Ubung 6 - Aufgabe 1 ¨Ubung 7 - Aufgabe 3

Mathematik und ihre Didaktik
W. Neidhardt
WS 00/01
Lösungsskizzen
Übungen zur Elementaren Zahlentheorie
Übung 6 - Aufgabe 1
Alle nat. Zahlen ≥ 3 lassen sich in der Form 6n ± 1 , 6n ± 2 , 6n ± 3 oder 6n ,
n ∈ IN schreiben. Zahlen der Form 6n ± 2 , 6n ± 3 oder 6n sind durch 2 oder durch
3 teilbar, also bleibt für Primzahlen > 3 nur die Form 6n ± 1.
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BASIC-Programm (Vorschlag):
INPUT a
IF a / 2 = INT(a / 2) THEN u = 2: GOTO ausgabe
IF a / 3 = INT(a / 3) THEN u = 3: GOTO ausgabe
IF (a = 5 OR a = 7) THEN GOTO prim
x = 6
label1:
IF a / (x - 1) = INT(a / (x - 1)) THEN u = (x - 1): GOTO ausgabe
IF a / (x + 1) = INT(a / (x + 1)) THEN u = (x + 1): GOTO ausgabe
x = x + 6
IF (x - 1) <= SQR(a) THEN GOTO label1
prim:
PRINT a;
PRINT " ist prim!"
END
ausgabe:
PRINT a;
PRINT " ist nicht prim,
PRINT u;
PRINT " teilbar!"
END
sondern durch ";
Frage: Wozu ist die Zeile IF (a = 5 OR a = 7) THEN GOTO prim nötig?
Übung 7 - Aufgabe 3
Es gilt: S(0) = σ(20 ) = σ(1) = 1. Um zu einer Idee zu kommen, füllen wir zunächst
eine Tabelle aus:
x(= n)
1
2
3
.
.
.
2x
21 = 2
22 = 4
23 = 8
.
.
.
x
T (2x )
{1, 2}
{1, 2, 4}
{1, 2, 4, 8}
.
.
.
2
3
σ(2x )
1 + 2 = 3 = 22 − 1
1 + 2 + 4 = 7 = 23 − 1
7 + 8 = 15 = 24 − 1
.
.
.
x
x+1
S(n)
S(1) = 2 · S(0) + 1
S(2) = 2 · S(1) + 1
S(3) = 2 · S(2) + 1
.
.
.
Der letzte Eintrag (σ(2x ) = 2x+1 − 1) ist zunächst eine Vermutung und muss noch
(z.B. durch vollständige Induktion) bewiesen werden:
Induktionsanfang: x = 1
L.S.: σ(21 ) = σ(2) = 1 + 2 = 3
R.S.: 21+1 − 1 = 22 − 1 = 3
Linke Seite = Rechte Seite , also o.k.
Induktionsschritt: x → x + 1
Sei σ(2x ) = 2x+1 − 1 (Ind.Vor.)
L.S.: σ(2x+1 ) = σ(2x ) + 2x+1 = 2x+1 − 1 + 2x+1 = 2 · 2x+1 − 1 = 2x+2 − 1.
R.S.: 2(x+1)+1 − 1 = 2x+2 − 1.
L.S. = R.S.
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Das LOGO-Programm ergibt sich aus der Rekursionsformel: S(n) = 2 · S(n − 1) + 1
und aus der Anfangsbedingung S(0) = 1:
pr summ :n
if :n=0 [rg 1]
rg 1+2*summ :n-1
ende
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Berechnung von σ(px ) für Primzahlen p:
x
1
2
.
.
.
px
p
p2
.
.
.
T (px )
{1, p}
{1, p, p2 }
.
.
.
σ(px )
1+p
1 + p + p2
.
.
.
x
px
{1, p, p2 , . . . , px }
1 + p + p2 + . . . + p x =
x
X
pn =
px+1 − 1
p−1
px+1 − 1
ist die Summenformel für eine geometrische Reihe und lässt sich
p−1
n=0
wieder durch vollständige Induktion zeigen:
Induktionsanfang: x = 0
0
X
L.S.:
pn = p0 = 1.
n=0
0+1
R.S.:
p
−1
= 1.
p−1
Induktionsschritt: x → x + 1
x
X
px+1 − 1
Sei
pn =
(Ind.Vor.)
p−1
n=0
L.S.:
x+1
X
n=0
pn =
x
X
n=0
pn + px+1 =
px+1 − 1
px+1 − 1 + p · px+1 − px+1
+ px+1 =
=
p−1
p−1
px+2 − 1
= R.S.
p−1
Übung 8 - Aufgabe 3
Zunächst (für kleine n) eine tabellarische Lösung (z.B. mit EXCEL):
Sei z = 2k+6n + 1 ; k = 0, 1, . . . , 5 ; n ∈ IN0
Zeige (durch vollständige Induktion nach n): z lässt für festes k bei Teilung durch
9 immer denselben Rest r.
1. Fall: k = 0
Induktionsanfang: n = 0 und n = 1
z(0) = 20 + 1 = 2 ⇒ z(0) = 0 · 9 + 2 , d.h. z(0) lässt bei Teilung durch 9 den Rest
2.
z(1) = 26 +1 = 65 ⇒ z(1) = 7·9+2 , d.h. z(1) lässt bei Teilung durch 9 den Rest 2.
Induktionsschritt: n → n + 1:
Induktionsvoraussetzung: 26n + 1 = q1 · 9 + 2.
Zeige: Auch 26(n+1) + 1 lässt bei Teilung durch 9 den Rest 2.
26(n+1) +1 = 26+6n +1 = 26 ·26n +1 = 64·26n +1 = (63+1)·26n +1 = 63·26n +(26n +1).
Die letzte Summe lässt (bei Teilung durch 9) den Rest 2, denn 63 ist durch 9 teilbar
und 26n + 1 lässt (nach Ind.vor.) bei Teilung durch 9 den Rest 2.
2.-6. Fall: k = 1, 2, . . . , 5 analog.
Der ggT berechnet sich für alle n ∈ IN0 demnach wie aus folgender Tabelle ersichtlich:
k
0
1
2
3
4
5
ggT (2k+6n + 1, 9)
1
3
1
9
1
3
Übung 8 - Aufgabe 4(b)
ggT durch Subtraktion:
pr ggt_sub :a :b
if :a=:b [dz :a stop]
if :b>:a [make "s :b make "b :a make "a :s]
make "a :a-:b
ggt_sub :a :b
ende
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pr ggt :a :b
setze "r 1
ggt_div :a :b
ende
pr ggt_div :a :b
if :r=0 [dz :a stop]
setze "r rest :a :b
ggt_div :b :r
ende
Das Programm wird z.B. durch den Aufruf ggt 36 48 gestartet. Die Prozedur ggt
ist nur dazu da, beim Starten den ersten Rest auf 1 zu setzen. rest :a :b berechnet
den Rest bei Division der Zahl a durch die Zahl b.