2 m1 2 ˙s1 - Ing. Johannes Wandinger

Starrkörperdynamik Lösungsblatt 4.2
Aufgabe 1:
a)
Zwangsbedingungen:
Die Trommel dreht sich um den Fußpunkt P. Daher gilt für die Geschwindigkeit des Schwerpunkts
ri
ṡ2 =r a ̇ .
φ
Q
S
Integration bezüglich der Zeit ergibt als
erste Zwangsbedingung
s2
m2 , J2
ra
F 1 s 1 , s 2 ,=s 2−r a =0 .
s1
P
m1
Die Geschwindigkeit des Klotzes ist
gleich der Geschwindigkeit von Punkt Q. Es gilt also
ṡ1 = r i r a  ̇ .
Integration bezüglich der Zeit ergibt als zweite Zwangsbedingung
F 2  s1 , s 2 , =s 1 − r a r i  =0 .
Aus der zweiten Zwangsbedingung folgt
=
s1
r ar i
.
Damit folgt aus der ersten Zwangsbedingung
s2=
b)
ra
r a r i
s1 .
Lagrange-Funktion:
Kinetische Energie:
1
2 1
2 1
2
T  ṡ 1 , ṡ2 , ̇ = m 1 ṡ1  m 2 ṡ2  J 2 ̇
2
2
2
  
 
2
2

ra
J2
m2 r a J 2 2
1
2 1
 T  ṡ 1 = m 1  m 2

ṡ
=
m

ṡ1
1
1
2
2
2
r a r i
2
 r ar i 
 r a r i 
Die potenzielle Energie setzt sich zusammen aus der Lageenergie der Masse
m1 und der Federenergie. Wird als Nullniveau für die Lageenergie und die FeStarrkörperdynamik
4.2-1
Prof. Dr. Wandinger
derenergie die entspannte Ausgangslage gewählt, so gilt:
2
 
ra
1
2
 V  s 1 =− m 1 g s 1 c
s1
2 r ar i
1 2
V  s 1 , s 2 , =−m 1 g s 1 c s 2
2
Damit lautet die Lagrange-Funktion:


2
m2 r 2a J 2 2
ra
1
1
L s 1 , ṡ1 =T  ṡ 1−V  s1 = m1 
ṡ
m
g
s
−
c
s12
1
1
1
2
2
2 r a r i
r a r i 
c)
 
Bewegungsgleichung:
Ableitungen der Lagrange-Funktion:
∂L
∂ ṡ 1
∂L
∂ s1

= m1
2
m2 r a J 2
 r ar i
= m1 g − c
2

r ar i
ṡ1 ,

2
 
ra
 
m 2 r 2a  J 2
d ∂L
= m 1
s̈ 1
dt ∂ ṡ 1
r a r i 2
s1
Bewegungsgleichung:
 
d ∂L ∂L
−
=0 :
dt ∂ ṡ1 ∂ s1

2
m 1
[ 
2
m 2 r a J 2
2
 r ar i 

]
s̈1 −m 1 g  c
 
r
J
r
 m1 1 i m2 22 s̈ 1c s 1=m1 g 1 i
ra
ra
ra
2
 
ra
r ar i
s 1=0
2
Aufgabe 2:
a)
x1
Koordinaten der Traglast:
x 2 = x 1 H sin
x
z 2= H cos
φ
z2
H
x2
z
b)
Winkelgeschwindigkeit der Räder der Laufkatze:
Aus der Rollbedingung folgt: v 1= R  =
Starrkörperdynamik
4.2-2
v1
R
=
ẋ 1
R
Prof. Dr. Wandinger
c)
Lagrange-Funktion:
Die kinetische Energie setzt sich zusammen aus der translatorischen kinetischen Energie der Laufkatze, der rotatorischen kinetischen Energie der Räder der Laufkatze und der kinetischen Energie der Traglast. In physikalischen
Koordinaten gilt:
1
1
2
2
2
2
T  ẋ 1 , , ẋ 2 , ż 2 = m1 ẋ 1 2 J   m 2  ẋ 2  ż 2 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Mit ẋ 2 ż 2=  ẋ 1 ̇ H cos ̇ H sin = ẋ 1 2 ẋ 1 ̇ H cosH ̇
und = ẋ 1 / R folgt:
[
T  ẋ 1 , , ̇=
]
1
J
1
 m 1m2 2 2 ẋ 21 m2  H 2 ̇22 ẋ 1 ̇ H cos   .
2
2
R
Die potenzielle Energie setzt sich zusammen aus der Lageenergie der Traglast und der elastischen Energie der Feder. Als Nullniveau für die Lageenergie wird der Ursprung des Koordinatensystems gewählt. Dann gilt in physikalischen Koordinaten:
1
V  x 1 , z 2 = c x 12−m 2 g z 2
2
Mit z 2= H cos folgt daraus:
1
V  x 1 ,= c x 12−m 2 g H cos
2
Damit lautet die Lagrange-Funktion:
[
]
1
J 2 1
2 2
m1 m 2  2 2 ẋ 1  m 2  H ̇ 2 ẋ 1 H ̇ cos 

2
2
R
1 2
− c x 1 m 2 g H cos
2
L x 1 , , ẋ 1 , ̇=
d)
Bewegungsgleichungen:
Ableitungen der Lagrange-Funktion:


∂L
J
= m1 m 24 2 ẋ 1 m2 H ̇cos
∂ ẋ 1
R
 

d ∂L
J
2
= m1 m 2 4 2 ẍ 1m 2 H  ̈ cos− ̇ sin  
dt ∂ ẋ 1
R
∂L
=m 2 H  H ̇ ẋ 1 cos 
∂ ̇
Starrkörperdynamik
4.2-3
Prof. Dr. Wandinger
 
d ∂L
=m 2 H  H ̈ ẍ 1 cos− ẋ 1 ̇ sin 
dt ∂ ̇
∂L
=−c x 1 ,
∂ x1
∂L
=−m 2 H  ẋ 1 ̇g  sin 
∂
Bewegungsgleichungen:

 
 

J
d ∂L
∂L
2
−
=0 : m1 m 24 2 ẍ 1 m 2 H  ̈ cos−̇ sin c x 1 =0
dt ∂ ẋ 1 ∂ x 1
R
d ∂L
∂L
−
=0 :
dt ∂ ̇1 ∂ 
m 2 H  H ̈ ẍ 1 cos− ẋ 1 ̇ sin  m2 H  ẋ 1 ̇g  sin=0
 H ̈ ẍ 1 cosg sin =0
e)
Lineare Näherung:
Für kleine Winkel φ gilt: sin ≈ , cos≈1
Wenn zusätzlich die Winkelgeschwindigkeit ̇ klein ist, gilt: ̇2 sin ≈0
Damit vereinfachen sich die Bewegungsgleichungen zu

m1 m 24
J

ẍ 1m 2 H ̈c x 1 =0
2
.
R
ẍ 1 H ̈ g =0
Die Lösungen dieses gekoppelten homogenen linearen Differenzialgleichungssystems sind freie ungedämpfte Schwingungen.
Aufgabe 3:
a)
Koordinaten der Schwerpunkte:
x
Schwerpunkt S1:
φ1 S1
a
x 1 = sin 1 
2
a
z 1= cos  1
2
G
φ2
S2
Gelenkpunkt G:
x G =a sin 1 
z
z G=a cos1 
Starrkörperdynamik
4.2-4
Prof. Dr. Wandinger
Schwerpunkt S2:


a
1
x 2= x G  sin2 =a sin1  sin 2 
2
2

a
1
z 2=z G cos  2 =a cos1  cos  2 
2
2
b)

Lagrange-Funktion:
Kinetische Energie:
Für die Geschwindigkeiten der Schwerpunkte gilt:
1
1
ẋ 1 = a ̇ 1 cos1  , ż 1=− a ̇1 sin 1
2
2



1
1
ẋ 2=a ̇1 cos1  ̇2 cos2  , ż 2 =−a ̇1 sin 1  ̇2 sin 2
2
2

Für die kinetische Energie der Translation gilt:
1
T t = m  ẋ 21  ż 21  ẋ 22  ż 22 
2
1
1
1
= m a 2 ̇12 ̇21 ̇22  ̇1 ̇ 2  cos1  cos2 sin1 sin 2  
2
4
4
1
= m a 2  5 ̇21  ̇224 ̇1 ̇2 cos1 − 2  
8


Für die kinetische Energie der Rotation gilt:
1
1
2
2
2
2
2
T r = J  ̇1 ̇2 = m a  ̇1 ̇2 
2
24
Damit berechnet sich die gesamte kinetische Energie zu
1
m a 2  16 ̇21 4 ̇22 12 ̇1 ̇2 cos1− 2  
24
.
1
2
2
2
= m a  4 ̇ 1 ̇2 3 ̇1 ̇2 cos1 − 2 
6
T 1 , 2 , ̇ 1 , ̇ 2=
Potenzielle Energie:
Die einzige äußere Kraft ist die Gewichtskraft. Der Nullpunkt für das Potenzial
der Gewichtskraft wird in den Ursprung des Koordinatensystems gelegt.
Dann gilt:
V  x 1 , z 1 , x 2 , z 2 =−mg z 1 −mg z 2
Starrkörperdynamik
4.2-5
Prof. Dr. Wandinger
V  1 , 2 =−mg a

1
1
cos 1 cos1  cos  2 
2
2

1
=− mg a  3 cos1cos2 
2
Lagrange-Funktion:
Die Lagrange-Funktion lautet:
1
L1 ,2 , ̇1 , ̇2 = m a 2  4 ̇12 ̇22 3 ̇1 ̇2 cos1 −2 
6
1
 mg a  3 cos1 cos2  
2
c)
Bewegungsgleichungen:
Ableitungen der Lagrange-Funktion:
∂L 1
= m a2  8 ̇ 13 ̇2 cos 1 −2  
∂ ̇1 6
 
d ∂L
1
2
= m a  8 ̈1 3 ̈2 cos1 − 2 −3 ̇ 2  ̇ 1− ̇2  sin  1−2 
dt ∂ ̇1 6
∂L 1
= m a  −a ̇1 ̇2 sin 1−2 −3 g sin 1  
∂1 2
∂L 1
= m a 2  2 ̇2 3 ̇1 cos1 − 2  
∂ ̇2 6
 
d ∂L
1
= m a 2  2 ̈2 3 ̈1 cos1 −2 −3 ̇1  ̇1 −̇ 2  sin 1 − 2
dt ∂ ̇ 2 6
∂L 1
= m a  a ̇1 ̇2 sin  1−2 −g sin  2  
∂2 2
Bewegungsgleichungen:
 
d ∂L
∂L
−
=0 :
dt ∂ ̇1 ∂1
8 ̈13 ̈2 cos1 −2 3 ̇22 sin1 −2 9
g
sin 1 =0
a
 
d ∂L
∂L
−
=0 :
dt ∂ ̇ 2 ∂ 2
Starrkörperdynamik
4.2-6
Prof. Dr. Wandinger
2 ̈23 ̈1 cos1−2 −3 ̇21 sin  1−2 3
g
sin  2 =0
a
Die Lösungen dieses nichtlinearen Gleichungssystems können chaotisches
Verhalten zeigen.
d)
Lineare Näherung:
Wenn die Winkel klein sind, sind auch die Differenzen zwischen den Winkeln
klein. Es gelten folgende Näherungen:
cos1 − 2 ≈1 , ̇22 sin 1 −2 ≈0 , ̇21 sin 1−2 ≈0 ,
sin  1 ≈1 , sin  2 ≈ 2
Damit vereinfachen sich die Bewegungsgleichungen zu
g
 =0
a 1
g
3 ̈ 12 ̈ 2 3  2=0
a
8 ̈13 ̈2 9
Die Lösungen dieses gekoppelten homogenen linearen Differenzialgleichungssystems sind freie ungedämpfte Schwingungen.
Aufgabe 4:
a)
Beziehungen zwischen den Koordinaten:
Aus der Abbildung kann abgelesen werden:
x  ,=R sin cos
y , = R sin  sin 
z  , =R cos
b)
Rsin(θ)
φ
y
x
Lagrange-Funktion:
θ
In kartesischen Koordinaten berechnet sich
die kinetische Energie zu
1
2
2
2
T  ẋ , ẏ , ż = m  ẋ  ẏ  ż 
2
Mit
z
R
m
ẋ   , , ̇ , ̇ = R  ̇ cos   cos  −̇sin    sin   
ẏ  ,  , ̇ , ̇=R  ̇ cossin  ̇ sin cos 
ż  ,  , ̇ , ̇ =− R ̇ sin  
folgt:
Starrkörperdynamik
4.2-7
Prof. Dr. Wandinger
1
T  ,  , ̇ , ̇= m  ẋ 2  ẏ 2  ż 2 
2
2
1
= m R2 [  ̇ cos cos− ̇ sin sin
2
2
2
  ̇ cossin  ̇ sin cos    ̇ sin   ]
1
= m R2  ̇2  ̇2 sin 2 
2
Die einzige auf den Massenpunkt wirkende äußere Kraft ist die Gewichtskraft.
Wird der Nullpunkt für das Potenzial der Gewichtskraft in den Ursprung des
Koordinatensystems gelegt, dann gilt:
V  x , y , z =−m g z  V  ,  =−m g R cos  
Damit lautet die Lagrange-Funktion:
1
2
2
2
2
L ,  , ̇ , ̇= m R  ̇  ̇ sin   m g R cos
2
c)
Bewegungsgleichungen:
Ableitungen der Lagrange-Funktion:
∂L
=m R 2 ̇ ,
∂ ̇
 
d ∂L
=m R2 ̈
dt ∂ ̇
∂L
=m R 2 ̇2 sin cos−mg R sin
∂
∂L
=m R 2 ̇ sin 2  ,
∂ ̇
 
d ∂L
=m R 2  ̈ sin 2 2 ̇ ̇ sin  cos
dt ∂ ̇
∂L
=0
∂
Bewegungsgleichungen:
 
d ∂L ∂L
−
=0 :
dt ∂ ̇ ∂ 
2
 ̈− ̇2 sin cos
 
d ∂L ∂L
−
=0 :
dt ∂ ̇ ∂
2
2
m R ̈−m R ̇ sin cosmg R sin =0
g
sin =0
R
d
 m R2 ̇ sin 2 =0
dt
2
 ̇ sin =C =const.
Die Größe
2
Lz =m  R sin  ̇
ist der Drall des Massenpunktes um die z-Achse. Da die Gewichtskraft kein
Starrkörperdynamik
4.2-8
Prof. Dr. Wandinger
Moment um die z-Achse verursacht, ist der Drall um die z-Achse konstant.
Daraus folgt insbesondere, dass für ̇≠0 die Winkel =0 und = nicht
angenommen werden können.
Aufgabe 5:
a)
Kinematische Beziehungen:
Der Mittelpunkt P des Planetenrads ist mit dem Planetenträger verbunden. Für seine Geschwindigkeit gilt
daher
vB
B
v P = T r T .
Für die Geschwindigkeiten in den Punkten A und B
gilt
ωP
vP
P
vA
v A = v P − P r P = T r T −P r P
A
und
v B=v P  P r P =T r T  P r P .
Im Punkt A ist das Planetenrad mit dem Sonnenrad in Kontakt. Daher muss
gelten:
 S r S =v A  S r S =T r T − P r p
Im Punkt B ist das Planetenrad mit dem Hohlrad in Kontakt. Daraus folgt:
 H r H = v B   H r H =T r T  P r P
Addition der letzten beiden Gleichungen ergibt
 S r S   H r H = 2 T r T 
S =2 T
rT
rS
− H
rH .
rS
Integration bezüglich der Zeit führt auf
 S   H ,T  =2T
rT
rS
− H
rH
.
rS
Aus der kinematischen Beziehung im Punkt B folgt unmittelbar
 P = H
rH
rP
−T
rT
rP
.
Integration bezüglich der Zeit führt auf
 P   H , T  = H
Starrkörperdynamik
rH
rP
−T
rT
rP
.
4.2-9
Prof. Dr. Wandinger
b)
Verallgemeinerte Kräfte:
Die verallgemeinerten Kräfte berechnen sich zu
∂ H
QH =M H
∂ H
MT
∂ T
∂ H
M S
∂ S
∂ H
=M H −
rH
M
rS S
und
QT = M H
c)
∂ H
∂ T
M T
∂ T
∂ T
M S
∂ S
∂ T
= M T 2
rT
M .
rS S
Kinetische Energie:
1
1
1
3
3
2
2
2
2
2
T  H ,T , S , P , v P  = J H H  J T T  J S  S  J P P  m P v P
2
2
2
2
2
Mit den Beziehungen für die Winkelgeschwindigkeiten und die Geschwindigkeit des Planetenträgers folgt daraus

r
r
1
1
1
T   H ,T  = J H 2H  J T 2T  J S 2T T −H H
2
2
2
rS
rS
2

2


   
  
r
r
3
3
 J P H H −T T  m P 2T r 2T
2
rP
rP
2
r
1
= J H H
2
rS
2
2
r
1
 J T 4 T
2
rS

−2
d)
r H rT
r
2
S
2
r
J S 3 H
rP
J S 3
J P 2H

2
r
J S 3 T J P 3 r 2T m P 2T
rP
rH rT
r
2
P

J P  H T
Lagrange-Gleichungen:
Ableitungen der kinetischen Energie:
∂T
∂ H

=
JH
2
rH

 
JS
JP
rS
rP
3
2
2


r 2H H − 2
JS
2
rS
3


JP
2
rP

r H r T T

J
J
J
J
J
d ∂T
∂T
=0
= 2H  2S 3 2P r 2H ̇H − 2 2S 3 2P r H r T ̇T ,
∂ H
dt ∂ H
rH rS
rP
rS
rP
Starrkörperdynamik
4.2-10
Prof. Dr. Wandinger




J
J
J
J
J
∂T
2
= 2T 4 2S 3 2P 3 mP r T T − 2 2S 3 2P r H r T  H
∂ T
rT
rS
rP
rS
rP
 
 

J
J
J
J
J
d ∂T
= 2T 4 2S 3 2P 3 mP r 2T ̇T − 2 2S 3 2P r H r T ̇ H
dt ∂T
rT
rS
rP
rS
rP
∂T
∂ T
=0
Bewegungsgleichungen:
 
d ∂T
∂T
−
=Q H :
dt ∂ H ∂ H

JH

2
rH
JS
JP
rS
rP
3
2
2



JS
JP
rS
rP
 
JS
JP
rS
rP
r 2H ̇ H − 2
3
2
2
r H r T ̇T = M H −
rH
rS
MS
 
d ∂T
∂T
−
=Q T :
dt ∂ T ∂ T

JT
2
rT
4
JS
JP
rS
rP
3
2
2
3 m P r 2T ̇T − 2
3
2
2

r H r T ̇ H =M T 2
rT
MS
rS
Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

JH
2
rH


−2
e)
JS
JP
rS
rP
3
2
JS
r 2S
3
2
JP
r 2P



r H ̇ H −
r H ̇ H


JT
r 2T
JS
JP
rS
rP
JS
JP
rS
r 2P
2
4
3
2
3
2
2

r T ̇T
=

=
3 m P r T ̇T
MH
rH
MT
rT
−
2
MS
rS
MS
rS
Winkelbeschleunigung des Hohlrads
Auflösen der Bewegungsgleichungen nach ̇ H ergibt:
[
JH

2
rH

=
JS
2
rS
MH
rH
3
−


JP
JT
2
rT
rP
MS
rS
2
JT
2
rT
4
4
JS
2
rS
JS
2
rS
3
3
JP
2
rP
JP
2
rP


3 mP − 2
 3m P 
JS
2
rS
MT
rT
3
2
JP
2
rP
MS
rS
]

2
r H ̇ H
2
JS
JP
rs
rP
3
2
2

Der Faktor auf der linken Seite berechnet sich zu
Starrkörperdynamik
4.2-11
Prof. Dr. Wandinger

JH
r 2H
JS

=
3
r 2S

JH JT
r 2H r 2T

JT
r T2
r 2P
r T2
r 2S

r 2P r 2T
4
JH
r 2H
JS
r 2P
JP
r 2P

3 m P − 2
 
3 m P 

JS
JS
JP
rS
r 2P
3
2
J S JT
r 2S r T2
3
JS
3
r 2S
JP
2


JP
r 2P
3 m P
r 2P
JS JP
3 m P −12
r 2S

3
r 2S
JP
3
4

3 m P
JT
JS
4
JP JT
3
=

JP
r 2S r 2P
 
JP JH
3
r 2P r 2H

JS

r 2S
4
J H JS
r 2H r 2S
Die rechte Seite berechnet sich zu

MH
−
rH


=
MS
rS
JT
2
rT
= 2
4
JS
r

2
S
JT
r 2T
4
JP
rS
r 2P
3
2
JS
JP
rS
rP
3
2
3
JP
r
2
P


 

JS
2
3 m P
3 m P 
MH
JT
−
rH
2
rT
MT
rT
−3
MS
2
JP
2
rP
rS

2
3 m P
JS
JP
rs
r 2P
3
2

 

 
MS
rS
 2
JS
2
rS
3
J P MT
2
rP
rT
.
M H MS MT
J
J
MH MS


 2T 2 2S 3 m P
−
rH
rS
rT
rH
rS
rT
rS
Damit folgt für die Winkelgeschwindigkeit des Hohlrads:
1
̇ H =
rH

2
JS
JP
rS
r 2P
3
2

JT
r 2T

3 m P
MH
rH


JH
r 2H
MS
rS


JS
r 2S
MT
rT
3

JP
r 2P

JT
r 2T
2
 
3
JS
3 m P
2
rS
JP JH
r 2P r 2H

JS
r 2S


MH
rH
4
−
MS
rS

JH JS
r 2H r 2S
Im stationären Lauf sind die Winkelbeschleunigungen null. Bei vorgegebenem Moment M H lassen sich die anderen beiden Momente aus den Bewegungsgleichungen berechnen, die sich zu
0=
MH
rH
−
MS
rS
und 0=
MT
rT
2
MS
rS
vereinfachen. Aus der ersten Gleichung folgt M S =
Aus der zweiten Gleichung folgt M T =−2
Starrkörperdynamik
rS
MH .
rH
rT
r
M S =−2 T M H .
rS
rH
4.2-12
Prof. Dr. Wandinger