MT- Mathematik II Übung 1

HTW
MT- Mathematik II
Übung 1
(Komplexe Zahlen)
Vorbereitende Aufgaben 01) – 05)
01)
Stellen Sie folgende komplexen Zahlen als Zeiger im kartesischen Koordinatensystem dar!
Geben Sie Realteil, Imaginärteil und den Betrag an! Geben Sie dann alle Zahlen in EF
(Eulerform) an!
a) z1 = − j + 1
b) z 2 = 5 − 2 j
c)
z3 = 2 − j
02)
Stellen Sie folgende komplexen Zahlen in NF (Normalform) dar! Zeichnen Sie sie als Zeiger
im kartesischen Koordinatensystem! Geben Sie Realteil, Imaginärteil und den Betrag an!
a) z1 = 2e
j
π
b) z 2 = 3e
2
−j
π
4
z 3 = 4e j 60°
c)
03)
Berechnen Sie mit den komplexen Zahlen
0
z1 = −4 j
z2 = 3 − 2 j
z 3 = 2e − j 40
die folgenden Terme und stellen Sie die Summanden und das Ergebnis im Koordinatensystem
dar! Was bedeuten Addition und Subtraktion zweier komplexer Zahlen geometrisch?
a) z1 + z2,
b) z1 + z3
c) z1 - z2
04)
Berechnen Sie mit den komplexen Zahlen
z1 = e j π / 4
z 2 = 3e − j 30°
z3 = 2 − 2 j
z4 = 3 + j
folgende Produkte und stellen Sie die Faktoren und das Produkt im Koordinatensystem als
komplexe Zeiger dar! Was bedeutet die Multiplikation zweier komplexer Zahlen
geometrisch?
a) z1· z2
b) z3 · z4
c)z1 · z3
05)
Berechnen Sie mit den komplexen Zahlen
z1 = e j π / 4
z 2 = 3e − j 30°
z3 = 2 − 2 j
z4 = 3 + j
folgende Brüche und stellen Sie Nenner und Zähler, sowie den Bruch im Koordinatensystem
als komplexe Zeiger dar! Was bedeutet die Division zweier komplexer Zahlen geometrisch?
a)
z1
z2
b)
z3
z
c) 1
z4
z3
Aufgabe 1)
Berechnen Sie mit den komplexen Zahlen
0
z1 = −4 j
z2 = 3 − 2 j
z 3 = 2e − j 40
die folgenden Terme und geben Sie die Ergebnisse in Normalform und in Euler- Form an:
1
HTW
a)
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Übung 1
(Komplexe Zahlen)
z1
π
π
− 3z 3* + 2(cos( ) + j sin( ))
z2
4
4
b) ( z1 − z2* ) / ( z 2 z 3* )
Aufgabe 2)
Mit dem komplexen Zeiger z = 1 + 2 j werden folgende Operationen durchgeführt:
a)
jz
b) z*
c) z/j
e) ze j30°
d) 2z
f) z
g) z2
Stellen Sie diese Operationen im Koordinatensystem dar ! Was bedeuten sie geometrisch ?
Aufgabe 3)
Zeigen Sie :
a) Für jede komplexe Zahl z gilt: z + z* =2⋅Re(z)
b) Für jede komplexe Zahl z gilt: z - z*= 2j⋅Im(z)
c) Für jede komplexe Zahl z gilt: |z|2 = z⋅z*
d) Für das Produkt zweier komplexer Zahlen z1 = a1+jb1 und z2 = a2+jb2 gilt:
(z1⋅ z2)* = (z1)*⋅(z2)*
e) Für den Quotienten zweier komplexer Zahlen z1 = a1+jb1 und z2 = a2+jb2 gilt:
( z1) *
z1 z1 ⋅ ( z 2) *
 z1 
=
und   =
z2
( z 2) *
| z 2 |2
 z2 
*
Aufgabe 4)
Wie lauten die Lösungen der folgenden Gleichungen ? Stellen Sie die Lösungen als Zeiger im
karthesischen Koordinatensystem dar!
a)
z3 = j
b) z4 = 16 e j 160°
Aufgabe 5)
Berechnen Sie die folgenden Wurzeln und Logarithmen :
a)
4−2j
b)
3
81e − j190°
c) ln(1)
d) ln(-1+j)
Aufgabe 6)
Bestimmen Sie sämtliche reellen und komplexen Lösungen der folgenden Gleichung :
x3 − x2 + 4x − 4 = 0
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