Mathematik I WS 2014/15
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Mathematik I WS 2014/15 10.Übungsblatt Aufgaben für den 18.12.2014 1. Folgen Überprüfen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und berechnen Sie, falls existent, die dazugehörigen Grenzwerte. a) an = n P i=1 b) bn = c) cn = d) dn = i n2 n2 n2 +2n n n! 7n2 +2 3n3 −2n 2. Rekursive Folgen Überprüfen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz. bn n a) b1 = 1, bn+1 = b) c1 = 1, cn+1 = cn − 1 + e−cn Hinweis: Verwenden Sie für den Teil b) die Tatsache, dass a ≤ b ⇒ a + e−a ≤ b + e−b a, b ∈ (0, ∞). 3. Konvergenzsätze a) Zeigen Sie, dass für zwei konvergente Folgen reeller Zahlen (an )n∈N und (bn )n∈N mit lim an = a, und n→∞ lim bn = b n→∞ stets lim an bn = ab n→∞ gilt. Hinweis: Verwenden Sie dazu die folgenden Aussagen: lim an = a und n→∞ lim bn = b n→∞ ⇒ lim an = 0 und (bn )n∈N beschränkt n→∞ lim (an + bn ) = a + b, n→∞ ⇒ lim (an bn ) = 0. n→∞ b) Sei (an )n∈N eine konvergente Folge reeller Zahlen mit lim an = a. n→∞ Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle m ∈ N lim (an )m = am n→∞ gilt. 4. Folgen, Rydberg-Formel a) Untersuchen Sie den Grenzwert der Folge n c+1 an = c−1 in Abhängigkeit von dem reellen Parameter c 6= 1. b) Die Wellenzahl ν̃ der einzelnen Spektrallinien eines Wasserstoffatoms wird durch die Rydberg-Formel beschrieben 1 1 − ν̃ = R n21 n22 wobei R = 1.1 · 107 m−1 die Rydberg-Konstante bezeichnet. n1 , n2 ∈ N sind die Hauptquantenzahlen der zugehörigen Orbits: das Elektron wechselt dabei vom energiereicheren Orbit n2 auf den tiefer gelegenen Orbit n1 . Berechnen Sie für n1 = 1 und n1 = 2 die Grenzwellenzahl 1 1 ν̃G = lim R − . n2 →∞ n21 n22 5. Folgen Ein Pendel mit Periode s wird zu Beginn jeder Periode durch einen Stoß angeregt. Die Gesamtenergie des Pendels wird durch den Stoß um 1 Joule erhöht, bis zum Ende der Periode verringert sich die Gesamtenergie um 4%. Stellen Sie eine rekursive Folge an für die Gesamtenergie des Pendels auf und weisen Sie die Konvergenz der Folge nach, wenn die Gesamtenergie am Anfang Null ist (d.h. a1 = 0, das Pendel verharrt unausgelenkt in Ruhe). Hinweis: Eine vernünftige obere Schranke für an ist dabei 24.
