Rechengesetze der Potenz

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7.Beweisen Sie die folgenden Identitäten (a und b sind reelle Zahlen, k und n sind
positive natürliche Zahlen)!
a, ab   a n  b n
Aus der Definition der Potenzen (eine reelle Zahl a wird mit n potenziert, wenn sie nmal mit sich selbst multipliziert wird) und aus der kommutativen und assoziativen
Eigenschaft der Multiplikation folgt, dass man ein Produkt faktorenweise potenzieren
kann.
Def
Def
assoziativ
kommutativ




n
ab  
ab   ab   ....  ab   ab  ab  ....  ab  a  a  ....  a   b  b  ....  b   a n  b n



 
n
n Stück
n
n Stück
n Stück
a
a
b0
b,    n ,
b
b
Aus der Definition der Potenzen und aus der Regel, wie man Brüche miteinander
multipliziert (Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner) folgt, dass man einen Bruch
potenzieren kann, indem man den Zähler und den Nenner potenziert.
n Stück

 Def
Zähler mit Zähler
n Def

a
a  a  ....  a  a n
a  a a
 

     ...  
b
b
b Nenner mit 
b
 ....
 b bn
b
Nenner b




n
n Stück
n Stück
 
k
c, a n  a nk
Man potenziert Potenzen, indem man die Basis übernimmt und die Exponenten
multipliziert.
Def
Def
Def



n k
n
n
n
nk
a   a

a 
....
a  a  a  ....  a   a  a  ....  a   ....  a  a  ....  a   a
a
 ....

a

 a
 

k Stück
nk Stück
n Stück
Stück
Stück

n

n


k Stück
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