Übungen zu Experimentalphysik IV im SS 2010 Prof. E. Rößler

Übungen zu Experimentalphysik IV im SS 2010
Prof. E. Rößler
Bernd Schmidtke
Blatt 8
Ausgabe:
Korrektur:
Donnerstag, 08.06.2010
Mittwoch, 16.06.2010 bzw. Freitag, 18.06.2010
Aufgabe 1: Termbezeichnung
2 Punkte
Ein Zweielektronen-System mit Gesamtspin S = 1 und Bahndrehimpuls L = 2 sei durch die
LS-Kopplung der Quantenmechanik beschrieben. Wie lauten die Termbezeichnungen aller
möglichen Zustände?
Aufgabe 2 : Spin-Bahn-Kopplung
a) 2 Punkte
Berechnen Sie die Größe des Magnetfeldes, das ein Elektron auf der innersten
Bohrschen Bahn aufgrund seiner Bahnbewegung am eigenen Ort erzeugt. Hinweis:
Transformieren Sie in ein Koordinatensystem mit dem Elektron im Ursprung. Bei der
Rücktransformation der Koordinatensysteme tritt der Faktor 1 auf. Dieser sog.
2
Thomas-Faktor ergibt sich aus relativistischer Rechnung.
b) 1 Punkt
Wie groß ist die Wechselwirkung zwischen Spin und Bahndrehimpuls?
c) 1 Punkt
Welcher Erwartungswert wird also bei der quantenmechanischen Betrachtung aus der
Wellenfunktion berechnet werden?
d) 1 Punkt
Die Spin-Bahn-Aufspaltung zwischen den Niveaus 6P1 2 und 6P3 2 beträgt für Cäsium
∆λ = 42.2 nm, die kurzwellige Linie hat λ = 852.1 nm. Berechnen Sie die Spin-BahnKopplungskonstante, und skizzieren Sie den Weg, daraus auch die
Feinstrukturkonstante α zu bestimmen. Geben Sie das Magnetfeld an, welches
aufgrund der Bahnbewegung erzeugt wird.
Aufgabe 3: Blochgleichungen
Je 2 Punkte
In einem Zweiniveausystem (z. B. Orientierung des Spins im B-Feld) folgt die Besetzung der
Niveaus der Boltzmannverteilung. In einem äußeren, konstanten Magnetfeld (in z-Richtung)
führen die Spins eine Präzessionsbewegung (analog zum mechanischen Kreisel) mit der
Larmorfrequenz ω L durch. Der Erwartungswert des Spinoperators lässt sich durch
r r
d
sˆ = µ × B
dt
r
mit µ = γ ŝ und sˆ = s x , s y , s z wiedergeben.
(
)
Berücksichtigt man die Wechselwirkung des Spins mit einem Wärmebad, darf man für die
Deutung von ESR-Experimenten nicht mehr den einzelnen Spin betrachten, sondern das Spinr
Ensemble und dessen Magnetisierung M , es gilt dann analog
r r
d r
M = M ×B
dt
Die Relaxation (longitudinale Relaxationszeit T1) der Magnetisierung in z-Richtung
(ausgerichtet im äußeren Feld) beschreibt die zeitliche Einstellung des thermischen
Gleichgewichts. Dies lässt sich durch
M −Mz
d
Mz = 0
,
dt
T1
wobei M0 der Wert von Mz im thermischen Gleichgewicht ist.
Dem Abklingen von Mz durch den Zerfall der Kohärenz wird durch ein Zusatzglied Rechnung
getragen
1
d
Mx = − Mx,
dt
T2
analog für die gleichberechtigte My, wobei T1 die transversale Relaxationszeit ist.
Dies lässt sich in den Blochgleichungen, welche auch für die Kernmagnetisierung im Falle
der NMR gelten, zusammenfassen:
 1

 − Mx 
 T2

r
r
r


d
1
M = γM × B +  − M y 
dt
 T2

 M0 − Mz 


T1


In der Praxis hat sich die Transformation in das rotierende Koordinatensystem bewährt.
Dieses rotiert mit ω L um die z-Achse.
a) Transformieren Sie die Blochgleichungen in das rotierende Koordinatensystem
b) Zum Zeitpunkt t = 0 werden die Spins in x-Richtung umgeklappt (durch einen sog.
90°-Puls), d.h. M x (t = 0 ) = M 0 . Lösen Sie für diesen Fall die Blochgleichungen im
r
rotierenden Koordinatensystem. Wie entwickelt sich die Magnetisierung M (t ) für
t > 0?
c) Diese sogenannte „freie Induktion“ M ∗ (t ) = M x (t ) + iM y (t ) stellt die komplexe
Fouriertransformierte des Absorptionsspektrums dar. Berechnen Sie es im rotierenden
Koordinatensystem.
d) Für die Übergänge zwischen zwei Zuständen gilt auch hier ∆E = hω . Berechnen Sie
für das klassische gyromagnetische Verhältnis eines Elektrons die Frequenzen, die in
einem Magnetfeld von 1T auftreten. In welchem Bereich des elektromagnetischen
Spektrums liegen diese?