1. Gegeben sind die Punkte A(1 | 3 | − 5)

Mathematik — Q11 — Übungen zur Geometrie — 8.3. 2013
1. Gegeben sind die Punkte A(1 | 3 | − 5) und B(5 | 7 | − 3). Man erhält den Punkt C, wenn man die
Strecke [AB] über B hinaus um 9 LE verlängert. Geben Sie die Koordinaten von C an!
2. Gegeben sind die Punkte B(7 | 7 | 3) und C(3 | 5 | − 1). Der Punkt D liegt auf [BC] und ist von B
viermal so weit entfernt wie von C. Erstellen Sie eine (zweidimensionale) Skizze und bestimmen Sie
die Koordinaten von D.
3. Gegeben sind die Punkte A(1 | 2 | 0), B(6 | 7 | 0) und C(−2 | 7 | 5).
a) Ermitteln Sie die Koordinaten eines weiteren Punktes D so, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD.
√
L: 5 114 ≈ 53, 4
c) Berechnen Sie den Abstand der Geraden AB und CD.
L: ca. 7, 55
4. Gegeben sind die Punkte A(3 | 0 | 0), B(0 | 4 | 0) und C(0 | 0 | 1).
a) Tragen Sie die Punkte in ein dreidimensionales Koordinatensystem ein.
Zweidimensionaler Platzbedarf: Nach links −2, nach rechts 5, nach oben 7 und nach unten −2
b) Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des Dreiecks ABC 6, 5 beträgt.
c) Berechnen Sie den Abstand von C zur Geraden AB.
L: 2, 6
d) Das Dreieck ABC ist die Grundfläche des geraden Prismas ABCDEF, das eine Höhe von 6, 5
hat. Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte D, E und F und tragen Sie die Punkte dann ins
Koordinatensystem mit ein.
5. Gegeben sind die Punkte A(1 | 1 | 2), B(4 | 0 | 6) und Ck (8 | k | 9).
a) Für welche Werte von k ist das Dreieck ABCk gleichschenklig mit Spitze B?
b) Für welche Werte von k ist das Dreieck ABCk bei B rechtwinklig?
√
6. Gegeben sind die Punkte A(3 | 1), Bk (3 + k | 1 + 25 − k2 ) und C(6 | − 3) mit −5 ≤ k ≤ 5 und k 6= ±3.
Zeigen Sie, dass das Dreieck ABk C stets gleichschenklig ist mit Basis [Bk C].
√
7. Gegeben sind die Punkte A(−6 | 9), B(10 | − 3) und C(2 + k | 3 + 100 − k2 ) mit −10 ≤ k ≤ 10 und
k 6= ±8.
a) Zeichnen Sie die Dreiecke ABC0 , ABC6 und ABC10 in ein Koordinatensystem.
Maßstab: 1 LE entspricht 1 Kästchen; Platzbedarf: −5 ≤ x ≤ 6 und −4 ≤ y ≤ 7
b) Zeigen Sie rechnerisch, dass der Winkel bei Ck stets 90◦ beträgt (unabhängig von k).
c) Was folgt aus Teilaufgabe b) für die Lage aller Punkte Ck im Koordinatensystem?
8. Gegeben ist die Pyramide ABCDS mit A(4 | 0 | 0), B(4 | 6 | 0), C(−2 | 8 | 0), D(−2 | 2 | 0) und S(1 | 4 | 8).
Der Höhenfußpunkt H ist der Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche.
a) Zeichnen Sie die Pyramide in ein dreidimensionales Koordinatensystem ein.
Zweidimensionaler Platzbedarf: Nach links −3, nach rechts 10, nach oben 8 und nach unten −3
b) Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist.
c) Die Kante [AS] schließt mit der Grundfläche den Winkel ϕ ein. Berechnen Sie diesen Neigungswinkel.
L: ca. 58◦