3. Systeme von Massenpunkten Was kann man generell über

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3. Systeme von Massenpunkten
Was kann man generell über Systeme mehrerer Massenpunkte aussagen?
3.1. Abgeschlossene Systeme und Impulserhaltung
innere Kraft:
F i geht von Massenpunkten des betrachteten Systems aus
äußere Kräfte:
F a von außerhalb des Systems
N
Kraft auf ein Teilchen n:
F n = ∑ F ni n ' + F na
Abgeschlossenes System:
= 0 (alle äußeren Kräfte verschwinden)
1
i
i
P = ∑ P n = ∑ F ni =
∑ F n n' + F n ' n = 0
2 n n'
n
n
n ' =1
F na
Gesamtimpuls:
(
Der Gesamtimpuls P = ∑ m i r i eines abgeschlossenen
Impulssatz:
)
Systems von Massenpunkten m1, m2, ... ist zeitlich konstant.
∑ mi r i
3.2. Der Schwerpunkt: r s =
=
∑mi
1
∑ m i ri
M
Schwerpunktsimpuls = Gesamtimpuls
Schwerpunktsystem Σ s : Koordinatensystem mit Schwerpunkt als Nullpunkt
Transformation:
ri = rs + ri s
v i = v s + v is
∑ m i vi s = ∑ Pi s = 0
3.3. Das Zweikörper-Zentralkraftproblem
Kraft wirke auf der Verbindungslinie zwischen den beiden Massenpunkten
Wkin = W skin + 1 / 2 M v 2s
Energie:
Die kinetische Energie im Laborsystem ist die Summe der kinetischen Energie im
Schwerpunktsystem und der kinetischen Energie der im Schwerpunkt vereinigten
Gesamtmasse.
m1 m2
m1 ⋅ m 2
1
1
1 
s
 =

Wkins
= 1/ 2
r2
µ =
mit
+
m1 + m2
m1 + m 2
m 1 m 2 
µ
µ: reduzierte Masse
dv
W kin = 1 / 2 µ v 2 + 1 / 2 M v s2
F12 = µ
dt
Die Zentralkraftbewegung zweier Körper um ihr Massezentrum kann stets auf ein
äquivalentes Einkörperproblem reduziert werden.
D = r×F
L = r×p
Drehmoment und Drehimpuls:
• immer in Bezug auf den Ursprung eines bestimmten Koordinatensystems
• Drehimpuls ist immer senkrecht auf r und v , auf Bahnebene
• zeichnet einen Drehsinn aus
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d
L = D
dt
Bewegungsgleichung:
Zentralkraft zwischen zwei Massenpunkten L = const Drehimpulserhaltung
dA
⇒ Es gilt der „Flächensatz“:
= 1 / 2 r v sin ϑ = const
dt
Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen A
3.4. Stöße zwischen zwei Teilchen
fundamentale Bedeutung: letztendlich ist jegliche physikalische Information ein
Resultat von Stößen. Werkzeug in der Atom-, Kern-, Elementarteilchenphysik.
Grundlage: Energie- und Impuls-Satz
P1 + P 2 = P1 ' + P 2 '
‘ : nach dem Stoß
W1 + W 2 + Q = W 1 ' + W 2 '
W: kinetische Energien
• Q = 0: elastischer Stoß:
Kinetische Gesamtenergie vor und nach dem Stoß
identisch.
• Q < 0: inelastischer Stoß:
Teil der Energie wird in innere Energie verwandelt
• Q > 0: superelastischer Stoß: Innere Energie in kinetische Energie verwandelt.
3.4.1. Das Laborsystem, elastische Stöße
P 2 = 0 : Ein Teilchen ruht vor Stoß: Laborsystem
P1 = P1 ' + P 2 '
Impulserhaltung:
P12
Energieerhaltung:
P1' 2
=
2 m1
+
P 2' 2
2 m1
2 m2
Drehimpulserhaltung: L = const
⇒ ebene Bewegung, x,y- Ebene
(x −µ v )
1
2
+ y2 =
(µ v )
2
1
Für gegebene Massen lassen sich hieraus alle Möglichkeiten konstruieren: alle Werte
(x, y) liegen auf Kreis mit dem Radius r = µ v1 und Mittelpunkt M = µ v 1 , 0
(
3.4.2. Das Schwerpunktsystem Transformation vom Laborsystem:
vs =
m1
M
v 1s =
v1
m2
m1
v 2s = − v s
vs
Im Schwerpunktsystem gilt:
vor:
m 1 v 1s + m 2 v 2 s = m 2 v s − m 2 v s = 0
nach:
m 1 v 1s ' + m 2 v 2 s ' = 0
oder:
P1s = − P 2 s
Energiesatz:
P 1' s = − P '2 s
P1' 2s
2µ
=
P 12s
2µ
+Q
gleiches gilt für P2s
v 1s
v 2s
=
1/ m1
1/ m 2
)
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elastischer Stoß Q = 0: Nur ein Streuwinkel Θ, Kinetische Energien der Stoßpartner
bleiben gleich, Länge und Richtung der Impulse bleiben gleich: P1' s = − P2' s
Spezialfälle
• m1 = m2:
ϑ1 + ϑ2 = 90° (ϑi: Laborstreuwinkel)
• m1 ≥ m2: sin ϑ 1max = m1 /m2
ϑ 2 : < 90°
• Zentraler Stoß: maximaler Impuls- und Energietransfer
m1 ⋅ m 2
4µ2
max
max
∆P
= 2
v1 = 2 µ v1
∆ W kin =
W
m 1 m 2 1 kin
m1 + m 2
m1 = m2: voller Impuls- und Energieübertrag
3.4.3. Inelastische Stöße
W kin = 1 / 2 M v 2s + 1 / 2 µ v 2
Q max =−1/ 2µ v 2
im abgeschlossenen System ändert sich der Schwerpunktimpuls nicht
⇒ maximal in inelastische Energie umwandelbare kinetische Energie
v 1'Qs
1/ m 1
v 1' es
'Q
'Q
=
= 'e
P1 s = − P 2 s ⇒
(e), (Q): elastisch, inelastisch
1/ m 2
v '2Qs
v 2s
(P )
'Q
1s
(P )
2
2
(s)
1s
=
+ Q = W kin + Q
2µ
2µ
3.5. Planetenbahnen und Gravitation
Ptolemäisches Modell:
Erde im Mittelpunkt
Tycho Brahe (1546-1601):
genaue Beobachtung der Marsumlaufbahn
Johannes Kepler: (1571-1630):
Gleicher Lehrstuhl, Auswertung Brahes Daten
Newton (1642-1727):
Gravitationsgesetz, Bewegungsgleichungen
Energiesatz:
3.5.1. Die Kepler’schen Gesetze
1. Alle Planeten bewegen sich auf Ellipsen in deren Brennpunkt die Sonne steht
2. Der Fahrstrahl Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen
3. Das Quadrat der Umlaufzeiten zu den Kuben der großen Halbachsen ist konstant
Grundlagen: Polarkoordinaten: r =
e r = cos ϕ e 1 + sin ϕ e 2
=
{cos ϕ, sin ϕ}
= {− sin ϕ , cos ϕ }
e ϕ = − sin ϕ e 1 + cos ϕ e 2
ϕ = arc tan( y / x )
x2 + y2
Zeitabhängigkeit der Einheitsvektoren
e r = {− sin ϕ , cos ϕ} ϕ = ϕ e ϕ
{− cos ϕ, − sin ϕ} ϕ
eϕ =
= − ϕ er
Geschwindigkeit und Beschleunigung
v = r er + r ϕ eϕ
v2 = r 2 + r 2 ϕ2
v =
a =
Ellipse :
{ r, r ϕ }
{(r − r ϕ ), (r ϕ + 2 r ϕ)}
r 2 ϕ = A = const
2
r=
Flächensatz
a (1 − ε 2 )
1 + ε cos ϕ
ε: Exzentrität (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel: ε = 0, < 1, = 1, > 1)
11
3.5.2. Newtons Gravitationsgesetz
m1 m 2
F = −G
r Cavendish: G = 6.67 ⋅ 10 − 11 N m2 / kg 2
2
r
3.5.3. Das eindimensionale Problem, Klassifikation der Lösungen
1
1
Relativbewegung:
W = µ v 2 = µ (r 2 + r 2 ϕ 2 )
2
2
1
1
W kin = µ r 2 + µ r 2 ϕ 2
2
2
⇒ Bewegungsgln. für ein Teilchen im effektiven Potential
L = r × p = r × µ v = µ r vt = µ r rϕ = µ r 2 ϕ
Drehimpuls:
1
L2
2
W kin = µ r +
2
2µ r 2
Totale Energie: konstant im konservativen Kraftfeld:
1
L2
1
W = µr2 +
+ W pot
W = µ r 2 + W eff
2
2
2
2µ r
Energie einesTeilchens mit effektiver potentieller Energie Weff
W > 0:
r > rmin
Hyperbel
W = 0:
r > rmin
Parabel
W < 0:
rmin < rmax
Ellipse, Kreis
Bewegungsgleichung:
(
• Radialgleichung:
dr
=
dt
• Winkelgleichung:
dϕ
L
=
dt
µr2
• Bahngleichung:
dϕ
L
=
dr
µr2
2
W − W eff
µ
)
GMµ
2
L2 
W +
−

µ
r
2µr2
=
2 
G Mµ
L2 

W
+
−


r
2 µ r 2  
 µ 
− 1/ 2
3.5.4. Ausgedehnte Körper
Kraft eines ausgedehnten Körpers mit dem Volumen V, der Masse m1 der Dichte
m1 / V = ρ auf die Punktmasse m2
r − r'
Kraft:
F = − G m2 ∫ ρ ( r ' )
d V ' „Volumenintegral“
3
r − r'
V
(Massenverteilung auf Fläche: „Flächenintegral“; auf Linie: „Linienintegral“)
ρ ( r' )
W pot = − G m2 ∫
dV '
Potentielle Energie:
r − r'
V
Beispiel: homogene Kugel konstanter Dichte (Masse m 1, Radius Ro)
m2 im Abstand R vom Mittelpunkt:
G m2 4 π 3
G m2 m1
Wpot = −
R0 = −
R
3
R
3.5.5. Messung der Schwerebeschleunigung
L
g
2π
T = 2π
mathematisches Pendel: ω =
T =
g
L
ω