Mathematik II

Mathematik II
MST
Übung 5
(Komplexe Zahlen)
Prof.Dr.B.Grabowski
Aufgabe 1
Stellen Sie folgende komplexen Zahlen als Zeiger im kartesischen Koordinatensystem dar! Geben
Sie Realteil, Imaginärteil und den Betrag an! Geben Sie dann alle Zahlen in EF (Eulerform) an!
a) z1 = − j + 1
b) z 2 = 5 − 2 j
c)
z3 = 2 − j
Aufgabe 2
Stellen Sie folgende komplexen Zahlen in NF (Normalform) dar! Zeichnen Sie sie als Zeiger im
kartesischen Koordinatensystem! Geben Sie Realteil, Imaginärteil und den Betrag an!
a) z1 = 2e
j
π
b) z 2 = 3e
2
−j
π
4
z 3 = 4e j 60°
c)
Aufgabe 3
Berechnen Sie mit den komplexen Zahlen
0
z1 = −4 j
z2 = 3 − 2 j
z 3 = 2e − j 40
die folgenden Terme und stellen Sie die Summanden und das Ergebnis im Koordinatensystem dar!
a) z1 + z2,
b) z1 + z3
c) z1 - z2
Was bedeuten Addition und Subtraktion zweier komplexer Zahlen geometrisch?
Aufgabe 4
Berechnen Sie mit den komplexen Zahlen
z1 = e j π / 4
z 2 = 3e − j 30°
z3 = 2 − 2 j
z4 = 3 + j
folgende Produkte und stellen Sie die Faktoren und das Produkt im Koordinatensystem als
komplexe Zeiger dar!
a) z1· z2
b) z3 · z4
c)z1 · z3
Was bedeutet die Multiplikation zweier komplexer Zahlen geometrisch?
Aufgabe 5
Berechnen Sie mit den komplexen Zahlen
z1 = e j π / 4
z 2 = 3e − j 30°
z3 = 2 − 2 j
z4 = 3 + j
folgende Brüche und stellen Sie Nenner und Zähler, sowie den Bruch im Koordinatensystem als
komplexe Zeiger dar!
z
z
z
a) 1 b) 3 c) 1
z2
z4
z3
Was bedeutet die Divison zweier komplexer Zahlen geometrisch?
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Übung 5
(Komplexe Zahlen)
Prof.Dr.B.Grabowski
Aufgabe 6
Berechnen Sie mit den komplexen Zahlen
z1 = − 4 j
z 3 = 2e − j 40
z2 = 3 − 2 j
0
die folgenden Terme und geben Sie die Ergebnisse in Normalform und in Euler- Form an:
z
π
π
a) 1 − 3z 3* + 2(cos( ) + j sin( ))
b) ( z1 − z2* ) / ( z 2 z 3* )
z2
4
4
Aufgabe 7
Mit dem komplexen Zeiger z = 1 + 2 j werden folgende Operationen durchgeführt:
a)
j⋅z
b) z*
c) z/j
e) ze j30°
d) 2z
f) z
g) z2
Was bedeuten sie geometrisch ? D.h., stellen Sie diese Operationen (d.h., die komplexen Zahlen a)
– e) und g), sowie den Betrag von z ) im Koordinatensystem dar !
Aufgabe 8
Zeigen Sie :
a) Re(z) =
Für jede komplexe Zahl z = a + jb gilt:
z + z*
2
b) Im(z) =
z − z*
2j
c) z⋅z* = |z|2
Aufgabe 9
Berechnen Sie die folgenden Potenzen und Logarithmen und stellen Sie das Ergebnis in NF dar!
a) ln(j)
b) ln(-1+j)
c) (1-j)10
Aufgabe 10
Wie lauten die Lösungen der folgenden Gleichungen? Stellen Sie sie als komplexe Zeiger im
Koordinatensystem dar!
a)
z3 = j
b) z4 = 16 e j 160°
Aufgabe 11
Berechnen Sie die Wurzeln :
a)
4−2j
b)
3
81e − j190°
und stellen Sie sie als komplexe Zeiger im Koordinatensystem dar!
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