Quantenmechanik II Musterlösung 11.

Quantenmechanik II
Musterlösung 11.
Übung 1.
FS 2017
Prof. Thomas Gehrmann
Darstellung eines Einteilchenoperators in der zweiten Quantisierung
Betrachte für einen beliebigen Einteilchenoperator fˆ = fˆ(~x, p~) den korrespondierenden Einteilchenfeldoperator
X
F̂ =
hλ| fˆ |µi a†λ aµ ,
(1)
λµ
wobei |µi die Einteilchenzustände sind, auf welche sich die Besetzungszahlbasis bezieht.
(a) Berechne die diagonalen Matrixelemente von F̂ in der Besetzungszahlbasis |n1 , n2 , . . .i im Unterraum mit N Teilchen.
Lösung.
Wir betrachten
hn1 , n2 , . . .| F̂ |n1 , n2 , . . .i =
X
hλ| fˆ |µi hn1 , n2 , . . .| a†λ aµ |n1 , n2 , . . .i .
(L.1)
λµ
Wegen der Orthonormalität der Vielteilchenzustände gilt
hn1 , n2 , . . .| a†λ aµ |n1 , n2 , . . .i = δλµ hn1 , n2 , . . .| n̂λ |n1 , n2 , . . .i = δλµ nλ ,
(L.2)
daher ist
hn1 , n2 , . . .| F̂ |n1 , n2 , . . .i =
X
nλ hλ| fˆ |λi .
(L.3)
λ
PN
(b) Berechne die diagonalen Matrixelemente des Operators i=1 f (~xi , p~i ) im Hilbertraum von N Teilchen und zeige, dass sie den in (a) berechneten Elementen gleichen.
Lösung.
Die Vielteilchenzustände können wir im Ortsraum schreiben als
X
1
Ψ(x1 , x2 , . . . , xN ) = p Q
(∓)|P | φP (j1 ) (x1 )φP (j2 ) (x2 ) . . . φP (jN ) (xN ) ,
N ! k nk ! P
(L.4)
wo j1 , j2 , . . . , jN die von den N Teilchen besetzen Zustände sind, wobei sich je nk Teilchen
im gleichen Zustand k befinden. (∓) ist (+) für Bosonen und (−) für Fermionen. Damit
erhalten wir
hΨ|
N
X
i=1
f (~xi , p~i ) |Ψi =
N!
1
Q
k nk !
N X
X
(∓)
|P P 0 |
Z
Z
dx1 . . .
dxN φ∗P (j1 ) (x1 ) . . . φ∗P (jN ) (xN )×
i=1 P P 0
f (xi , pi )φP 0 (j1 ) (x1 ) . . . φP 0 (jN ) (xN )
YZ
N X
X
1
0|
|P
P
∗
= Q
(∓)
dxl φP (jl ) (xl )φP 0 (jl ) (xl ) ×
N ! k nk !
0
i=1 P P
l6=i
Z
dxi φ∗P (ji ) (xi )f (xi , pi )φP 0 (ji ) (xi ) .
(L.5)
Wegen der Orthonormalität der Einteilchenwellenfunktionen
tragen oben nur Terme bei
Q
0
mit P (jl ) = P (jl ) ∀ l. Für gegebenes P gibt es k nk ! verschiedene P 0 , die dieser Anforderung genügen, da sich je nk Teilchen im gleichen Zustand k befinden. Für diese P 0 gilt
1
0
(∓)|P P | = 1 (dies ist klar für Bosonen, für Fermionen gilt P = P 0 , da alle Zustände ji
unterschiedlich sein müssen). Daher erhalten wir
hΨ|
N
X
i=1
f (~xi , p~i ) |Ψi =
N!
1
=
N!
N XY
X
1
Q
k nk !
dxi φ∗P (ji ) (xi )f (xi , pi )φP (ji ) (xi )
k0
i=1 P
N
X
X
i=1
k
(N − 1)!
nk 0 !
Z
Z
nk
dxi φ∗k (xi )f (xi , pi )φk (xi ) .
(L.6)
Im letzten Schritt haben wir benutzt, dass P ji nk -mal auf den Zustand k abbildet. Der
Faktor (N − 1)! ist die Zahl der Möglichkeiten, die verbleibenden N − 1 Zustände abzubilden. P
Inzwischen ist i zu einem Dummyindex geworden, daher erhalten wir unter Ersetzung
von N
i=1 = N ,
N
X
X
hΨ|
f (~xi , p~i ) |Ψi =
nk hk| fˆ |ki ,
(L.7)
i=1
k
was dem Ausdruck aus Teil (a) entspricht.
(c) Nun betrachte den speziellen Fall, in dem fˆ dem Einteilchenhamiltonian entspricht
p̂2
fˆ = ĥ0 =
+ v(~x)
2m
(2)
und |λi die zugehörigen Eigenzustände sind. Was ergibt sich nun für die zuvor berechneten Matrixelemente?
Lösung.
Mit λ als Eigenwerten von fˆ zu den Eigenzuständen |λi erhalten wir
X
hn1 , n2 , . . .| F̂ |n1 , n2 , . . .i =
nλ λ ,
λ
d.h. die Summe der Einteilchenenergien.
Übung 2.
Bewegungsgleichung und Kontinuitätsgleichung für Feldoperatoren
a) Betrachte die Feldoperatoren Ψ (~x, t) im Heisenberg-Bild
i
i
Ψ (~x, t) = e ~ H t ΨS (~x, 0) e− ~ H t ,
wobei der Hamilton-Operator H gegeben ist durch
2
Z
~
H =
d3 x
∇Ψ† (~x) ∇Ψ(~x) + U (~x)Ψ† (~x)Ψ(x)
2m
Z
1
+
d3 x d3 x0 Ψ† (~x)Ψ† (~x 0 )V (~x, ~x 0 )Ψ(~x)Ψ(~x 0 ) .
2
Zeige, dass die Bewegungsgleichung der Feldoperatoren folgendermassen lautet:
Z
∂
~ 2
i~ Ψ(~x, t) = −
∇ + U (~x) Ψ(~x, t) +
d3 x0 Ψ† (~x 0 , t)V (~x, ~x 0 )Ψ(~x 0 , t)Ψ(~x, t)
∂t
2m
2
(L.8)
b) Wir definieren nun den Stromdichteoperator J~ durch
~ x) =
J(~
1 †
Ψ (~x)∇Ψ(~x) − (∇Ψ† (~x))Ψ(~x) .
2mi
Zeige, dass J~ die Kontinuitätsgleichung
∂
ρ(~x) = −∇ · J~
∂t
(3)
erfüllt, wobei ρ(~x, t) der Dichteoperator ist [ρ(~x) = Ψ† (~x)Ψ(~x)].
Lösung.
a) Um zu zeigen, dass die Bewegungsgleichungen der Feldoperatoren Ψ(~x, t) im HeisenbergBild durch
Z
∂
~ 2
i~ Ψ(~x, t) = −
∇ + U (~x) Ψ(~x, t) +
d3 x0 Ψ† (~x 0 , t)V (~x, ~x 0 )Ψ(~x 0 , t)Ψ(~x, t)
∂t
2m
(L.9)
gegeben ist, gehen wir von der Heisenberg-Bewegungsgleichung
i~
i
i
∂
Ψ(~x, t) = − [H, Ψ(~x, t)] = −e ~ H t [H, Ψ(~x, 0)] e− ~ H t
∂t
aus. Unter Benützung von
1
[A B, C]− = A [B, C]± ∓ [A, C]± B
Fermi
Bose
ergibt sich für die Kommutatoren mit der kinetischen Energie
Z
i
~ h 0 † 0 0
d3 x0
∇ Ψ (~x )∇ Ψ(~x 0 ), Ψ(~x)
2m
Z
~ ~2 2
=
d3 x0
−∇0 δ (3) ~x 0 − ~x · ∇0 Ψ(~x 0 ) =
∇ Ψ (~x) ,
2m
2m
der potentiellen Energie
Z
i
h
d3 x0 U ~x 0 Ψ† (~x 0 )Ψ(~x 0 ), Ψ(~x)
Z
=
d3 x0 U ~x 0 −δ (3) ~x 0 − ~x Ψ(~x 0 ) = −U (~x) Ψ (~x) ,
1
(L.10)
Wir definieren die Kommutatoren
{A, B}
≡
[A, B]+ ≡ AB + BA
[A, B]
≡
[A, B]− ≡ AB − BA .
3
(L.11)
(L.12)
(L.13)
und der Wechselwirkung
Z
1
3 0 3 00 †
0
†
00
0
00
00
0
d x d x Ψ (~x )Ψ (~x ) V ~x , ~x Ψ(~x )Ψ(~x ), Ψ(~x)
2
Z
Z
h
i
1
3 0
d3 x00 Ψ† (~x 0 )Ψ† (~x 00 ), Ψ(~x) V ~x 0 , ~x 00 Ψ(~x 00 )Ψ(~x0 )
d x
=
2
Z
Z
n
o
1
3 0
=
d x
d3 x00 ±δ (3) ~x 00 − ~x Ψ† (~x 0 ) − Ψ† (~x 00 )δ (3) ~x 0 − ~x
2
× V ~x 0 , ~x 00 Ψ(~x 00 )Ψ(~x0 )
Z
= −
d3 x0 Ψ† (~x 0 )V ~x, ~x 0 Ψ(~x 0 )Ψ(~x) .
(L.14)
Dabei wurde nach der zweiten Zeile (L.11) und die explizite Gleichungen für die Kommutatoren
Ψ(~x), Ψ(~x 0 ) ± = 0 ,
(L.15)
h
i
= 0,
(L.16)
Ψ† (~x), Ψ† (~x 0 )
±
h
i
Ψ(~x), Ψ† (~x 0 )
= δ (3) ~x − ~x 0 ,
(L.17)
±
und nach der dritten neben Ψ(~x 00 )Ψ(~x0 ) = ∓Ψ(~x 0 )Ψ(~x00 ) die Symmetrie V (~x, ~x 0 ) =
V (~x 0 , ~x) ausgenutzt. Setzt man nun die Gleichungen (L.12), (L.13) und (L.14) in (L.10)
ein, so erhält man die gesuchte Bewegungsgleichung.
b) Die Bewegungsgleichung für den adjungierten Feldoperator lautet
Z
∂ †
~ 2
†
i~ Ψ (~x, t) = − −
∇ + U (~x) Ψ (~x, t) −
d3 x0 Ψ† (~x, t)Ψ† (~x 0 , t)V (~x, ~x 0 )Ψ(~x 0 , t)
∂t
2m
(L.18)
wobei V (~x, ~x 0 )∗ = V (~x, ~x 0 ) vorausgesetzt wurde. Multipliziert man (L.9) von links mit
Ψ† (~x, t) und (L.18) von rechts mit Ψ(~x, t), so erhält man die Bewegungsgleichung für den
Dichteoperator ρ(~x, t)
o
1
~2 n † 2
†
†
ρ̇(~x, t) = Ψ Ψ̇ + Ψ̇ Ψ =
(L.19)
−
Ψ ∇ Ψ − ∇2 Ψ† Ψ ,
i~
2m
also
∂
~ x, t) .
ρ(~x, t) = −∇ · J(~
∂t
4
(L.20)