Galilei-Transformationen und die Invarianz der Newton`schen

Symmetrie von Naturgesetzen Galilei-Transformationen und die Invarianz der
Newton’schen Gesetze
Symmetrie (Physik)
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Symmetrie ist ein grundlegendes Konzept der modernen Physik:
Mathematisch beschrieben wird eine Symmetrie durch eine
Symmetrie-Transformation (z. B. kontinuierliche
Koordinatentransformationen wie Verschiebung (Translation) oder
Rotation, aber auch diskrete Transformationen wie z. B.
Spiegelung). Hierbei muss zwischen Symmetrien der grundlegenden
Theorien und Symmetrien konkreter Systeme (z. B. Moleküle,
Festkörper) unterschieden werden. Eine Symmetrie der
grundliegenden Theorie liegt dann vor, wenn sich die physikalischen
Gesetze, die das Verhalten eines Systems beschreiben, bei
Anwendung der Symmetrietransformation nicht verändern (also
etwa die Physik in einem gespiegelten Universum dieselbe wäre wie
in unserem); man spricht auch von der Invarianz des Systems unter
der entsprechenden Symmetrieoperation. Ein konkretes
physikalisches System muss dabei diese grundlegenden Symmetrien
nicht zwingend aufweisen.
Wir wollen in dieser Vorlesung der Frage nachgehen, ob die
Newton’schen Gesetze tatsächlich in allen Koordinatensystemen
gleich aussehen.
In der Experimentalphysik-Vorlesung haben Sie die Newton’schen
Gesetze kennengelernt:
Die Newton’schen Gesetze
I
Jeder Körper beharrt in seinem Zustand der Ruhe oder
gleichförmigen geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch
einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu
ändern.
~ = 0.
in Formeln: ~v = const, wenn F
I
Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der
bewegenden Kraft proportional und erfolgt in der Richtung
derjenigen Linie, in welcher jene Kraft wirkt.
~.
in Formeln: m~¨a = F
I
Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die
Wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich und
von entgegengesetzter Richtung.
~ ij = −F
~ ji
in Formeln: F
I
Kräfte addieren sich
wie Vektoren.
P
~ =
~
in Formeln: F
i Fi
In obiger Beschreibung von Symmetrie wurden als (kontinuierliche)
Symmetrietransformationen die Translation und die Rotation
genannt. Wir wenden uns zunächst der Translation zu.
Translation
Betrachte einen mechanischen Vorgang, den wir in zwei
gegeneinander verschobenen Koordinatensystemen (Translation)
betrachten:
r
r’ = r −K
K
Die Koordinaten gehen durch die Koordinatentransformation
~
~r 0 = ~r − K
~ ineinander über.
mit dem konstanten Verschiebungsvektor K
Für die Geschwindigkeiten gilt dann:
~v 0 =
d
~ ) = ~v ,
(~r − K
dt
in beiden Koordinatensystemen hat das Teilchen dieselbe
Geschwindigkeit.
Für kräftefreie Teilchen gilt dann das erste Newton’sche Gesetz in
gleicher Weise:
~v = ~v0 = ~v 0 .
Wenn Kräfte auftreten, so sind sie in beiden Koordinatensystemen
gleich:
~0 = F
~.
F
Da die Geschwindigkeit des Teilchens in beiden
Koordinatensystemen gleich ist, sind auch die Beschleunigungen
gleich:
d
d
~a‘ = ~v 0 = ~v = ~a.
dt
dt
Gilt also in dem einen Koordinatensystem das zweite Newton’sche
Gesetz,
~,
m~a = F
so gilt in dem verschobenen Koordinatensystem ebenfalls
~0 = F
~ ).
m~a0 = F
Das erste und das zweite Newton’sche Gesetz sind als invariant
unter Translationen.
Das dritte (und vierte) Newton’sche Gesetz gelten automatisch, da
Kräfte, die in einem Koordinatensystem gleich sind auch in einem
verschobenen Koordinatensystem gleich sind.
Rotation
Wir betrachten der Einfachheit halber zwei Koordinatensysteme,
die in der z-Achse übereinstimmen und bei denen die x- und
y -Achsen gegeneinander gedreht sind.
y
1: x cos( α )
2: y sin( α )
3: x sin( α )
4: y cos( α )
y’
4
3
2α
x’
α
1
α
α
x
Bei Drehungen um die z-Achse gelten die Transformationsformeln
für die Koordinaten:
x 0 = x cos(α) + y sin(α)
y 0 = y cos(α) − x sin(α).
(1)
z0 = z
Diese Gleichung kann man auch in Vektorschreibweise formulieren:

cos(α) sin(α) 0
~r 0 =  − sin(α) cos(α) 0  ~r = D~r .
0
0
1

Hierbei bezeichnet D die Drehmatrix für Drehungen um die
z-Achse.
Betrachten wir nun die Kraft, die auf ein Teilchen wirkt. Bezüglich
der neuen Koordinatenachsen hat auch die Kraft eine veränderte
Koordinatendarstellung:
Fx0 = Fx cos(α) + Fy sin(α)
Fy0 = Fy cos(α) − Fx sin(α)
Fz0 = Fz
oder
~ 0 = DF
~.
F
(2)
Nebenbemerkung: Den Tatbestand, dass sich bestimmte Größen in
der Mathematik/Physik unter Drehungen genauso transformieren
wie Verschiebungsvektoren, benutzt man auch, um eine alternative
Definition von Vektoren einzuführen. Man bezeichnet als Vektoren
diejenigen Größen, deren Koordinaten sich unter Drehungen
genauso transformieren wie die Koordinaten von
Verschiebungsvektoren. Als Skalare bezeichnet man Größen, die
unter Drehungen invariant (=unverändert) bleiben.
Gilt nun in dem ursprünglichen (ungestrichenen)
~ , so
Koordinatensystem das zweite Newton’sche Gesetz, m~a = F
berechnen wir die Kraft im gedrehten (gestrichenen)
Koordinatensystem zu
Fx0
Fy0
Fz0
= max cos(α) + may sin(α) = mẍ cos(α) + mÿ sin(α)
= may cos(α) − max sin(α) = mÿ cos(α) − mẍ sin(α)
= maz
= mz̈.
(3)
Durch weitere Umformungen erhalten wir
Fx0
Fy0
Fz0
2
d
= m dt
= mẍ 0
2 (x cos(α) + y sin(α))
d2
= mÿ 0
= m dt
2 (y cos(α) − x sin(α))
=
= mz̈ 0 .
(4)
Das zweite Newton’sche Gesetz lautet also in den neuen
Koordinaten
~ 0,
m~a0 = F
d.h. es ist invariant unter Drehungen.
Galilei-Transformationen
Bisher haben wir Koordinatentransformationen betrachtet, die sich
zeitlich nicht verändern. Wir betrachten nun zwei
Koordinatensysteme, die sich mit konstanter Geschwindigkeit
zueinander bewegen. Zwischen den beiden Koordinatensystemen
gilt dann die Koordinatentransformation
~ + ~v0 t.
~r = ~r 0 + K
Für die Geschwindingkeiten, die in den beiden Systemen gemessen
werden, gilt dann
d 0 ~
~v =
~r + K + ~vK t = ~v 0 + ~v0 .
dt
Wir finden hier das Superpositionsgesetz (= Gesetz von der
Überlagerung) der Bewegungen wieder.
Bewegt sich ein kräftefreier Körper in dem ungestrichenen
Koordinatensystem mit der konstanten Geschwindigkeit ~v0 , so ist
seine Geschwindigkeit auch in dem bewegten Koordinatensystem
konstant,
~v 0 = ~v0 − ~vK .
Das erste Newton’sche Gesetz gilt also in beiden Systemen. Das
Verharren in Ruhe stellt also nur eine spezielle Form der geradlinig
gleichförmigen Bewegung dar.
Für die Beschleunigungen gilt in beiden Koordinatensystemen die
Beziehung
d2 0 ~
¨
~r = 2 ~r + K + ~vK t = ~¨r0 .
dt
Da Galilei-Transformationen keine Drehungen beinhalten, haben
die Kräfte in beiden Koordinatensystemen dieselbe Darstellung,
~ =F
~ 0.
d.h. F
Damit gilt
~ = m~a = m~a0 = F
~ 0,
F
d.h. auch das zweite Newton’sche Gesetz gilt in beiden
Koordinatensystemen in gleicher Weise.
Die Newton’schen Bewegungsgleichungen sind also invariant unter
Galilei-Transformationen.
Koordinatensysteme, die sich relativ zueinander mit konstanter
Geschwindigkeit bewegen kann man durch keine Messung
voneinander unterscheiden, da in beiden die gleichen physikalischen
Gesetze gelten. Derartige Koordinatensysteme bezeichnet man als
Inertialsysteme.
Beschleunigte Bezugssysteme
Betrachte zwei Koordinatensysteme, die zum Zeitpunkt t = 0
zusammenfallen und mit konstanter Beschleunigung relativ
zueinander bewegt sind. Zwischen ihnen gilt dann die
Koordinatentransformation
1
~r = ~r 0 + ~aK t 2 .
2
Für die zugehörigen Beschleunigungen gilt dann
~¨r = ~¨r0 + ~b.
Dann folgt aus
~ = m~¨a = m~¨r0 + m~b.
F
Im beschleunigten Bezugssystem gilt dann
~ − m~b = F
~ 0 − m~b,
m~¨r0 = F
d.h. in diesem Bezugssystem erfährt das Teilchen neben den auf es
einwirkenden Kräften eine zusätzliche Beschleunigung, die man auf
sog. Scheinkräfte zurückführt. Die im obigen Beispiel auftretende
Scheinkraft bezeichnet man auch als Trägheitskraft.
Rotierende Bezugssysteme
Wir betrachten nun ein Bezugssystem, welches sich gegenüber
einem Inertialsystem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um die
z-Achse dreht. Die Koordinatentransformation lautet dann


cos(ωt) sin(ωt) 0
~r 0 =  − sin(ωt) cos(ωt) 0  ~r = D(ωt)~r .
0
0
1
Nun berechnen wir für die Geschwindigkeit im rotierenden
Koordinatensystem
~˙r0 = D(ωt)~r˙ + Ḋ(ωt)~r .
Die im rotierenden Bezugssystem gemessene Geschwindigkeit setzt
sich also aus zwei Anteilen zusammen: dem transformierten
Geschwindigkeitsvektor D(ωt)~r˙ und einem Zusatzterm, der die
Geschwindigkeit des rotierenden Koordinatensystems darstellt,
Ḋ(ωt)~r . Durch nochmaliges Differenzieren der Geschwindigkeit
ergibt sich für die Beschleunigung im rotierenden Bezugssystem zu
~¨r0 = D(ωt)~¨r +Ḋ(ωt)~r˙ +Ḋ(ωt)~r˙ +D̈(ωt)~r = D(ωt)~¨r +2Ḋ(ωt)~r˙ +D̈(ωt)~r .
Wir berechnen nun die Zeitableitungen der Drehmatrix:




− sin(ωt) cos(ωt) 0
cos(ωt) sin(ωt) 0
d 
− sin(ωt) cos(ωt) 0  = ω  − cos(ωt) − sin(ωt) 0  .
Ḋ(ωt) =
dt
0
0
0
0
0
1
Durch komponentenweises Nachrechnen (Übungsaufgabe) kann
man zeigen, dass die folgende Identität gilt:
Ḋ(ωt)~u = −~
ω × (D~u ) ,
wobei wir im Vektor ω
~ = ωêz die Drehachse und die
Winkelgeschwindigkeit zusammengefasst haben. Damit lässt sich
der Ausdruck für die Geschwindigkeit umformen zu
~˙r0 = D~r˙ − ω × (D~r ) = D~r˙ − ω × ~r 0 .
Für ein Teilchen, das im Inertialsystem ruht, ~r = ~0, ergibt sich
damit im rotierenden Bezugssystem die eine Kreisgeschwindigkeit
von
~˙r0 = −ω × ~r 0 .
Beachte: das Minuszeichen in dieser Gleichung deutet an, dass das
Teilchen im rotierenden Bezugssystem eine Kreisbewegung in
Richtung des Uhrzeigersinns vollführt.
Betrachten wir nun die Beschleunigung. Hier treten zwei
Zusatzterme neben der transformierten Beschleunigung, D~¨r , auf.
Den ersten Term können wir mit obiger Identität leicht umformen.
Es gilt:
0
0
˙
Ḋ(ωt)~r˙ = −~
ω × D~r˙ = −~
ω × ~r + ω
~ × ~r .
Die zweite Zeitableitung der Drehmatrix ergibt sich zu




cos(ωt) sin(ωt) 0
0 0 0
D̈(ωt) = −ω 2  − sin(ωt) cos(ωt) 0  = −ω 2 D+ω 2  0 0 0  .
0
0
0
0 0 1
Dann ist
D̈(ωt)~r = −ω 2 D~r +ω 2 zêz = −ω 2~r 0 +ω 2 z 0 êz = ω
~ (~
ω ·~r 0 )−~r 0 (~
ω ·~
ω) = ω
~ ×(~
ω ×~r 0 ),
wobei wir ausgenutzt haben, dass bei Drehungen um die z-Achse
z 0 = z gilt. Fassen wir die Ergebnisse zusammen, so erhalten wir
~¨r0 = D~¨r − 2~
ω × ~˙r0 − ω
~ × (~
ω × ~r 0 ).
~ = m~a, so erhalten wir
Gilt im Inertialsystem F
~ − 2m~
m~¨r0 = DF
ω × ~˙r0 − m~
ω × (~
ω × ~r 0 ).
~ =F
~ 0 die Koordinatendarstellung der Kraft im
Nun ist DF
rotierenden Koordinatensystem, so dass letztlich gilt
~ 0 − 2m~
m~¨r0 = F
ω × ~˙r0 − m~
ω × (~
ω × ~r 0 ).
Im rotierenden Bezugssystem erfährt ein Teilchen neben den auf es
einwirkenden Kräften eine zusätzliche Beschleunigung durch die
beiden Scheinkräfte
˙r0
~
~
Corioliskraft
F
=
−2m~
ω
×
Coriolis
und
Zentrifugalkraft
~
F
ω × (~
ω × ~r 0 ).
Zentrifugal = −m~