zillator - Mathematik, TU Dortmund

108
II. Unbeschränkte Operatoren und Observable der Quantenmechanik
16
Friedrichs-Fortsetzung und harmonischer Oszillator
16.1 Halbbeschränkte Operatoren. a) Ein linearer Operator A : D(A) 7→ H in
einem Hilbertraum H heißt halbbeschränkt (nach unten), falls
∃ c ∈ R ∀ x ∈ D(A) : hAx|xi ≥ c k x k2 .
(1)
Im Fall K = C ist A dann symmetrisch (vgl. Bemerkung 5.21).
b) A heißt positiv definit, falls (1) mit c > 0 gilt.
16.2 Der Energie-Raum. Es sei A ein halbbeschränkter Operator in H mit (1).
Für λ > −c wird auf D(A) durch
hx|yiλ := hAx|yi + λ hx|yi ,
x , y ∈ D(A) ,
(2)
ein Skalarprodukt defininiert. Die Vervollständigung HA von (D(A), k kλ ) heißt
Energie-Raum von A . Verschiedene Wahlen von λ > −c führen zu äquivalenten
Normen auf D(A) . Für positiv definite Operatoren kann man λ = 0 nehmen.
16.3 Satz. Der Energie-Raum HA ist stetig in H eingebettet.
Beweis. Nach (1) und (2) ist i : (D(A), k kλ ) → H stetig; zu zeigen ist die
Injektivität von bi : HA → H . Es sei also xb ∈ HA mit bixb = 0 . Es gibt eine Folge
(xn ) in D(A) mit k xb − xn kλ → 0 und xn → 0 in H . Damit ergibt sich
k xb k2λ =
=
lim hxn |xbiλ = lim lim hxn |xm iλ
n→∞
n→∞ m→∞
lim lim (hAxn |xm i + λ hxn |xm i) = lim (hAxn |0i + λ hxn |0i) = 0 . 3
n→∞ m→∞
n→∞
16.4 Theorem (Friedrichs). Es sei A ein halbbeschränkter Operator in H mit
(1). Durch
D(AF ) := HA ∩ D(A∗ ) ,
AF x := A∗ x
für x ∈ D(AF ) ,
(3)
wird die selbstadjungierte Friedrichs-Fortsetzung AF von A definiert. Für diese gilt
hAF x|xi ≥ c k x k2 für x ∈ D(AF ) und σ(AF ) ⊆ [c, ∞) .
Beweis. a) Wir zeigen zunächst, dass AF symmetrisch ist. Dazu sei wieder λ > −c .
Zu x, y ∈ D(AF ) wählen wir Folgen (xn ), (yn ) ind D(A) mit xn → x und yn → y
in HA . Es folgt
hAF x|yi + λ hx|yi =
=
lim (hAF x|ym i + λ hx|ym i) = lim (hx|Aym i + λ hx|ym i)
m→∞
m→∞
lim lim (hxn |Aym i + λ hxn |ym i) = lim lim hxn |ym iλ
m→∞ n→∞
m→∞ n→∞
= hx|yiλ = lim lim hxn |ymiλ
n→∞ m→∞
=
=
lim lim (hAxn |ym i + λ hxn |ym i) = lim (hAxn |yi + λ hxn |yi)
n→∞ m→∞
n→∞
lim (hxn |AF yi + λ hxn |yi) = hx|AF yi + λ hx|yi .
n→∞
15 Friedrichs-Fortsetzung und harmonischer Oszillator
109
b) Für x ∈ D(AF ) gilt wegen (1) wie in a)
hAF x|xi = lim hAxn |xn i ≥ lim c k xn k2 = c k x k2 .
n→∞
n→∞
c) Für λ > −c zeigen wir nun R(λI + AF ) = H . Es sei y ∈ H gegeben. Für x ∈ HA
1
k x kλ k y k ; es ist also η : x 7→ hx|yi eine stetige
gilt | hx|yi | ≤ k x k k y k ≤ √λ+c
Linearform auf HA . Nach Satz 5.6 existiert z ∈ HA mit hx|yi = hx|ziλ für x ∈ HA .
Insbesondere gilt
hx|yi = hAx|zi + λ hx|zi für x ∈ D(A) .
Dies zeigt z ∈ D(A∗ ) und (λI + A)∗ z = y . Somit ist z ∈ HA ∩ D(A∗ ) = D(AF )
und (λI + AF )z = y .
d) Nach Satz 10.11 a) gilt A∗F = AF , und c) zeigt auch σ(AF ) ⊆ [c, ∞) .
3
16.5 Wurzeln positiv definiter Operatoren. a) Es seien A ein positiv definiter
Operator in H , und es gelte (1) für c > 0 . Für das Spektralmaß E der FriedrichsFortsetzung AF gilt dann E(−∞, c) = 0 , und wir können ihre selbstadjungierte
√
1/
Wurzel durch AF 2 = ΦE ( λ) definieren. Es gilt also
R
1/
D(AF 2 ) = {x ∈ H | c∞ λ hdE(λ)x|xi < ∞} ,
R √
1/
1/
lim cn λ dE(λ)x für x ∈ D(AF 2 ) .
AF 2 x = n→∞
1/
1/
1/
1/
(4)
(5)
b) Nach (13.40) und (13.41) gilt AF 2 · AF 2 = AF . Für x ∈ D(AF ) hat man nach
Beweisteil a) von Theorem 16.4
1/
k x k2HA = hAF x|xi = hAF 2 x|AF 2 xi = k AF 2 x k2 .
(6)
1/
Nun ist D(AF ) dicht in D(AF 2 ) , da dies bereits auf den Raum [E[−n, n]x | x ∈ H]
zutrifft. Da D(AF ) auch in HA dicht ist, folgt aus (6)
1/
HA = D(AF 2 ) = HAF
1/
und k x kHA = k AF 2 x k ,
x ∈ HA .
(7)
16.6 Satz. Für einen positiv definiten Operator Operator A in H sind äquivalent:
(a) AF besitzt ein diskretes Spektrum.
(b) A−1
F : H 7→ H ist kompakt.
(c) Die Resolvente RAF (λ) : H 7→ H ist kompakt für λ ∈ C\[c, ∞) .
− 1/2
(d) AF
: H 7→ H ist kompakt.
(e) Die Einbettung j : HA 7→ H ist kompakt.
Beweis. Die Äquivalenzen (a) ⇔ (b) ⇔ (c) folgen sofort aus den Sätzen 11.23 und
13.24, die Äquivalenz (d) ⇔ (e) aus Satz 11.23 und (7). Weiter folgt (b) ⇔ (d) aus
− 1/2 2
der Gleichung A−1
3
F = (AF ) in L(H) und Satz 11.5.
Wir untersuchen nun eine Klasse von Differentialoperatoren, die u. a. den HamiltonOperator des harmonischen Oszillators enthält.
110
II. Unbeschränkte Operatoren und Observable der Quantenmechanik
16.7 Satz. Es sei q ∈ C ∞ (R) eine Funktion mit q(x) ≥ 1 . Der Operator
A : f 7→ −f ′′ + qf
mit D(A) := D(R)
(8)
ist positiv definit, und es ist A = AF selbstadjungiert mit σ(A) ⊆ [1, ∞) . Gilt
q(x) → ∞ für | x | → ∞ , so besitzt der Operator A = AF ein diskretes Spektrum.
Beweis. a) Für ϕ ∈ D(R) gilt
hAϕ|ϕi =
R
R (−ϕ
′′
+ qϕ) ϕ̄ dx =
R
R (| ϕ
′ 2
| + q| ϕ |2) dx ≥
R
R
| ϕ |2 dx . (9)
Nach Theorem 16.4 ist AF selbstadjungiert mit σ(AF ) ⊆ [1, ∞) .
b) Wir zeigen, dass A selbstadjungiert ist; dann folgt aus A ⊆ AF sofort die Gleichheit A = AF . Nach Satz 10.11 a) genügt es, R(A) = L2 (R) zu zeigen. Wegen (9)
ist R(A) abgeschlossen.
1lNun sei f ∈ R(A)⊥ gegeben. Dann gilt
R
R (−ϕ
′′
+ qϕ) f¯ dx = hAϕ|f i = 0
für alle ϕ ∈ D(R) , d. h. f ist eine Distributionslösung der Differentialgleichung
− f ′′ (x) + q(x) f (x) = 0 .
(10)
Aus Satz 14.8 folgt dann f ∈ C ∞ (R) . Auch Re f und Im f lösen (10); wir können
also f als reellwertig annehmen.
2lNun sei f (x0 ) 6= 0 und o. E. f (x0 ) > 0 . Wegen (10) gilt dann auch f ′′ (x0 ) > 0 .
Ist nun auch f ′ (x0 ) > 0 , so folgt f ′′ (x) ≥ 0 , also auch f ′ (x) ≥ f ′ (x0 ) > 0 und
f (x) ≥ f (x0 ) für x ≥ x0 :
Andernfalls sei x1 := inf {x ≥ x0 | f ′′ (x) < 0} . Auf [x0 , x1 ] gilt dann f ′′ (x) ≥ 0 ,
also auch f ′ (x) ≥ f ′ (x0 ) > 0 und f (x1 ) > f (x0 ) > 0 , und man hat den Widerspruch
f ′′ (x1 ) = q(x1 )f (x1 ) > 0 .
3l Im Fall f ′ (x0 ) < 0 folgt analog zu 2l f (x) ≥ f (x0 ) für x ≤ x0 ; in beiden
Fällen ist dann f 6∈ L2 (R) . Somit gilt f (x) 6= 0 ⇒ f ′ (x) = 0 , und daher ist f
konstant. Aus f ∈ L2 (R) folgt dann f = 0 .
c) Nun gelte q(x) → ∞ für | x | → ∞ . Mit H = L2 (R) zeigen wir die Kompaktheit
der Einbettung j : HA 7→ H ; nach Satz 16.6 besitzt dann AF diskretes Spektrum.
Nach (9) hat man
k ϕ k2HA =
R
R (| ϕ
′ 2
| + q| ϕ |2) dx ,
ϕ ∈ D(R) .
(11)
1lEs sei (fn ) eine Folge in HA mit k fn kHA ≤ C . Wir wählen ϕn ∈ D(A) = D(R)
mit k fn − ϕn kHA < n1 . Für k ∈ N sind die Einschränkungen (Rk ϕn ) der ϕn auf
[−k, k] beschränkte Folgen in W21 (−k, k) aufgrund von (11).
(1)
2lNach Satz 11.27 besitzt (ϕn ) eine Teilfolge (ϕ(1)
n ) , für die (R1 ϕn ) in L2 [−1, 1]
(2)
(1)
konvergiert. Weiter besitzt (ϕ(1)
n ) eine Teilfolge (ϕn ) , für die (R2 ϕn ) in L2 [−2, 2]
konvergiert. Wie in Lemma 7.4 findet man mittels Diagonalverfahren eine Teilfolge
(ϕ∗n ) von (ϕn ) , sodass (Rk ϕ∗n ) für alle k ∈ N in L2 [−k, k] konvergiert.
15 Friedrichs-Fortsetzung und harmonischer Oszillator
3lZu ε > 0 gibt es N ∈ N mit q(x) ≥
R
| x |≥N
| ϕn − ϕm |2 dx ≤ ε2
1
ε2
R
| x |≥N
111
für | x | ≥ N . Für n, m ∈ N gilt dann
q(x) | ϕn − ϕm |2 dx
≤ ε2 k ϕn − ϕm k2HA ≤ 4 (C + 1)2 ε2 .
R
Nach 2lgibt es n0 ∈ N mit | x |≤N | ϕn − ϕm |2 dx ≤ ε2 für n, m ≥ n0 , und somit
ist (ϕn ) eine Cauchy-Folge in L2 (R) . Dies gilt dann auch für die Folge (fn ) .
3
16.8 Bemerkung. Man hat D := H 2 (R) ∩ D(Mq ) ⊆ D(A) . Ist nämlich T der
d2
lineare Operator − dx
2 + q mit Definitionsbereich D , so ist T symmetrisch wegen
Satz 15.17, und aus A ⊆ T folgt T ⊆ T ∗ ⊆ A∗ = A .
16.9 Eindimensionale Hamilton-Operatoren. Durch Verschiebung ergibt sich
aus Satz 16.7: Für ein Potential V ∈ C ∞ (R) gelte V (x) ≥ c für c ∈ R . Der
Abschluss H = H0 des Operators
2
h̄
f ′′ (x) + V (x) f (x) mit D(H0 ) := D(R)
H0 : f 7→ − 2m
(12)
, ∞) . Gilt V (x) → ∞ für | x | → ∞ ,
ist selbstadjungiert, und es gilt σ(H) ⊆ [ 2mc
h̄2
so besitzt der Hamilton-Operator H ein diskretes Spektrum.
16.10 Der harmonische Oszillator. a) Aufgrund der Quantisierung (6) in der
Einleitung ist der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators der Abschluss
des Operators
H0 =
1
2m
P2 +
mω 2
2
2
h̄
Q2 = − 2m
d2
dx2
+
mω 2
2
x2
mit D(H0 ) := D(R) . (13)
Aufgrund von 16.9 gilt σ(H) = σd (H) ⊆ [0, ∞) , und offenbar ist S(R) ⊆ D(H) .
b) Wir ignorieren zunächst Definitionsbereiche und führen die Operatoren
A :=
q
mω
2h̄
Q+
√ i
2h̄mω
P
und A+ :=
q
mω
2h̄
Q−
√ i
2h̄mω
ein; aufgrund der Heisenbergschen Unschärfe-Relation [P, Q] ⊆
h̄ω (A+ A + 21 I) ⊆ H und [A, A+ ] ⊆ I
A+ A ⊆ N :=
1
H
h̄ω
− 12 I .
sowie
h̄
i
P
(14)
I (vgl. 13.5) folgt“
”
(15)
(16)
c) Weiter ist [N, A] = NA − AN = A+ AA − AA+ A = [A+ , A]A = −A , und genauso
folgt“ [N, A+ ] = A+ .
”
d) Nun gelte Nfλ = λfλ und k fλ k = 1 für ein λ ∈ R . Nach c) ergibt sich
N(Afλ ) = ANfλ − Afλ = (λ − 1)Afλ und k Afλ k2 = hAfλ |Afλ i = hA+ Afλ |fλ i =
λ k fλ k2 = λ ; genauso sieht man NA+ fλ = (λ + 1)fλ und k A+ fλ k2 = λ + 1 .
e) Mit Ausnahme von λ = 0 und λ = −1 ist mit λ also auch λ − 1 und λ + 1
Eigenwert von N . Wegen (16) ist σ(N) ⊆ [− 21 , ∞) , und daher muss σ(N) = N0
gelten. Es folgt“ also
”
σ(H) = {h̄ω (n + 21 ) | n = 0, 1, 2, . . .} .
(17)
112
II. Unbeschränkte Operatoren und Observable der Quantenmechanik
f) Zur Berechnung von Eigenfunktionen substituieren wir u =
A =
√1
2
(u +
d
),
du
A+ =
√1
2
(u −
d
),
du
N =
1
2
q
mω
h̄
x ; dann gilt
(u2 + 1 −
d2
).
du2
(18)
Aus Nf = 0 folgen A+ Af = 0 und Af = ANf − NAf = −NAf ; daraus ergibt
sich (N + I)Af = 0 und Af = 0 wegen σ(N) = N0 . Die Differentialgleichung
u2
d
Af (u) = √12 (u + du
)f (u) = 0 hat die Lösungen f (u) = c e− /2 , c ∈ K . Aus
√
R
2
k f k2L2 = c2 R e−u du = πc2 = 1 folgt c = √41π , und
ψ0 (u) =
1
√
4π
e−
u2/
2
(19)
ist der Eigenzustand von N zum Eigenwert λ = 0 .
Nach d) erhält man Eigenzustände zum Eigenwert λ = n durch
ψn (u) =
√1
n!
A+ n ψ0 (u) =
1 √1
√
4π
2n n!
u2
(u −
2
d n − u /2
) e
du
.
(20)
u2
d n − /2
g) Nun berechnet man e /2 (u − du
) e
= Hn (u) , die ψn (u) = hn (u) stimmen
also mit den Hermite-Funktionen aus 4.17 überein (Aufgabe, vgl. [No], 4.4.4).
h) Nach 16.8 gilt S(R) ⊆ D(H) , und obige formale Rechnungen sind, angewandt
auf Funktionen aus S(R) , exakt richtig. Wegen hn ∈ S(R) gilt also
H hn = h̄ω (n + 21 ) hn ,
n = 0, 1, 2, . . . .
(21)
Da die Hermite-Funktionen {hn } eine Orthonormalbasis von L2 (R) bilden, ist somit
die Spektralzerlegung von H explizit berechnet.
16.11 Bemerkung. Aus (20) und Satz 15.8 ergibt sich
F (u −
d
)
du
= (−i) (u −
d
)F
du
und daher F hn = (−i)n hn für n ∈ N0 . Die Hermite-Funktionen hn sind also auch
Eigenfunktionen der Fourier-Transformation F zu den Eigenwerten (−i)n , und man
hat die Spektralzerlegung
Fu =
∞
P
(−i)n hu, hn i hn , u ∈ L2 (Rn ) .
n=0
(22)
113
16 Observable und symmetrische Störungen
17
Observable und symmetrische Störungen
Der Impulsoperator eines eindimensionalen Teilchens ist gegeben durch
d
P = −ih̄ dx
= h̄ D ,
(1)
der freie Hamilton-Operator eines Teilchens im Raum durch
h̄2
2m
2
h̄
∆ =
H0 = − 2m
3
P
j=1
Dj2 .
(2)
Allgemeiner betrachten wir
17.1 Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten. a) Für ein Polynom P (D) =
m
P
| α |=0
aα ξ α ∈ C[ξ1 , . . . , ξn ] ist der Differentialoperator
P (D) = F −1 MP F
(3)
(vgl. (14.33)) unitär äquivalent zum Multiplikationsoperator MP in den Frequen”
zen“ ξ ∈ Rn . Mit
D(P (D)) = {f ∈ L2 (Rn ) | P (ξ) fb(ξ) ∈ L2 (Rn )}
(4)
ist daher P (D) ein abgeschlossener Operator mit σ(P (D)) = P (Rn ) ⊆ R (vgl. 9.3
und 9.15). Das Spektrum ist offenbar ein unbeschränktes abgeschlossenes Intervall.
Weiter hat man P (D)∗ = F −1 MP̄ F nach 10.2.
b) Im Fall eines reellen Polynoms ist also P (D) selbstadjungiert. Nach 13.23 besitzt
P (D) keine Eigenwerte, insbesondere gilt σ(P (D)) = σe (P (D)) . Nach 13.14 gilt
für das Spektralmaß von P (D)
E(δ)f = F −1 EMP F (δ)f :=
R
P −1 (δ)
fb(ξ) eihx,ξid¯n ξ,
f ∈ L2 (Ω) ,
(5)
wobei das Integral i. a. im Sinn von (14.??) zu verstehen ist. Formel (3) lautet
entsprechend so:
P (D)f (x) =
R
Rn
P (ξ) fb(ξ) eihx,ξid¯n ξ,
f ∈ L2 (Ω) .
(6)
2
h̄
Für P = h̄D gilt P (ξ) = h̄ξ und σ(P ) = R , für H = − 2m
∆ gilt P (ξ) =
und σ(P ) = [0, ∞) .
17.2 Elliptische Operatoren. a) Ein Differentialoperator P (D) =
P
P
2
h̄
| ξ |2
2m
| α |≤m
aα D α
aα ξ α 6= 0 für alle Vektoren
der Ordnung m ≥ 1 heißt elliptisch, falls Pm (ξ) :=
| α |=m
ξ ∈ Rn \{0} gilt.
b) Für einen elliptischen Operator P (D) der Ordnung m gilt
∃ c > 0 ∀ ξ ∈ Rn : 1 + | P (ξ) | ≥ c hξim .
(7)
In der Tat gibt es γ > 0 mit | Pm(ξ) | ≥ γ für | ξ | = 1 , also | Pm (ξ) | ≥ γ | ξ |m für
ξ ∈ Rn .
c) Wegen b) gilt D(P (D)) = H m (Rn ) für elliptische Operatoren.
d) Gewöhnliche Differentialoperatoren oder −∆ sind elliptisch. Im Fall m = 2 und
n = 2 sind die Niveaulinien {ξ ∈ R2 | P (ξ) = c} (leer, einpunktig oder) Ellipsen;
dies erklärt den Namen elliptisch“ für diese Operatoren.
”
114
II. Unbeschränkte Operatoren und Observable der Quantenmechanik
17.3 Verallgemeinerte Eigenfunktionen. a) Man kann (6) als Entwicklung des
”
Operators P (D) nach den Eigenfunktionen ϕξ (x) = eihx,ξi “ interpretieren. In der
Tat gilt P (D)ϕξ = P (ξ)ϕξ ; allerdings liegen diese Eigenfunktionen nicht im Hilbertraum L2 (Rn ) .
b) Für a ∈ C ∞ (Rn , R) kann man eine ähnliche Entwicklung“ für den Multiplikati”
onsoperator Ma angeben. Es gilt ja
Ma f (x) = a(x)f (x) = δx (af ) ,
und dies wird in der Physik gerne so geschrieben:
Ma f (x) =
R
Rn
a(u) f (u) δx(u) du ,
f ∈ L2 (Ω) .
(8)
Die δ -Funktionale übernehmen hier die Rolle der Eigenfunktionen“; in der Tat ist
”
(Ma δx )(ϕ) = (a(x) δx )(ϕ) = δx (aϕ) = a(x)ϕ(x) = a(x)δx (ϕ)
(9)
für alle ϕ ∈ D(Rn ) (oder ϕ ∈ S(Rn ) ) nach (14.14).
c) Die Eigenfunktionen“ aus a) und b) liegen in S ′ (Rn ) . Man hat Entwicklun”
”
gen nach verallgemeinerten Eigenfunktionen“ in S ′ (Rn ) für alle selbstadjungierten
Operatoren A in L2 (Rn ) , für die S(Rn ) ⊆ D(A) und AS(Rn ) ⊆ S(Rn ) gilt (vgl.
[GW], I § 4 oder [Mau], Chapter XVII).
d) Allgemeiner betrachtet man Gelfand-Tripel
G ֒→ H ֒→ G ′
(10)
mit einem nuklearen Fréchetraum G und erhält Entwicklungen nach verallgemei”
nerten Eigenfunktionen“ in G ′ für alle selbstadjungierten Operatoren A in H , die
den Raum G invariant lassen.
Wir behandeln nun Störungen von einfachen“ Operatoren, z. B. solche des freien
”
Hamilton-Operators.
17.4 Relativ beschränkte und relativ kompakte Störungen. Es seien X , Y
Banachräume und T : D(T ) 7→ Y ein linearer Operator mit Definitionsbereich
D(T ) ⊆ X .
a) Ein linearer Operator S : D(S) 7→ Y heißt T -beschränkt, wenn D(T ) ⊆ D(S)
und S : DT 7→ Y stetig ist. Die T -Schranke von S ist gegeben durch
βT (S) := inf {c > 0 | ∃ d > 0 ∀ x ∈ D(T ) : k Sx k ≤ c k T x k + d k x k} .
(11)
b) Ein linearer Operator S : D(S) 7→ Y heißt T -kompakt, wenn D(T ) ⊆ D(S) und
S : DT 7→ Y kompakt ist.
17.5 Satz (Rellich-Kato). Es seien A , V symmetrische Operatoren in einem Hilbertraum H , und V sei A -beschränkt mit βA (V ) < 1 .
a) Ist A selbstadjungiert, so auch A + V .
b) Ist A selbstadjungiert, so auch A + V = A + V .
115
16 Observable und symmetrische Störungen
Beweis. a) Offenbar ist A + V symmetrisch. Nach (11) hat man
∃ 0 ≤ c < 1 ∃ d ≥ 0 ∀ x ∈ D(A) : k V x k ≤ c k Ax k + d k x k .
(12)
Für 0 6= µ ∈ R gelten iµ ∈ ρ(A) und k RA (iµ) k ≤ | µ1 | nach Satz 10.12. Weiter ist
k (iµI − A)x k2 = h(iµI − A)x, (iµI − A)xi = | µ |2k x k2 + k Ax k2 für x ∈ D(A) ,
und für y = (iµI − A)x ∈ H folgt k ARA (iµ)y k = k Ax k ≤ k (iµI − A)x k = k y k .
Aus (12) und Satz 10.12 ergibt sich nun
k V RA (iµ)y k ≤ c k ARA (iµ)y k + d k RA (iµ)y k ≤ c k y k +
d
|µ|
kyk;
für große | µ | ist also k V RA (iµ) k < 1 und (I − V RA (iµ)) invertierbar.
Für z ∈ H sei y = (I − V RA (iµ))−1 z und x = RA (iµ)y ∈ D(A) . Dann gilt
(iµI − (A + V ))x = y − V RA (iµ)y = z ,
und daher ist R(iµI − (A + V )) = H . Aufgrund von Satz 10.11 ist daher A + V
selbstadjungiert.
b) Zu x ∈ D(A) gibt es eine Folge (xn ) in D(A) mit xn → x und Axn → Ax . Wegen
βA (V ) < ∞ folgt auch V xn → V x , und aus (12) folgt auch k V x k ≤ c k Ax k +
d k x k . Somit ist V A -bschränkt mit βA (V ) ≤ βA (V ) < 1 .
Nach a) ist also A + V selbstadjungiert. Aus A + V ⊆ A + V folgt sofort A + V ⊆
A + V . Ist umgekehrt y ∈ D(A + V ) = D(A) , so gibt es eine Folge (yn ) in D(A)
mit yn → y und Ayn → Ay . Wegen βA (V ) < ∞ konvergiert auch (A + V )yn , und
dies zeigt y ∈ D(A + V ) .
3
17.6 Satz. Es seien X , Y Banachräume und T : D(T ) 7→ Y , S : D(S) 7→ Y
lineare Operatoren, sodass S abschließbar und T -kompakt ist.
a) Es gilt βT (S) = 0 .
b) Der Operator S ist auch (T + S) -kompakt.
c) Nun seien T, S lineare Operatoren in einem Hilbertraum, und T sei abgeschlossen. Dann ist S genau dann T -kompakt, wenn gilt
w
w
D(T ) ∋ xn → 0 und T xn → 0 ⇒ k Sxn k → 0 .
(13)
Beweis. a) Andernfalls gibt es ε > 0 und zu n ∈ N Vektoren xn ∈ D(T ) mit
xn
k Sxn k ≥ ε k T xn k + n k xn k . Wir können k xn k = 1 annehmen. Für zn := k Sx
nk
gilt dann zn → 0 und ε k T zn k+n k zn k ≤ 1 ; somit ist (zn ) in DT beschränkt. Da S
T -kompakt ist, existiert eine Teilfolge (znj ) mit Sznj → y ∈ Y Wegen k Szn k = 1
ist auch k Sy k = 1 ; dies ist aber ein Widerspruch zur Abschließbarkeit von S .
b) Nach a) gibt es d > 0 mit k Sx k ≤ 21 k T x k + d k x k für x ∈ D(T ) . Es folgt
k T x k ≤ k T x k + (k T x k − 2 k Sx k + d k x k) ≤ 2 (k T x k − k Sx k) + d k x k
≤ 2 k (T + S)x k + d k x k ,
S
d. h. T ist T + S -beschränkt. Folglich ist S : DT +S ֒→ DT −→ Y kompakt.
w
c) Die Voraussetzung in (13) bedeutet xn → 0 im Hilbertraum DT :
116
II. Unbeschränkte Operatoren und Observable der Quantenmechanik
w
w
Zunächst gelte D(T ) ∋ xn → 0 und T xn → 0 in H . Für y ∈ D(T ) gilt dann
hxn |yiT = hxn |yiH + hT xn |T yiH → 0 ,
(14)
w
also xn → 0 in DT .
w
Umgekehrt sei nun xn → 0 in DT vorausgesetzt. Für (y, z) ∈ Γ(T ) gilt dann
hxn |yiH + hT xn |ziH → 0 nach (14), und für (y, z) ∈ Γ(T )⊥ gilt dies erst recht. Man
w
hat also hxn |yiH + hT xn |ziH → 0 für alle (y, z) ∈ H × H und insbesondere xn → 0
w
und T xn → 0 in H .
Nun verwendet man Satz 11.12.
3
17.7 Satz (Weyl). Es seien A ein selbstadjungierter Operator in einem Hilbertraum, und V sei symmetrisch und A -kompakt. Dann ist auch A+V selbstadjungiert,
A und A + V haben die gleichen Weyl-Folgen, und es ist σe (A + V ) = σe (A) .
Beweis. Aufgrund der Sätze 17.6 a) und 17.5 a) ist A + V selbstadjungiert. Es sei
w
(xn ) in D(A) eine Weyl-Folge für A und α ∈ R , d. h. es gelte k xn k = 1 , xn → 0
w
und k (αI − A)xn k → 0 . Dann gilt auch Axn → 0 , und Satz 17.6 c) impliziert
k V xn k → 0 . Somit hat man k (αI − (A + V ))xn k → 0 , und (xn ) ist auch eine
Weyl-Folge für A + V und α ∈ R . Es gilt auch die Umkehrung dieser Aussage,
da V nach Satz 17.6 b) auch (A + V ) -kompakt ist. Damit folgt dann schließlich
σe (A + V ) = σe (A) aus Satz 13.22.
3
Wir wenden nun diese Störungssätze auf den freien Hamilton-Operator H0 in R3
an. Zunächst gilt die folgende Version des Sobolevschen Einbettungssatzes 15.17:
17.8 Satz. Es sei n ∈ {1, 2, 3} . Zu ε > 0 gibt es c ≥ 0 mit
sup | f (x) | ≤ ε k ∆f kL2 + c k f kL2
x∈Rn
für alle f ∈ H 2 (Rn ) .
(15)
Beweis. a) Nach Satz 15.17 hat man fb ∈ L1 (Rn ) , und f ist eine stetige Funktion.
Für x ∈ Rn gilt nach Satz 15.9
R
R
| f (x) |2 = | Rn fb(ξ) eihx,ξid¯n ξ |2 ≤ ( Rn | fb(ξ) |d¯n ξ )2
R
R
≤ Rn (| ξ |2 + 1)−2 d¯n ξ · Rn (| ξ |2 + 1)2 | fb(ξ) |2d¯n ξ
≤ C (k | ξ |2 fbk2 + k fb k2 ) .
b) Nun sei n = 3 . Für r > 0 betrachten wir fbr (η) := r 3 fb(rη) und substituieren
ξ = rη , dξ = r 3 dη . Mittels a) folgt
| f (x) |2 ≤
=
=
=
R
R
( R3 | fb(ξ) |d¯3 ξ )2 = ( R3 | fbr (η) |d¯3 η)2 ≤ C (k | η |2 fbr k2 + k fbr k2 )
R
R
C ( R3 | η |4 r 6 | fb(rη) |2d¯3 η + R3 r 6 | fb(rη) |2d¯3 η)
R
R
C ( R3 | ξ |4 r −1 | fb(ξ) |2d¯3 ξ + R3 r 3 | fb(ξ) |2d¯3 ξ)
C (r −1 k ∆f k2L2 + r 3 k f k2L2 ) ,
und daraus folgt die Behauptung für große r .
c) Für n = 1 und n = 2 argumentiert man wie in b).
3
16 Observable und symmetrische Störungen
117
17.9 Satz (Kato). Es seien V1 ∈ L2 (R3 , R) , V2 : R3 7→ R eine beschränkte
messbare Funktion und V := V1 + V2 . Dann ist der Multiplikationsoperator MV
H0 -beschränkt mit βH0 (MV ) = 0 , und der Hamilton-Operator
2
h̄
HV := H0 + MV = − 2m
∆+V ,
D(Hv ) = H 2 (R3 ) ,
ist selbstadjungiert.
Beweis. Für f ∈ H 2 (Rn ) gilt nach Satz 17.8 für alle ε > 0 eine Abschätzung
k V f kL2 ≤ k V1 f kL2 + k V2f kL2 ≤ k V1 kL2 k f ksup + k V2 ksup k f k2
≤ k V1 kL2 (ε k ∆f kL2 + c k f kL2 ) + k V2 ksup k f k2 .
Da ε > 0 beliebig ist, folgt βH0 (MV ) = 0 , und die letzte Aussage folgt aus dem
Satz von Rellich-Kato 17.5.
3
17.10 Satz. In der Situation von Satz 17.9 gelte zusätzlich lim V (x) = 0 . Dann
| x |→∞
ist der Multiplikationsoperator MV sogar H0 -kompakt, und es gilt σe (HV ) = σe (H0 ) =
[0, ∞) .
Beweis. a) Wir wählen 23 < s < 2 . Nach dem Sobolevschen Einbettungssatz 15.17
hat man die stetige Einbettung H s (R3 ) ֒→ C0 (R3 ) . Für f ∈ H s (R3 ) folgt wie im
Beweis von Satz 17.9
k V f kL2 ≤ k V1 f kL2 + k V2f kL2 ≤ k V1 kL2 k f ksup + k V2 ksup k f k2
≤ c k V1 kL2 k f kH s + k V2 ksup k f k2 ≤ C k f kH s ,
d. h. MV : H s (R3 ) → L2 (R3 ) ist ein beschränkter linearer Operator.
b) Für k ∈ N wählen wir χk ∈ D(Rn ) mit 0 ≤ χk ≤ 1 , χk (x) = 1 für | x | ≤ k und
χk (x) = 0 für | x | ≥ k + 1 . Nach Theorem 15.18 ist der Multiplikationsoperator
Mχk : H 2 (Rn ) 7→ H s (Rn ) kompakt, und dies gilt dann auch für
Mk := Mχk V = MV Mχk : H 2(R3 ) → L2 (R3 ) .
c) Für f ∈ H 2 (R3 ) gilt nun
k MV f − Mk f kL2 = k (1 − χk )V f kL2 ≤ sup | V (x) | · k f kL2
≤
| x |≥k
sup | V (x) | · k f kH 2 ,
| x |≥k
also k MV − Mk k → 0 . Somit ist auch MV : H 2 (R3 ) → L2 (R3 ) kompakt.
d) Aus dem Satz von Weyl folgt nun σe (HV ) = σe (H0 ) = [0, ∞) .
3
17.11 Bemerkungen. a) Satz 17.10 gilt entsprechend für jeden elliptischen Operator P (D) zweiter Ordnung auf Rn für n ∈ {1, 2, 3} ; man hat dann σe (P (D)+MV ) =
σe (P (D)) = P (Rn ) .
b) Satz 17.10 ist ohne die Bedingung
lim V (x) = 0 “ nicht richtig. Eine konstante
”| x |→∞
Funktion V etwa führt zu einer Verschiebung von σe (P (D)) = σ(P (D)) . Folglich
ist die Einbettung i : H 2 (R3 ) 7→ L2 (R3 ) nicht kompakt; nach Satz 17.9 gilt jedoch
118
II. Unbeschränkte Operatoren und Observable der Quantenmechanik
β∆ (i) = 0 .
c) Allgemeiner sind alle Einbettungen H s (Rn ) 7→ L2 (Rn ) nicht kompakt. Dazu wählt
man eine orthonormale Folge (ek ) in L2 (Rn ) mit Träger in einer festen kompakten
Menge; dann ist (ek ) im Raum L2 (Rn , hξis) beschränkt. Dies gilt dann auch für die
Folge (F −1 ek ) im Raum H s (Rn ) , die in L2 (Rn ) ebenfalls orthonormal ist.
17.12 Das Elektron im Wasserstoff-Atom. a) Dieses wird beschrieben durch
den Hamilton-Operator
2
h̄
∆−
H = − 2m
e2
|x|
,
D(HV ) = H 2 (R3 ) .
(16)
2
Das Potential V (x) = − |ex | erfüllt die Bedingungen von Satz 17.10. Es ist also H
selbstadjungiert mit σe (H) = [0, ∞) .
b) Weiter kann man zeigen
4
σd (H) = {− 2h̄me2 n2 , n = 1, 2, 3, . . .} .
(17)
4
Der Eigenraum zum Eigenwert En = − 2h̄me2 n2 hat die Dimension n2 .
c) Die entarteten Eigenwerte“ En können durch das Einschalten konstanter Ma”
gnetfelder (Zeeman-Effekt) und die Berücksichtigung des Spins aufgespalten“ bzw.
”
verdoppelt“ werden.
”