LA/AG 1 II.1 Dreieck und Pyramide Gegeben sind die drei Punkte A

Freie und Hansestadt Hamburg
Behörde für Bildung und Sport
Abitur 2005
Gymnasien, Gesamtschulen, Technische Gymnasien
Haupttermin
Grundkurs Mathematik
LA/AG 1
II.1 Dreieck und Pyramide
Gegeben sind die drei Punkte A( 7 | 0 | 0 ), B( 4 | 4 | 0 ) und S( 3,5 | 0,5 | 10 ).
a) Zeichnen Sie das Dreieck ABS in das beigefügte Koordinatensystem ein (s. Anlage) und zeigen
Sie, dass es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.
b) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung und eine Koordinatengleichung der Ebene E, die durch
die Punkte A, B und S aufgespannt wird.
(Eine mögliche Koordinatenform ist 16x1 + 12x2 + 5x3 = 112.)
c) Ermitteln Sie den Winkel, den das Dreieck ABS mit der x1-x2-Ebene einschließt.
d) Das Dreieck ABS sei eine Seitenfläche einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche ABCD in
der x1-x2-Ebene und der Spitze S.
Zeigen Sie, dass die Punkte C( 0 | 1 | 0 ) und D( 3 | –3 | 0 ) mit A und B ein Quadrat ergeben.
Zeichnen Sie die vollständige Pyramide in das Koordinatensystem ein (s. Anlage).
Zeigen Sie, dass sich die Pyramidenspitze S senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der
Pyramide befindet.
e) Bestimmen Sie ein k ∈ ! so, dass die Gerade
⎛ 4,5 ⎞
⎛ k ⎞
" ⎜
⎟
⎜
⎟
h : x = ⎜ 0 ⎟ + r ⋅ ⎜ −5 ⎟ , r ∈ ! ,
⎜ 6 ⎟
⎜ −40 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
durch die Pyramidenspitze S verläuft.
Zeichnen Sie h in das Koordinatensystem ein.
Zeigen Sie, dass der Schnittpunkt von h mit der x1-x2-Ebene auf einer Kante der Pyramidengrundfläche liegt.
Ma1-GK-II.1-AT
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Grundkurs Mathematik
Anlage zur Aufgabe „Dreieck und Pyramide“
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