Mathematik IV für Informatiker. Testklausur SS 2017. 1 2 3 4 5 Σ Z1

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Mathematik IV für Informatiker. Testklausur SS 2017.
Prof. Dr. Bernd Hofmann, Dr. Jens Flemming
TU Chemnitz, Fakultät für Mathematik
Diese Testklausur soll ihnen einen Eindruck von der im Juli zu schreibenden Klausur
geben. Bearbeiten Sie diese möglichst selbstständig. Eine Korrektur findet nicht
statt. Fragen zu Lösungen und Lösungswegen können gern an den Übungsleiter
gerichtet werden.
1. Bitte kennzeichnen Sie alle von Ihnen abgegebenen Zettel mit Ihrem Vornamen, Nachnamen und Ihrer Matrikelnummer.
2. Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten.
3. Achten Sie beim Lösen der Aufgaben darauf, dass alle Lösungsschritte nachvollziehbar dargestellt sind. Konkret bedeutet das die Angabe aller benötigten
Ereignisse, Zufallsgrößen und eventueller Voraussetzugen.
4. Das Lösen der Zusatzaufgaben kann Ihnen zusätzliche Punkte bringen.
5. Bitte benutzen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt.
6. Als Hilfsmittel sind zugelassen: Ein Taschenrechner, eine Formelsammlung,
ausgegebene Blätter zu Konfidenzintervallen und Tests sowie Tabellen für Verteilungsfunktionen und Quantile, zwei selbst erstellte Blätter, die keine Beispiele und Lösungen von Aufgaben und keine Definitionen enthalten.
7. Geben Sie Ihre Lösungen zusammen mit diesem Deckblatt, mit Ihrem Namen
und Matrikelnummer versehen, sowie dem gedruckten Aufgabenblatt ab.
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2 3 4 5 Σ Z1 Z2
7 6 5 5 7 30 2 2
1
1. Urne: Aus einer Urne, welche m weiße und n schwarze Kugeln enthält, werden
nacheinander zwei Kugeln gezogen, die jeweils nicht zurückgelegt werden. Es ist
bekannt, dass die erste gezogene Kugel mit Wahrscheinlichkeit 41 weiß ist. Weiterhin
ist die zweite Kugel mit Wahrscheinlichkeit 17 weiß, wenn schon die erste gezogene
Kugel eine weiße war.
(a) Berechnen Sie m und n unter Verwendung der gegebenen Wahrscheinlichkeiten!
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die zweite gezogene Kugel
schwarz ist?
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit war die erste gezogene Kugel weiß, wenn die
zweite schwarz ist?
Lösung.
(a) Das Ziehen von Kugeln aus einer Urne ist ein Laplace-Experiment. Es bezeichne Wi das Ereignis „ Die i-te gezogene Kugel ist weiß“ (i = 1, 2). Dann haben
wir folgendes gegeben:
1
1
P (W1 ) = , P (W2 ∣W1 ) = .
4
7
Allgemein gilt
m
m−1
P (W1 ) =
, P (W2 ∣W1 ) =
.
m+n
m+n−1
Wir erhalten also
4m = m + n
7(m − 1) = m + n − 1.
und
Die erste Gleichung kann umgeformt werden zu n = 3m und eingesetzt in die
zweite Gleichung ergibt das
7m − 7 = 4m − 1,
also m = 2. Daraus folgt dann n = 6.
(b) Nach dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit gilt
P (W2 ) = P (W2 ∣W1 )P (W1 ) + P (W2 ∣W1 )P (W1 )
m−1
m
m
n
=
+
m+n−1m+n m+n−1m+n
m
1
= ,
=
m+n 4
also
P (W2 ) = 1 − P (W2 ) =
3
4
(c) Nach dem Satz von Bayes gilt
P (W1 ∣W2 ) =
P (W2 ∣W1 )P (W1 )
P (W2 )
=
n
m
n+m−1 m+n
n
m+n
=
m
2
= .
n+m−1 7
2
2. Produktion von Leiterplatten: Eine Maschine stellt bei einem Durchlauf
200 Leiterplatten her, wobei einzelne Leiterplatten unabhängig voneinander mit
Wahrscheinlichkeit 0.1 unbrauchbar sind.
(a) Wie ist die Zufallsgröße X... „Anzahl der unbrauchbaren Leiterplatten aus
einem Durchlauf“ verteilt?
(b) Aus der Produktion eines Durchlaufs werden 10 Leiterplatten entnommen und
auf ihre Funktionsfähigkeit getestet. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass
höchstens eine dieser 10 Leiterplatten unbrauchbar ist?
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mindestens 15, aber nicht mehr als 25
Leiterplatten eines Durchlaufs fehlerhaft?
Hinweis: Verwenden Sie zum Lösen der Teilaufgabe (c) einen geeigneten Grenzwertsatz!
Lösung.
(a) X ∼ B(200, 0.1)
(b) Für die Zufallsgröße Y ... „ Anzahl der fehlerhaften Leiterplatten unter den 10
entnommenen“ gilt Y ∼ B(10, 0.1). Demzufolge gilt
10
P (Y ≤ 1) = P (Y = 0) + P (Y = 1) = 0.91 0 + ( )0.1 ⋅ 0.99 = 0.736.
1
(c) Es gilt EX = np = 20 und V ar(X) = np(1 − p) = 18, wir können daher den
Grenzwertsatz von Moivre-Laplace anwenden. Mit Stetigkeitskorrektur erhalten wir
P (15 ≤ X ≤ 25) = P (X ≤ 25.5) − P (X ≤ 14.5)
X − 20 25.5 − 20
X − 20 14.5 − 20
=P( √
≤ √
)−P ( √
≤ √
)
18
18
18
18
5.5
5.5
≈ Φ ( √ ) − Φ (− √ )
18
18
5.5
= 2Φ ( √ ) − 1 = 0.806.
18
3. Autos zählen: Auf einer wenig befahrenen Straße kommen tagsüber an einer
bestimmten Stelle durchschnittlich nur 20 Autos pro Stunde vorbei. Wir gehen davon
aus, dass die Anzahl der in einem Zeitintervall vorbeifahrenden Autos durch eine
Poisson-verteilte Zufallsgröße beschrieben werden kann.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird innerhalb von fünf Minuten kein einziges
Auto die Stelle passieren?
(b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in sechs Minuten mindestens
zwei Autos vorbeifahren?
(c) Wie lange muss man warten, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% mindestens ein Auto vorbeifahren zu sehen?
3
Lösung. Sei Xt die Anzahl der Autos die in t Minuten vorbeifahren. Nach Vor1
aussetzung gilt Xt ∼ πµt und EX60 = 20. Wegen EXt = µt folgt µ = 20
60 = 3 .
(a)
P (X5 = 0) = e− 3 ⋅5 = 0.189
1
(b)
P (X6 ≥ 2) = 1 − P (X < 2) = 1 − P (X0 ) − P (X = 1) = 1 − e−2 − 2 ⋅ e−2 = 0.594
(c) Gesucht ist t ∈ R, sodass P (Xt ≥ 1) = 0.95. Wegen P (Xt ≥ 1) = 1 − P (Xt = 0) =
1
1
1 − e− 3 t ist dies äquivalent zu e− 3 t = 0.05 oder aber t = −3 ln(0.05) = 8.99. Man
muss also knapp neun Minuten warten.
4.
Typ der Zufallsgröße: Eine Zufallsgröße X besitze die Verteilungsfunktion
⎧
0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ 31
F (x) = ⎨
α
⎪
⎪
⎪
⎪
3
⎪
⎩ 2α
falls x ≤ 0,
falls 0 < x ≤ 21 ,
falls 12 < x ≤ 32 ,
falls x > 32 .
(a) Bestimmen Sie die Konstante α.
(b) Entscheiden Sie, ob es sich um eine diskrete oder um eine stetige Zufallsgröße
handelt und geben Sie je nach Entscheidung entweder die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X als Tabelle oder die Dichtefunktion von X als Formel an.
(c) Berechnen Sie den Erwartungswert EX und die Streuung D2 X.
Lösung.
(a) Offensichtlich ist wegen F (x) = 3α/2 = 1 für große x die Konstante α = 23 .
(b) Es handelt sich um eine diskrete Zufallsgröße mit den drei Werten
x1 = 0, x2 = 21 , x3 = 32 und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten p1 = p2 = p3 =
1
3 . Es sollte eine entsprechende Tabelle zu sehen sein.
(c) EX = 23 = 0.6666.
Mit EX 2 = 56 gilt D2 X = EX 2 − (EX)2 =
7
18
= 0.3888.
5. Abfüllmenge: Eine Kontrollmessung der Abfüllmenge von 20 Bierflaschen
ergab folgende Werte (xi )20
i=1 (in ml)
498
504
507
499
503
503
498
500
500
497
502
498
504
510
503
503
504
492
501
500
Daraus berechnete man
20
∑ xi = 10026
20
und
i=1
2
∑ xi = 5026324 .
i=1
Wir nehmen an, dass die xi Realisierungen einer normalverteilten Zufallsgröße X
sind.
4
(a) Geben Sie je eine erwartungstreue Schätzfunktion für die Varianz und den
Erwartungswert von X an und berechnen Sie die zugehörigen Schätzwerte!
(b) Geben Sie ein zweiseitiges Konfidenzintervall für die Standardabweichung σ
zum Konfidenzniveau 1 − α = 0.95 an!
Wie verändert sich das Konfidenzintervall, wenn das Konfidenzniveau größer
gewählt wird?
(c) Ein empörter Konsument behauptet µ ≤ 495. Lässt sich diese Hypothese anhand der vorliegenden Stichprobe mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1%
widerlegen?
Lösung.
(a)
X̄20 =
1 20
∑ xi = 501.3
20 i=1
2
2
S20
⎞
1 ⎛ 20 2 1 20
(∑ xi ) = 15.274
=
∑ xi −
19 ⎝i=1
20 i=1
⎠
(b) Es ist χ219,0.975 = 32.85 und χ219,0.025 = 8.907. Als zweiseitiges Konfidenzintervall
für σ ergibt sich
√
¿
⎡¿
⎡√
⎤
2
2 ⎤
⎢Á
⎥
⎢
Á
S
S
15.274
15.274 ⎥⎥
n
n ⎥ ⎢
⎢Á
Á
À
À
19 ⋅
, (n − 1) 2
=
, 19 ⋅
⎢ (n − 1) χ2
32.85
8.907 ⎥⎥
χn−1, α ⎥⎥ ⎢⎢
⎢
n−1,1− α
⎣
⎦
⎣
2
2 ⎦
= [2.97, 5.71]
Erhöht man das Konfidenzniveau, so wird das Konfidenzintervall größer.
(c)
1. H0 ∶ µ ≤ 495,
H1 ∶ µ > 495
2. α = 0.01
3.
T=
X̄20 − 495 √
20 = 7.209
S20
4. K = {x ∈ R ∶ x > t19,0.99 } = (2.5395, ∞)
5. T ∈ K, somit wird die Nullhypothese abgelehnt
Zusatzaufgaben
Z1. Randverteilung: Wir betrachten die zweidimensionale stetige Zufallsgröße
(X, Y ), welche über die gemeinsame Dichtefunktion
⎧
⎪
⎪1 ,
f (x, y) = ⎨
⎪
⎪
⎩0 ,
falls (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]
sonst
definiert ist. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (A) und P (B) der zufälligen
Ereignisse A = {−2 ≤ X ≤ 1} und B = {X ≤ 0.5}. Sind A und B stochastisch
unabhängig?
5
Lösung. Die Randverteilungsfunktion von X berechnet sich mit der Randdichte
fX (x) = 1[0,1] (x) zu FX (x) = x 1[0,1] (x), also
FX (x) = 0 (x < 0), FX (x) = x (0 ≤ x ≤ 1), FX (x) = 1 (x > 1).
Somit gilt P (A) = F (1) − F (−2) = 1 und P (B) = F (0.5) = 0.5.
A und B sind stochastisch unabhängig, weil A ∩ B = B und P (A) = 1, damit
P (A ∩ B) = P (A) P (B) gilt.
Z2. Würfelproblem: Wir betrachten die folgende Situation: Man würfelt mit
einem fairen, sechsseitigen Würfel, der mit den Zahlen Eins bis Sechs beschriftet
ist. Wenn eine Sechs geworfen wurde, muss stets noch einmal gewürfelt werden
(d.h. man würfelt so lange, bis man eine Zahl gewürfelt hat, die keine Sechs ist).
Danach addiert man alle gewürfelten Zahlen. Die so erhaltene Zahl kann man als
eine Zufallsvariable X betrachten. Berechnen Sie den Erwartungswert von X !
Lösung. Zunächst einmal wird jede Zahl von Eins bis Sechs mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 61 gewürfelt. Wenn man eine Sechs würfelt, so erhöht sich also die
Summe um 6 und gewissermaßen beginnt man dann wieder von vorn. Somit gilt für
den Erwartungswert:
EX =
1 5
21 1
(∑ i + (6 + EX)) =
+ EX
6 i=1
6 6
Umstellen nach EX liefert EX =
21
5
= 4.2.
6
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