Theoretische Informatik - WWW-Docs for TU

BTU Cottbus, Lehrstuhl für Theoretische Informatik
Übungen Theoretische Informatik WS 10/11
Theoretische Informatik
Prof. Meer, Dr. Gengler
Aufgabenblatt 13
Abgabetermin: 28.01.2011
Heften Sie unbedingt alle Blätter Ihrer Lösung zusammen und geben Sie oben auf dem ersten Blatt
Ihren Namen, Vornamen, und Ihre Übungsgruppe an.
Kriterium für erfolgreiche Bearbeitung des Übungsblattes:
Bearbeitung von: – Aufgabe 1,
– Aufgabe 2, wird aber nicht korrigiert,
– Aufgabe 13, 14, 15 und 16.
Aufgabe 0
Lesen Sie in einem Buch Ihrer Wahl das Kapitel, in dem der präsentierte Stoff behandelt wird.
Aufgabe 1
Führen Sie ein Zeitprotokoll. Schreiben Sie an jede Aufgabe, wie lange Sie an dieser Aufgabe gearbeitet
haben. Bereiten Sie die bis jetzt gehaltenen Vorlesungen nach! Geben Sie ebenfalls an, wieviel Zeit
Sie hierfür aufgewendet haben.
Aufgabe 2
Schreiben Sie alle in der Vorlesung neu vorgekommenen Definitionen auf!
Notation: • N bezeichnet die natürlichen Zahlen inklusive der 0.
• s bezeichnet
die Nachfolgerfunktion auf dennatürlichen Zahlen.
n − m, falls n ≥ m,
q
• n − m :=
0,
sonst
Aufgabe 3
Zu einer (n+1)-stelligen Funktion f : Nn+1 → N definieren wir die n-stelligen Funktion M (f ) : Nn → N
vermöge
kleinstes y, so dass f (x1 , . . . , xn , y) = 0, falls ein solches y existiert,
M (f )(x1 , . . . , xn ) :=
undefiniert
sonst .
Beachten Sie, dass bei dieser Definition nicht verlangt wird, dass f (x1 , . . . , xn , i) für die kleineren i
definiert ist.
1. Sei χ0H1 die semi-charakteristische Funktion von H1 = {u | u ist Code einer TM und Mu (u) ↓}.
Wir definieren h : N2 → N durch:
q
h(x, y) = sg(x − y) + sg(χ0H1 (y))
q
Charakterisieren Sie die Funktion g : N → N mit g(x) = sg(M (h)(x) − x).
2. Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Ist f eine berechenbare Funktion, so ist
auch M (f ) eine berechenbare Funktion.
q
Zur Erinnerung: sg(x) := if x = 0 then 0 else 1; sowie sg(x) :=1 − sg(x)
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Übungen Theoretische Informatik WS 10/11
Aufgabe 4
Zeichnen Sie ein Venn-Diagramm mit den Sprachklassen, die durch die Chomski-Typ-i-Grammatiken
festgelegt werden (i = 0, 1, 2, 3), den endlichen Sprachen, den entscheidbaren Sprachen sowie der Klasse
aller Sprachen. Tragen Sie für j = 0, 1, . . . , 4 die folgenden Sprachen Lj := {an bf (n) | n ∈ def(fj )} ein,
wobei die Funktionen fj : N → N definiert sind durch:
f0 (n)
f1 (n)
f2 (n)
f3 (n)
=
=
=
=
(s ◦ s ◦ zero)(n)
χH1
χ0H1
χ0H
1
q
(charakteristische Funktion von H1 )
(semi-charakteristische Funktion von H1 )
(semi-charakteristische Funktion von H1 )
f4 (n) = µm [s(m) = n4 − 3n ]
Begründen Sie Ihre Eintragungen!
Aufgabe 5
Zeigen Sie, dass die Klasse CSL der kontextsensitiven Sprachen abgeschlossen ist unter Schnitt, Vereinigung, Konkatenation, Iteration und inversem Homomorphismus, jedoch nicht abgeschlosen ist
unter Homomorphismus.
Bemerkung: Die kontextsensitiven Sprachen sind nach dem Satz von Immerman und Szelepcsényi
unter Komplementbildung abgeschlossen.
Aufgabe 6
Sei M = (Q, Σ, Γ, s, δ, F ) eine determinstische Einband-Turingmaschine. Eine Konfiguration K von
M notieren wir durch uqav, wobei q ∈ Q der Zustand von K ist, a ∈ Γ das Zeichen in K unterm
Lesekopf, u ∈ Γ∗ bzw. v ∈ Γ∗ der (nonblank-)Teil der Bandinschrift von K vor dem bzw. hinter dem
Lesekopf ist. Sei # ein weiteres (neues) Zeichen. Wir betrachten die Menge
C(M ) := { K0 #K1 # . . . #Ke | K0 ist eine Start-Konfiguration von M zu einem Wort x ∈ Σ∗ , und
Ke ist eine akzeptierende Stopp-Konfiguration von M , und für i = 1, . . . , e gilt: Ki−1 `M Ki }.
Zeigen Sie, dass C(M ) eine kontextsensitive (und damit entscheidbare) Sprache ist.
Aufgabe 7
Zeigen Sie, dass die Klasse REC der entscheidbaren Sprachen abgeschlossen ist unter Schnitt, Vereinigung, Komplementbildung, Konkatenation, Iteration und inversem Homomorphismus, jedoch nicht
abgeschlosen ist unter Homomorphismus.
Aufgabe 8
Zeigen Sie, dass die Klasse RE der aufzählbaren Sprachen abgeschlossen ist unter Schnitt, Vereinigung, Konkatenation, Iteration, Homomorphismus und inversem Homomorphismus, jedoch nicht
abgeschlosen ist unter Komplementbildung.
Aufgabe 9
Wir betrachten die folgende informal beschriebene Turingmaschine M :
Bei Input z dupliziert M zunächst z (erzeugt also aus z das Wort z#z), startet dann die universelle
Turingmachine U ( M simuliert also U (z#z), das heisst Tz (z) ), und gibt anschließend z aus.
1. Welche Funktion wird durch die Turingmaschine M berechnet?
x
falls x ∈ H1 ,
undef. sonst.
3. Zeigen Sie, dass es eine berechenbare Funktion f gibt, so dass Bild(f ) und Def(f ) unentscheidbar
sind.
2. Zeigen Sie, dass idH1 :
{0, 1}∗
→
{0, 1}∗
berechenbar ist, mit idH1 (x) =
Aufgabe 10
Sei f : N → N eine totale, streng-monoton steigende Funktion. Zeigen Sie: Bild(f ) ist entscheidbar.
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Aufgabe 11
Wir betrachten ANF(L), END(L) und SUB(L), so wie sie in Aufgabe 6 von Blatt 9 definiert sind.
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
1. Ist L rekursiv aufzählbar, so sind auch ANF(L), END(L) und SUB(L) rekursiv aufzählbar.
2. Die entscheidbaren Sprachen sind nicht unter ANF(L), END(L) und SUB(L) abgeschlossen.
Aufgabe 12 (schwer)
Sei M ⊆ {0, 1}∗ eine unendliche entscheidbare Menge. Zeigen Sie: Es gibt eine unendliche nichtentscheidbare Menge M 0 und eine unendliche entscheidbare Menge M 00 mit M 00 ⊂ M 0 ⊂ M .
Aufgabe 13
Zeigen Sie dass folgende Fuktionen primitiv rekursiv sind:
1, falls m teilt n,
1. t : N2 → N mit t(n, m) =
0, sonst
n//m, falls m > 0,
2. d : N2 → N mit d(n, m) =
0,
sonst
(n//m bezeichnet die ganzzahlige
Division;
n//m := bn/mc)
n mod m, falls m > 0,
3. r : N2 → N mit r(n, m) =
0,
sonst
Aufgabe 14
Wir betrachten das Alphabet Σ = {0, 1} und die Sprachen A, B, L ⊆ {0, 1}∗ . Beweisen oder widerlegen
Sie die folgenden Aussagen:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(∅ =
6 A ⊂ {0, 1}∗ , ∅ =
6 B ⊂ {0, 1}∗ und A, B ∈ REG) =⇒ (A ≡m B).
Es gibt A ∈ REG und B ∈ CFL \ REG mit A ≡m B .
REC = RE ∪ co - RE
REC = RE ∩ co - RE
(L ∈ RE ∧L ∈ co - RE)
=⇒
L = ∅.
L ∈ REC =⇒
L ist nicht many-one-vollständig in RE.
A nicht entscheidbar und B ⊆ {0}∗ =⇒ A ∩ B nicht entscheidbar.
A nicht entscheidbar und B nicht aufzählbar =⇒ A ∪ B nicht entscheidbar.
Aufgabe 15
Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
1.
2.
3.
4.
Es gibt eine streng monoton steigende primitiv rekursive Funktion f : N → N.
Es gibt eine streng monoton fallende primitiv rekursive Funktion f : N → N.
Ist f : N → N primitiv rekursiv, so ist f surjektiv.
Ist f : N → N primitiv rekursiv, so ist f total.
Aufgabe 16
Wir betrachten Funktionen f : N → N. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Ist f eine primitv rekursive Funktion, so ist Lj := {an bf (n) | n ∈ Def(fj )} entscheidbar.
Lj := {an bf (n) | n ∈ Def(fj )} ist für jede berechenbare Funktion f entscheidbar.
Lj := {an bf (n) | n ∈ Def(fj )} ist für jede berechenbare Funktion f rekursiv aufzählbar.
Lj := {an bf (n) | n ∈ Def(fj )} ist für jede totale, berechenbare Funktion f entscheidbar.
Es gibt Funktionen f mit |Def(f )| = ∞, so dass Lj := {an bf (n) | n ∈ Def(fj )} kontextfrei ist.
Es gibt Funktionen f mit |Def(f )| = ∞, so dass Lj := {an bf (n) | n ∈ Def(fj )} regulär ist.
Ist Lj := {an bf (n) | n ∈ Def(fj )} entscheidbar, so ist f berechenbar.
Ist Lj := {an bf (n) | n ∈ Def(fj )} rekursiv aufzählbar, so ist f berechenbar.
Ist Lj := {an bf (n) | n ∈ Def(fj )} entscheidbar, so ist f primitiv rekursiv.
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