MST Mathematik 2 Übung 4

MST
I.
Mathematik 2
Übung 4
Prof.Dr.B.Grabowski
(Polynome, trigonometrische Funktionen und Anwednung komplexer
Zahlen)
Rechnen mit komplexen Zahlen
Eine komplexe Zahl z = a + jb wird wie folgt als Orts-Vektor (a,b) (auch komplexer Zeiger
genannt) im Koordinatensystem dargestellt:
Aufgabe 1
Wie lauten Re(z), Im(z) und z* für folgende komplexe Zahlen?
Stellen Sie jeweils z und z* als komplexe Zeiger im Koordinatensystem dar!
a)
z= j
Aufgabe 2
Seien z1 = j
b) z = 16 – 4j
c) z = -2 - 3j
b) z2 = 16 – 4j
c) z3 = -2 - 3j
Berechnen Sie folgende komplexe Zahlen und stellen Sie das Ergebnis wieder in Normalform
(z= a+jb) dar!
a) z1*z2 + z3
b) z12, z13, z14, z15
c) Geben Sie eine allgemeine Formel für z1n an!
d) Was bedeutet die Addition bzw. Subtraktion zweier komplexer Zahlen
z1=a1+jb1 und z2 = a2+jb2 geometrisch im Koordinatensystem?
II. Nullstellen und LFZ von Polynomen
Aufgabe 3
a) Gegeben sei eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S=(2,-1) und den Nullstellen
x1= 0 und x2 = 4. Geben Sie die Gleichung der Parabel in Normalform an!
b) Bestimmen Sie von folgendem Polynom y = -3x2 + 2x +1 die Nullstellen und den
Scheitelpunkt und stellen Sie es in LF – Form und in Scheitelpunktsform dar!
Skizzieren Sie es im karthesischen Koordinatensystem!
Aufgabe 4
a) Berechnen Sie vom Polynom y= 0.25 x 5 − 0.25 x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 + 4 x − 4
den Funktionswert an der Stelle x=5 mittels Horner-Schema!
b) Berechnen Sie durch Polynomendivision den Bruch :
( 0.25 x 5 − 0.25 x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 + 4 x − 4 ): (x +1)
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Mathematik 2
Übung 4
Prof.Dr.B.Grabowski
(Polynome, trigonometrische Funktionen und Anwednung komplexer
Zahlen)
Aufgabe 5
Zerlegen Sie folgende Polynome in Linearfaktoren:
a) y = x 4 − 2 x 2 + 1
b) y = 0.25 x 5 − 0.25 x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 + 4 x − 4
Aufgabe 6
Bestimmen Sie sämtliche reellen und komplexen Lösungen der folgenden Gleichung :
x3 − x2 + 4x − 4 = 0
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