Aufgabe - Gottfried K. Weitbrecht

PRÜFUNG DER FACHHOCHSCHULREIFE
Nachprüfung
an Berufskollegs zum Erwerb der Fachhochschulreife u.a.
2005
Fach : M a t h e m a t i k
Aufgabe 4
Punkte
4.1
4.2
4.3
4.4
Gegeben sind die Punkte A ( 4 0 0 ) , B ( 4 6 0 ) , C ( 4 6 3 ) und D ( 4 0 3 ) .
Begründen Sie, warum das Viereck ABCD ein Rechteck ist.
3
Zeichnen Sie das Rechteck ABCD in ein räumliches Koordinatensystem
( x2 - und x3 -Achse mit 1 LE = 1 cm; x1 -Achse mit dem Schrägwinkel 45° und
1
1 LE =
2 cm ).
2
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks.
4
Durch senkrechte Projektion der Punkte A, B, C, D auf die x2 x3 -Ebene wird
ein Quader aufgespannt.
Geben Sie die Koordinaten der Punkte A', B', C', D' an und zeichnen Sie den
Quader in das Koordinatensystem von 4.1 ein.
3
Geben Sie eine Gleichung der Geraden durch die Punkte C und P ( 0 0 3 ) an.
Zeichnen Sie die Gerade in das Koordinatensystem von 4.1 ein.
Der Punkt K ( 2 3 3 ) teilt die Strecke CP in zwei Teilstrecken.
Geben Sie das Verhältnis der Längen dieser beiden Teilstrecken an.
4.5
4.6
4.7
6
⎛4 ⎞
⎛ −2 ⎞
JG ⎜ ⎟
⎜
⎟
Gegeben ist die Gerade g : x = ⎜ 6 ⎟ + r ⋅ ⎜ −3 ⎟ .
⎜0 ⎟
⎜ 3⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
Zeigen Sie rechnerisch, dass der Punkt K ( 2 3 3 ) auf g liegt.
Zeichnen Sie die Gerade g in das Koordinatensystem von 4.1 ein.
In welchem Punkt S3 schneidet g die x3 -Achse ?
Untersuchen Sie, welche Lage g zur x1-Achse hat.
6
⎛2 ⎞
⎛4
JG ⎜ ⎟
⎜
Warum schneiden sich die Geraden g und h : x = ⎜ 3 ⎟ + s ⋅ ⎜ 6
⎜3 ⎟
⎜0
⎝ ⎠
⎝
Berechnen Sie den spitzen Schnittwinkel zwischen g und h.
3
⎞
⎟
⎟ ?
⎟
⎠
Die Punkte A, B und S3 ( 0 0 6 ) bilden ein Dreieck.
Begründen Sie, warum dieses Dreieck rechtwinklig ist.
Berechnen Sie die beiden nicht rechtwinkligen Innenwinkel und den
Flächeninhalt des Dreiecks ABS3.
5
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