Elementarmathematik

Elementarmathematik
1
Einleitung
Im Buch ’Virus Dynamics’ von M. Nowak und R. May findet man das Zitat:
... mathematics is no more, but no less, than a way of thinking clearly [3].
(... die Mathematik ist nichts mehr, aber nichts weniger, als eine Art, klar zu
denken.)
Wenn wir diese Art zu denken gut beherrschen, dann haben wir etwas, was uns
in vielen Lebenslagen helfen kann. Außerdem ist die Mathematik an und für
sich schön. Diese Vorlesung soll den Hörern wichtige Aspekte der Mathematik
nahebringen, die praktisch eingesetzt werden können und hoffentlich auch etwas
von der Schönheit des Fachs vermitteln.
2
Zahlen
Wer an Mathematik denkt, denkt sofort an Zahlen. Zahlen spielen in der Tat
eine zentrale Rolle in der Mathematik und in dieser Vorlesung sind sie unser erstes Thema. Es gibt verschiedene Arten von Zahlen und diese möchten wir Revue passieren lassen. Es gibt natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen,
reelle Zahlen und komplexe Zahlen. Jetzt wird beschrieben, was diese unterschiedlichen Arten von Zahlen sind und was man damit machen kann.
Die einfachsten Zahlen sind die natürlichen Zahlen
{1, 2, 3, 4, . . .},
(1)
die Zahlen, die wir in der Kindheit kennenlernen. Die Menge der natürlichen
Zahlen wird mit N bezeichnet. Wenn a und b natürliche Zahlen sind, dann
sind die Summe a + b und das Produkt ab auch natürliche Zahlen. Im Rahmen
der natürlichen Zahlen können wir aber nicht immer subtrahieren. Z.B. gibt es
2 − 3 als natürliche Zahl nicht. Anders gesagt, gibt es keine natürliche Zahl a
mit der Eigenschaft, dass 3 + a = 2. Die Lösung dieses Problems ist schon lange
bekannt. Wir können die Null einführen (wie es schon die alten Inder getan
haben) und die negativen Zahlen. Dann können wir 2 − 3 = −1 schreiben.
Wenn die natürlichen Zahlen durch die Null und die negativen Zahlen
{−1, −2, −3, −4, . . .},
1
(2)
erweitert werden, dann bekommen wir die ganzen Zahlen. Die Menge der ganzen
Zahlen wird mit Z bezeichnet. Im Rahmen der ganzen Zahlen ist die Subtraktion ohne Einschränkung möglich. Wenn a und b ganze Zahlen sind, dann ist
a − b immer sinnvoll. Durch eine Erweiterung des Zahlensystems haben wir uns
mehr Möglichkeiten geschaffen. Addition und Multiplikation sind immer noch
möglich, so dass durch die Erweiterung nichts verlorengegangen ist. Einige Autoren rechnen die Null zu den natürlichen Zahlen. Diese Alternative übernehmen
wir hier nicht. Wir bezeichnen die Menge der natürlichen Zahlen mit der Null
dazu als N0 , d.h. N0 = N ∪ {0}.
Im Rahmen der ganzen Zahlen ist die Division nur begrenzt möglich. Z.B.
gibt es 32 als ganze Zahl nicht. Es gibt keine ganze Zahl a mit der Eigenschaft dass 3a = 2. Diese Einschränkung kann aufgehoben werden in dem
wir die ganzen Zahlen durch die Brüche erweitern. Die Brüche, einschließlich
der ganzen Zahlen heißen rationale Zahlen. Das Wort ’rational’ hier soll nicht
als ’vernünftig’ interpretiert werden sondern kommt vom lateinischen ’ratio’
(Verhältnis). Die Menge der rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet. (Q
steht für Quotienten.) Die bekannten Regeln der Bruchrechnung erlauben es im
Rahmen der rationalen Zahlen die vier Grundrechenarten ohne Einschränkung
auszuführen bis auf die Tatsache, dass die Division durch Null nicht definiert
ist. Zusammenfassend, haben wir jetzt drei Zahlenarten N, Z, Q eingeführt mit
N ⊂ Z ⊂ Q.
Es gibt noch eine weitere Klasse von Zahlen, die sehr wichtig sind, die reellen
Zahlen,
√ die mit R bezeichnet werden. Außer den rationalen Zahlen enthalten sie
z. B. 2 und die Kreiszahl π. Diese Zahlen sind notwendig für die Anwendungen
der Mathematik in den Naturwissenschaften und, innerhalb der Mathematik,
auf die Geometrie. Sie werden gebraucht, um die diagonale des Quadrats mit
Seitenlänge Eins oder den Umfang des Kreises mit Radius Eins auszudrücken.
Diese Zahlen sind keine rationalen Zahlen (was nicht offensichtlich ist). Auf diese
Dinge gehen wir später genauer ein. Die reellen Zahlen, die keine rationalen
Zahlen sind, heißen irrationale Zahlen.
Selbst innerhalb der reellen Zahlen hat die Gleichung z 2 = −1 keine Lösung.
Um dieses Problem zu umgehen führt man eine Größe i ein, die imaginäre
Einheit, mit der Eigenschaft i2 = −1. Es gilt auch (−i)2 = −1. Dann hat
unsere Gleichung zwei Lösungen. Man kann eine Klasse von Zahlen definieren,
die komplexen Zahlen, die auch i enthält. Sie wird mit C bezeichnet. Die
Zahlen der Form ai mit a reell heißen imaginär und die Bezeichnung ’reelle
Zahlen’ entstand als Gegensatz zum Begriff ’imaginäre Zahlen’.
2.1
Die reellen Zahlen
Wir haben jetzt von den reellen Zahlen gesprochen, nicht aber genau gesagt, was
sie sind. Ein anschauliches Bild der reellen Zahlen wird durch die Zahlengerade gegeben. Betrachten wir eine Gerade auf der ein Punkt (der Ursprung)
ausgezeichnet wird. Eine Richtung auf der Gerade wird als positiv deklariert.
Z. B. wird oft eine waagerechte Gerade genommen und die positive Richtung
als ’nach rechts’ gewählt. Der Ursprung wird mit der Zahl Null identifiziert.
2
Eine positive Zahl a wird mit dem Punkt identifiziert, der in positiver Richtung
im Abstand a zum Ursprung liegt. Eine negative Zahl a wird mit dem Punkt
identifiziert, der in negativer Richtung im Abstand −a zum Ursprung liegt. Auf
diese Weise bekommt insbesondere jede rationale Zahl eine Darstellung auf der
Zahlengerade. Wie schon angedeutet entsprechen aber nicht alle Punkte auf der
Gerade rationalen Zahlen.
Es ist relativ kompliziert, eine präzise und vollständige Definition der reellen
Zahlen zu geben und eine solche Definition kann im Rahmen dieser Vorlesung
nicht gebracht werden. Ein wesentlicher Umstand ist dass die rationalen Zahlen
in den reellen Zahlen dicht liegen. Das heißt, dass wenn a eine reelle Zahl
ist und > 0 es eine rationale Zahl b gibt, so dass der Abstand zwischen a
und b kleiner als ist. Man kann eine reelle Zahl beliebig gut durch rationale
Zahlen approximieren. Praktische Messungen in der realen Welt haben nur eine
endliche Genauigkeit. Wenn wir die Länge eines Stabs messen wird das Ergebnis
immer nur mit endlich vielen Dezimalstellen angegeben. Das heißt, das Ergebnis
ist eine rationale Zahl. Die reellen Zahlen sind trotzdem für die Anwendungen
der Mathematik von großer Bedeutung. Die Vorteile dieses Begriffs hängen
damit zusammen, dass wir ein intuitives Bild der Gerade in uns tragen. Eine
Definition der reellen Zahlen wurde erst 1872 von Richard Dedekind aufgestellt,
der damals Professor der Mathematik in seinem Geburtsort Braunschweig war.
Seine Konstruktion, der ’Dedekindsche Schnitt’ wird bis heute verwendet.
Jetzt soll gezeigt werden, warum die rationalen Zahlen für die Geometrie
nicht ausreichen. Die alten Griechen
√ wussten, dass die Diagonale eines Quadrats
der Seitenlänge Eins die Länge 2 hat, und dass diese Zahl irrational ist. Der
Beweis ist ein sogenannter ’indirekter Beweis’ oder Beweis durch Widerspruch.
Man nimmt an, dass eine bestimmte Aussage wahr sei und leitet aus dieser
Aussage durch logische Schritte einen Widerspruch. Daraus schließt man, dass
die Annahme
√ falsch gewesen sein muss. Im Beispiel, das uns interessiert führt die
Annahme,
2 sei rational zu einem Widerspruch und damit ist bewiesen, dass
√
2 irrational ist. Bevor wir den Beweis durchführen machen wir auf folgende
Umstände aufmerksam.
(i) Wenn a eine positive rationale Zahl ist, dann kann sie in der Form p/q
geschrieben werden mit p und q aus Z. Dabei darf angenommen werden, dass
p und q positiv sind. Weil wenn p negative wäre, wäre q auch negativ und man
könnte p und q durch −p und −q ersetzen. Wenn p und q positiv sind können
wir weiterhin anehmen, dass p die kleinste Zahl ist für die es ein solches Paar
(p, q) gibt. In dem Fall sind p und q nicht beide gerade. Weil sonst könnten wir
sie durch (p/2, q/2) ersetzen.
(ii) Wenn eine ganze Zahl a gerade ist, dann ist definitionsgemäss a = 2b für
eine ganze Zahl b. Dann ist a2 = 4b2 = 2(2b2 ) auch gerade. Wenn dagegen a
ungerade ist, dann ist a = 2b + 1 für eine ganze Zahl b und a2 = (2b + 1)2 =
2(2b2 + 2b) + 1 auch ungerade. Zusammenfassend, eine ganze Zahl a ist gerade
2
genau dann wenn
√ a gerade ist.
Satz Die Zahl 2 ist irrational. √
Beweis Wenn
√ wir annehmen, dass 2 rational ist, dann gibt es ganze Zahlen p
und q mit 2 = pq . Wir können nach (i) annehmen, dass p und q positiv sind
3
und nicht beide gerade. Quadrieren und mit q 2 multiplizieren gibt p2 = 2q 2 .
Deshalb ist p2 gerade. Es folgt aus der obigen Diskussion, dass p gerade ist,
also p = 2r für eine ganze Zahl r. Deshalb ist 4r2 = 2q 2 und q 2 = 2r2 . Daraus
folgt, dass q 2 und deshalb auch q gerade ist. Die Zahlen p und q sind also beide
gerade, was unserer Annahme widerspricht. Damit ist der Beweis geführt.
Es ist viel schwieriger zu beweisen, dass π irrational ist. Der erste Beweis stammt
vom schweizer Mathematiker Johann Heinrich Lambert im Jahr 1761.
3
Der Goldene Schnitt
Der Goldene Schnitt ist ein Verhältnis von Längen, das in der Kunst als besonders schön gilt. Sie kommt auch an vielen Stellen in der Natur vor, z.B. bei der
Blattstellung von Pflanzen (Phyllotaxis).
3.1
Definition des Goldenen Schnitts
Der Goldene Schnitt wird durch eine Art definiert, eine Strecke zu schneiden,
liefert aber am Ende eine reine Zahl.
Definition Eine Strecke der Länge s > 0 wird im Goldenen Schnitt s = a + b
geteilt, wenn sich die ganze Länge s zum größeren Abschnitt a wie dieser zum
kleineren Abschnitt b verhält. Das heißt, es ist
a
s
= .
a
b
(3)
Aus dieser Beziehung folgt, dass
s
a
=
,
a
s−a
a 2
s
+
a
−1=0
s
(4)
Die Formel für die Lösung einer quadratischen Gleichung liefert
1 1√
a
=− ±
5.
s
2 2
(5)
Eine dieser Lösungen ist negativ und deshalb für das ursprüngliche Problem
nicht relevant. Die andere ist
a
1 √
= ( 5 − 1) = 0, 618 . . . .
(6)
s
2
Die Zahl
Φ=
a
s
= = 1, 618 . . .
b
a
(7)
ist das Goldene Verhältnis.
Es wird manchmal behauptet, dass bei bestimmten schönen Gebäuden das
Verhältnis der Dimensionen das Goldene Verhältnis ergibt (z. B. das Parthenon
in Athen, der Dom von Florenz, Notre Dame in Paris). Es gibt aber anscheinend keine Dokumente die belegen würden dass beim Bau an so etwas
4
bewusst gedacht wurde. Vielleicht war es der unbewusste Sinn des Architekten
nach Schönheit. In der Natur findet man das Goldene Schnitt bei der Anordnung
der Blätter bestimmter Pflanzen. Der Goldene Winkel ist, in Grad ausgedrückt,
360
Φ . Bei bestimmten Pflanzen wo die Blätter um einen Stiel herum angeord
net sind ist der Winkel zwischen aufeinanderfolgen Blättern 360 1 − Φ1 . Nach
einer Theorie erreicht die Pflanze dadurch, dass die Blätter sich möglichst wenig
überdecken und sich dadurch bei der Photosynthese möglichst wenig gegenseitig
behindern.
3.2
Harmonische Rechtecke
Ein Rechteck heißt harmonisch wenn die Längen der Seiten a, b mit a > b so
a
. In diesem Fall gilt ab = Φ. Wenn man ein Rechteck in
sind, dass ab = a+b
ein Quadrat und einen Rest zerlegt und das Verhältnis der Seiten beim Rest
so ist wie beim ursprünglichen Rechteck, dann ist das ursprüngliche Rechteck
harmonisch.
3.3
Vergleich mit der DIN-Norm für Papierformate
Wie werden die üblichen Papierformate (A0, A1, A2, A3, A4, . . .) definiert? Sie
haben die Eigenschaft, dass wenn man ein Blatt in einem dieser Formate halbiert, das Ergebnis ein Blatt im nächsten Format der Reihe ist. Alle Formate
der Reihe haben das gleiche Verhältnis der Breite zur Länge. Dieses Verhältnis
kann man folgendermassen berechnen. Wenn Länge und Breite des ersten Blattes a und b sind, dann ist die Bedingung die erfüllt werden muss ab = 2b
a . Daraus
√
a
folgt, dass b = 2. Um zu wissen, wie groß die einzelnen Blätter sind muss man
noch wissen, wie groß eins der Formate ist. Es wird festgelegt, dass das A0-Blatt
die Fläche ein Quadratmeter haben soll. Die Länge des A0-Blatts ist dann die
vierte Wurzel aus zwei. Sie ist nicht rational und insbesondere keine ganze Zahl
von Millimetern. In der Praxis arbeitet man mit einer gewissen Toleranz. Der
Richtwert ergibt eine Fläche von 999.949 Quadratmillimetern.
4
4.1
Die Fibonacci-Zahlen
Definition der Fibonacci-Zahlen
Leonardo da Pisa, Fibonacci genannt, war einer der ersten, der die indo-arabischen
Ziffern in Europa bekannt gemacht hat. In seinem Buch ’Liber Abbaci’ (um 1200
erschienen) hat er folgendes Beispiel beschrieben:
Ein bestimmter Mann hat ein Kaninchenpaar an einem Ort gehalten der auf
allen Seiten von einer Mauer umgeben war. Wie viele Kaninchenpaare können
in einem Jahr aus diesem Paar produziert werden wenn angenommen wird,
dass jedes Paar in jedem Monat ein weiteres Paar hervorbringt, welches ab dem
zweiten Monat fruchtbar wird?
5
Dieses Beispiel hat natürlich wenig mit Biologie und viel mit Mathematik
zu tun. Die Fibonacci-Folge (die schon vor mehr als 2000 Jahren von anderen
betrachtet wurde) wird folgendermassen definiert
Definition Die Fibonacci-Folge {Fn } wird rekursiv durch
F1 = F2 = 1,
(8)
Fn = Fn−1 + Fn−2 ,
n = 3, 4, . . .
(9)
definiert. Die ersten Elemente der Folge sind
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .
4.2
(10)
Goldener Schnitt und Fibonacci-Zahlen
Betrachten wir die Zahlen
√
1− 5
φ=
= −0, 618 . . . ,
2
Φ=
√
1+ 5
= 1, 618 . . . .
2
(11)
Die Zahl Φ ist nichts anderes als das Goldene Verhältnis. Die Zahlen φ und Φ
sind beide Lösungen der Gleichung x2 − x − 1 = 0. Von diesem Ausgangspunkt
können wir verschiedene Gleichungen für φ herleiten:
1 + φ = φ2
1 + 2φ = φ3 ,
4
1 + 2φ = 1 + φ + φ = φ + φ2 = φ(1 + φ) = φ3
2 + 3φ = φ ,
2 + 3φ = 1 + φ + 1 + 2φ = φ2 + φ3 = φ2 (1 + φ) = φ4
3 + 5φ = φ5 ,
3 + 5φ = 1 + 2φ + 2 + 3φ = φ3 + φ4 = φ3 (1 + φ) = φ5
5 + 8φ = φ6 ,
5 + 8φ = 2 + 3φ + 3 + 5φ = φ4 + φ5 = φ4 (1 + φ) = φ6
Diese Rechnung könnten wir beliebig lange weiterführen. Die gleichen Identitäten gelten für Φ, da Φ die gleiche Ausgangsleichung erfüllt wie φ. Hier baut
sich ein Muster auf, wo die Fibonacci-Zahlen zum Vorschein kommen. Wenn
wir die Gleichungen dieser Folge für φ von den entsprechenden Gleichungen für
Φ subtrahieren dann ergeben sich die Gleichungen
Φ2 − φ 2
Φ3 − φ 3
Φ4 − φ 4
Φ5 − φ 5
= 1,
= 2,
= 3,
= 5, usw.
(12)
Φ−φ
Φ−φ
Φ−φ
Φ−φ
√
In diesen Formeln können wir den Nenner durch 5 ersetzen. Durch diese
Überlegungen kommt man auf folgende Aussage, die von de Moivre und Binet
bewiesen wurde. (Die soeben gemachten Rechnungen beweisen den Satz nicht.)
Satz Zwischen den Fibonacci-Zahlen Fn und den Goldenen Zahlen φ und Φ
besteht der Zusammenhang
1
Fn = √ (Φn − φn ),
5
n = 1, 2, 3, . . .
Da |φ| < 1 folgt aus diesem Satz, dass für n groß Fn ungefähr gleich
6
(13)
√1 Φn
5
ist.
4.3
Binomischer Lehrsatz und Pascalsches Dreieck
Die Fakultät wird durch n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n definiert. Die Binomialkoeffizienten
werden durch
n
n!
n
n
=
,
= 1,
=1
(14)
k
k!(n − k)!
0
n
definiert. In diesem Zusammenhang ist es auch günstig 0! = 1 zu definieren.
Satz (Binomischer Lehrsatz) Wenn a, b ∈ R und n ∈ N dann gilt
n
(a + b) =
n X
n
k=0
k
an−k bk .
(15)
Dieser Satz wird normalerweise durch vollständige Induktion bewiesen. Dieser
Beweismethode wenden wir uns im nächsten Abschnitt zu. Im Fall n = 1
reduziert sich der Satz auf die uninteressante Gleichung a + b = a + b. Dagegen
sind die Fälle n = 2 und n = 3 schon für algebraische Rechnungen sehr nützlich.
Sie lauten
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
3
3
2
(16)
2
3
(a + b) = a + 3a b + 3ab + b .
(17)
Wenn wir (a + b)n für größere Werte von n auf diese Weise ermitteln wollten, dann könnten die Rechnungen langwierig werden. Sie lassen sich einfacher
sukzessiv durch die Verwendung der Identität
n+1
n
n
=
+
(18)
k
k−1
k
berechnen. Diese Identität bekommt eine geometrische Interpretation durch das
Pascalsche Dreieck. [In der Vorlesung wird das Dreieck angeschrieben.]
4.4
Restklassen nach Division
Definition Für zwei ganze Zahlen a, b ∈ Z und eine positive natürliche Zahl
m ∈ N schreiben wir
a ≡ b mod m
bzw.
a − b ≡ 0 mod m
(19)
genau dann, wenn a und b nach Division durch m den gleichen ganzzahligen
Rest lassen. Es sind also z. B. 1 ≡ 5 mod 2 und 5 ≡ 14 mod 3. Die Division
durch zwei teilt die natürlichen Zahlen N offenbar in zwei disjunkte Restklassen
ein. Es sind die Restklasse aller ungeraden Zahlen (die Division durch zwei lässt
den Rest 1) und die Restklasse aller geraden Zahlen (die Division durch zwei
lässt den Rest 0). Wir schreiben
0̄ = {. . . , 2, 4, 6, 8, 10 . . .},
1̄ = {. . . , 1, 3, 5, 7, 9 . . .}.
7
Analog zerlegt die Division durch 5 die Menge N in fünf einander disjunkte
Restklassen, deren Elemente durch den gemeinsamen Rest 0, 1, 2, 3 oder 4
charakterisiert sind:
0̄ = {. . . , 5, 10, 15, 20, 25 . . .},
1̄ = {. . . , 1, 6, 11, 16, 21 . . .},
2̄ = {. . . , 2, 7, 12, 17, 22 . . .},
3̄ = {. . . , 3, 8, 13, 18, 23, . . .},
4̄ = {. . . , 4, 9, 14, 19, 24 . . .}.
(20)
Wir wollen die Elemente einer solchen Restklasse als äquivalent ansehen, gekennzeichnet durch das Symbol ∼, schreiben also z. B.
5 ∼ 10,
5 ∼ 15 , 10 ∼ 15
usw.
(21)
für die Restklasse 0̄ bei Division durch 5. Für dieses Beispiel schreibt man
allgemeiner
a ∼ b genau dann, wenn a − b ≡ 0 mod 5.
(22)
Die hierdurch eingeführte Relation zwischen zwei Elementen a und b besitzt interessante Eigenschaften, die sie als sogenannte Äquivalenzrelation auszeichnen.
Definition Eine Äquivalenzrelation ist durch folgende Eigenschaften charakterisiert. Sie ist
reflexiv: es gilt stets x ∼ x
symmetrisch: wenn x ∼ y dann gilt auch y ∼ x
transitiv: wenn x ∼ y und y ∼ z dann gilt auch x ∼ z
Der Begriff der Äquivalenzrelation hat in der Mathematik viele Anwendungen.
Diese Definition kann im Rahmen der Mengenlehre präzisiert werden. Wir fangen mit einer Menge X an. Die Produktmenge X × X ist die Menge aller
Paare (a, b) mit a, b ∈ X. Eine Relation auf X wird durch eine Teilmenge R
von X × X definiert. Die Relation heißt Äquivalenzrelation wenn folgende drei
Eigenschaften gelten, die den schon oben genannten Eigenschaften entsprechen.
Für jedes Element a ∈ X ist (a, a) ∈ R. Wenn (a, b) ∈ R, dann auch (b, a).
Wenn (a, b) ∈ R und (b, c) ∈ R dann ist (a, c) ∈ R. Die Beziehung zwischen den
zwei Schreibweisen ist, dass (a, b) ∈ R der Aussage a ∼ b entspricht.
Es werden jetzt verschiedene Rechenregeln für Restklassen ohne Beweis
angegeben.
Aus a ≡ b mod m und c ∈ Z folgt a + c ≡ b + c mod m
Aus a ≡ b mod m und c ≡ d mod m folgt a + c ≡ b + d mod m
Aus a ≡ b mod m und c ∈ Z folgt ac ≡ bc mod m
Aus a ≡ b mod m und c ≡ d mod m folgt ac ≡ bd mod m
Aus a ≡ b mod m und n ∈ N folgt an ≡ bn√mod m
Denken wir an den Beweis zurück, dass 2 irrational ist. In diesem Beweis
haben wir zwei Tatsachen verwendet. Die erste ist, dass wenn man eine rationale
8
Zahl in Form p/q schreibt mit ganzen Zahlen p und q man annehmen darf, dass
p und q nicht beide gerade sind. Es ist allgemeiner so, dass man annehmen kann,
dass p und q teilerfremd sind. Das heisst, es gibt keine natürliche Zahl r > 1, die
p
√und q teilt. Die einzige andere Eigenschaft der Zahl 2 die wir im Beweis, dass
2 irrational ist verwendet haben ist, dass eine Zahl n gerade ist genau dann
wenn n2 gerade ist. Dies ist die Aussage dass n ≡ 0 mod 2 genau dann, wenn
n2 ≡ 0 mod 2. In dem Fall, dass für eine andere Zahl k gilt, dass n ≡ 0 mod k
genau dann wenn n2 ≡ 0 mod k, dann kann man ähnlich argumentieren wie
im Fall k = 2. Dass die zweite Aussage aus der ersten folgt sieht man aus den
obigen Rechenregeln. Die Umkehrung kann man für einen gegebenen Wert von
k überprüfen, in dem man alle Fälle durchgeht. Z. B. im Fall k = 5.
2
2
12 ≡ 1 mod 5, 22 ≡ 4 mod
√ 5, 3 ≡ 4 mod 5, 4 ≡ 1 mod 5
Damit ist bewiesen dass 5 irrational ist und dass das goldene Verhältnis irrational ist.
4.5
Fermatsche Primzahlen
In diesem Abschnitt werden die Rechenregeln für Restklassen verwendet, um
ein klassisches Beispiel zu untersuchen. Der französische Mathematiker Pierre
de Fermat hat 1637 vermutet, dass alle Zahlen der Form
n
Fn = 22 + 1
(23)
Primzahlen sind, also natürliche Zahlen, die größer als 1 und nur durch sich
selbst teilbar sind. Diese Zahlen heißen aus diesem Grund Fermatsche Zahlen.
Sie sind beispielsweise
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537.
(24)
Leonhard Euler bewies aber dass F5 = 4294967297 keine Primzahl ist, sondern
den Teiler 641 besitzt.
5
22 + 1 = 232 + 1 ≡ 0 mod 641.
(25)
Diese Aussage wird jetzt bewiesen. Zunächst ist
641 = 640 + 1 = 5 · 27 + 1 und 5 · 27 ≡ −1 mod 641.
(26)
In dem wir die vierte Potenz bilden bekommen wir
54 · 228 ≡ 1 mod 641.
(27)
54 + 24 = 625 + 16 = 641 und 54 ≡ −24 mod 641.
(28)
Andererseits ist
Diese Gleichung wird jetzt mit 228 multipliziert, mit dem Ergebnis
232 ≡ −54 · 228 mod 641 ≡ −1 mod 641.
9
(29)
5
5.1
Summenformeln
Was sind Summenformeln?
Wir
in diesem Abschnitt explizite Darstellungen für die Summen Sp (n) =
Pn wollen
p
p
k=1 k für Potenzen k mit p ∈ N kennenlernen. An solchen Beispielen lernt
man in der Regel die Beweismethode der vollständigen Induktion. Diese Vorgehensweise hat den Nachteil, dass man die richtige Antwort kennen muss, bevor
man sie beweist. Wir wollen daher auch der Frage nachgehen, wie explizite
Darstellungen für Summen von Potenzen auf direktem Wege hergeleitet werden können. Zweitens
Pn leiten wir eine explizite Darstellung für die geometrische
Summe Gq (n) = k=0 q k ab und diskutieren an einem Beispiel ihre Anwendung
im Bereich der Zinsrechnung.
5.2
Die Summe der ersten n Zahlen
Wir beginnen mit dem
Satz Es gilt
S1 (n) =
n
X
k=
k=1
n(n + 1)
.
2
(30)
Beweis Die Idee des nachfolgenden Beweises stammt vom neunjährigen C. F.
Gauß: wir schreiben die Summe zweimal untereinander, einmal aufsteigend,
einmal absteigend, auf und summieren die Elemente in den einzelnen Spalten
1+
2
+ ...
n + (n − 1) + . . .
+(n − 1) + n
(31)
+
(32)
2
+1
Jede Spalte liefert einen Beitrag n + 1 und es gibt n davon. Das Ergebnis ist das
doppelte der Summe, die wir ausrechnen wollten. Damit ist der Satz bewiesen.
5.3
Die Summe der ersten n Quadratzahlen
Wir wollen eine explizite Darstellung für S2 (n) herleiten. Dazu benötigen wir
den
Hilfssatz Für jedes n gilt
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) = n2 .
(33)
Erster Beweis Dieser Beweis benutzt das Ergebnis des letzten Satzes. Die
Summe die uns hier interessiert kann als die Summe von drei Beiträgen geschrieben
werden. Dazu wird die Identität 2k − 1 = (k − 1) + (k − 1) + 1 benutzt. Die
Summe von k ist das bereits bekannte n(n+1)
während die Summe von 1 ist n.
2
Deshalb ist die Gesamtsumme
n(n − 1) n(n − 1)
+
+ n = n2 .
2
2
10
(34)
Zweiter Beweis Dieser geometrische Beweis wird an der Tafel gezeigt.
Satz S2 (n) = n(n+1)(2n+1)
.
6
In der Vorlesung wird eine geometrische Darstellung dieser Identität im Fall
n = 4 gegeben. Dabei werden sowohl der Hilfssatz als die Formel für die Summe
der ersten n Zahlen verwendet.
5.4
Summe der ersten n Kubikzahlen - vollständige Induktion
Eine explizite Darstellung von S3 (n) kann man mittels vollständiger Induktion
bekommen. Die Beweismethode der vollständigen Induktion können wir wie
folgt zusammenfassen.
Satz Für jedes n ∈ N ∪ {0} sei eine Aussage An der Art gegeben, so dass gelten
(i) die Aussage A0 is richtig, und
(ii) aus der Richtigkeit von An für beliebig gewähltes n ∈ N0 folgt die Richtigkeit
von An+1 . Dann gilt An für alle n ∈ N0 .
Der erste Punkt wird als Induktionsvoraussetzung bezeichnet. Der Induktionsschritt is dann Inhalt des zweiten Punktes. Der Beweis dieses Satzes ist eng mit
dem axiomatischen Aufbau der Zahlensysteme verwandt und wird hier nicht
behandelt. Jetzt wird diese Beweismethode zur Bestimmung der Größe S3 (n)
verwendet.
Satz Es gilt
n
X
n2 (n + 1)2
(35)
k3 =
S3 (n) =
4
k=1
Beweis Es reicht zu beweisen, dass S3 (n) = (S1 (n))2 , was jetzt mit vollständiger
Induktion gemacht wird.
Induktionsanfang: (S1 (1))2 = 1 = S3 (1). Die Aussage gilt also für n = 1.
Induktionsschritt: Es sei vorausgesetzt, dass (S1 (n))2 = S3 (n) für einen bestimmten Wert von n. Dann berechnen wir
2 2
(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)
2
(S1 (n + 1)) =
=
+ (n + 1)
(36)
2
2
= (S1 (n))2 + n(n + 1)2 + (n + 1)2
(37)
= S3 (n) + (n + 1)3 = S3 (n + 1).
(38)
Damit ist die Behauptung bewiesen.
Bei der Induktion kann man genau so gut bei irgendeinem n = n0 anfangen
wie bei n = 0. Das Ergebnis ist dann, dass die Aussage An für alle n ≥ n0 gilt.
5.5
Die geometrische Reihe
Die geometrische Reihe ist die unendliche Summe der Glieder der sogenannten
geometrischen Folge, d.h. derjenigen Zahlenfolge {ak } für welche das Verhältnis
11
benachbarter Folgenglieder stets konstant ist. Hier ist k ∈ N0 . Sei q = aak+1
k
dieses Verhältnis. Dann ist ak = a0 q k . Für die n-te Partialsumme Sn der
geometrischen Zahlenfolge ist daher
Sn =
n
X
ak = a0
k=0
n
X
qk
(39)
k=0
Satz Sei q 6= 1. Dann gilt
n
X
qk =
k=0
1 − q n+1
.
1−q
(40)
Ist ferner |q| < 1, so haben wir im Grenzfall n → ∞
∞
X
qk =
k=0
1
.
1−q
(41)
Beweis Wir schreiben die n-te Partialsumme wie folgt aus
Sn =
n
X
qk = 1 + q + q2 + . . . + qn .
(42)
k=0
Es folgt, dass
(1 − q)Sn = (1 + q + q 2 + . . . q n ) − (q + q 2 + q 3 + . . . q n+1 )
1 − q n+1 .
(43)
Für q 6= 1 bekommen wir daraus die erste Behauptung. Um die Grenzformel
zu bekommen benutzt man die Tatsache dass |q| < 1 impliziert |q|n → 0 for
n → ∞.
Die geometrische Reihe findet insbesondere Anwendung in der Zinseszinsrechnung bei Sparanlagen. Hier ist ein Beispiel.
Zu Beginn eines jeden Jahres zahlt man 2000 Euro bei einer Bank bei einem
Zinssatz von 5% ein. Wieviel Geld hat man nach fünf Jahren angespart?
Wir gehen wie folgt vor. Zunächst berechnen wir den Zinsfaktor 1,05. Um diesen
Faktor vermehrt sich das Geld in einem Jahr. Das im ersten Jahr eingezahlte
Geld wird fünf Jahre verzinst, mit dem Ergebnis 2000 · (1, 05)5 . Das im zweiten
Jahr eingezahlte Geld wird vier Jahre verzinst, mit dem Ergebnis 2000 · (1, 05)4 .
Das gesamte angesparte Kapital ergibt sich also aus folgender Rechnung:
2000 · (1, 05)5 + 2000 · (1, 05)4 + 2000 · (1, 05)3 + 2000 · (1, 05)2 + 2000 · (1, 05)1
= 2000 · 1, 05 · ((1, 05)4 + (1, 05)3 + (1, 05)2 + (1, 05)1 + (1, 05)0 )
= 2000 · 1, 05 ·
4
X
(1, 05)k = 2000 · 1, 05 ·
k=0
= 11.602, 826
12
1 − (1, 05)5
1 − 1, 05
nach Rundung. Durch Zinsen hat sich das eingezahlte Kapital um 1.602,83
Euro erhöht. Hätte man die 10000 Euro am Anfang eingezählt und zu 5% auf 5
Jahre verzinst so wäre der Endbetrag 10000 · (1, 05)5 = 12.762, 82 gewesen, also
wesentlich mehr.
5.6
Beweis der binomischen Formel
Die Methode der vollständigen Induktion kann angewendet werden um die binomische Formel zu beweisen. Die Aussage An , die es zu beweisen gilt ist die
Formel für einen gegebenen
von
n. Betrachten
wir zuerst die Aussage
PWert
0
A0 . (a + b)0 = 1 während k=0 k0 a−k bk = 00 = 1. Als nächstes kommt der
Induktionschritt.
n X
n n−k k
n+1
n
(a + b)
= (a + b)(a + b) = (a + b)
a
b
k
k=0
n n X
n n−k+1 k X n n−k k+1
=
a
b +
a
b
(44)
k
k
k=0
k=0
Die zweite Summe auf der rechten Seite kann durch
n+1
X n an−k+1 bk
k−1
(45)
k=1
ersetzt werden. Deshalb ist
n n n+1 X n
n
n n+1
(a + b)n+1 =
a
+
+
an−k+1 bk +
b
0
k
k−1
n
k=1
n n n+1
n n+1 X n + 1 n−k+1 k
a
+
a
b +
b
=
k
n
0
k=1
n+1
X n + 1
=
an−k+1 bk .
(46)
k
k=0
Mit der letzten Aussage haben wir An+1 bewiesen und auch den binomischen
Lehrsatz.
6
Der Satz des Pythagoras
Abgesehen von den Zahlen ist ein anderes bekanntes Gebiet der Mathematik die
Geometrie. Sie ist eng mit unseren Vorstellungen des Raumes verbunden, der
uns umgibt. Die alten Griechen haben die Geometrie als eigenständige Theorie
aufgebaut. Das kanonische Werk dazu sind die ’Elemente’ des Euklid. Seit den
Arbeiten von René Descartes, ist bekannt, dass man die euklidische Geometrie
auf den Zahlen aufbauen kann durch die Verwendung von Koordinaten. Es gibt
z. B. eine Korrespondenz zwischen Punkten in der Ebene und Paaren (x, y) von
reellen Zahlen.
13
6.1
Aussage und erster Beweis
Die vielleicht bekannteste Aussage der elementaren Geometrie ist der Pythagoreische Lehrsatz. Zu dessen Beweis brauchen wir nur die Tatsache, dass ein
Rechteck mit den Seitenlängen a und b den Inhalt ab hat.
Satz Für ein rechtwinkliges Dreieck mit den beiden Katheten a und b und der
Hypotenuse c gilt a2 + b2 = c2 .
Beweis [In der Vorlesung kommt hier ein Bild] Wir betrachten ein Quadrat
mit der Seitenlänge a + b und Eckpunkte P1 , P2 , P3 , P4 . Die Punkte werden
in dieser Reihenfolge durchlaufen wenn wir um den Rand des Quadrats im
Uhrzeigersinn laufen. Bei diesem Umlauf sei Qi der Punkt, der einen Abstand
a nach Pi kommt. Die Geraden Qi Qi+1 teilen das Quadrat in vier Dreiecke
und ein kleineres Quadrat mit Seitenlänge c. Hier sind die Indizes mod 4 zu
verstehen. Die Fläche des Großen Quadrats is (a + b)2 . Sie ist gleich der Summe
2
der vier Dreiecke und des kleinen Quadrats, also 4 · ab
2 + c . Wenn wir diese
Ausdrücke gleichsetzten bekommen wir
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 ,
(47)
was zur Behauptung des Satzes führt.
Diesen Beweis findet man in einer chinesischen Schrift von etwa 100 vor
Christi
6.2
Ähnliche Dreiecke und Beweis nach Einstein
Für einen zweiten Beweis des Satzes brauchen wir den Begriff der ähnlichen
Dreiecke.
Definition Zwei Dreiecke ABC und DEF heißen ähnlich, wenn die Verhältnisse
der Längen der entsprechenden Seiten alle gleich sind, also
|AB|
|BC|
|CA|
=
=
.
|DE|
|EF |
|F D|
(48)
Eine äquivalente Bedingung, was hier nicht bewiesen wird, ist dass die entsprechenden Winkel gleich sind. Da die Summe der Winkel eines Dreiecks 180 Grad ist,
reicht es zu wissen, dass zwei der Winkel gleich sind. Auf die Idee des folgenden Beweises ist Albert Einstein mit elf Jahren gekommen. Wenn die xund y-Richtungen in der Ebene mit dem gleichen Faktor λ skaliert werden,
dann skalieren sich die Flächen rechtwinkliger Dreiecke mit dem Faktor λ2 .
Die Dreiecke, die durch eine solche Skalierung aus einem Dreieck hervorgehen sind alle ähnlich. Als Referenzdreieck wählen wir ein Dreieck mit der
Hypotenusenlänge 1 und dem Inhalt Fref . Wir betrachten ein rechtwinkliges
Dreieck ABC mit dem rechten Winkel im Punkt C. Der Punkt C kann mit
einem Punkt D der gegenüberliegenden Seite verbunden werden derart, dass
die Gerade CD senkrecht auf die Gerade AB steht. Bezeichnen wir mit F1 , F2
und F3 die Flächen der Dreiecke ABC, ADC und DBC. Diese drei Dreiecke
14
sind alle ähnlich. Es gilt
F1 = c2 Fref , F2 = a2 Fref , F3 = b2 Fref .
(49)
Auf der anderen Seite ist F1 = F2 + F3 und wir erhalten
c2 Fref = a2 Fref + b2 Fref .
(50)
Jetzt müssen wir nur noch den Faktor Fref kürzen.
6.3
Großer Fermatscher Satz
Pierre de Fermat, dem wir in einem früheren Abschnitt begegnet sind ist aus
einem anderen Grund in der Mathematik sehr bekannt. Im Zusammenhang mit
dem Satz des Pythagoras weiss man, dass es unendlich viele Lösungen (a, b, c)
der Gleichung a2 +b2 = c2 gibt mit a, b und c natürliche Zahlen. Wenn man eine
Lösung hat, z. B. (3, 4, 5) kann man andere Lösungen bekommen in dem man a,
b und c mit der gleichen natürlichen Zahl k > 1 multipliziert. Das ist zu offensichtlich, um interessant zu sein. Es gibt aber eine andere Möglichkeit, Lösungen
zu produzieren, die auf Euklid zurückgeht. Man fängt mit zwei natürlichen
Zahlen m und n an, die beliebig sind bis auf die Bedingung, dass m > n. Dann
definiert man
a = m2 − n2 , b = 2mn, c = m2 + n2 .
(51)
Diese Zahlen erfüllen a2 + b2 = c2 und es gibt einfache Bedingungen die dafür
sorgen, dass a, b und c nicht alle durch die gleiche Zahl k ohne Rest teilbar sind.
Ausgehend von dieser Fülle könnte man auf die Idee kommen, Lösungen von
an + bn = cn zu suchen, wobei a, b und c wieder natürliche Zahlen sind und n
eine natürliche Zahl größer zwei. Eine vielleicht überraschende Tatsache ist: es
gibt keine. Diese Aussage ist heute unter dem Namen großer Fermatscher Satz
bekannt. Es wäre aber angemessener, sie als Fermatsche Vermutung zu bezeichnen, da er sie nicht nachweislich bewiesen hat. Die Geschichte fängt damit
an, dass Fermat um 1640 etwas als Randnotiz in sein Exemplar der Arithmetika
des Diophantus geschrieben hat. Zuerst hat er die Aussage seines ’Satzes’ behauptet und dann folgenden berühmten Text (hier eine Übersetzung aus dem
ursprünglichen Latein):
Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis gefunden, doch ist der
Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.
Fermat hatte einen Beweis im Spezialfall n = 4 gefunden aber im allgemeinen
Fall hat er sich bestimmt vermacht. Jedenfalls wurde, trotz vieler Versuche
bedeutender Mathematiker in den darauffolgenden 350 Jahren kein Beweis gefunden. Erst 1995 hat der englische Mathematiker Andrew Wiles einen Beweis
vorgestellt. Sein erster Versuch enthielt noch eine Lücke aber dieser konnte
mit Hilfe seines Schülers Richard Taylor geschlossen werden. Die spannende
Geschichte wird in einem Buch von Simon Singh [4] erzählt.
15
7
Kegelschnitte
Wir widmen uns nun elementargeometrischen Untersuchungen zu den ebenen
Kegelschnitten Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel. Wir beginnen mit der algebraischen Definition, kommen aber dann sofort zu geometrischen Charakterisierungen vermittels spezieller Abstandsregeln unter Verwendung sogenannter
Brennpunkte.
7.1
Algebraische Definition von Kegelschnitten
Kegelschnitte können folgendermaßen algebraisch definiert werden. Ein Kegelschnitt
ist die Menge der Punkte (x, y) ∈ R2 die die Beziehung
ax2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0
(52)
erfüllen mit reellen Zahlen a, b, c, d, e, f . Geometrisch handelt es sich um einen
Schnitt einer Ebene mit einem Kegel oder einem Zylinder. Algebraisch geht
es um die Lösung eines Systems von Gleichungen für zwei Unbekannte deren
Terme nicht mehr als quadratisch sind
7.2
Der Kreis
Eine zur Mittelpunktsachse eines Zylinders senkrechte Ebene schneidet diese
Rotationsfläche in einem Kreis.
Definition Der Kreis ist eine ebene Kurve, deren Punkte P von einem fest
gewählten Punkt M , dem Mittelpunkt, einen festen Abstand besitzen.
Dieser fest gewählte Abstand r > 0 heißt der Radius des Kreises. Mit dem Satz
von Pythagoras folgt, dass
x2 + y 2 = r 2 ,
(53)
wobei wir o.B.d.A. angenommen haben, dass M = (0, 0). Der Kreis ist geschlossen
und streng konvex. D. h. die Tangente in einem Punkt hat nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis, den Berührpunkt. Im allgemeinen liegt der Mittelpunkt nicht im Koordinaten-Ursprung, sondern in einem Punkt mit Koordinaten (xM , yM ). Dann wird die Gleichung des Kreises verallgemeinert.
Satz Die Punkte (x, y) eines Kreises mit Mittelpunkt (xM .yM ) ∈ R2 und Radius
r erfüllt die Gleichung
(x − xM )2 + (y − yM )2 = r2 .
(54)
Der Gelehrte Eratosthenes leitete ein halbes Jahrhundert lang die Bibliothek in
Alexandria, die bedeutendste Bibliothek der Antike. Er war sehr vielseitig in
seinen Interessen und hat sich insbesondere mit Fragen der Astronomie beschäftigt.
Seine bekannteste Errungenschaft war eine Bestimmung des Umfangs der Erde.
Über der Stadt Assuan, die fast genau südlich von Alexandria liegt, steht am
Mittag des Tages der Sommersonnenwende die Sonne genau im Zenit. Ein
16
Gnomon (ein vertikaler Stab auf einem nivellierten Untergrund) wirft daher zu
diesem Zeitpunkt keinen Schatten. An einem Mittag der Sommersonnenwende
bestimmte Eratosthenes im nördlich gelegenen Alexandria den Winkel zwischen
der Sonnenrichtung und einem vertikal positionierten Gnomon und konnte so
den Winkel zwischen den Vertikalen in Assuan und Alexandria schätzen. Er
kam auf die Antwort, dass dieser Winkel ein Fünfzigstel des Vollkreises war.
Der Gesamtumfang der Erde beträgt also in etwa das 50-fache der Entfernung
zwischen Alexandria und Assuan, d.h. ungefähr 40.200 Kilometer. Die heutige
Bestimmung des Erdumfangs kommt auf 40.024 Kilometer.
7.3
Die Ellipse
Eine zur Rotationsachse eines Zylinders schräge Ebene schneidet diese Fläche
in einer Ellipse. Hier aber nun unsere
Definition Eine Ellipse ist eine ebene Kurve, deren Punkte P konstante Abstandssumme von zwei fest gewählten Punkten F1 und F2 , den Brennpunkten,
besitzen.
Der Zusammenhang zwischen der geometrischen Idee eines schrägen Schnittes
mit dem Zylinder und dieser Definition ist nicht unmittelbar einsichtig und
bedarf eines Beweises. Der Mittelpunkt der Gerade F1 F2 nennen wir Mittelpunkt der Ellipse und die Koordinaten werden so gewählt, dass dieser Punkt
der Ursprung ist. Außerdem können wir annehmen, dass die Gerade die die
Brennpunkte verbindet auf der x-Achse liegt. Der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und den Punkten, wo die Ellipse die x-Achse schneidet heißt große
Halbachse und der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und den Punkten, wo
die Ellipse die y-Achse schneidet heißt kleine Halbachse.
Der Name Brennpunkt kommt von folgender physikalischer Idee. Stellen wir
uns vor, dass die Ellipse Licht das von innen kommt wie ein Spiegel zurückschickt.
Dann ist die Behauptung, dass Lichtstrahlen, die von einem der Brennpunkte
ausgehen im anderen Brennpunkt wieder aufeinander treffen. Die mathematische Aussage, die dieser Behauptung entspricht ist, dass wenn P ein Punkt auf
der Ellipse ist, die Geraden die P mit den Brennpunkten verbinden den gleichen
Winkel machen mit der Tangente zur Ellipse im Punkt P . Diese Aussage wird
hier nicht bewiesen.
Satz Wenn die Koordinaten wie oben beschrieben gewählt werden erfüllen die
Punkte der Ellipse mit großer Halbachse a und kleiner Halbachse b die Gleichung
y2
x2
a2 + b2 = 1.
Beweis Seien F1 und F2 die Brennpunkte und P ein Punkt auf der Ellipse.
Sei r1 = |F1 P |, r2 = |F2 P | und f = |OF1 | = |OF2 |. Für den Punkt P mit
Koordinaten (x, y) gilt nach dem Satz von Pythagoras
r12 = (f + x)2 + y 2 = f 2 + 2f x + x2 + y 2 ,
(55)
r22
(56)
2
2
2
2
2
= (f − x) + y = f − 2f x + x + y .
Deshalb ist
r12 − r22 = 4f x.
17
(57)
Nach der Definition gilt r1 + r2 = 2λ für eine reelle Zahl λ > 0, so dass
4f x = 2λ(r1 − r2 )
und r1 − r2 =
2f x
.
λ
(58)
Wenn wir diese Beziehung mit r1 + r2 = 2λ kombinieren bekommen wir
r1 = λ +
fx
,
λ
r2 = λ −
fx
.
λ
(59)
Die Gleichung der Ellipse muss natürlich in den vier Scheitelpunkten erfüllt sein.
Im Scheitelpunkt rechts von F2 mit den Koordinaten (a, 0) gilt
2λ = r1 + r2 = [f + f + (a − f )] + (a − f ) = 2a,
(60)
so dass λ = a. Im Scheitelpunkt mit den Koordinaten (0, b) gilt r1 = r2 = λ
und f 2 + b2 = a2 . Wenn wir die zwei Darstellungen von r12 in (55) und (59)
vergleichen, dann bekommen wir die Gleichung
λ2 + 2f x +
f 2 x2
= f 2 + 2f x + x2 + y 2 .
λ2
(61)
f 2 x2
= f 2 + x2 + y 2 .
λ2
(62)
Es folgt, dass
λ2 +
Da f 2 + b2 = a2 and λ = a schließen wir, dass
b2
2
a + 1 − 2 x2 = x2 + y 2 + a2 − b2 .
a
(63)
Durch subtrahieren von x2 + a2 von beiden Seiten bekommt man
−
b2 2
x = y 2 − b2 .
a2
(64)
Das Ergebnis folgt dann leicht.
7.4
Die Hyperbel
Jetzt werden die Überlegungen des letzten Abschnitts abgeändert, um die Hyperbel zu bekommen. Betrachten wir zwei Geraden L1 und L2 im dreidimensionalen Raum, die sich in einem Punkt O schneiden. Wenn L2 um den Punkt
O gedreht wird, während der Winkel zwischen den zwei Geraden fest bleibt
entsteht ein Doppelkegel mit Achse L1 . Die Geraden, die durch Rotation aus
L2 entstehen heißen Erzeugende des Kegels. Eine zur Kegelachse Senkrechte
Ebene die O nicht enthält schneidet den Kegel in einem Kreis. Wird die Ebene
leicht geneigt, wird der Kreis zu einer Ellipse. Wenn sie weiter geneigt wird, bis
sie mit einer Erzeugenden des Kegels parallel ist dann wird die Schnittmenge
zu einer Parabel. Diese Menge ist nicht mehr beschränkt und enthält Punkte,
18
die von O beliebig weit weg sind. Sie ist in einer der beiden Hälften des Doppelkegels enthalten. Wenn die Ebene noch weiter geneigt wird schneidet sie
beide Teile des Doppelkegels und der Durschnitt ist eine Hyperbel.
Unter einer Hyperbel wollen wir in dieser Vorlesung folgende Punktmenge
verstehen.
Definition Eine Hyperbel ist eine ebene Kurve, deren Punkte P konstante Abstandsdifferenz von zwei fest gewählten Punkten F1 und F2 , den Brennpunkten,
besitzen.
Wie im Fall der Ellipse wählen wir die Koordinaten so, dass die Brennpunkte
F1 und F2 auf der x-Achse liegen und der Mittelpunkt O der Strecke, die sie
verbindet der Koordinatenursprung ist. Die Halbachse a ist der Abstand von O
zu den Schnittpunkten der Hyperbel mit der x-Achse. Die Exzentrizität oder
Brennweite e ist der Abstand von O zu den Brennpunkten. Nach der Definition
einer Hyperbel gilt ||P F1 | − |P F2 || = 2λ für eine reelle Zahl λ. Wenn eine
‘imaginäre Halbachse’ b durch a2 + b2 = e2 definiert wird, dann gilt
Satz Mit der reellen Halbachse a und der imaginären Halbachse b gilt für die
2
2
Punkte (x, y) einer Hyperbel die Gleichung xa2 − yb2 = 1.
Der Beweis dieser Aussage ist dem der entsprechenden Aussage für die Ellipse
ähnlich und wird hier nicht ausgeführt.
7.5
Die Parabel
Aus der Ellipse lässt sich durch einen Grenzübergang die Parabel konstruieren.
Zu diesem Zweck ist es hilfreich, zu Koordinaten überzugehen wo der linke
Scheitelpunkt der Ellipse im Ursprung liegt. In den neuen Koordinaten lautet
2
2
die Gleichung der Ellipse (x−a)
+ yb2 = 1. Nach ausmultiplizieren der Klammer
a2
und multiplizieren mit a erhalten wir
x2
ay 2
− 2x + 2 = 0.
a
b
(65)
x2
1 ay 2
x=
+
.
2 b2
a
(66)
Anders ausgedrückt
Jetzt ändern wir die Parameter so, dass a sehr groß wird während
Dann geht die letzte Gleichung im Grenzfall in
h a i
x=
y2
2b2
a
b2
fest bleibt.
(67)
über,
Gleichungeiner Parabel. Der linke Brennpunkt hat die x-Koordinate
die
q
2
a 1 − 1 − ba · a1 . Durch die Identität
1−
√
1−c=
19
1+
c
√
1−c
(68)
die für jede Konstante c mit 0 < c < 1 gilt, sehen wir, dass
!
r
b2 1
b2
.
a 1− 1−
·
= q
a a
b2 1
a 1+ 1− a · a
(69)
2 b
Für a groß ist also der linke Brennpunkt in der Nähe von 2a
, 0 . Der rechte
Brennpunkt dagegen wandert nach unendlich in diesem Grenzfall.
Die physikalischen Überlegungen die wir im Fall der Ellipse gemacht haben,
sind auch im Fall der Parabel interessant. Wenn diese Strahlen an der Innenseite
der Parabel gespiegelt werden dann kommen Strahlen die vom Brennpunkt ausgehen parallel hinaus. Umgekehrt treffen sich Strahlen die parallel hineinfallen
und an der Parabel gespiegelt werden im Brennpunkt. Lichtstrahlen von einem
weit enfernten Object, z. B. von einem Stern kommen parallel an. Dass sie
durch den parabolischen Spiegel in einem Punkt konzentriert werden ist genau
das, was man sich von einem Teleskop wünscht. Isaac Newton hat diese Idee
benutzt, um ein Speigelteleskop zu entwerfen.
7.6
Normalformen der Kegelschnitte
Die in den bisherigen Abschnitten diskutierten algebraischen Formen der Kegelschnitte
liegen alle in Normalform vor.
Definition Unter einer Normalform der drei Kegelschnitte verstehen wir die
folgenden algebraischen Darstellungen:
2
2
m)
m)
+ (y−y
=1
Ellipse. (x−x
a2
b2
2
2
m)
m)
Hyperbel. (x−x
− (y−y
=1
a2
b2
2
Parabel. (y − ys ) = 2p(x − xs )
mit dem Mittelpunkt (xm , ym ) und dem Scheitelpunkt (xs , ys ). Im dritten Fall
hätten wir genauso gut die Rollen von x und y vertauschen können. Die allgemeine Gleichung (52) kann durch affine Transformationen der Koordinaten
vereinfacht werden. Abgesehen von Ausnahmefällen kann die Gleichung in eine
der Drei Normalformen gebracht werden. Betrachten wir zuerst lineare Transformationen (x, y) 7→ (x0 , y 0 ) der Koordinaten:
x0 = Ax + By,
0
y = Cx + Dy.
(70)
(71)
Es gibt einen allgemeinen Satz der sagt, dass man dadurch erreichen kann dass
die transformierten Gleichungen keinen Term der Form x0 y 0 enthalten. Diese
Aussage ist nicht auf quadratische Ausdrücke in zwei Variablen beschränkt - die
entsprechende Aussage gilt für jede Anzahl von Variablen. Die Gleichung lautet
dann
ax2 + cy 2 + dx + ey + f = 0.
(72)
Wenn a und c beide verschwinden bekommen wir einen Ausnahmefall, wo die
Lösungsmenge sich auf eine Gerade reduziert. Wenn dieser Fall ausgeschlossen
20
wird können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit (wenn nötig durch vertauschen von x und y) annehmen, dass a 6= 0. Durch quadratische Ergänzung
bekommen wir
"
#
2
d2
d
2
− 2 .
ax + dx = a x +
(73)
2a
4a
Im Fall c = 0 reduziert sich die Gleichung dann auf
d
x+
2a
2
e
f
d2
+
y+ −
= 0.
a
e
4ae
(74)
Es ist dann klar, dass dieser Fall eine Parabel beschreibt und dass die Gleichung
schon in Normalform ist.
Wenn auch c 6= 0 kann die quadratische Ergänzung auch bei y durchgeführt
werden. Das Ergebnis ist
d
a x+
2a
2
e 2
d2
e2
+c y+
=
+
− f.
2c
4a 4c
(75)
Falls der Ausdruck auf der rechten Seite das gleiche Vorzeichen hat wie a können
dadurch teilen und die Normalform erhalten. Wenn ac < 0 handelt es sich um
eine Hyperbel. Wenn a und c das gleiche Vorzeichen haben handelt es sich
um eine Ellipse. Falls der Ausdruck auf der rechten Seite das entgegengesetzte
Vorzeichen hat wie a und ac < 0 erreicht man die Normalform einer Hyperbel in dem man die Koordinaten x und y vertauscht. Wenn dagegen ac > 0
ist die Lösungsmenge die leere Menge. Es bleibt noch ein weiterer Ausnah2
d2
mefall, nämlich der Fall 4a
+ e4c − f = 0. Wenn a und c das gleiche Vorzeichen haben, dann besteht die Lösungsmenge aus einem Punkt. Wenn a und
c unterschiedliche Vorzeichen haben dann bekommt man zwei Geraden die sich
schneiden.
Wir betrachten als Beispiel die Gleichung
y 2 − 4x + 8y + 6 = 0,
(76)
also in der allgemeinen Notation a = 0, b = 0, c = 1, d = −4, e = 8 und f = 6.
Quadratische Ergänzung für y liefert
y 2 + 8y = (y + 4)2 − 16
und damit
5
(y + 4) = 2 · 2 · x +
2
2
(77)
.
(78)
Es handelt sich um
eine Parabel, die nach rechts geöffnet ist und den Scheitelpunkt − 52 , −4 besitzt.
21
7.7
Kepler und die Planetenbewegung
Die Ellipse hat eine bedeutende Rolle in der historischen Entwicklung der Physik
gespielt. In der Antike galt die Bewegung im Kreis als perfekt. Als man gesehen
hat, dass die Planeten sich nicht genau in Kreisen bewegten hat man ihre Bewegung mit Hilfe von Kombinationen von Kreisen (Epizyklen) beschrieben. So entstand das ptolemäische System, das viele Jahrhunderte überlebt hat. Und mit
diesem theoretischen Konstrukt konnte man die Bewegungen gut beschreiben:
man musste nur genügend viele Kreise auf die richtige Weise einführen. Von
einer perfekten Einfachheit war dieses System allerdings weit entfernt.
Bewegung kam in dieses Gebiet durch die sehr genauen Beobachtungen der
Planetenbahnen durch Tycho Brahe. Anschließend hat Johannes Kepler, der
auch Assistent von Brahe war Gesetzmässigkeiten in diesen Daten gefunden.
Diese hat er in drei Gesetzen formuliert, die er 1619 veröffentlicht hat. Das
erste Keplersche Gesetz besagt, dass die Bahnen der Planeten Ellipsen sind.
Die Keplerschen Gesetze waren eine wichtige Grundlage für die Entwicklung
der modernen Physik durch Isaac Newton. Die Arbeit von Kepler war rein
phänomenologisch. Newton, dagegen hat allgemeine Theorien aufgestellt, die
insbesondere die Keplerschen Gesetze reproduzieren. In diesem Zusammenhang
merkt man auch, dass andere Kegelschnitte in der Himmelmechanik auftreten.
Es gibt z. B. aperiodische Kometen, die nur einmal an der Erde vorbeikommen
und sich auf Hyperbeln bewegen. Die bekannten wiederkehrenden Kometen
bewegen sich dagegen auf Ellipsen.
8
Mengenlehre und Funktionen
In diesem Abschnitt werden einige Begriffe aus der Mengenlehre in Erinnerung
gerufen. Abbildungen und Funktionen werden diskutiert.
8.1
Mengen und Abbildungen
Hier wird vorausgesetzt, dass die elementaren Begriffe der Mengenlehre, wie z.
B. Menge, Element einer Menge, Teilmenge, Vereinigung und Durchschnitt von
Mengen bekannt sind. Seien X und Y Mengen. Das Produkt X × Y ist die
Menge aller Paare (x, y) mit x ∈ X und y ∈ Y . Wenn, z. B. X die Menge [a, b]
aller reellen Zahlen x mit a ≤ x ≤ b ist und Y die Menge aller reellen Zahlen
y mit c ≤ y ≤ d, dann ist X × Y die Menge aller Zahlenpaare (x, y) die beide
Ungleichungen erfüllen oder, geometrisch gesehen, ein Rechteck in der Ebene.
Eine Abbildung f von X nach Y ist, intuitiv gesehen eine Regel, die jedem
Element x ∈ X ein Element y = f (x) ∈ Y zuordnet. Sie kann auch als eine
Teilmenge von X × Y betrachtet werden, nämlich die Menge {(x, y) ∈ X × Y :
y = f (x)}. Diese Menge heißt auch manchmal Graph von f . In dem Fall, dass
X und Y die Menge der reellen Zahlen sind entspricht sie dem Begriff ’Graph’
im üblichen Sinne. Eine Abbildung heißt injektiv, wenn f (x1 ) = f (x2 ) die
Beziehung x1 = x2 impliziert. Sie heißt surjektiv, wenn es zu jedem y ∈ Y ein
Element x ∈ X gibt mit f (x) = y. Eine Abbildung, die sowohl injektiv als
22
auch surjektiv ist heißt bijektiv. Im Fall einer bijektiven Abbildung entspricht
jedes Element x ∈ X genau einem Element f (x) von Y . Man redet auch von
einer eineindeutigen Korrespondenz. Eine bijektive Abbildung f hat immer eine
eindeutige Umkehrabbildung g mit der Eigenschaft, dass y = f (x) genau dann
wenn x = g(y).
Wenn f : X → Y eine Abbildung ist, und Y die Menge der reellen Zahlen
ist, nennt man f oft eine Funktion. Besonders anschaulich ist der Fall, dass
X auch die Menge der reellen Zahlen ist. Dann kann man die Funktion durch
ihren Graphen als eine Kurve in der Ebene darstellen. Hier ist etwas Vorsicht
geboten. In der Schule sehen wir Funktionen, die einen bestimmten
Namen
√
haben, wie Sinus oder durch einfache Formeln wie x2 oder x definiert sind.
Die Graphen dieser Funktionen sind normalerweise schöne glatte Funktionen.
Es gibt aber auch ganz andere Funktionen. Wenn E eine Teilmenge von X ist,
dann wird die charakteristische Funktion von E, χE als die Funktion definiert,
mit den Eigenschaften f (x) = 1 für x ∈ E und f (x) = 0 für x ∈
/ E. Wenn X
die Menge der reellen Zahlen ist und E = {x ∈ R : x > 0} dann ist χE die
sogenannte Heaviside-Funktion und sie springt bei x = 0. Wir könnten aber
auch E = Q wählen. Jetzt liegen sowohl Q als auch das Komplement R \ Q
dicht in den reellen Zahlen. In diesem Fall springt die Funktion χE ‘überall’
und es ist nicht möglich, den Graphen zu zeichnen.
8.2
Abzählbare und überabzählbare Mengen
Eine Menge X heißt endlich wenn es eine Bijektion gibt von X auf eine Menge
der Form {1, 2, . . . , n} für eine natürliche Zahl n. Wenn es keine solche Bijektion
gibt heißt die Menge unendlich. Wenn es eine Bijektion zwischen Mengen X
und Y gibt, dann sagt man dass sie die gleiche Mächtigkeit haben und schreibt
|X| = |Y |. Dieser Begriff wurde durch Georg Cantor, den Erfinder der Mengenlehre eingeführt im späten neunzehnten Jahrhundert. Intuitiv könnte man
sagen, dass zwei Mengen die gleiche Mächtigkeit haben, wenn sie genauso viele
Elemente haben. Bei unendlichen Mengen ist es allerdings so, dass X die gleiche
Mächtigkeit haben kann wie eine echte Teilmenge von X. Wenn z. B. N die
Menge der natürlichen Zahlen ist und G die Teilmenge der geraden natürlichen
Zahlen dann ist die Abbildung f : N → G, n 7→ 2n eine Bijektion. Also haben
beide Mengen die gleiche Mächtigkeit, obwohl die eine eine echte Teilmenge der
anderen ist. Bei endlichen Mengen kann das nicht passieren. Wenn es eine Injektion von X nach Y gibt, d.h. eine Bijektion von X auf eine Teilmenge von
Y schreibt man |X| ≤ |Y |. Man kann jetzt fragen ob |X| ≤ |Y | und |Y | ≤ |X|
zusammen |X| = |Y | implizieren. Die Antwort auf diese Frage ist positiv und
heißt Cantor-Schröder-Bernstein-Theorem. Der Beweis ist in dem Sinne elementar, dass er aus Schritten besteht die sehr einfach sind. Er ist aber ingesamt
nicht einfach und wird hier nicht ausgeführt.
Satz Seien X und Y Mengen, f : X → Y und g : Y → X injektive Abbildungen.
Dann gibt es eine Abbildung h : X → Y die bijektiv ist.
Der erste Beweis des Satzes soll von einem gewissen Julius König stammen. Dieser König hat auf dem internationalen Mathematikerkongress 1904
23
behauptet, eines der bekannten Ergebnisse von Cantor wäre fehlerhaft. Die Behauptung von König war falsch, was schon einen Tag später von einem anderen
Mathematiker gezeigt wurde. Trotzdem wurde Cantor durch den Vorfall tief
gekränkt und hat schon angefangen an sich zu zweifeln.
Wie sieht es aus mit der Mächtigkeit von Mengen die wir gut kennen? Hat
z. B. Q eine größere Mächtigkeit als Z? Zunächst können wir beobachten, dass
|Z| = |N|. Zu zeigen, dass es eine Bijektion zwischen N und einer Menge X gibt
reicht es zu zeigen, dass man die Elemente von X als Folge xi , i = 1, 2, 3, . . .
schreiben kann. Eine solche Menge heißt abzählbar. Für Z können wir die Folge
0, −1, 1, −2, 2, . . . wählen. Es gibt also eine Bijektion f : N → Z. Dann ist (f, f )
eine Bijektion von N × N nach Z × Z. Die Elemente der Menge N × N können
als Folge geschrieben werden, z. B. als
{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 1), (2, 2), (1, 3), . . .}
(79)
Die Menge N × N ist also abzählbar. Schreiben wir diese Folge abstrakt als
{(an , bn )}. Definieren wir eine Folge von rationalen Zahlen auf der Basis der
Folge von Paaren mit Hilfe der folgenden Vorschrift. Wir betrachten zunächst
die Folge abnn . Dann betrachten wir nacheinander diese rationalen Zahlen. Wenn
eine solche Zahl verschieden von allen Zahlen ist, die vorher in der Folge waren
wird sie behalten. Wenn sie aber gleich einer früheren Zahl ist wird sie verworfen. Die reduzierte Folge enthält alle positiven rationalen Zahlen und definiert
eine Bijektion von N auf die Menge der positiven rationalen Zahlen. Nennen wir diese letzte Folge cn . Die rationalen Zahlen können als die Folge
{0, −c1 , c1 , −c2 , c2 , . . .} geschrieben werden und Q ist abzählbar.
Eine Menge, die nicht abzählbar ist heißt überabzählbar und ein berühmter
Satz von Cantor besagt, dass die reellen Zahlen überabzählbar sind. In dieser
Vorlesung wurde keine präzise Definition der reellen Zahlen gegeben aber es ist
trotzdem möglich, die Hauptidee des Beweises von Cantor zu verstehen. Es
reicht zu zeigen, dass die reellen Zahlen x die die Ungleichungen 0 ≤ x < 1
erfüllen überabzählbar sind. Diese Zahlen können durch Dezimalentwicklungen
0, a1 a2 a3 . . .
(80)
dargestellt werden, wobei die ai Elemente der Menge {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
sind. Es gibt eine Subtilität, die den Fall betrifft, in dem alle ai nach einem
bestimmten Punkt gleich neun sind. Um diese Problematik zu vermeiden betrachten wir nur solche Folgen {an } wo dieser Umstand nicht vorkommt.
Sei X die Menge von Folgen {an } von natürlichen Zahlen zwischen Null und
neun mit der Eigenschaft dass es beliebig große Werte von n gibt mit an 6= 9.
Es soll jetzt gezeigt werden, dass diese Menge überabzählbar ist. Dazu nehmen
wir an, dass die Elemente aufgelistet werden können und produzieren einen
Widerspruch. Sei amn das n-te Element der m-ten Folge in der Liste. Sei
bn = ann + 1 wenn ann ≤ 7 und bn = ann − 1 sonst. Dann unterscheidet sich
die Folge {bn } von jeder Folge auf der Liste, was den Widerspruch liefert. Auf
diese Weise wird gezeigt, dass die reellen Zahlen überabzählbar sind.
24
8.3
Mengen von Teilmengen
Sei X eine Menge. Die Menge aller Teilmengen von X wird oft als 2X bezeichnet.
Der Grund für diese Schreibweise werden wir jetzt diskutieren. Betrachten wir
den Fall, dass X eine endliche Menge ist mit n Elementen. Wie viele Teilmengen
von X mit k Elementen gibt es? Wir können eine solche Menge konstruieren,
in dem wir Elemente x1 , x2 , . . . xk nacheinander wählen, wobei darauf zu achten
ist, dass die gewählten Elemente alle unterschiedlich sind. Für die erste Wahl
gibt es n Möglichkeiten, für die zweite n − 1 Möglichkeiten, usw. Deshalb gibt
es ingesamt
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
(81)
n!
. Wenn wir uns für die Anzahl der
Möglichkeiten. Diese Größe ist gleich (n−k)!
Teilmengen mit k Elementen interessieren ist die Reihenfolge in der die Elemente
gewählt werden unwichtig. Für eine gegebene Teilmenge gibt es k! Möglichkeiten
für diese Reihenfolge. Die Anzahl der Teilmengen mit k Elementen ist also
n!
n
/k! =
(82)
(n − k)!
k
und wir erhalten eine Interpretation für die Binomialkoeffizienten. nk ist die
Anzahl der Möglichkeiten, k von n Objekten zu wählen, ohne auf die Reihenfolge
zu achten.
Mit diesen Informationen kommen wir auf die Frage zurück, wie viele Teilmengen einer Menge mit n Elementen es gibt. Nach den soeben gemachten
Überlegungen sind es
n X
n
n
n
n
=
+
+ ...
.
(83)
k
0
1
n
k=0
Nach der binomischen Formel ist dieser Ausdruck nichts anderes als (1 + 1)n =
2n . Deshalb ist die Anzahl der Teilmengen einer endlichen Menge X gleich 2|X| .
Diese Tatsache motiviert die oben erwähnte Schreibweise 2X .
9
Graphentheorie
In diesem Abschnitt geht es um Objekte, die Graphen heißen. Sie haben aber
mit den Graphen, die in früheren Abschnitten eingeführt wurden nichts zu tun.
Ein Graph in diesem Sinn kann folgendermassen dargestellt werden. Man hat
endlich viele Punkte in der Ebene, die als Knoten bezeichnet werden und einige
werden miteinander verbunden durch Geraden oder Kurven, die als Kanten
bezeichnet werden. Die Knoten werden auch alternativ als Punkte, Knotenpunkte oder Ecken bezeichnet. Die Mengen der Knoten bzw. Kanten eines
Graphen G werden mit V (G) bzw. E(G) bezeichnet. Ein Graph kann benutzt werden um bestimmte Beziehungen darzustellen. Betrachten wir zum
Beispiel einen Wettbewerb, wo verschiedene Mannschaften aufeinander treffen.
Die Spiele, die zu einem bestimmten Zeitpunkt stattgefunden haben können
25
durch einen Graphen dargestellt werden. Nehmen wir z. B. an, dass es acht
Mannschaften A, B, C, D, E, F , G und H gibt und dass die Spiele, die schon
stattgefunden haben folgende sind: A gegen F , B gegen G, C gegen F , C gegen
D, E gegen F , E gegen H und G gegen H. Dieser Graph kann verschieden
in der Ebene dargestellt werden (mit Geraden oder Kurven, mit oder ohne
Überkreuzungen der Kanten). [In der Vorlesung werden zwei Möglichkeiten
gezeigt.]
Eine andere Variante dieser Definition bekommt man in dem man jede Kante
orientiert, so dass sie einen Anfangs- und Endknoten hat. In diesem Fall nennt
man die Kanten auch Bögen und den Anfangs- bzw. Endknoten eines solchen
Bogens den Schwanz bzw. den Kopf. In dem Fall spricht man von einem
gerichteten Graphen. Normale Graphen (ohne Orientierung) werden manchmal
als schlichte Graphen bezeichnet. In dem Fall wird nicht zugelassen, dass es
mehr als eine Kante gibt, die zwei gegebene Knoten miteinander verbinden.
Kanten, die einen Knoten mit sich selbst verbinden (Schlingen) sind auch nicht
erlaubt. Im Folgenden bedeutet das Wort Graph, wenn es nicht weiter qualifiziert wird schlichter Graph. Allgemeinere Objekte, die Mehrfachverbindungen
zwischen Knoten und Schlingen zulassen werden als Multigraphen bezeichnet,
spielen aber in dieser Vorlesung kaum eine Rolle. Bei einem gerichteten Graphen
sind zwei Kanten, die zwei gegebene Knoten miteinander verbinden nur dann
erlaubt wenn sie entgegengesetzt orientiert sind. Schlingen sind nicht erlaubt.
Jedem gerichteten Graphen kann man einen schlichten Graphen zuordnen, in
dem man die Orientierung der Kanten vergisst und in jedem Fall wo zwei Kanten die gleichen zwei Knoten verbinden, diese durch eine Kante zwischen diesen
zwei Knoten ersetzt.
Gerichtete Graphen können benutzt werden, um Systeme von chemischen
Reaktionen darzustellen. Ein Beispiel in der in der Chemie üblichen Schreibweise ist 2A + B → 2C. Hier sind A, B und C drei chemische Stoffe und zwei
Moleküle von A reagieren mit einem Molekül von B, um zwei Moleküle von C zu
produzieren. Man könnte zum Beispiel A = H2 , B = O2 und C = H2 O nehmen
als einfaches Modell für die Verbrennung von Wasserstoff. Die Ausdrücke auf
den linken und rechten Seiten der Reaktionen heißen chemische Komplexe. In
diesem Beispiel sind die Stoffe (A, B, C), die Komplexe (2A+B, 2C) and es gibt
nur die eine Reaktion. Jetzt wird diese Beschreibung mathematisch präzisiert.
Der gerichtete Graph, der ein System von chemischen Reaktionen beschreibt
wird manchmal chemisches Netzwerk genannt. Ein solches Netzwerk wird durch
folgende mathematische Objekte beschrieben. Es gibt endliche Mengen S, die
Menge der Stoffe, C, die Menge der Komplexe, und R, die Menge der Reaktionen. Jedes Element von C ist eine Abbildung y von S nach N0 . Der Wert von y
im Punkt s ∈ S wird mit ys bezeichnet. Im Beispiel sind die Komplexe (2, 1, 0)
und (0, 0, 2). R ⊂ (C × C) \ (Diagonal). Anders gesagt, sind die Elemente von R
geordnete Paare unterschiedlicher Elemente von C. Für ein allgemeines chemisches Netzwerk definiert man einen dazugehörigen gerichteten Graphen G in dem
man V (G) = C wählt und E(G) = R. Die Kanten werden so orientiert, dass die
Komplexe auf der linken bzw. rechten Seite der Reaktion den Anfangs- bzw.
Endknoten entsprechen. Hier ist ein anderes Beispiel. [In der Vorlesung wird
26
der Graph angeschrieben.] S = {A, B, C, D, E}, C = {A, 2B, A + C, D, B + E}.
Die Reaktionen sind A → 2B, 2B → A, A + C → D, D → A + C, D → B + E,
B + E → A + C.
Wie werden Graphen mathematisch definiert?
Definition Ein Graph G besteht aus zwei endlichen Mengen, der Knotenmenge
V (G), die nicht leer ist und der Kantenmenge E(G), möglicherweise leer. Jedes
Element von E(G) ist eine Teilmenge von V (G) mit zwei Elementen (ungeordnetes Paar von Knoten). Die Elemente von e ∈ E(G) heißen Endknoten von
e.
Aus der Diskussion von chemischen Reaktionen dürfte klar sein, wie man analog
gerichtete Graphen definiert. Ein gerichteter Graph besteht aus einer Knotenmenge und einer Menge von geordneten Paaren von Knoten. In diesem Fall
ist der Anfangsknoten das erste Element des Paares und der Endknoten das
zweite. Es gibt eine Beziehung mit den Relationen, die in einem früheren Abschnitt definiert wurden. Eine Relation R heißt anti-reflexiv wenn x ∼ x nie gilt,
d.h. wenn (x, x) nie zu R gehört. Deshalb ist ein gerichteter Graph G das Gleiche wie eine anti-reflexive Relation auf V (G). Wenn die Relation symmetrisch
ist, dann können wir die Orientierung vergessen. Eine äquivalente Darstellung
eines Graphen ist als eine Teilmenge von V (G) × V (G), die die Diagonale nicht
trifft und unter Vertauschung der zwei Kopien von V (G) symmetrisch ist. Wenn
es uns nutzt werden wir also E(G) als Teilmenge von V (G) × V (G) betrachten.
Jetzt werden ein paar weitere Beispiele beschrieben. Das erste ist ein sogenanntes Zuteilungsproblem. Nehmen wir an, es gibt fünf Personen A, B, C, D
und E, die fünf Arbeiten a, b, c, d und e ausführen sollen. Die unterschiedlichen
Personen sind nur für einige der Aufgaben qualifiziert. Ist es möglich, jede Arbeit einer qualifizierten Person zu übertragen, so dass jede Person genau eine
Aufgabe bekommt? Hier ist ein konkreter Fall. [Der Graph wird in der Vorlesung angeschrieben.] A ist für c und d qualifiziert, B für c, C für a, b und
e, D für c und d und E für b und e. In diesem Fall ist das Problem unlösbar
wie eine Betrachtung der Personen A, B und D zeigt. Diese drei Personen sind
zusammen nur für die zwei Aufgaben c und d qualifiziert. Deshalb ist keine
Zuordnung der gewünschten Art möglich.
Im nächsten Beispiel sollen drei Häuser mit Gas, Wasser und Strom versorgt werden. Die Häuser werden durch Knoten H1 , H2 und H3 dargestellt
und die drei Arten der Versorgung durch G, W und S. [Ein entsprechender
Graph wird in der Vorlesung gezeigt.] Kann die Versorgung gelingen, wenn die
Versorgungswege sich nicht überkreuzen dürfen? Hier ist das Problem nicht
mehr als rein graphentheoretisches Problem formuliert. Es gibt eine Theorie die
man darauf anwenden kann, die Theorie der planaren Graphen. Die Antwort in
diesem Beispiel ist dass die gestellte Aufgabe keine Lösung zulässt.
Die Anzahl der Elemente der Menge V (G) wird mit v(G) bezeichnet und
heißt Ordnung von G während die Anzahl der Elemente der Menge E(G) mit
e(G) bezeichnet wird und Größe des Graphen heißt. Der triviale (oder leere)
Graph mit n Knoten ist der bei dem die Menge der Kanten leer ist. Ein
27
vollständiger Graph mit n Knoten ist einer in dem jedes Paar unterschiedlicher
Knoten durch eine Kante verbunden ist. Dieser Graph hat n(n−1)
Kanten. Zwei
2
Graphen G1 und G2 heißen isomorph wenn es eine bijektive Abbildung φ von
V (G1 ) nach V (G2 ) gibt mit der Eigenschaft, dass (φ×φ)(E(G1 )) = E(G2 ). Zwei
Graphen, die durch einen solchen Isomorphismus φ miteinander in Beziehung
gesetzt werden können sind im wesentlichen gleich. Zwei vollständige Graphen
mit n Knoten sind isomorph und wir sprechen deshalb vom dem vollständigen
Graphen mit n Knoten. Es ist nicht immer leicht zu sehen, ob zwei Graphen
die durch explizite Darstellungen in der Ebene angegeben werden tatsächlich
isomorph sind. Wenn G1 und G2 isomorph sind, dann müssen v(G1 ) = v(G2 )
und e(G1 ) = e(G2 ) gelten, aber nicht umgekehrt. Bei 3 Knoten gibt es nur 4
nicht-isomorphe Graphen und bei 4 Knoten nur 11. Bei 7 Knoten gibt es aber
schon 1044. Der Begriff des Isomorphismus ist in der Mathematik weit verbreitet, wobei die genaue Definition davon abhängt, um was für ein mathematisches
Objekt es sich dabei handelt.
Es sei G ein Graph. Wenn V (G) die Vereinigung zweier nichtleerer Teilmengen X und Y ist, d.h. X ∪ Y = V (G) und X ∩ Y = ∅ und jede Kante ein Ende
in X und ein Ende in Y hat wird G als paarer Graph bezeichnet. Die Zerlegung
heißt Zweiteilung von G. Ein vollständiger paarer Graph ist einer in dem jeder
Knoten von X mit jedem Knoten von Y verbunden ist. Ein solcher Graph wird
mit Km,n bezeichnet. Alle solchen Graphen mit festen Werten von m und n
sind zueinander isomorph und Km,n ist isomorph zu Kn,m . Die Theorie der
chemischen Reaktionen liefert ein Beispiel eines paaren Graphen. Dieser Graph
heisst DSR-Graph. Knoten der ersten bzw. zweiten Art sind die Stoffe bzw.
die Reaktionen. Wenn der Stoff i auf der linken Seite der Reaktion j vorkommt
gibt es eine gerichtete Kante von dem Knoten i zum Knoten j. Wenn die NettoAnzahl der Moleküle des Stoffes i, die in der Reaktion j produziert wird ungleich
Null ist, dann gibt es eine gerichtete Kante von j nach i.
9.1
Knotengrade
Ein Knoten eines Graphen G, der kein Endpunkt irgendeiner Kante ist, heißt
isoliert. Eine Kante e von G heißt mit dem Knoten v inzident, wenn v ein
Endknoten von e ist. In diesem Fall sagt man auch, dass v mit e inzident
ist. Zwei Kanten, die mit einem gemeinsamen Knoten inzident sind heißen
benachbart. Zwei Knoten, die mit einem gemeinsamen Kanten inzident sind,
heißen auch benachbart. Wenn v ein Knoten eines Graphen G ist, dann ist der
Grad d(v) von v die Anzahl der mit v inzidenten Kanten von G. Mit diesen
Definitionen hat man den
Satz 9.1 Für
Pn jeden Graphen mit e Kanten und n Knoten v1 . . . . , vn gilt die
Beziehung i=1 d(vi ) = 2e.
Beweis Jede Kante trägt zwei zu dieser Summe bei. D. h. es wird jede Kante
zweimal gezählt.
Ein Knoten eines Graphen heißt gerade bzw. ungerade wenn sein Grad
gerade bzw. ungerade ist.
28
Korollar In jedem Graphen G gibt es eine gerade Anzahl von ungeraden
Knoten.
Beweis Sei W die Menge der ungeraden Knoten von G und U die Menge
P der geraden Knoten von G. Für jedes u ∈ U ist d(u) gerade und deshalb ist u∈U d(u)
auch gerade. Satz 1 impliziert dass
X
X
X
d(u) +
d(w) =
d(v) = 2e.
(84)
u∈U
w∈W
v∈V
P
Deshalb ist w∈W d(w) gerade. Damit dies der Fall sein kann muss die Anzahl
der ungeraden Knoten gerade sein.
Es muss nicht sein, dass die Anzahl der geraden Knoten ungerade ist. Ein
Gegenbeispiel ist ein Quadrat, wo die Ecken die Knoten sind und die Seiten die
Kanten. Ein Graph G heißt k-regulär wenn d(v) = k für jeden Knoten v. Ein
Graph heißt regulär wenn er k-regulär ist für irgendeine natürliche Zahl k. Das
Quadrat ist 2-regulär. Der vollständige Graph Kn is n-regulär. Der vollständige
paare Graph Kn,n mit 2n Knoten ist n-regulär.
9.2
Untergraphen
Sei H ein Graph mit der Knotenmenge V (H) und der Kantenmenge E(H) und
G ein Graph mit der Knotenmenge V (G) und der Kantenmenge E(G). Dann
wird H als Untergraph von G bezeichnet wenn V (H) ⊂ V (G) und E(H) ⊂
E(G). Man sagt auch, dass H ein Untergraph von G ist, wenn H isomorph zu
einem Untergraphen von G ist. Wenn H ein Untergraph von G ist schreibt mann
H ⊂ G. Wenn in diesem Fall H 6= G, dann heißt H ein echter Untergraph von
G. Ein spannender Untergraph H von G ist einer mit den gleichen Knoten, d.h.
V (H) = V (G). Jeder Graph mit n Knoten ist Untergraph des vollständigen
Graphen Kn .
Jetzt werden ein paar Möglichkeiten beschrieben, Untergraphen zu erzeugen.
Nehmen wir an dass der Graph G so ist, dass V (G) mindestens zwei Elemente
hat. Für einen Knoten v ∈ V (G) bezeichnet G − v den Untergraphen mit der
Knotenmenge V (G) \ {v} und als Kanten alle Kanten von G, die nicht mit v
inzident sind. Wenn wir E(G) als Teilmenge von [V (G)]2 betrachten, dann ist
E(G−v) = E(G)∩[V (G−v)]2 . Um G−v von G zu erhalten entfernt man v und
alle Kanten, die mit v direkt verbunden sind. G − v wird als knotengelöschter
Untergraph bezeichnet. Wenn e eine Kante von G ist dann bezeichnet G −
e den Untergraphen von G, der die gleiche Knotenmenge hat wie G und die
Kantenmenge E \ {e} hat. Um G − e von G zu erhalten entfernt man die Kante
e aber nicht deren Endpunkte. G − e wird als kantengelöschter Untergraph
bezeichnet.
Diese Beispiele können verallgemeinert werden auf Fälle in denen mehrere
Ecken oder Kanten entfernt werden. Im ersten Fall entfernt man eine Teilmenge
U von V (G), zusammen mit allen Kanten, die mit Knoten aus U inzident sind.
Das Ergebnis heißt dann G − U . Es gilt die Beziehung E(G − U ) = E(G) ∩
29
[V (G − U )]2 . Im zweiten Fall entfernt man eine Teilmenge F von E(G) und
behält alle Knoten. Das Ergebnis heißt G − F .
Wenn U eine nichtleere Teilmenge der Knotenmenge V (G) ist, dann ist der
durch U induzierte Untergraph G[U ] von G als der Graph G definiert, der die
Knotenmenge U hat und deren Kantenmenge aus den Kanten von G besteht, die
beide Enden in U haben. Es gilt die Beziehung G[U ] = G − (V (G) \ U ). Wenn
F eine nichtleere Teilmenge der Kantenmenge E(G) ist, dann ist der durch F
induzierte Untergraph G[F ] der Graph, dessen Knotenmenge die Menge der
Kantenenden von F ist und dessen Kantenmenge F ist. In diesem Fall ist
V (G[F ]) = π(F ), wo π die Projektion von [V (G)]2 auf einen der Faktoren ist.
Zwei Untergraphen G1 und G2 heißen disjunkt, wenn sie keinen gemeinsamen
Knoten haben. Sie heißen kantendisjunkt, wenn sie keine gemeinsame Kante
haben. Disjunkt impliziert kantendisjunkt. Für zwei Untergraphen G1 und
G2 von G ist die Vereinigung G1 ∪ G2 der Graph mit V (G1 ∪ G2 ) = V (G1 ) ∪
V (G2 ) und E(G1 ∪ G2 ) = E(G1 ) ∪ E(G2 ). Wenn G1 und G2 mindestens einen
gemeinsamen Knoten haben ist es auch möglich, den Durchschnitt G1 ∩ G2 zu
definieren durch V (G1 ∩G2 ) = V (G1 )∩V (G2 ) und E(G1 ∩G2 ) = E(G1 )∩E(G2 ).
9.3
Wege und Zyklen
Eine Kantenfolge in einem Graphen ist eine endliche Folge
W = v0 e1 v1 e2 v2 . . . vk−1 ek vk
(85)
deren Terme abwechselnd Knoten und Kanten sind, so dass, für 1 ≤ i ≤ k
die Kante ei die Enden vi−1 und vi hat. Wir nennen die Kantenfolge eine
Kantenfolge von v0 nach vk . Der Knoten v0 heißt Anfangsknoten von W und der
Knoten vk Endknoten von W . Die Knoten v0 und vk müssen nicht voneinander
verschieden sein. Die Knoten v1 , . . . , vk−1 heißen innere Knoten. Die ganze Zahl
k heißt Länge der Kantenfolge W . In einer Kantenfolge darf es Wiederholungen
von Knoten und Kanten geben. Die Kantenfolge ist durch die darin enthaltene
Folge von Knoten bestimmt und wird entsprechend oft durch die Knotenfolge
bezeichnet.
Eine triviale Kantenfolge beinhaltet keine Kanten, besteht also aus einem
einzigen Knoten. Eine Kantenfolge von u nach v heißt geschlossen, wenn u = v
ist und offen, wenn u 6= v ist. Wenn die Kanten in W unterschiedlich sind
heißt W ein Kantenzug. Wenn die Knoten in W unterschiedlich sind heißt W
ein Weg. Jeder Weg ist ein Kantenzug, aber nicht umgekehrt. Wenn u und v
unterschiedliche Knoten sind gibt es im allgemeinen mehrere Wege von u nach
v. Die Längen dieser Wege bilden eine endliche Menge von natürlichen Zahlen
und diese Zahlen haben ein Minimum k. Dann haben die Wege von u nach v der
Länge k die Eigenschaft, dass kein anderer Weg von u nach v kürzer ist. Wir
nennen sie die kürzesten Wege von u nach v. Im allgemeinen gibt es mehrere
solche Wege. Wenn W ein kürzester Weg von u nach v ist und u0 und v 0 Knoten,
die zu diesem Weg gehören, dann ist der Teil von W zwischen u0 und v 0 auch
ein kürzester Weg.
30
Satz 9.2 Wenn u und v Knoten eines Graphen G sind, beinhaltet jede Kantenfolge von u nach v einen Weg von u nach v.
Beweis Wenn u = v ist dann können wir den trivialen Weg nehmen. Wenn
u 6= v sei die Folge von Knoten in W
u = u0 , u1 , u2 , . . . , uk−1 , uk = v.
(86)
Wenn keiner der Knoten öfter als einmal in W vorkommt, dann ist W bereits ein
Weg von u nach v. Wenn es dagegen Knoten von G gibt, die in W mindestens
zweimal vorkommen dann gibt es unterschiedliche i, j mit i < j, so dass ui = uj .
Wenn man die Knoten ui , . . . , uj−1 und die nachfolgenden Kanten entfernt dann
erhält man eine Kantenfolge von u nach v, die weniger Knoten enthält als W .
Wenn die neue Kantenfolge keine wiederholten Knoten enthält, dann haben
wir schon den gesuchten Weg. Ansonsten können wir das Entfernungverfahren
wiederholen. Nach endlich vielen Schritten führt diese Vorgehensweise zum Ziel.
Der Knoten u wird als zusammenhängend mit einem Knoten v bezeichnet, wenn
es einen Weg von u nach v gibt. Wenn u mit v zusammenhängend ist, dann
ist v mit u zusammenhängend, wie man durch Umkehrung des Weges sieht.
Jeder Knoten ist mit sich selbst zusammenhängend durch den trivialen Weg.
Wenn u mit v zusammenhängend ist und v mit w, dann ist u mit w zusammenhängend. Man kann die Wege zusammenfügen. Dieses Verfahren heißt
Verkettung der Wege. Wir können eine Relation folgendermassen definieren:
u ∼ v wenn u mit v zusammenhängend ist. Die Eigenschaften, die wir gerade
bewiesen haben zeigen, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.
Die Äquivalenzklassen heißen Komponenten oder Zusammenhangskomponenten
von G. Die Äquivalenzklasse von u, C(u), besteht aus allen Knoten v mit u ∼ v.
Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn er nur eine Zusammenhangskomponente hat. Die Anzahl der Komponenten von G wird mit ω(G) bezeichnet.
Bei einem gerichteten Graphen kann man ähnliche Definitionen machen.
Ein gerichteter Kantenzug ist einer wo der Endpunkt jeder Kante mit dem
Anfangspunkt der nächsten zusammenfällt. Ein gerichteter Weg ist dann ein
gerichteter Kantenzug, der auch ein Weg ist. Der Knoten u wird als stark zusammenhängend mit einem Knoten v bezeichnet, wenn es einen gerichteten Weg von
u nach v gibt und einen gerichteten Weg von v nach u. Auf diese Weise wird eine
Äquivalenzrelation definiert und die entsprechenden Äquivalenzklassen heißen
starke Zusammenhangskomponenten. Ein Graph heißt stark zusammenhängend,
wenn er nur eine starke Zusammenhangskomponente hat. Bei chemischen Netzwerken heißen die Zusammenhangskomponenten Verlinkungsklassen und die
starken Zusammenhangskomponenten starke Verlinkungsklassen. Ein Netzwerk heißt reversibel wenn es zu jedem Bogen von einem Knoten u zu einem
Knoten v einen Bogen von v nach u gibt. Es heißt schwach reversibel wenn es
zu jedem gerichteten Weg von u nach v einen gerichteten Weg von v nach u
gibt. Bei einem schwach reversiblen Netzwerk stimmen die starken Zusammenhangskomponenten mit den Zusammenhangskomponenten überein.
Ein nichttrivialer geschlossener Kantenzug in einem Graphen G heißt ein
Zyklus, wenn sein Anfangsknoten und seine inneren Knoten unterschiedlich sind.
31
Ein Zyklus der Länge k, d.h. mit k Kanten, heißt ein k-Zyklus. Ein k-Zyklus
heißt gerade, wenn k gerade ist und ungerade, wenn k ungerade ist. Ein 3Zyklus wird oft als Dreikreis bezeichnet. Ein n-Zyklus wird manchmal mit Cn
bezeichnet.
Satz 9.3 Es sei G ein nichtleerer Graph mit mindestens zwei Knoten. G ist
dann und nur dann ein paarer Graph, wenn er keine ungeraden Zyklen hat.
Beweis Nehmen wir an, dass G ein paarer Graph ist mit der Knotenmenge V
und der Zweiteilung V = X ∪ Y . Es sei C = v0 v1 . . . vk v0 ein Zyklus von G.
Nehmen wir an, dass die Notation so gewählt ist, dass v0 ∈ X. Es folgt, da
G ein paarer Graph ist, dass v1 ∈ Y . Dann ist v2 ∈ X usw. Deshalb liegen
die Knoten bei denen der Index gerade ist in X und die Knoten bei denen er
ungerade ist in Y . Da v0 ∈ X muss vk ∈ Y . Deshalb ist k ungerade und
der Zyklus ist gerade. Deshalb enthält G keine ungeraden Zyklen und die eine
Richtung ist bewiesen.
Um die Umkehrung zu beweisen nehmen wir an, dass G ein nichtleerer Graph
ist, der keine ungeraden Zyklen enthält. Wir wollen zeigen, dass G ein paarer
Graph ist. Nun wird G paar sein, wenn jede seiner Komponenten mit mehr
als einem Knoten paar ist, denn wenn diese Komponenten C1 , C2 , . . . Cn sind
und ihre Knotenmengen V1 , V2 , . . . Vn die Zweiteilungen V1 = X1 ∪ Y1 , C2 =
X2 ∪ Y2 , . . . Cn = Xn ∪ Yn haben, dann hat die Knotenmenge V von G die
Zweiteilung X ∪ Y , mit
X = X0 ∪ X1 ∪ . . . ∪ Xn , Y = Y1 ∪ . . . ∪ Yn ,
(87)
wobei X0 die Menge der isolierten Knoten in G ist. Es reicht also, um den
Satz zu beweisen zu zeigen, dass jeder zusammenhängende Graph G mit mehr
als einem Knoten und ohne ungerade Zyklen paar ist. Unter dieser Annahme
für G definieren wir zwei Teilmengen von V (G) wie folgt. Sei u ein Knoten
von G. X ist die Menge aller Knoten v ∈ G mit der Eigenschaft, dass jeder
kürzeste Weg von u nach v gerade ist. Y ist die Menge aller Knoten v ∈ G
mit der Eigenschaft, dass jeder kürzeste Weg von u nach v ungerade ist. Der
Punkt u selbst liegt in X. Es ist klar, dass V (G) = X ∪ Y und dass X und
Y kein gemeinsames Element besitzen. Wir wollen jetzt zeigen, dass X und Y
eine Zweiteilung von G definieren und dazu müssen wir zeigen, dass jede Kante
einen Endknoten in X hat und einen in Y .
Es seien v und w zwei Knoten in X, die benachbart sind. Es sei P ein
kürzester Weg von u nach v und Q ein kürzester Weg von u nach w.
P = v1 v2 . . . v2n+1
und Q = w1 w2 . . . w2m+1
(88)
so dass u = v1 = w1 , v = v2n+1 , w = w2m+1 . Nehmen wir an, dass w0 ein
Knoten ist, die beide Wege gemeinsam haben, und außerdem, dass w0 der letzte
derartige Knoten ist. Die Wege von u nach w0 , die durch P und Q definiert
werden sind beide kürzeste Wege und haben deshalb die gleiche Länge. Die
Wege P und Q sind beide gerade und deshalb sind die entsprechenden Wege
von w0 nach v und w entweder beide gerade oder beide ungerade. Es gibt einen
Zyklus der aus dem Teil von P von w0 nach v, eine Kante zwischen v und w
32
und dem Teil von Q von w0 nach w besteht. Die Länge von diesem Zyklus ist
die Summe von Eins mit zwei Zahlen, die entweder beide gerade sind oder beide
ungerade. Der Zyklus ist also ungerade, ein Widerspruch zu den Annahmen des
Satzes. Wir können schließen, dass es keine Kanten in G gibt, die zwei Knoten
in X verbinden. Es kann ganz analog gezeigt werden, dass es keine Kanten in
G gibt, die zwei Knoten in Y verbinden. Deshalb ist G ein paarer Graph.
9.4
Die Matrizendarstellung eines Graphen
Eine Möglichkeit, einen Graphen mit einem Computer darzustellen ist seine
Nachbarschaftsmatrix. Es sei G ein Graph mit n Knoten, durchnumeriert als
v1 , v2 , . . . vn . Die Nachbarschaftsmatrix von G, die von der gewählten Numerierung abhängig ist, ist die n × n Matrix A(G) = (aij ), in der aij gleich
der Anzahl der die Knoten verbindenden Kanten ist. Die Einträge der Matrix
aij sind alle entweder 0 oder 1. (Bei einem Multigraphen könnte man eine
ähnliche Definition machen und in dem Fall würden auch andere natürliche
Zahlen in der Matrix vorkommen.) Die diagonalen Elemente aii sind alle Null,
weil Schlingen verboten sind. Es gilt aij = aji für alle i, j, d.h. die Matrix
ist symmetrisch. Wenn eine symmetrische n × n-Matrix A mit Einträgen 0
und 1 und verschwindenden Diagonaleinträgen gegeben ist können wir einen
entsprechenden Graphen konstruieren. Dieser Graph hat n Knoten v1 bis vn
und der Knoten vi ist mit dem Knoten vj verbunden genau dann wenn aij = 1
ist. Betrachten wir die Matrix B = A2 mit Einträgen (bij ). Die Zahl bij ist die
Anzahl von Kantenfolgen der Länge 2 von vi nach vj .
Satz 9.4 Es sei G ein Graph mit n Knoten v1 , . . . vn und sei A die Nachbarschaftsmatrix von G, die sich auf diese Numerierung der Knoten bezieht. Es
sei k eine positive ganze Zahl und Ak bezeichne die k-te Potenz der Matrix A.
Dann entspricht der (i, j)-te Eintrag von Ak der Anzahl der unterschiedlichen
Kantenfolgen der Länge k von vi nach vj .
Beweis Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion. Für k = 1 besagt
der Satz, dass der (i, j)-te Eintrag von A der Anzahl unterschiedlicher Kantenfolgen der Länge Eins von vi nach vj entspricht, was nach der Definition der
Nachbarschaftsmatrix richtig ist. Eine Kantenfolge der Länge Eins ist ja nichts
anderes als eine Kante, die die Knoten v1 und v2 verbindet. Damit haben wir
den Induktionsanfang.
Um den Induktionsschritt zu vollziehen, nehmen wir an, dass das Ergebnis
für Ak−1 richtig ist, wobei k eine ganze Zahl größer Eins ist. Wir möchten
beweisen, dass der Satz für Ak richtig ist. Wir schreiben Ak−1 = (bij ) und Ak =
k
k−1
(cij ) Dann
A und, nach der Definition der Matrixmultiplikation
Pn ist A = A
cij = t=1 b1t atj . Nun setzt sich jede Kantenfolge der Länge k von vi nach vj
aus einer Kantenfolge der Länge k − 1 von vi nach einem Knoten vt und eine
Kante von vt nach vj zusammen. Für eine gegebene Wahl des Knoten vt gibt
es nach der Induktionsvoraussetzung genau bij Knotenfolgen dieser Art. Um
die gesante Anzahl der Knotenfolgen der Länge k von vi nach vj zu bekommen
müssen wir diese Zahlen
alle Knoten vt summieren, die mit vj verbunden
Püber
n
sind. Das Ergebnis ist t=1 b1t atj , also cij . Damit ist der Beweis vollständig.
33
Wir können das vorherige Resultat verwenden, um zu bestimmen, ob ein Graph
zusammenhängend ist oder nicht.
Satz 9.5 Es sei G ein Graph mit n Knoten v1 , . . . , vn und A die Nachbarschaftsmatrix von G. Es sei B = (bij ) die Matrix
B = A + A2 + . . . + An−1 .
(89)
G ist genau dann zusammenhängend, wenn für jedes Paar von verschiedenen
Indizes i, j gilt, dass bij 6= 0, dass heißt, wenn B keine Einträge Null außerhalb
der Haupdiagonalen hat.
(k)
Beweis Es bezeichne aij den (i, j)-ten Eintrag der Matrix Ak für k = 1, . . . , n −
1. Dann ergibt sich
(1)
(n−1)
bij = aij + . . . aij
.
(90)
(k)
Nach dem letzten Satz ist aij die Anzahl der Kantenfolgen der Länge k von vi
nach vj . Deshalb ist bij die Anzahl der Kantenfolgen deren Länge kleiner als
n ist. Nehmen wir jetzt an, dass G zusammenhängend ist. Dann gibt es für
jedes Paar (vi , vj ) von unterschiedlichen Knoten von G einen Weg von vi nach
vj . Da G nur n Knoten hat ist die Länge des Weges nicht größer als n − 1.
Deshalb macht dieser Weg einen Beitrag zur Summe und bij > 0. Nehmen wir
umgekehrt an, dass bij 6= 0 für jedes unterschiedliche Paar (i, j). Dann folgt aus
der Betrachtung der obigen Summe, dass es mindestens eine Kantenfolge von vi
nach vj gibt (mit einer Länge kleiner als n). Deshalb ist G zusammenhängend.
Dieser Satz kann benutzt werden um zu entscheiden, ob der Graph der durch
eine Nachbarschaftsmatrix definiert wird zusammenhängend ist. Betrachten wir
z. B. die Matrix


0 0 1 0 0
 0 0 0 1 0 



(91)
A=
 1 0 0 0 1 .
 0 1 0 0 1 
0 0 1 1 0
In diesem Fall zeigt eine Rechnung, dass



A+A +A +A =


2
3
4
3
1
3
1
4
1
3
1
3
4
3
1
7
5
4
1
3
5
7
4
4
4
4
4
8



.


(92)
so dass der Graph zusammenhängend ist. In diesem Fall enthält die Matrix
A + A2 + A3 noch Nullen, so dass man wirklich so weit rechnen muss.
10
Quellen
Im Sommersemester 2012 hat Steffen Fröhlich die Vorlesung Elementarmathematik an der Universität Mainz gehalten und ein Skript dazu geschrieben. Für
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die Vorlesung Elementarmathematik in späteren Semestern hat Alan Rendall
dieses Skript nach seinem Geschmack abgeändert. Der vorliegende Text ist das
Ergebnis. Die Abschnitte 2-7 basieren auf dem Text von Fröhlich. Die Hauptquelle für die Abschnitte 9 und 10 ist das Buch von Clark und Holton [1]. Die
Hauptquelle für den Abschnitt 11 ist das Buch von Feller [2].
References
[1] Clark, J. und Holton, D. A. Graphentheorie. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg.
[2] Feller, W. 1950 An introduction to probability theory and its applications.
Wiley, New York.
[3] Nowak, M. A. und May, R. M. 2000 Virus Dynamics. Oxford University
Press, Oxford.
[4] Singh, S. 2000 Fermats letzter Satz - die abenteuerliche Geschichte eines
mathematischen Rätsels. DTV, München.
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