Koordinatentransformation, Wiederholung Gleichungs

Lineare Algebra Übungsblatt 6: Koordinatentransformation, Wiederholung Gleichungssysteme
1. Ein Koordinatensystem x1 , x2 , x3 (x,y,z) wird zuerst um die x1 -Achse um 45o gedreht. Es entsteht das
Koordinatensystem x∗1 , x∗2 , x∗3 . Danach wird x∗1 , x∗2 , x∗3 umd die x∗3 -Achse um 30o gedreht, es entsteht
das Koordinatensystem x01 , x02 , x03 .
(a) Wie lautet die Transformationsmatrix, die Vektoren aus dem KS x1 , x2 , x3 direkt nach x01 , x02 , x03
überführt?


0


(b) Gegeben sei der Vektor ~b =  1  im Koordinatensystem x1 , x2 , x3 . Wie lauten seine Koor−1
dinaten im Koordinatensystem x01 , x02 , x03 ?


1


(c) Gegeben sei der Vektor c~∗ =  0  im Koordinatensystem x∗1 , x∗2 , x∗3 .
2
i. Wie lauten seine Koordinaten im Koordinatensystem x01 , x02 , x03 ?
ii. Wie lauten seine Koordinaten im Koordinatensystem x1 , x2 , x3 ?
2. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem.
3x2 − 5x3
−x1 − 3x2
−2x1 + x2 + 2x3
−3x1 + 4x2 + 2x3
+ x4
− x4
+ 2x4
+ 2x4
=
0
= −5
=
2
=
8
3. Gegeben sei das folgende von a, b ∈ IR abhängige Gleichungssystem.
x1 − ax2 − x3 =
2
3x1 + 5x2
= −1
2x2 − 6x3 = 14b
(a) Für welche(s) a, b ∈ IR besitzt das Gleichungssystem
i. genau eine
ii. keine
iii. unendlich viele Lösungen?
(b) Lösen Sie falls möglich das Gleichungssystem für
i. a = 5, b = 0
ii. a = −2, b = 1
Lineare Algebra Übungsblatt 6: Lösungen
 √
1. (a) Q = Q3 (30o ) · Q1 (45o ) = 




(b) b~0 = 
0
√
2
√4
6
4√
−
2
2

0
2
1
−1
√
2
√4
6
√4
2
2





0

√0 
− 2
 √
(c)
3
2
− 12

i. c~0 = 
3
2
− 21



2


1
 √ 
ii. ~c =  −√2 
2
2. x1 = 0, x2 = 2, x3 = 1, x4 = −1,
3. (a)
(b)



~x = 





i. für a 6= −2 genau eine Lösung
ii. für a = −2 und b =
6 1 keine Lösung
iii. für a = −2 und b = 1 unendlich viele Lösungen
i. x1 = 29 , x2 = − 13 , x3 = − 19
ii. x1 = −12 − 5λ, x2 = 7 + 3λ, x3 = λ,
λ ∈ IR