellentafel addieren
M0378
Stellentafel,
Knöpfe oder
Plättchen oder
kleine Münzen
Wie haben Rechenmeister
38
subtrahiert?
Rechenmeister haben auch in drei Schritten subtrahiert.
Im Vergleich zur Addition sind aber bei der Subtraktion die
Schritte vertauscht. Wo nötig, musst du in einzelnen Spalten wechseln, bevor du Knöpfe wegnehmen kannst.
Im Beispiel muss vor der Subtraktion ein Zehner in zehn
Einer und ein Tausender in zehn Hunderter gewechselt werden.
1. Lege auf der Stellentafel die Beispiele nach.
Beispiel: 1281 – 845 = ?
1. Schritt: Du legst die erste Zahl mit Knöpfen hin und merkst dir die zweite.
T H Z
T
H
Z
E
•
••
••••• |•••
••••• |•••
••••
•
•••••
2
8
1
8
4
5
H
Z
E
12
7
11
8
4
5
3. Schritt: Du schiebst von oben die Knöpfe für die untere Zahl nach unten.
T
H
Z
E
T H Z
E
2. Schritt: Wo oben zu wenig Knöpfe liegen, wechselst du.
T
H
Z
E
•
••••• |••••• ••••• |•••
••
••••• |••• ••••
••••• |••••• ••••• |••
••
••••• |••• ••••
••••• |•••••
•
•••••
••••• |•••••
•
•••••
Was oben liegen bleibt ist das Ergebnis: 1281– 845 = 434
Die drei Schritte der Subtraktion auf der Stellentafel:
1. Erste Zahl legen.
2. Wo nötig, Knöpfe aus den höheren Spalten wechseln.
3. Knöpfe der zweiten Zahl nach unten schieben.
1
E
T
4
3
6
8
4
5
Im zweiten Beispiel steht eine Null an der Zehnerstelle. Du musst in Schritten
wechseln. Vergleiche mit dem zweiten Beispiel bei der Addition.
Beispiel: 1603 – 865 = ?
T
1.
2a.
•
H
••••• |•
••••• |•••
••••• |•••••
••••• |•
••••• |•••
••••• |•••••
••••• |
••••• |•••
••••• |•••••
••••• |
••••• |•••
•
2b.
3.
Z
E
•••
••••• |•
•••••
••••• |••••• •••
T
H
Z
E
1
6
0
3
8
6
5
15 10
3
8
6
5
15
9
13
8
6
5
7
3
8
8
6
5
••••• |•
•••••
••••• |••••• ••••• |•••••
•••
••••• |•
•••••
••••• |•••• ••••• |•••••
•••
••••• |•
••••
39
Ergebnis: 1603 – 865 = 738
2. Stell dir vor: Du hast 1007 € und musst jemandem 409 € geben. Wie musst du
wechseln?
3. Du bist der Rechenmeister. Jemand gibt dir den Auftrag, zwei dreistellige Zahlen
zu subtrahieren. Rechne auf der Stellentafel. Trage dann die Rechnung ein.
Rechnung _____________
T
H
Z
E
T
H
Z
E
1.
2.
3.
Ergebnis _____________
Ich kann auf der Stellentafel subtrahieren
M0530
Ziffernkarten
von
1 bis 9
Wie kannst du
40
schriftlich addieren?
Zur Zeit der Rechenmeister war Papier teuer. Mit dem Rechenbrett konnten die
Rechenmeister Papier sparen. Heute ist Papier und Schreibzeug billig. Du kannst die
Zahlen aufschreiben und auf dem Papier rechnen.
Die Darstellung der Rechnung kannst du vereinfachen, indem du die „Wechselzehner“ als Übertrag in die nächsthöhere Spalte schreibst und sie in dieser gleich
mitrechnest.
spaltenweise Addition mit
anschließendem Wechseln
(wie auf dem Rechenbrett)
T
+
1
„Wechselzehner“ direkt
als Übertrag in die nächste
Spalte geschrieben
H
Z
E
T
8
4
5
4
3
6
+
12
7
11
1
2
8
1
1
H
Z
E
8
4
5
4
3
2
8
1
6
1
Auf dem Papier
rechnest und wechselst du am einfachsten spaltenweise, beginnend
mit den Einern.
Dieses Verfahren
nennt man
„schriftliches
Addieren“.
Die drei Schritte der schriftlichen Addition sind:
1. Spaltenweise addieren.
2. Jeweils den Einer der Summe unter den Additionsstrich schreiben.
3. Jeweils den Zehner der Summe in die nächsthöhere Spalte übertragen.
1. Mit diesen drei Schritten kannst du beliebig große Zahlen addieren.
Schreibe auf, was du bei diesen Schritten denkst oder „innerlich sprichst“.
Tausche dich mit anderen aus.
2. Berechne die Summen.
a)
8 6 7
b)
+ 5 3 4
+
1
1
1
1
4
0
4
0
7
9
8
c)
+
4
3
9
5
9
5
d)
+
7
3
4
0
5
5
1
41
3. Bei Summen mit mehr als zwei Summanden können Überträge
auch größer als 1 sein.
a)
+
+
5
9
6
2
6
8
2
1
2
2
1
8
8
5
8
b)
+
+
9
4
8
3
7
6
6
9
7
c)
+
+
7
1
4
8
5
9
0
7
2
d)
+
+
9
5
3
4
9
5
5
8
9
1
4. Auf Karopapier kannst du auch ohne Stellentafel rechnen.
a)
5 2 7
+ 8 2 0
1
b)
4 9 2
+ 7 6 4
c)
6 0 7
+ 4 0 1
d)
4 5 0
+ 8 5 2
e)
9 6 6
+ 9 7 6
1 3 4 7
5. Bilde mit den Ziffernkarten von 1 bis 9 zwei dreistellige Zahlen und addiere sie.
a) Welche beiden Zahlen ergeben die größte, welche die kleinste Summe?
b) Suche Zahlen mit den Summen 400, 500, 600, 700, 800, 900. Wie gehst du vor?
6. Mit den Ziffernkarten von 1 bis 9 kannst du drei dreistellige Zahlen bilden.
a) Welche drei Zahlen ergeben die größte, welche die kleinste Summe?
b) Suche Zahlen, deren Summe möglichst nahe bei 1000 liegt.
c) Alle Summen gehören zu einer Familie. Welche ist es?
7. Wähle eine Zahl aus deinem Tausender-Album als Zielzahl. Suche zwei oder drei
Zahlen wie in den Aufgaben oben, die deine Zielzahl als Summe haben.
8. Addiere schriftlich auch größere Zahlen.
Ich kann Additionschritte erklären
M0673
Ziffernkartenvon
1 bis 9
schriftlich
subtrahieren?
Wie kannst du
42
Bei der Subtraktion auf dem Papier sind die Schritte dieselben wie auf dem Rechenbrett. Statt aber Plättchen zu legen und zu schieben, schreibst du Zahlen in die
Stellentafel und rechnest mit den Ziffern in jeder Spalte.
Wenn du wechseln
wo nötig streichen, wechAufgabe schreiben
musst, streichst du
seln und subtrahieren
die Ziffer in der Spalte
links daneben durch,
T
H
Z
E
T
H
Z
E
10
10
schreibst die neue Ziffer
1
2
87
1
1
2
8
1
hin und schreibst eine
8
4
5
–
–
8
4
5
Zehn über die Spalte, in
4
3
6
der du rechnest.
Von den acht Zehnern wechselst du einen in zehn Einer. Es bleiben sieben Zehner
übrig. Den Tausender wechselst du in zehn Hunderter.
Jetzt kannst du subtrahieren.
Dieses Verfahren nennt man „schriftliches Subtrahieren“.
Die zwei Schritte der schriftlichen Subtraktion sind:
1. Wo nötig, vor der Subtraktion aus höheren Stellen wechseln.
2. Spaltenweise subtrahieren.
1. Mit diesen zwei Schritten kannst du beliebig große Zahlen subtrahieren.
Schreibe auf, was du bei diesen Schritten denkst oder „innerlich sprichst“.
Tausche dich mit anderen aus.
Hat die erste Zahl Nullen, musst du in mehreren Schritten wechseln. Vergleiche
dazu, wie das die Rechenmeister gemacht haben.
2. Berechne die Differenzen.
a) 1
–
9
9
10
0
4
5
0
0
9
7
9
8
b)
–
8
3
5
5
4
5
c)
5
–
7
7
8
3
d) 1
–
0
6
3
6
2
4
43
3. Auf Karopapier kannst du auch ohne Stellentafel rechnen.
10
a)
1 3 4 7
–
8 2 0
b)
1 1 5 6
–
7 6 4
c)
1 0 0 2
–
5 0 7
d)
1 3 0 2
–
8 5 4
e)
1 9 4 2
–
9 7 6
5 2 7
4. Bilde mit den Ziffernkarten von 1 bis 9 zwei dreistellige Zahlen und bestimme ihre
Differenz (ihren Unterschied).
a) Welche beiden Zahlen ergeben die größte Differenz?
b) Welche beiden Zahlen ergeben die kleinste Differenz?
5. Wie kannst du kontrollieren, ob du richtig gewechselt hast?
6. Aus drei Ziffernkarten kannst du sechs verschiedene Zahlen bilden.
Beispiel: Aus den Ziffern 4, 5, 6 die Zahlen 456, 465, 546, 564, 645, 654
Wie groß sind die Differenzen zwischen diesen Zahlen?
Wähle drei Ziffernkarten, bilde die Zahlen und berechne die Differenzen.
Schreibe auf, was dir dabei auffällt.
7. Liest du eine dreistellige Zahl von hinten nach vorn, bekommst du ihre
Umkehrzahl.
Beispiel: Die Zahl 386 hat die Umkehrzahl 683.
Berechne die Differenzen zwischen Zahlen und ihren Umkehrzahlen.
Fällt dir etwas auf?
Ich kann Subtraktionsschritte erklären
M0674
Wie sehen deine
44
Rechenwege aus?
Verschiedene Kinder haben 530 – 285 gerechnet und ihre Rechenwege auf einem
Rechenstrich aufgezeichnet.
Marias Schritte auf dem Rechenstrich:
Marias Rechnungen
530 – 285 =
530 – 200 = 330
330 – 80 = 250
250 –
5 = 245
Bennos Schritte:
Bennos Rechnungen
530 – 285 =
Rosalinas Schritte:
Rosalinas Rechnungen
530 – 285 =
1. Wie hat Benno, wie hat Rosalina gerechnet?
2. Wie rechnest du 530 – 285? Rechne und zeichne deinen Weg auf.
3. Rechne und zeichne deine Rechenwege auf:
374 + 468
356 + 987
520 – 355
4. Vergleiche deine Rechenwege mit anderen.
959 – 495
45
Ich kann auf verschiedenen Wegen
addieren und subtrahieren
M0624
Zehnerwürfel
46
In welchen
Schritten rechnest du?
Amelie rechnet immer schrittweise.
Wenn sie mit der höchsten Stelle
beginnt, weiß sie nach dem ersten
Schritt gleich, wie groß das Ergebnis
ungefähr sein wird.
• Wie hat Amelie gerechnet?
• Was hat sich Amelie dabei überlegt?
Das sind Amelies Schritte und ihre Überlegungen.
Schritte
845 +
436 =
Hunderter addieren
845 +
400 =
Zehner addieren
1245 +
30 =
Einer addieren
1275 +
6 =
das Einspluseins dazu
1245 8 H + 4 H = 12 H
1275 4 Z + 3 Z = 7 Z
1281 5 + 6 = 11
Mit der Umkehrrechnung 1281 – 436 kann Amelie ihre Rechnung selbst kontrollieren.
Sie rechnet auch bei der Subtraktion schrittweise.
Schritte
1281 –
436 =
Hunderter subtrahieren
1281 –
400 =
881
12 H – 4 H = 8 H
Zehner subtrahieren
881 –
30 =
851
8Z–3Z=5Z
Einer subtrahieren
851 –
6 =
845
11 – 5 = 6
das Einsminuseins dazu
Amelie könnte ihre Schritte auch in umgekehrter Reihenfolge gehen.
Auch ganz andere Schritte sind möglich.
1. In welchen Schritten würdest du rechnen?
2. Rechne die folgenden Aufgaben in Schritten. Schreibe deine Rechenschritte untereinander wie in den Beispielen. Welche Überlegungen machst du dir dazu?
Schritte
753 +
548 =
das Einspluseins dazu
47
Schritte
924 –
356 =
das Einsminuseins dazu
3. Kontrolliere deine Aufgaben auch jeweils mit der Umkehrrechnung.
4. Löse weitere Aufgaben in deinem Heft. Die Zahlen dazu kannst du beliebig wählen
oder erwürfeln.
5. Tausche deine Rechnungen mit anderen aus.
6. Schreibe hier auf, in welchen Schritten du addierst oder subtrahierst.
7. Addiere und subtrahiere auch größere Zahlen schrittweise.
Kontrolliere deine Rechnungen jeweils mit der Umkehrrechnung.
Ich kann Rechenwege schriftlich festhalten
M0475
Wie groß ist die Summe der
Nachbarn?
48
Im Tausender-Album haben alle Zahlen Nachbarn:
links-rechts, oben-unten, im Kreuz, im Stern, rundherum.
101
101
105
105
120
120
125
125
+
+
140
+
+
140
160
160
165
165
+
+
180
180
185
185
200
200
+
+
+
+
1. Wie groß sind ihre Summen? Berechne die Summen im Beispiel
links
rechts
+
+
2. Wie verändern sich diese Summen, wenn du eine Figur verschiebst:
a) nach links b) nach rechts c) nach oben
d) nach unten?
• Wähle eine Zahl auf einer Seite aus deinem Album und berechne
Summen von Nachbarzahlen.
• Vergleiche die Summen auf verschiedenen Seiten des Tausender-Albums.
• Findest du eine Regel, wie du die Summen einfach berechnen kannst?
• Vergleiche mit anderen, was du herausgefunden hast.
49
3. Du kannst auch Summen von anderen Figuren berechnen,
zum Beispiel von dieser „Heuschrecke“.
Wie ändert sich die Summe der Heuschrecke, wenn sie über
+
eine Seite kriecht, hüpft, von Seite zu Seite springt?
4. Erfinde eigene Figuren und untersuche, wie sich ihre Summen bei Bewegungen
verändern.
Ich kann Zahlen im Kopf addieren
M0167
Zahlenkarten
bis 100, Tausender-Album
Wie groß ist der
50
Unterschied?
Mische deine Zahlenkarten und ziehe zwei davon.
Schreibe beide Zahlen in dein Heft und setze je eine
Null dahinter. Wie kannst du den Unterschied zwischen
den beiden Zahlen bestimmen?
57
81
570
810
Erste Variante: Zählen in Schritten
Wie viele Zehner- und Hunderterschritte liegen zwischen den beiden Zahlen? Du kannst die Schritte im
Kopf machen oder im Tausender-Album.
Beispiel: Von 570 bis 810 sind es 2 Hunderter- und 4
Zehnerschritte.
570 + 200 + 40 = 810
Der Unterschied zwischen 570 und 810 ist 240.
Zweite Variante: Subtrahieren
Du subtrahierst die kleinere von der größeren Zahl, mit Schritten im Kopf oder im Tausender-Album.
Beispiel: 810 – 570 = 240
1. Es gibt noch weitere Varianten. Welche ist deine?
2. In welchen Schritten zählst oder rechnest du?
3. Ziehe jeweils dreimal zwei Karten, füge Nullen an und berechne die Unterschiede.
1. Zahl
2. Zahl
Unterschied
1. Zahl
2. Zahl
Unterschied
51
1. Zahl
2. Zahl
Unterschied
1. Zahl
2. Zahl
Unterschied
1. Zahl
2. Zahl
Unterschied
1. Zahl
2. Zahl
Unterschied
4. Nimm aus jeder Dreiergruppe den größten Unterschied und markiere ihn auf dem
Zahlenstrahl.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
5. Vergleiche mit anderen. Wer hat den größten Unterschied gezogen?
6. Schreibe weitere Beispiele ins Heft. Wie groß ist dein persönlicher Rekord?
7. Du addierst die drei Unterschiede einer Gruppe. Wie groß ist die größte denkbare
Summe aus drei Unterschieden, wenn du einmal benützte Karten nicht zurücklegst?
Ich kann Zahlen im Kopf subtrahieren
M0584
Wie sieht dein
52
Kreuzzahlrätsel aus?
1. Das ist ein Kreuzzahlrätsel zur Multiplikation. Trage die Ergebnisse der
Rechnungen in die richtigen Felder ein.
A
E
B
F
G
I
J
L
O
C
M
P
S
K
Q
T
R
U
V
X
2. A
Waagrecht
B 12 · 12
E
8 · 85
G
8 · 115
I
3 · 231
K
3 · 17
M
7 · 35
Senkrecht
6 · 16
A
B 21 · 52
C
7·7
D 30 · 67
F
2 · 43
H
5·5
J
4 · 87
O
3 · 21
Q 13 · 65
S
3·9
U 12 · 79
W 22 · 50
X
4 · 17
L
N
P
R
T
V
4 · 14
9 · 61
3 · 107
13 · 42
2 · 35
4 · 22
Du kannst auch selbst ein solches
Rätsel entwerfen. Suche Malaufgaben,
deren Ergebnisse in die Felder passen
B
D
E
G
H
N
W
C
D
F
Waagrecht
B
__________
C
__________
E
__________
G
__________
Senkrecht
__________
A
B
__________
D
__________
F
__________
Entwirf weitere solche Rätsel und tausche sie mit anderen aus.
3. Entwirf weitere Rätsel und tausche sie mit anderen aus.
A
D
B
E
F
G
I
H
J
L
B
L
G
J
M
P
S
W
C
F
I
O
K
Senkrecht
_______
A
B
_______
C
_______
E
_______
H
_______
I
_______
K
_______
53
M
A
E
Waagrecht
B
_______
D
_______
G
_______
J
_______
L
_______
M
_______
C
H
K
N
Q
T
D
R
U
V
X
Waagrecht
B
_____
E
_____
G
_____
I
_____
K
_____
M
_____
Senkrecht
_____
A
B
_____
C
_____
D
_____
F
_____
H
_____
J
_____
Ich kann Zahlen im Kopf multiplizieren
O _____
Q _____
S _____
U _____
W _____
X _____
L
N
P
R
T
V
_____
_____
_____
_____
_____
_____
M0663
Wie kannst du
54
Zehnerzahlen dividieren?
Beispiel: Du musst 640 € an 5 Personen verteilen. Wie kannst du das machen?
Lege mit Rechengeld.
Schritte
640
:
5
=
Hunderter dividieren 500
:
5
=
:
5
=
:
5
=
das Einsdurcheins dazu
100 5 H : 5 = 1 H
Rest 640 – 500 = 140
Zehner dividieren 100
Rest 140 – 100 =
40
Einer dividieren
40
Teilergebnisse addieren
20 10 Z : 5 = 2 Z
8 40 : 5 = 8
128
Aus diesem Beispiel kannst du eine Regel ableiten, nach der du auch sehr große
Zahlen mit dem Einsdurcheins dividieren kannst:
Eine große Zahl kannst du dividieren, indem du sie in Stellenwerte zerlegst.
Du dividierst die höchste Stelle, wenn es geht. Den Rest wechselst du in die
nächstkleinere Stelle und dividierst diese – bis es nicht mehr weiter geht.
In deinem Tausender-Album liegen rechts am Rand die Zehnerzahlen.
1. Wähle eine Seite aus deinem Album.
2. Dividiere die Zehnerzahlen dieser Seite zuerst durch 2, dann durch 3, 4 und 5.
Tausche deine Ergebnisse mit jemandem aus.
3. Wähle andere Seiten und mache dasselbe.
4. Wenn du dich sicher fühlst, dividiere die Zehnerzahlen auch durch 6, 7, 8 und 9.
Tipp: Wenn du nicht mehr genau weißt wie du am besten rechnest, denke ans
Verteilen von Geld oder lege mit Rechengeld.
5. Schreibe für dich einige Muster-Rechnungen ausführlich auf diese Seite,
damit du sie dir gut merken kannst.
55
6. Suche nach einer Regel für die Reste. Bei welchen Zahlen gibt es welchen Rest?
Dividiere auch größere Zahlen.
Ich kann Zahlen im Kopf dividieren
M0665
Spielwürfel
Wohin schreibst du
die Zahlen?
56
Potz 1000: ein Spiel, bei dem viele mitspielen können
Ihr würfelt reihum. Nach jedem Wurf trägt jeder Mitspieler die gewürfelte Zahl in eines der oberen neun
Felder seines Spielplans ein. Nach neun Würfen sind
alle oberen Felder gefüllt. Die drei dreistelligen Zahlen werden jetzt addiert. Wer mit seiner Summe am
nächsten an 1000 liegt, hat die Runde gewonnen.
Hanna
1
Uwe
6
2
3
3
6
2
2
4
6
4
2
5
1
5
3
1
6
3
0
2
2
9
5
0
Beispiel:
Hanna und Uwe haben die neun Zahlen
unterschiedlich eingetragen. Hanna liegt
näher an 1000 und hat die Runde gewonnen.
1. Wie nahe an Tausend hätten Hanna oder Uwe kommen können?
2. Ihr beginnt mit einem „Startkapital“ von je 500 Punkten. Die Minuspunkte (Differenz
zu 1000) jeder Runde werden davon subtrahiert. Wer zuerst sein Kapital verbraucht
hat, hat verloren.
3. Diagonale mit gleichen Ziffern ergeben Pluspunkte. Stehen beispielsweise in einer
Diagonale nur Dreier, ergibt das 3 mal 10 = 30 Pluspunkte.
4. Mit vierstelligen Zahlen: Potz 10 000.
5. Multiplikation: Vier gewürfelte Zahlen ergeben einen einstelligen und einen
dreistelligen Faktor. Wessen Produkt liegt am nächsten bei 1000?
6. Trage deine Rekorde hier ein.
7. Hilf deinem Glück etwas nach und suche nach Würfelzahlen,
die genau die Summe 1000 ergeben.
Ich kann Zahlen auf Papier addieren
57
M0018
58
Wie viele Stockwerke hat
dein größter
Minusturm?
1. Nimm eine dreistellige Zahl mit unterschiedlichen Ziffern und bilde aus diesen
Ziffern die größte und die kleinste Zahl. Subtrahiere die kleinere von der größeren
Zahl. Mache mit der erhaltenen Differenz wieder dasselbe, so oft es geht.
Beispiele:
Die größte Zahl aus denselben Ziffern
minus die kleinste Zahl aus denselben Ziffern
ergibt die Differenz
Mit der Differenz wieder dasselbe gemacht ...
... und so weiter ...
825
465
852
– 258
594
654
– 456
198
954
– 459
495
981
– 189
792
... und so weiter ...
Zu jeder dreistelligen Zahl mit unterschiedlichen Ziffern
gehört ein „Minusturm“. An der Basis der Türme erscheint
immer wieder dieselbe Zahl.
2. Nimm verschiedene dreistellige Zahlen und berechne ihre Türme.
Was fällt dir auf?
3. Suche nach Zahlen, die verschieden große Türme ergeben.
4. Mit welchen Zahlen bekommst du die höchsten Türme?
5. Warum ist das so? Wie kannst du dir das erklären?
6. Rechne wie oben mit vierstelligen Zahlen. Was findest du?
972
– 279
8. Schreibe oder klebe deine höchsten Türme hier ein.
59
Ich kann Zahlen auf Papier subtrahieren
M0015
Ziffernkarten
von
1 bis 9
Wie viele Produkte
findest du?
60
1. Nimm drei von deinen Ziffernkarten. Bilde mit diesen drei Ziffern
verschiedene Zahlen und berechne aus diesen die Produkte.
Beispiel: Du ziehst die Ziffern 4, 5, 7
45 · 7 = 315
4 · 5 · 7 = 140
47 · 5 = 235
usw.
57 · 4 = 228
Wie du diese Produkte berechnen kannst
So kannst du große Zahlen multiplizieren: Du zerlegst die Zahlen in Stellenwerte und
multiplizierst diese nacheinander. Am Schluss addierst du die einzelnen Teilprodukte.
Hinter jedem Teilprodukt steckt eine Rechnung des Einmaleins.
Beispiel
Schritte
57
·
3
=
Zehner multiplizieren
50
·
3
=
Einer multiplizieren
7
·
3
=
Teilprodukte addieren
? das Einmaleins dazu
150 5 Z · 3 = 15 Z
21 7 · 3 = 21
171
2. Welches sind die größten Produkte, die du so erhalten kannst?
Schreibe auf, wie du rechnest.
3. Mit vier Ziffern kannst du größere Zahlen bilden.
Beispiel: Du ziehst die Ziffern 3, 4, 5, 7
457 · 3 = 1371
3·4·5·7 =
534 · 7 = 3738
34 · 57 = 1938
375 · 4 = 1500
Schritte
457
·
3
=
Hunderter multiplizieren
400
·
3
=
1200 4 H · 3 = 12 H
Zehner multiplizieren
50
·
3
=
150 5 Z · 3 = 15 Z
Einer multiplizieren
7
·
3
=
Teilergebnisse addieren
420
61
usw.
? das Einmaleins dazu
21 7 · 3 = 21
1371
4. Welches sind die größten Produkte, die du so erhalten kannst?
Ich kann Zahlen auf Papier multiplizieren
M0627
Wo gibt es
welche
Reste?
62
301
305
320
325
340
345
360
365
380
385
400
Beispiele:
305 : 3 =
325 : 3 =
345 : 3 =
365 : 3 =
385 : 3 =
101 Rest 2
108
1
115
0
121
2
128
1
Auf jeder Seite deines Tausender-Albums sind
Zahlenfolgen vorgedruckt.
Auf dieser Seite zum Beispiel die Folge
305
325
345
365
385
Wenn du die Zahlen einer solchen Folge immer
durch dieselbe Zahl dividierst, entsteht eine
Folge von Ergebnissen.
305
325
345
365
385
:
:
:
:
:
7
7
7
7
7
=
=
=
=
=
43 Rest 4
46
3
49
2
52
1
55
0
Wie du diese Quotienten berechnen kannst.
So kannst du eine große Zahl schrittweise dividieren: Du zerlegst die Zahl in Stellenwerte und dividierst diese – soweit das geht. Einen Rest wechselst du jeweils in den
nächst kleineren Stellenwert. Am Schluss addierst du alle so erhaltenen Teilergebnisse. Hinter jeder Division steckt eine Rechnung des Einsdurcheins.
Beispiel
Schritte
385
:
3
=
Hunderter dividieren
300
:
3
=
100 3 H : 3 = 1 H
Rest 385 – 300 =
85
Zehner dividieren
60
:
3
=
20 6 Z : 3 = 2 Z
Rest 85 – 60 =
25
Einer dividieren
24
:
3
=
Rest 25 – 24 =
1
Teilergebnisse addieren
? das Einsdurcheins dazu
63
8 24 : 3 = 8
128 Rest 1
1. Wähle eine Seite deines Albums aus und dividiere die Zahlen einer solchen Folge
nacheinander durch 2, 3, 4 und 5.
2. Rechne schlau! Schreibe deine Rechnungen auf. Suche nach Regeln wie es
jeweils weitergehen könnte. Schreibe deine Vermutungen auf und tausche sie mit
anderen aus.
3. Wenn du dich sicher fühlst, dividiere auch durch 6, 7, 8 und 9.
4. Schreibe ein eigenes Beispiel ausführlich auf.
Untersuche auch eigene Zahlenfolgen in deinem Tausender-Album.
5. Schreibe die Folgen auf und dividiere die Zahlen
nacheinander wie oben.
301
6. Formuliere Regeln für die Folgen der Ergebnisse.
305
320
325
340
345
360
365
7. Wie geht es auf der nächsten Seite weiter?
380
385
400
Ich kann Zahlen auf Papier dividieren
M0666
Farbstifte
64
Welche
Texte fallen dir ein?
1. Diese Bilder haben Kinder gezeichnet. Sie haben Texte dazu geschrieben,
in denen Rechnungen vorkommen. Was haben sie wohl geschrieben?
2. Welche Rechenaufgaben fallen dir zu diesen Bildern ein? Schreibe sie dazu.
3. Zeichne eigene Bilder und schreibe Rechenaufgaben dazu.
4. Schreibe für andere Kinder Geschichten, in denen Rechnungen vorkommen.
Diese Texte haben Kinder für dich geschrieben
Gefallen dir diese Geschichten? Schreibe auf, wie du rechnest.
1. Ania trinkt pro Tag 12 dl. Wie viel trinkt sie in zwei Wochen?
2. Drei Schnecken kriechen gemeinsam in einer Stunde 12 m weit. Nach 2 h bleibt
eine Schnecke stehen. Die beiden anderen kriechen nochmals 30 min weiter.
Wieder bleibt eine Schnecke stehen. Die letzte Schnecke kriecht alleine noch
30 min. Wie weit ist sie gekommen?
65
3. Gabi hat zwei Gartenzwerge. Diese können hüpfen. Sie hüpfen am Tag 10-mal
1
ums Haus. Wie oft hüpfen sie in 4 –2 Tagen ums Haus?
4. In einer Musikgruppe spielen 12 Leute. 8 davon sind krank. Es kommen 5 als
Ersatz dazu. Wie viele fehlen noch?
5. 6 Clowns spielen im Zirkus. Einer davon ist der lustigste, zwei finde ich blöd.
Wie viele bleiben noch übrig?
6. 83 Katzen sitzen auf der Wiese. 17 Katzen fangen eine Maus. 3 Katzen fangen
einen Maulwurf und 15 Katzen fangen nur Regenwürmer. Wie viele Katzen fangen
nichts?
7. Wie viele Stunden und Minuten bin ich bei meiner Freundin?
Montag:
15.30 Uhr – 17.30 Uhr
Mittwoch:
13.30 Uhr – 17.00 Uhr
Freitag:
16.00 Uhr – 18.00 Uhr
8. Es ist 15.45 Uhr. Martin geht zu seiner Freundin Sandra. Er muss um 18.25 Uhr zu
Hause sein. Wie viele Stunden und Minuten darf er bei ihr verbringen?
9. Marco geht um 14.15 Uhr zu Manuel. Er braucht 15 min für den Weg. Er darf bis
17.00 Uhr bleiben. Wie lange ist er bei Manuel?
10. Fritz liest in einer Woche 5 h 23 min. Wie viel liest Fritz in einem Monat?
(1 Monat entspricht 4 Wochen)
Ich kann Grundoperationen erkennen und ausführen
M0619
66
Rechnen in Schritten:
Ist dir eine Zahl zu groß,
zerlege sie!
Für das Rechnen mit großen Zahlen gilt immer diese Grundregel.
Wenn du die Zahlen in Stellenwerte zerlegst, kannst du Schritt für Schritt mit einer
Stelle nach der anderen rechnen. Die einzelnen Rechnungen beschränken sich dann
auf das Einspluseins, Einsminuseins, Einmaleins und Einsdurcheins.
Bei der Addition, Subtraktion und Multiplikation ist die Reihenfolge
der Schritte beliebig.
Beispiel Addition
Schritte
845 +
436 =
Hunderter addieren
845 +
400 =
Zehner addieren
1245 +
30 =
Einer addieren
1275 +
6 =
1281 –
845 =
Hunderter subtrahieren
1281 –
800 =
Zehner subtrahieren
481 –
40 =
Einer subtrahieren
441 –
5 =
? das Einspluseins dazu
1245 8 H + 4 H = 12 H
1275 4 Z + 3 Z = 7 Z
1281 5 + 6 = 11
Beispiel Subtraktion
Schritte
? das Einsminuseins dazu
481 12 H – 8 H = 4 H
441 8 Z – 4 Z = 4 Z
436 11 – 5 = 6
Beispiel Multiplikation
Schritte
457
·
3 =
Hunderter multiplizieren
400
·
3 =
1200 4 H · 3 = 12 H
Zehner multiplizieren
50
·
3 =
150 5 Z · 3 = 15 Z
Einer multiplizieren
7
·
3 =
Teilprodukte addieren
? das Einmaleins dazu
67
21 7 · 3 = 21
1371
Beispiel Division
Schritte
1371
:
3
=
? Einsdurcheins dazu
Tausender dividieren
geht nicht – wechseln
Hunderter dividieren
1200
Rest 1371 – 1200 =
171
Zehner dividieren
150
Rest 171 – 150 =
21
Einer dividieren
21
Teilquotienten addieren
:
3
=
400 12 H : 3 = 4 H
:
3
=
50 15 Z : 3 = 5 Z
:
3
=
7 21 : 3 = 7
457
1. Auf welchen Seiten dieses Lernbuchs findest du solche schrittweisen Rechnungen?
2. Schreibe zu jeder Operation mindestens ein eigenes Beispiel so in dein Heft,
dass andere lesen können wie du gerechnet hast.
Tausche deine Rechnungen mit anderen aus.
3. Versuche auch mit größeren Zahlen schrittweise zu rechnen.
Rechenwege schriftlich festhalten
M0676